江苏省常州市2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题 Word版含解析

1262380012407900江苏省常州教育学会学业水平测试2019—2020学年度第二学期（期末）
高二数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．从5名男生和4名女生中，选出男女各1名学生主持某次活动，不同的选法种数为
A．9 B．10 C．20 D．40
2．若false，则n的值为
A．4 B．5 C．6 D．7
3．同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数为奇数”为事件A，“两颗骰子的点数之积为奇数”为事件B，则P(B∣A)＝
A．false B．false C．false D．false
4．某年级有6个班级，3位数学教师，每位教师任教2个班级，则不同分法的种数有
A．15 B．45 C．90 D．540
5．函数false的大致图象是
6．对某同学7次考试的数学成绩x和物理成绩y进行分析，下面是该生7次考试的成绩．
数学
88
83
117
92
108
100
112
物理
94
91
108
96
104
101
106
发现他的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，利用最小二乘法得到线性回归方程为false＝false，若该生的数学成绩达到130分，估计他的物理成绩大约是
A．114.5 B．115 C．115.5 D．116
7．已知函数false的极大值与极小值的差为4，则实数a的值为
A．﹣1 B．false C．false D．1
3947795-63508．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的
数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉
三角形”．若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1，
1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，则此数列的第2020项为
A．false B．false
4338955214630第8题
第8题
C．false D．false
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．下列求导数运算不正确的是
A．false B．false
C．false D．false
10．已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X服从正态分布N(105，100)，其中90分为及格线，120?分为优秀线，下列说法正确的是
附：随机变量false服从正态分布N(false，false)，则P(false)＝0.6826，
P(false)＝0.9544，P(false)＝0.9974．
A．该市学生数学成绩的期望为105
B．该市学生数学成绩的标准差为100
C．该市学生数学成绩及格率超过0.99
D．该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等
11．已知复数false，其中i是虚数单位，则以下说法正确的是
A．复数z的实部为3 B．复数z的虚部为2i
C．复数z的模为false D．复数z的共轭复数false
12．由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数的个数是
A．false B．false
C．false D．false
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知false的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则展开式中常数项为 ．
14．有一个活动小组有6名男生和4名女生，从中任选3名学生，至多选中2名男生的概率为 ．
15．已知函数false，若曲线false在false处的切线方程为false，则a＋b＝ ．
16．已知随机变量X的分布列如下表所示：、
X
﹣1
0
1
P
a
b
c
若a＝2b＝3c，则E(X)为 ；若b＝false，V(X)的最大值为 ．
（本小题第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）
已知false,其中i是虚数单位，m为实数．
（1）当z为纯虚数时，求m的值；
（2）当复数z·i在复平面内对应的点位于第二象限时，求m的取值范围．
18．（本题满分12分）
江苏省从2021年开始，高考取消文理分科，实行“3＋1＋2”的模式，其中的“1”表示每位学生必须从物理、历史中选择一个科目且只能选择一个科目，某校为了解高一年级学生对“1”的选课情况，随机抽取了100名学生进行问卷调查，如下表是根据调查结果得到的2×2列联表．
性别
选择物理
选择历史
总计
男生
50
b
m
女生
c
20
40
总计
100
（1）求m，b，c的值；
（2）请你依据该列联表判断是否有99.5%的把握认为选择科目与性别有关?说明你的理由．
附：对于2×2列联表
类1
类2
合计
类A
a
b
a＋b
类B
c
d
c＋d
合计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
有false，其中false．
P(false)
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
false
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19．（本题满分12分）
已知函数false，mfalseR．
（1）若m＝﹣1，求函数false在区间[false，e]上的最小值；
（2）若m＞0，求函数false的单调增区间．
20．（本题满分12分）
已知false，nfalse．
（1）当false时，求false的值；
（2）求false．
21．（本题满分12分）
常州别称龙城，是一座有着3200多年历史的文化古城．常州既有春秋淹城、天宁寺等名胜古迹，又有中华恐龙园、嬉戏谷等游乐景点，每年都有大量游客来常州参观旅游．为合理配置旅游资源，管理部门对首次来中华恐龙园游览的游客进行了问卷调查，据统计，其中false的人计划只游览中华恐龙园，另外false的人计划既游览中华恐龙园又参观天宁寺．每位游客若只游览中华恐龙园，得1分；若既游览中华恐龙园又参观天宁寺，得2分．假设每位首次来中华恐龙园游览的游客均按照计划进行，且是否参观天宁寺相互独立，视频率为概率．
（1）有2名首次来中华恐龙园游览的游客是拼车到常州的，求“这2名游客都是既游览中华恐龙园又参观天宁寺”的概率；
（2）从首次来中华恐龙园游览的游客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的概率分布和数学期望．
22．（本题满分12分）
已知函数false，a，bfalseR．
（1）若a＝1，求关于x的不等式false的解集；
（2）若false，讨论函数false的零点个数．
江苏省常州教育学会学业水平测试2019—2020学年度第二学期（期末）
高二数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．从5名男生和4名女生中，选出男女各1名学生主持某次活动，不同的选法种数为
A．9 B．10 C．20 D．40
答案：C
考点：分步计数原理
解析：5×4＝20，故选C．
2．若false，则n的值为
A．4 B．5 C．6 D．7
答案：B
考点：排列公式与组合公式
解析：由false得false，解得n＝5，故选B．
3．同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数为奇数”为事件A，“两颗骰子的点数之积为奇数”为事件B，则P(B∣A)＝
A．false B．false C．false D．false
答案：A
考点：条件概率
解析：false，false，false，故选A．
4．某年级有6个班级，3位数学教师，每位教师任教2个班级，则不同分法的种数有
A．15 B．45 C．90 D．540
答案：C
考点：组合
解析：false，故选C．
5．函数false的大致图象是
答案：A
考点：利用导数研究函数的性质
解析：∵false，∴false，列表如下：
x
(false，false)
false
(false，false)
false
(false，false)
false
－
0
＋
0
－
false
递减
递增
递减
故选A．
6．对某同学7次考试的数学成绩x和物理成绩y进行分析，下面是该生7次考试的成绩．
数学
88
83
117
92
108
100
112
物理
94
91
108
96
104
101
106
发现他的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，利用最小二乘法得到线性回归方程为false＝false，若该生的数学成绩达到130分，估计他的物理成绩大约是
A．114.5 B．115 C．115.5 D．116
答案：B
考点：线性回归方程
解析：false，false，所以false，
false，故选B．
7．已知函数false的极大值与极小值的差为4，则实数a的值为
A．﹣1 B．false C．false D．1
答案：A
考点：利用导数研究函数的极值
解析：∵false，∴false，令false，解得false，
∴false
false
解得a＝﹣1，故选A．
3947795393708．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的
数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉
三角形”．若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1，
1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，则此数列的第2020项为
A．false B．false
4338955260350第8题
第8题
C．false D．false
答案：A
考点：二项式定理
解析：第2020项是第64行的第4个数字，即为false，故选A．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．下列求导数运算不正确的是
A．false B．false
C．false D．false
答案：ABC
考点：导数的运算
解析：选项A，false，故A错误；
选项B，false，故B错误；
选项C，false，故C错误；
选项D错误，故本题选ABC．
10．已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X服从正态分布N(105，100)，其中90分为及格线，120?分为优秀线，下列说法正确的是
附：随机变量false服从正态分布N(false，false)，则P(false)＝0.6826，
P(false)＝0.9544，P(false)＝0.9974．
A．该市学生数学成绩的期望为105
B．该市学生数学成绩的标准差为100
C．该市学生数学成绩及格率超过0.99
D．该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等
答案：AD
考点：正态分布
解析：期望为105，选项A正确；方差为100，标准差为10，选项B错误；该市85分以上占97.72%，故C错误；根据对称性可判断选项D正确，故选AD．
11．已知复数false，其中i是虚数单位，则以下说法正确的是
A．复数z的实部为3 B．复数z的虚部为2i
C．复数z的模为false D．复数z的共轭复数false
答案：AC
考点：复数
解析：false，故实部为3，虚部为2，false，false，故AC正确．
12．由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数的个数是
A．false B．false
C．false D．false
答案：ABD
考点：排列
解析：如果个位是0，有false个，如果个位不是0，有false个，故A正确；
由于false，故B正确；由于false，故C错误；由于false，故D正确．故选ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知false的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则展开式中常数项为 ．
答案：45
考点：二项式定理
解析：false，false，false，
false．
14．有一个活动小组有6名男生和4名女生，从中任选3名学生，至多选中2名男生的概率为 ．
答案：false
考点：概率
解析：false．
15．已知函数false，若曲线false在false处的切线方程为false，则a＋b＝ ．
答案：0
考点：利用导数研究函数的切线
解析：∵false，∴false，false，
∴false，∴a＋b＝0．
16．已知随机变量X的分布列如下表所示：、
X
﹣1
0
1
P
a
b
c
若a＝2b＝3c，则E(X)为 ；若b＝false，V(X)的最大值为 ．
（本小题第一空2分，第二空3分）
答案：false，false
考点：随机变量的均值与方差
解析：由a＝2b＝3c，false，解得false，false，false，
∴false，
b＝false时，false，false，
false，
false，把false代入得，
false，false时，V(X)有最大值，为false．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）
已知false,其中i是虚数单位，m为实数．
（1）当z为纯虚数时，求m的值；
（2）当复数z·i在复平面内对应的点位于第二象限时，求m的取值范围．
解：（1）因为z为纯虚数，所以false
综上可得，当z为纯虚数时m＝5；
（2）因为false在复平面内对应的点位于第二象限，
false，即m＜2或者m＞5，
所以m的取值范围为(false，2)false(5，false)．
18．（本题满分12分）
江苏省从2021年开始，高考取消文理分科，实行“3＋1＋2”的模式，其中的“1”表示每位学生必须从物理、历史中选择一个科目且只能选择一个科目，某校为了解高一年级学生对“1”的选课情况，随机抽取了100名学生进行问卷调查，如下表是根据调查结果得到的2×2列联表．
性别
选择物理
选择历史
总计
男生
50
b
m
女生
c
20
40
总计
100
（1）求m，b，c的值；
（2）请你依据该列联表判断是否有99.5%的把握认为选择科目与性别有关?说明你的理由．
附：对于2×2列联表
类1
类2
合计
类A
a
b
a＋b
类B
c
d
c＋d
合计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
有false，其中false．
P(false)
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
false
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
解：（1）随机抽取的100名学生中女生为40人，则男生有100﹣40＝60人，
所以m＝60，b＝10，c＝20；
（2）根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：

则K2的观测值：false，
因为12.7＞7.879，
所以有99.5%的把握认为选择科目与性别有关．
19．（本题满分12分）
已知函数false，mfalseR．
（1）若m＝﹣1，求函数false在区间[false，e]上的最小值；
（2）若m＞0，求函数false的单调增区间．
解：（1）m＝﹣1时，false，false，xfalse[false，e]，
令false得false（舍去）或者false，列表如下：

所以，当x＝1时，函数false的最小值为false，
（2）false，x＞0
①当m＝1时，对任意x＞0，都有false恒成立(当且仅当x＝1时，false)
则函数false在区间(0，false)上单调递增；
②当m＞1时，令false，得x＜1或x＞m；
则函数false在区间(0，1)，(m，false)上单调递增；
③当0＜m＜1时，令false，得x＜m或x＞1；
则函数false在区间(0，m)，(1，false)上单调递增；
综上可得，
当m＝1时，函数false的单调增区间为(0，false)；
当m＞1时，函数false的单调增区间为(0，1)，(m，false)；
当0＜m＜1时，函数false的单调增区间为(0，m)，(1，false)．
20．（本题满分12分）
已知false，nfalse．
（1）当false时，求false的值；
（2）求false．
解：（1）当n＝7时，false，
令x＝1，有false，①
令x＝﹣1，有false，②
①﹣②得false，所以false，
（2）由题意，false，可得false，i＝0，1，2，3，…，n，
记false，
则false
false
所以false，
令x＝1得，false，
所以false．
21．（本题满分12分）
常州别称龙城，是一座有着3200多年历史的文化古城．常州既有春秋淹城、天宁寺等名胜古迹，又有中华恐龙园、嬉戏谷等游乐景点，每年都有大量游客来常州参观旅游．为合理配置旅游资源，管理部门对首次来中华恐龙园游览的游客进行了问卷调查，据统计，其中false的人计划只游览中华恐龙园，另外false的人计划既游览中华恐龙园又参观天宁寺．每位游客若只游览中华恐龙园，得1分；若既游览中华恐龙园又参观天宁寺，得2分．假设每位首次来中华恐龙园游览的游客均按照计划进行，且是否参观天宁寺相互独立，视频率为概率．
（1）有2名首次来中华恐龙园游览的游客是拼车到常州的，求“这2名游客都是既游览中华恐龙园又参观天宁寺”的概率；
（2）从首次来中华恐龙园游览的游客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的概率分布和数学期望．
解：（1）由题意，每位游客只游览中华恐龙园的概率为false，既游览中华恐龙园又参观天宁寺的概率为false
记两位游客中一位游客“既游览中华恐龙园又参观天宁寺”为事件A，则P(A)＝false，
另一位游客“既游览中华恐龙园又参观天宁寺”为事件B，则P(B)＝false，
所以“这2名游客都是既游览中华恐龙园又参观天宁寺”为事件AB，
因为游客是否参观天宁寺相互独立，所以P(AB)＝P(A)P(B)＝false，
答：“这2名游客都是既游览中华恐龙园又参观天宁寺”的概率为false，
（2）随机变量X的可能取值为3，4，5，6，
false，false，
false，false，
∴X的概率分布为：

所以E(X)＝false＝4
答：X的数学期望为4．
22．（本题满分12分）
已知函数false，a，bfalseR．
（1）若a＝1，求关于x的不等式false的解集；
（2）若false，讨论函数false的零点个数．
解：（1）a＝1时，false，false，
当x＞﹣2时，false，
所以false在区间(﹣2，false)上单调递增，
由false得x＞0；
当x≤﹣2时，false，
此时false，
综上可得，不等式false的解集为(0，false)；
（2）false时，false，false，令false得x＝﹣a﹣1，列表如下：

所以，当x＝﹣a﹣1时，函数false的极小值为false；
①当false即false时，对任意xfalseR，都有
false恒成立，从而函数false无零点，
②当false即false时，对任意xfalseR，都有
false恒成立（当且仅当x＝0时，false），从而函数false的零点个数为1，
③当false即false时，
在区间[﹣a﹣1，﹣a]上，函数false图象是连续不断的一条曲线，其中false
false，函数false在区间[﹣a﹣1，false)上单调递增，所以函数false在区间(﹣a﹣1，false)上的零点个数为1；
在区间[4a，﹣a﹣1]上，函数false图象是连续不断的一条曲线，其中false
false，即false，false，false，所以false在区间(false，﹣1]上单调递减，由a＜﹣1得false，即false，所以false，又因为函数false在区间(false，﹣a﹣1]上单调递减，所以函数false在区间(false，﹣a﹣1)上的零点个数为1；从而函数false的零点个数为2．
综上可得，当false时，函数false无零点，当false时，函数false的零点个数为1，当false时，函数false的零点个数为2．