第三章
一元一次方程
3.1
从算式到方程
3.1.1
一元一次方程
一、新课导入
1.课题导入：
同学们，我们在小学数学学习中见过像2x=50,3x+1=4,5x-7=8这样的简易方程，那么它叫什么方程？方程有什么作用？怎样列方程和解方程呢？这是本章要研究的主要问题，这节课我们通过具体问题感受方程这一重要数学工具的作用.(板书课题)
2.学习目标：
（1）知道什么叫方程，什么叫一元一次方程.
（2）弄清楚方程的解的意义，会检验一个数是不是方程的解.
（3）会找相等关系列方程.从这个过程中体会由算式到方程是数学的一大进步，从而体会方程思想.
3.学习重、难点：
重点：方程、一元一次方程的概念以及方程思想.
难点：从列算式到列方程的思维习惯的转变.
二、分层学习
第一层次学习
1.自学指导:
（1）自学内容：教材第78页到第79页例1之前的内容.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学要求：认真阅读课本，了解如何通过列含未知数的等式来表示问题中的等量关系.同时，同学之间可以展开讨论，从算式到方程对解决问题有什么作用或好处？
（4）自学参考提纲：
①课本“问题”中涉及到路程、时间和速度三个关系量，它们之间存在下列关系：路程=时间×速度，或时间=路程÷速度或速度=路程÷时间.
②请你用算术方法解决这个“问题”.70×=420
km
③a.如果设A，B两地相距x
km，客车的行驶速度是70
km/h，卡车的行驶速度是60
km/h，那么从A地到B地客车和卡车所用时间可用式子和来表示.
b.因为客车比卡车早1
h经过B地，所以卡车行驶的时间-客车行驶的时间=1，于是可列等式：-=1，只要通过这个等式解出未知数x的值
，就得到问题的答案.
④③中的解法与②中的解法有什么不同？你更喜欢哪种解法？
②中为算术法，③中为方程法，一种直接计算，另一种通过设未知数列等式关系进行计算.更喜欢方程法.
⑤什么叫方程？等式一定是方程吗？方程和等式有什么关系？
含有未知数的等式叫做方程，等式不一定是方程，但方程一定是等式，方程包含于等式.
⑥如果设从A地到B地客车所用的时间为x
h，那么从A地到B地卡车所用的时间为h,依据相等关系：-x=1，你还能列出别的方程吗？
⑦你能归纳出列方程的步骤吗？
先设出未知数，分析题意得出其中的等量关系，再列方程.
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：教师巡视课堂了解学生在自学过程中存在的问题.
②差异指导：对学习有困难的学生进行点拨和指导.
（2）生助生：小组内同学们互相交流、研讨，共同解决疑难问题.
4.强化：
（1）方程的定义及等式和方程的关系.
（2）列方程的步骤：
①用字母表示未知数.
②找出问题中的相等关系.
③写出含有未知数的等式，即列出方程.
（3）设未知数的方法：有“直接设未知数”和“间接设未知数”两种.
（4）从课本问题中，同学们看到了列方程比较方便，而列算式很困难，所以从算式到方程是数学的进步.
第二层次学习
1.自学指导:
(1)自学内容：教材第79页从例1开始的所有内容.
(2)自学时间：6分钟.
(3)自学方法：认真阅读课文，分析例1中所列方程的等号两边式子表示的实际意义，学会找列方程所需要的等量关系，并分析归纳这些方程的特点.
(4)自学参考提纲：
①解释例1所列的每个方程的等号两边的式子的意义，寻找列出这些方程时所依据的相等关系分别是什么？
4x=24，等号左边表示正方形四条边长的和，等号右边表示正方形的周长.
1700+150x=2450，等号左边表示这台计算机已使用的时间与在x月里使用的时间和，等号右边表示x月后计算机的使用总时间.
0.52x-(1-0.52)x=80，等号左边表示女生人数与男生人数的差，等号右边表示女生比男生多的人数.
列方程时等号左右两边表示的量相等.
②例1中三个方程都只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，并且等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.
③下列式子哪些是方程？哪些是一元一次方程？
A.2x+1
B.2m+15=3
C.3x-5=5x+4
D.x2+2x-6=0
E.-3x+1.8=3y
F.3a+9＞15
B、C、D、E是方程，B、C是一元一次方程.
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：教师巡视课堂，充分了解学生自学的情况.
②差异指导：对学习困难的学生进行点拨和指导.
（2）生助生：小组内同学进行相互展示交流、研讨纠错.
4.强化：
（1）一元一次方程的概念，明确其三要素.
（2）归纳列方程的方法.（即教材第80页“归纳”的内容）
（3）练习.
①已知方程（1-a）x2+2x-3=2是关于x的一元一次方程，则a=1.
②教材第80页“练习”的第1、2、3、4题.
1.设沿跑道跑x周，由题意，得400x=3000.
2.设购买甲种铅笔x支，则购买乙种铅笔（20-x）支，根据题意得0.3x+0.6（20-x）=9.
3.设上底为x
cm,则下底为（x+2）
cm,由题意，得（x+2+x）×5=40.
4.方法一：设小水杯的单价是x元，则大水杯的单价是（x+5）元，由题意10（x+5）=15x.
方法二：设大水杯的单价是y元，则小水杯的单价是（y-5）元，由题意，得10y=15(y-5).
第三层次学习
1.自学指导:
(1)自学内容：教材第80页“归纳”下方至“练习”之前的内容.
(2)自学时间：3分钟.
(3)自学方法：阅读课文，明确什么是解方程，什么叫方程的解，以及如何检验一个数是不是方程的解.
(4)自学参考提纲：
①阅读下面方程的解的检验方法（注意格式）：
当x=5时，方程1700+150x=2450的左边=1700+150×5=1700+750=2450.
右边=2450.∴左边＝右边.∴x=5是方程1700+150x=2450的解.
仿照此方法检验：x=1000和x=2000中哪一个是方程0.52x-(1-0.52)x=80的解？
当x=1000时，方程左边=0.52×1000-(1-0.52)×1000=40.
当x=2000时，方程左边=0.52×2000-(1-0.52)×2000=80.
∴x=2000是方程的解.
②由上面过程可知：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.求出方程的解的过程叫做解方程.
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：明了学生会不会检验一个数是不是方程的解.
②差异指导：对自学中存在的问题进行点拨和指导.
（2）生助生：小组内学生相互展示交流，共同研讨提高.
4.强化：
（1）解方程和方程的解的意义.
（2）方程的解的检验方法.
三、评价
1.学生的自我评价：由学生谈自己如何进行自学和合作交流的，对自己的学习成果和表现进行自我评价.
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：教师对本节课学习中同学们的表现、成效和不足之处进行总结点评.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）：
本课时教学要整体贯穿以下数学思想：（1）突出数学的应用意识，可由学生感兴趣的问题引入课题；（2）强调学生自主探索新知识，利用交流完善对新知识的理解；（3）体现思维的层次性，教师先引导学生用算术方法解题，再引导他们列方程表示，在比较中体会方程的作用；（4）渗透建模思想，指导学生通过设未知数，列代数式，寻找等量关系列方程，形成抽象能力.
课后针对性练习
一、基础巩固
1.（10分）下列等式中，是方程的是（D）
①3+6=9②2x-1③x+1=5④3x+4y=12⑤5x2+x=3
A.①②③④⑤
B.①③④⑤
C.②③④⑤
D.③④⑤
2.（10分）下列各式中，是一元一次方程的是（C）
A.3x-2=y
B.x2-1=0
C.x3=2
D.3x=2
3.（30分）根据条件列出等式：
（1）比a大5的数等于8
a+5=8
（2）b的三分之一等于9
b=9
（3）x的2倍与10的和等于18
2x+10=18
（4）x的三分之一减y的差等于6
-y=6
（5）比a的3倍大5的数等于a的4倍
3a+5=4a
（6）比b的一半小7的数等于a与b的和
b-7=a+b
4.（10分）x=3,x=0,x=-2,各是下列哪个方程的解？
（1）5x+7=7-2x;
（2）6x-8=8x-4;
（3）3x-2=4+x.
解：x=3是方程（3）的解，x=0是方程（1）的解，x=-2是方程（2）的解.
二、综合应用（每题15分，共30分）
5.（30分）列方程：
（1）某校七年级（1）班共有学生48人，其中女生人数比男生人数的多3人，这个班有男生多少人？
（2）把1400元奖学金按照两种奖项奖给22名学生，其中一等奖每人200元，二等奖每人50元，获得一等奖的学生有多少人？
解：（1）设这个班有男生x人，则女生人数为（x+3）人.根据“男生人数+女生人数=总人数”列方程得：
x+（x+3）=48.
（2）设获得一等奖的学生有x人，则200x+50（22-x）=1400.
三、拓展延伸（20分）
6.（10分）小明从家到学校时，每小时行5千米，按原路返回家时，每小时行4千米，结果返回的时间比去学校的时间多花10分钟，小明家到学校有多远？（用两种方法列方程）
解：方案一：设小明家离学校x千米，由题意，得-=
方法二：设小明去学校时花了x小时，则小明家到学校的距离为5y千米.由题意，得-y=3.1.2
等式的性质
一、新课导入
1.课题导入：
上节课我们学习了方程的解，你能说出4x=24,x+1=3这样简单方程的解吗？你能直接看出方程=1的解吗？若不能,那么应如何求出它的解呢？因为方程是含有未知数的等式，因此，我们就从等式的性质入手来解方程.（板书课题）
2.学习目标：
（1）能用文字和数学式子表达等式的两个性质.
（2）能用等式的性质解简单的一元一次方程.
3.学习重、难点：
重点：等式的性质.
难点：等式的性质解方程.
二、分层学习
第一层次学习
1.自学指导:
（1）自学内容：教材第81页的内容.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：注意从图中不同方向的两个箭头所示的天平中物体的变化，归纳出相应的等式的性质.
（4）自学参考提纲：
①在图3.1-1中，如果把左边天平左盘中的量用a表示，把右盘中的量用b表示,则由天平左右平衡可以得出a=b；如果把天平左右盘中变化的量用c表示.
由天平保持平衡，观察:从左边天平到右边天平，盘中的量是增加(填“增加”或“减少”)的，用字母a、b、c的式子表示为:如果a=b，那么a+c=b+c；类似地，反过来如果a=b，那么a-c=b-c.由此可得等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.
②在图3.1-2中，把左边天平左盘中的量用a表示，右盘中的量用b表示,由天平左右平衡，可以得出a=b；由左边天平到右边天平，用数学式子可表示为：如果a=b，那么3a=3b；类似地，反过来有，如果a=b，那么=.在上面结论中，如果把3换成字母c，结论还成立吗？请你用文字语言和数学式子表述等式的性质2.
等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.
即如果a=b，那么ac=bc;如果a=b（c≠0），那么=.
③依据等式的性质判断下列变形是否正确.
a.如果3a+2=b+2，那么3a=b.（√）
b.如果x-2=y+3，那么x=y+5.（√）
c.如果xy=1，那么x=.（√）
d.如果ab=bc，那么a=c.（×）
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：教师巡视课堂了解学生的自学情况和存在的问题.
②差异指导：对学习有困难的学生进行点拨和指导.
（2）生助生：小组同学们相互交流探讨，互助解决学习中的问题.
4.强化：
（1）等式的性质1及其数学式子表达.
（2）等式的性质2及其数学式子表达.
（3）研讨：某同学得出了一个错误的结论“-5=3”，你知道是怎么回事吗？原来他是这样得到的：已知-5a=3a，两边同时除以a，即=,∴-5=3.你知道他错在哪里吗？
解：a值为0,而等式性质二是除以同一个不为0的数，结果才相等.
第二层次学习
1.自学指导:
（1）自学内容：教材第82页的内容.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学要求：认真阅读课文例2中每个方程的求解过程，思考每一步变形的依据是什么？不清楚的地方相互交流研讨.
（4）自学参考提纲：
①解以x为未知数的方程，就是把方程逐步转化为x=a(常数)的形式，其转化的依据是等式的性质.
②解方程x+7=26.
要把方程转化为x=a的形式，就必须消去等号左边的常数7，因此只有根据等式的性质1，方程两边同时减7.
③解方程-5x=20.
要把方程转化为x=a的形式，就必须把等号左边-5x的系数化为1，因此只有根据等式的性质2，方程两边同时除以-5.
④解方程-x-5=4.
要把方程转化为x=a的形式，就既要把等号左边的常数项-5消去，又要把的系数化为1，因此，先要根据等式的性质1，方程两边同时加5，再根据等式性质2，方程两边同时除以-.
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：教师巡视课堂充分了解学生的自学情况.
②差异指导：对学习困难的学生进行点拨和指导.
（2）生助生：小组内同学们相互交流、讨论，互助解决疑难问题.
4.强化：
①解方程时，方程的变形目标：逐步转化为x=a(常数)的形式.
②解方程时方程的变形依据是等式的两个性质，并且通常都是把含有未知数的项放在等号的左边.
③解方程要养成检验的习惯.
④练习：利用等式的性质解下列方程并检验.
a.x-5=6
b.0.3x=45
c.5x+4=0
d.2-x=3
解：a.x=11;
b.x=150;
c.x=-
d.x=-4.
三、评价
1.学生自我评价:学生代表交流学习的收获和困惑.
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：教师对学生在本节课的学习中的优异表现、获得的成效和存在的问题进行总结和点评.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）：
本课时教学要重视学生思维的多角度培养，教师对教材中的实际问题要直观演示，指导学生观察图形，从实验中归纳结论，并用实验验证.对发现的结论用文字、数学语言分别表达出来，突出对等式性质的理解和应用.在解方程时，要求说明每一步变形的依据，解题后及时小结.扎实做到这些，可为后面教与学打下坚实基础.
课后针对性练习
一、基础巩固
1.（20分）下列说法错误的是（D）
A.若x=3，则3=x.
B.若x=y，y=z，则x=z.
C.若ab=1，则a=.
D.若2+a=b-3,
则4+2a=2b-3.
2.（20分）如果mx=my,那么下列等式中不一定成立的是(D)
A.mx+1=my+1
B.mx－3=my－3
C.-mx=-my
D.x=y
3.（20分）用等式的性质解下列方程.
(1)x－4=29
(2)x+2=6
解：x=33
解：x=8
(3)3x+1=4
（4）4x-2=2
解：x=1解：x=1
二、综合应用
4.（10分）下列变形正确的是（A）
5.（20分）利用等式的性质解下列方程并检验.
（1）5-x=-5
(2)
x-=
解：x=50
解：x=1.4
三、拓展延伸
6.（10分）一个两位数个位上的数是1，十位上的数是x，把1与x对调，新两位数比原两位数小18，试列出关于x的方程，并解这个方程.
解：依题意可得：10x+1-(10+x)=18，
9x-9=18，
9x=27，
x=3.
