3.4
实际问题与一元一次方程
第3课时
球赛积分表问题
一、导学
1.课题导入：
喜欢体育的同学，经常观看各种不同类别的球赛，如：足球赛、篮球赛、排球赛等，但是你们了解它们的计分规则和如何计算积分的吗？这节课我们学习如何用方程解决球赛积分问题.
2.学习目标：
（1）会从表格中获取信息寻找数量关系列方程.
（2）知道列方程解应用题时，为什么要检验方程的解是否符合题意.
3.学习重、难点：
重点：会建立方程模型解决实际问题.
难点：会阅读获取表格信息，寻找数量关系.
4.自学指导：
（1）自学内容：探究球赛积分问题.
（2）自学时间：10分钟.
（3）自学要求：认真观察，分析表格中的数据，从中获取相关信息.
（4）探究提纲：
球赛积分表问题：
①用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系；
②某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？
探究：要解决上面的问题，就必须要弄清楚胜一场和负一场的积分分别是多少？为此，我们可以从以下方面着手：
a.从表中可以看出，比赛场次、胜场和负场之间的关系是比赛场次=胜场+负场.
b.认真观察表中各行数据，你能选择出哪一行最能说明负一场的积分是多少吗？
钢铁队获得的分数.
c.接下来，只要设胜一场的积分为x分，再选择其他任意一行的数据(如选第一行)，利用“胜场积分+负场积分=总积分”列出方程：10x+4=24，解得x=2，然后用其他行的数据验证求得的结果合理与否.
d.根据b、c的结果，如果设一个队胜场数为m，则负场数为14-m，胜场积分为2m，负场积分为14-m，进一步求得总积分为m+14，这样就得到了第①个问题的答案.
e.在d的条件下对于第②个问题，如果这个队的胜场积分与负场积分相等，那么可列出方程：2m=14-m，解得m=，这个答案与胜场数必须是整数不相符(填“相符”或“不相符”)，由此判定不存在(填“存在”或“不存在”)胜场积分与负场积分相等的球队.
二、自学
同学们结合探究提纲进行研讨式学习.
三、助学
1.师助生：
（1）明了学情：教师深入课堂巡视了解学生在学习过程中存在哪些问题(如能否从表格中获取所需的信息等).
（2）差异指导：教师针对了解到的学情当中的问题进行分类点拨引导.
2.生助生：各小组学生交流学习，互相解疑.
四、强化
1.阅读表格的方法策略.
2.交流各类比赛的积分规则.
3.列方程解决实际问题时，要注意检验方程的解是否符合问题的实际意义.
4.练习：下表是某校七——九年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每月活动时间相同.
请将九年级课外兴趣小组活动次数填入上表.
五、评价
1.学生的自我评价：让学生相互介绍自己在本节课学习中的体会，总结自己的学习表现、效果和问题.
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：教师对在本节课的学习中同学们的态度、学习方法和学习成果进行总结.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）：
积分问题的解题思路告诉我们：表格数据能够给我们提供重要的解题信息，而利用方程解决这类问题不仅可求得具体数值，而且还可以进行推理判断.另外，用方程解决实际问题时要注意让学生进行检验.由于本课时的学习有了上一课时作为基础，所以教学时教师应注意让学生进行独立思考并合作交流，而教师仅起引导作用.
针对性练习
一、基础巩固
1.（30分）某人在一次篮球比赛中，22投14中，得28分，除了3个3分球全中外，他还投中了8个2分球和3个罚球.
2.（30分）下表是德国足球甲级联赛部分球队积分榜，观察后请把表格填完整.
（规定：足球比赛胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分）
二、综合应用
3.（20分）一份试卷共25道题，每道题都给出四个答案，其中只有一个是正确的，要求学生把正确答案选出来，每题选对得4分，不选或选错扣1分.
（1）如果一个学生得90分，那么他选对几题？
（2）现有500名学生参加考试，有得83分的同学吗？为什么？
解：(1)设他选对x道题，则不选或选错了（25-x）道题.
由题意列出方程4x-(25-x)=90，解得x=23.
即他选对了23题.
（2）设选对了y道题，则选错了（25-y）道题.
由题意列出方程4y-(25-y)=83，解得y=21.6.
而答对的题数必须为正整数，故不合题意舍去，不可能会有得83分的同学.
三、拓展延伸
4.（20分）下表中记录了一次试验中时间和温度的数据.
（1）如果温度的变化是均匀的，21
min时的温度是多少？
（2）什么时间的温度是34℃？
解：(1)由题意知时间增加5
min，温度升高15℃，所以每增加1
min温度升高3℃.
则21
min时的温度为10+21×3=73（℃）
（2）设时间为x
min，列方程得3x+10=34，解得x=8.
即第8分钟时温度为34℃.3.4
实际问题与一元一次方程
第2课时
销售中的盈亏问题
一、新课导入
1.课题导入：
小明的妈妈在飞达商场用180元购买一件衣服，据了解这件衣服的进价是120元，你知道这件衣服的利润和利润率各是多少吗？带着这个问题，本节课我们将学习运用一元一次方程解决销售中的盈亏问题.
2.学习目标：
（1）理解销售问题中的有关概念及相关的数量关系.
（2）会运用一元一次方程解决商品销售中的盈亏问题.
3.学习重、难点：
重点：销售利润、利润率等概念的实际意义.
难点：会找销售中盈亏问题的数量关系.
4.自学指导：
（1）自学内容：探究销售中的盈亏问题.
（2）自学时间：8~12分钟.
（3）自学要求：了解进价、售价、利润、利润率这些基本概念的含义，并且探讨这些量之间的关系.
（4）自学参考提纲：
①在营销问题中有四个基本关系量：进价、售价、利润和利润率，它们之间有如下关系：利润=售价-进价，利润率=利润/进价×100%，根据这些关系，思考下列问题：
a.进价为100元的衣服，卖了120元，其利润是20元，利润率是20%.
b.进价为200元的运动鞋，在销售过程中获利30%，则其售价为260元.
c.某专卖店以500元的价格销售了一件外套，已知其利润率为25%，则这件外套的进价为多少元？
分析：若设外套进价为x元，则其利润为0.25x元，根据进价+利润=售价，可列方程：x+0.25x=500，解方程即可求得答案.
②问题：一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
探究：a.盈亏取决于售价与进价的大小关系，若售价大于进价，则盈利；若售价小于进价，则亏本；若售价等于进价，则不赔不赚.
b.凭你的生活经验估算一下，这个问题的结果应该是亏损.
c.能否通过准确计算检验你的判断？
分析：为此就需要求出这家商店买这两件衣服时花了多少钱，即求出这两件衣服的进价分别是多少.
Ⅰ.注意到“盈利”和“亏损”是一对具有相反意义的量，盈利25%就是指其利润率为25%，那么亏损25%是指其利润率为-25%.
Ⅱ.下面请同学们再按第①题的第c小题的解法分别设未知数列方程求出这两件衣服的进价分别是多少元.
设进价分别为x元，y元，则x(1+25%)=60，y(1-25%)=60.
x=48,y=80,60-48+60-80=-8,亏损.
Ⅲ.按Ⅱ中求得的答案得出原问题的最终准确结果.
③通过对②中问题的探究，同学们相互交流一下，你对方程在实际问题中的应用有什么新的认识？
二、自学
同学们结合自学指导进行自学.
三、助学
1.师助生：
（1）明了学情：教师深入课堂了解学生对自学参考提纲中的问题的完成情况(包括学习的进度和存在的问题).
（2）差异指导：针对学情进行分层和分类指导.
2.生助生：学生相互交流帮助解决疑难.
四、强化
1.营销问题中的主要关系量及它们之间的数量关系：
利润=售价-进价；利润率=利润/进价×100%.
2.通过对问题的探究说明直觉或经验有时并不可靠，正确运用数学知识分析问题可以减少判断错误.
3.要学会从复杂的问题中寻找等量关系设未知数列方程.
4.练习：某商店有两种书包，每个小书包比每个大书包的进价少10元，而它们的售后利润额相同，其中每个小书包的盈利率为30%，每个大书包的盈利率为20%，试求两种书包的进价.
解：设大书包的进价为x元，则小书包的进价为（x-10）元，根据利润额相同，列方程为x·20%=(x-10)·30%.
x=30,30-10=20（元）.
答：小书包的进价为20元，大书包的进价为30元.
五、评价
1.学生的自我评价：学生介绍自己在本节课学习中是如何自学的？有哪些做得不够的地方？收效怎样？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：教师对学生在学习中表现出的积极态度、好的学习方法和学习成果进行点评.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）：
商品销售问题是现实生活中比较典型的问题，教学时可以紧密联系实际，用切身的体会与经历进行讲解，这样有助于活跃课堂气氛，提高和增强学生的学习效果.商品销售中的“进价”、“标价”、“成本”及“利润”是理解题意的关键点，教师应向学生进行详细的讲解.
针对性练习
一、基础巩固
1.（15分）某商品原来每件零售价是a元，现在每件降价10%，降价后每件零售价是0.9a元.
2.（15分）某种品牌的彩电降价3%以后，每台售价为a元，则该品牌彩电每台原价应为元.
3.（15分）某商品按定价的八折出售，售价是148元，则原定价是185元.
4.（15分）某种商品的进价是400元，标价是600元，打折销售时的利润率为5%，那么此商品是打7折出售.
二、综合应用
5.（20分）某商品的进价是1530元，按商品标价的9折出售时，利润率是15%，商品的标价是多少元？
解：设商品的标价是x元，则由题意可得1530×（1+15%）=0.9x.
解得x=1955.
答：商品标价为1955元.
三、拓展延伸
6.（20分）现对某商品降价20%促销，为了使销售总金额不变，销售量要比原销售量增加百分之几？
解：设销售量要增加x.
则由题意可知（1-20%）（1+x）=1
解得x=0.25
答：销售量要比原销售量增加25%.3.4
实际问题与一元一次方程
第4课时
电话计费问题
一、导学
1.课题导入：
前面我们探究了“销售中的盈亏”问题和球赛积分问题，使我们进一步感受到了一元一次方程作为解决实际问题的数学模型所发挥的作用.本节课我们再探究一例如何用方程思想解决电话计费问题.
2.学习目标：
（1）会从电话计费方式中寻找数量关系，列出方程.
（2）体会分类思想和方程思想，增强应用意识和应用能力.
3.学习重、难点：
重点：建立电话计费问题的方程模型.
难点：由实际问题抽象出数学模型的探究过程.
4.自学指导：
（1）自学内容：探究电话计费问题.
（2）自学时间：12~15分钟.
（3）自学要求：在探究提纲的指引下，积极思考，相互交流研讨两种计费方式的计费算式(算法).
（4）探究提纲：
问题：下表给出的是两种移动电话的计费方式：
考虑下列问题：
①设一个月内用移动电话主叫t
min(t是正整数)，根据上表，列表说明：当t在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费.
②观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法.
探究：
①你了解表格中这些数字的含义吗？
如：a.若主叫时间为100
min，则按方式一计费为58元，按方式二计费为88元；
b.若主叫时间为200
min，则按方式一计费为70.5元，按方式二计费为88元；
c.若主叫时间为400
min，则按方式一计费为120.5元，按方式二计费为97.5元.
②由①可知，计费与主叫时间相关，此时又要看主叫时间是否超过限定时间，随着主叫时间t
min的取值范围不同，计费方法也不一样，要弄清按方式一和方式二具体如何计费，主叫时间t的取值范围应如何划分呢？
③填写下表.
④观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？
a.当t≤150时，选择方式一省钱；
b.当t=350时，选择方式二省钱；
c.你能利用方程求出当150＜t＜350时使两种方式的计费相等的主叫时间吗？进而确定出在15058+0.25（t-150）=88，解得t=270
d.当t>350时，选择方式二省钱，试说明你这样选择的理由.
⑤由④的结果，归纳可得：t＜270时，选择方式一省钱；t＞270时，选择方式二省钱.
二、自学
同学们结合探究提纲进行自主研讨学习.
三、助学
1.师助生：
（1）明了学情：教师深入课堂了解学生是否读懂表格中表达的实际意义，体会两种方式的计费计算方法及如何对t的取值范围准确分类，如何选择省钱的计费方式等方面存在的问题(疑点).
（2）差异指导：引导学生对自学中的疑点进行交流探讨，①对不同时段的话费算法，②对t的取值范围如何分类，③当150350时，如何选择省钱的计费方式等问题进行分类指导.
2.生助生：生生之间交流帮助.
四、强化
1.总结交流.
（1）电话计费问题中的数量关系；
（2）“月使用费”、“限时计费”、“主叫限定时间”、“
主叫超时费”等词的含义.
（3）电话计费问题的核心问题是什么？
（4）在探究过程中用到了哪些手法？整个解题过程大致包含哪几个步骤？
2.练习：校长带领学校的市级三好生去北京旅游.甲旅行社说：“如果校长买全票一张，其他学生享半价优惠.”乙旅行社说：“包括校长在内，全部6折优惠.”全票价为100元.
（1）当学生人数为多少时,两家费用一样多?
（2）当学生人数为10时，选哪家合算些？
解：（1）设学生人数为x.
100+50x=60（x+1），解得x=4.
(2)甲：100+10×50=600（元），乙：60×11=660（元）
甲家合算些.
五、评价
1.学生的自我评价：让学生对自己在本节课学习中的自学、交流等方面的表现以及收获和疑点进行交流总结.
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：教师对学生在本节课学习中认真阅读思考，合作交流探讨的行为表现和学习效果进行肯定.对存在的问题进行指正.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）：
课程改革的目的之一是促进学生学习方式的转变，加强学生学习的主动性和探究性，本章内容涉及大量的实际问题，丰富多彩的问题情境和解决实际问题的快乐，更容易激起学生对数学的兴趣.在本课时中，引导学生从身边的移动电话收费，旅游费用等问题展开探究，使学生在现实、富有挑战性的问题情境中经历多角度认识问题，多种策略思考问题，培养探索精神和创新意识.
针对性练习
一、基础巩固
1.（30分）用A4纸在某文印社复印文件，复印页数不超过20页时，每页收费0.12元；复印页数超过20页时，超过部分每页收费0.09元；在某图书馆复印同样的文件，不论复印多少页，每页收费0.10元；复印页数为多少页时，两处的收费相同？
解：设当复印页数为x页时，两处收费相同.
0.1x=20×0.12+0.09(x-20)
解得x=60.
答：复印页数为60页时，两处的收费相同.
2.（30分）学生小红随父母外出旅游，甲旅行社说：“父母全票，学生半价优惠.”乙旅行社说：“家庭旅游团每人按全价的45收费.”若这两家旅行社每人的票价相同，那么应选的旅行社是（B）
A甲
B.乙
C.一样
D.无法选择
二、综合应用
3.（20分）两种移动电话计费方式.
（1）如果月通话时间为x分，你能用含x的代数式表示两种计费方式的费用吗？
（2）对于某个本地通话时间，会出现两种计费方式的收费一样的情况吗？
（3）一个月内在本地通话200分和350分，按两种计费方式各需交费多少元？
解：(1)移动：30+0.3x联通：0.4x
(2)30+0.3x=0.4x解得x=300，当通话时间为300分钟时，两种计费方式收费一样.
∴∠A=∠D.
三、拓展延伸
4.（20分）某地上网有两种收费方式，用户可以任选其一：A.计时制：3元/时；B.包月制：60元/月.此外，每一种上网方式都加收通信费1元/时.
（1）请你为用户设计一个方案，使用户能合理地选择上网方式.
（2）某用户有120元钱用于上网（1个月），选用哪种上网方式比较合算？
解：(1)设上网时间为x小时，则A收费（3+1）x，B收费60+x.
令（3+1）x=60+x，解得x=20.
当上网时间小于20小时，选择A.计时制；
当上网时间等于20小时，两种方案收费一样；
当上网时间大于20小时，选择B.包月制.
（2）A：120÷(3+1)=30(小时)
B：（120-60）÷1=60(小时)
选用B方式上网合算.3.4
实际问题与一元一次方程
第1课时
配套问题与工程问题
一、新课导入
1.课题导入：
前面我们在学习一元一次方程的解法时，附带研究了如何列一元一次方程解决实际问题，初步了解了方程是分析和解决问题的一种很有用的数学工具，接下来的内容介绍了从几个典型的实际问题入手教会同学们列方程解决实际问题的具体方法.（板书课题.）
2.学习目标：
（1）会运用一元一次方程解决物品配套问题和工程问题.
（2）掌握用一元一次方程解决实际问题的基本思路和步骤.
3.学习重、难点：
重点：用一元一次方程解决实际问题的思路和步骤.
难点：正确分析实际问题中的数量关系和相等关系.
二、分层学习
第一层次学习
1.自学指导:
（1）自学内容：教材第100页例1.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学要求：认真阅读例题条件，理解配套的含义，从而思考生产的螺钉数和螺母数应满足的数量关系.
（4）自学参考提纲：
①依题意，“每天生产的螺钉和螺母刚好配套”，说明每天生产的螺钉数量与螺母数量是什么关系？这种关系就是该问题中列方程所需的等量关系.
答案：每天生产的螺母数是螺钉数的2倍.
②课本的解法是“设安排x名工人生产螺钉”，再列出方程，求得答案的，你能否“设安排x名工人生产螺母”来解答本例题？比较一下，两种解法最终结果相同吗？
答案：2000x=2×1200×(22-x)，
解得x=12，22-12=10，最终结果相同.
2.自学：同学们结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：教师深入课堂巡视，了解学生的自学情况，发现并收集自学时存在的问题.
②差异指导：引导学习小组相互帮教学困生，然后对小组学习中共同的疑难问题进行点拨引导.
（2）生助生：学生相互交流帮助解决疑难.
4.强化：
（1）这类问题中“配套”物品之间隐含有一定的等量关系，一般作为列方程的依据.
（2）练习：一套仪器由一个A部件和三个B部件构成.用1
m3钢材可做40个A部件或240个B部件，现要用6
m3钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好配成这种仪器多少套？
解：设应用x
m3钢材做A部件，则做B部件的钢材为（6-x）
m3,根据“一套仪器由一个A部件和三个B部件构成”列方程为：3×40x=(6-x)×240.
解得x=4,6-4=2
(m3),40×4=160（套）.
答：应用4
m3钢材做A部件，2
m3钢材做B部件，恰好配成这种仪器160套.
第二层次学习
1.自学指导:
（1）自学内容：教材第100页例2.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学要求:
①回顾并思考：工程问题有哪些基本关系量，它们的含义分别是什么？它们之间又有什么数量关系？
②思考如何设未知数，列出方程.
（4）自学参考提纲：
①“工程问题”中：
a.通常把全部工作量表示为“1”；
b.工作效率是指单位时间内完成的工作量，如：如果一件工作需要n小时完成，那么其工作效率就是；人均效率是指单位时间内每个人完成的工作量.如：如果一件工作需要m个人用n小时完成，那么人均效率就是；
c.计算工作量的基本公式是：工作量=人均效率×人数×时间.
②a.在例2中，由条件可知人均效率为，如果设先安排工作的人数为x人，那么这部分人做4h完成的工作量可表示为，再增加2人与前面这些人一起工作8h完成的工作量又可表示为.
b.本题的等量关系是：两部分的工作量之和等于总工作量，于是列出的方程为+=1.
③通过例1、例2的学习，请同学们思考并相互交流一下：用一元一次方程解实际问题的基本过程是什么？包括哪些步骤？
设、列、解、检、答.
2.自学：同学们可结合自学指导进行学习.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：教师深入课堂关注学生是否理解了例2的分析思路和解题过程.
②差异指导：针对大多数学生自学中出现的共性问题进行集体指导，针对个别学生自学中出现的个性问题进行个别指导.
（2）生助生：学生相互交流帮助.
4.强化：
（1）与工作量有关的数量关系.
（2）用一元一次方程解决实际问题的基本过程如图所示：
（3）这一过程包括的步骤.
（4）练习：
一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天，如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？
解：设x天可以铺好这条管线，由题意得+=1.
解得x=8.即8天可以铺好这条管线.
三、评价
1.学生的自我评价：请学生代表介绍自己在这节课的学习中做了些什么？收获如何？有哪些不足之处？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：对同学们在本节课的学习态度和学习方法以及成果进行点评.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）：
本课时的内容主要是结合前面所学内容解决实际问题，所以教学时教师应给予学生充分的独立思考空间，注重与学生进行互动.引导学生找出等量关系，因为这是列方程解应用题的关键所在.此外，考虑到这是第1课时，所以教学时应注意让学生总结解决实际问题的步骤，让学生养成规范化解题和答题的习惯.
课后针对性练习
一、基础巩固
1.（30分）甲队有32人，乙队有28人，现从乙队抽调x人到甲队，使甲队人数是乙队人数的2倍，依题意，列出的方程是32+x=2(28-x).
2.（30分）制作一张桌子要用一个桌面和4条桌腿，1
m3木材可制作20个桌面，或者制作
400条桌腿，现有12
m3木材，应怎样安排用料才能制作尽可能多的桌子？
解：设计划用x
m3的木材制作桌面，（12-x）
m3的木材制作桌腿.
根据题意，得4×20x=400(12-x)，解得x=10.12-x=12-10=2.
∴计划用10
m3的木材制作桌面，2
m3的木材制作桌腿.
二、综合应用
3.（30分）整理一批数据，由一人做需80
h完成，现计划先由一些人做2
h，再增加5人做8
h，完成这项工作的34，怎样安排参与整理数据的具体人数.
解：设先由x人做2
h.
则×2+×8=，
解得x=2，x+5=7（人）
答：先安排2人做2
h，再由7人做8
h就可以完成这项工作的.
三、拓展延伸
4.（10分）某糕点厂中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒中装2块大月饼和4块小月饼，制作1块大月饼要用面粉0.05
kg，制作1块小月饼要用面粉0.02
kg，现共有面粉4500
kg，制作两种月饼应各用多少面粉，才能生产最多的盒装月饼？
