数学活动
——构建一元一次方程模型解决实际问题
一、新课导入
1.活动导入：
本节课通过以下两个数学活动，学会关注实际生活中隐含的数学问题，并经历建立一元一次方程模型解决问题的过程，提高分析问题、解决问题的能力，增强应用数学的意识.
2.活动目标：
（1）经历建立一元一次方程模型并应用它解决实际问题的过程，提高分析问题和解决问题的能力.
（2）通过动手实验与动脑分析相结合发现规律，增强创新精神和用数学的意识.
3.活动重、难点：
分析问题中的数量关系建立一元一次方程模型.
4.活动材料：
一根质地均匀的木杆，一段细绳，一些质量相等的砝码、刻度尺.
二、活动过程
活动1探究增长率问题
1.活动指导：
（1）活动内容：教材第109页活动1.
（2）活动时间：6分钟.
（3）活动方法：弄清楚资料中相关数据的含义，思考如何建立出一元一次方程.
（4）活动参考提纲：
①去年相较于前年的人均收入增长率是如何计算得来的？其数学表达式是：增长率=(去年人均收入-前年人均收入)÷前年人均收入，变形为：去年人均收入=前年人均收入×（1+增长率）
②设山水市前年人均收入为x元，依据上面①中关系式和已知条件可列出方程：x(1+8%)=11664.
③由已知条件可知去年价格上涨率为1.5%，那么，如何设未知数列出方程求得去年售价为1000元的商品在前年的售价是多少呢？
设去年售价为1000的商品在前年的售价是x元.
则x·（1+1.5%）=1000.解得x≈985.22.
④解方程求得原问题答案.
2.自学：同学们可结合自学指导自主学习.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：教师巡视课堂，关注学生是否弄清相关数据的含义，尤其是增长率的表达式.
②差异指导：对学习有困难的学生，教师要结合生活实际从他们熟悉的事例中启发诱导他们弄清楚相关数据之间的关系，进而设未知数列出方程.
（2）生助生：小组内相互交流研讨，互帮互学.
4.强化：
（1）小组选派代表展示活动成果.
（2）教师强调：增长率=变化量/原有量×100%，变化量=现有量－原有量.
活动2探究杠杆平衡问题
1.活动指导：
（1）活动内容：教材第109页活动2.
（2）活动时间：10分钟.
（3）活动方法：按要求动手实验，动脑思考，总结规律.
（4）活动参考提纲：
①按要求动手实验，测量并记录下相关数据：
②分析上表记录下的实验数据，你能发现什么规律？
支点左端悬挂重物数×平衡时左端重物到支点的距离=支点右端悬挂重物数×平衡时右端重物到支点的距离.
③按照你所发现的规律，列出本活动中最后面问题中的一元一次方程，并求出它的解.
2.自学：同学们可结合自学指导，小组内相互合作，交流解决相关问题.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：教师巡视课堂，了解学生实验时是否态度端正、严谨，能否从实验数据中发现蕴藏的规律.
②差异指导：根据学情有针对性地进行指导、点拨.
（2）生助生：小组内相互合作、交流、探讨，共同解决问题.
4.强化：
(1)杠杆平衡条件：动力×动力臂=阻力×阻力臂.
（2）如何解字母系数的方程.
三、评价
1.学生的自我评价：反思活动过程，自评活动中的表现，自查问题，总结取得的收获.
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：根据活动表现，学习态度和完成情况对学生进行点评.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）：
本课时为数学活动课，教学时以学生自学为主，教师引导为辅，让学生真正参与到活动中并能有所收获.对于活动一，部分学生在对两个增长率的认识上有一定困难，可通过同学间的交流研讨或教师提醒予以帮助.活动二如果放在物理学中，很容易解决，但对七年级的学生来说，杠杆平衡问题涉及的一元一次方程模型还是有一定难度，两个活动的核心都体现在了模型建立上，所以在教学过程中引导学生不要以解决问题为目的，要以从活动中建立数学模型并掌握建立模型的思考方法为目的，这样活动课才有意义.
针对性练习
一、基础巩固
1.（20分）某书店把一本新书按标价的九折出售，仍可获利20%，若该书的进价为21元，则标价为（C)
A.26元
B.27元
C.28元
D.29元
2.（20分）为了解决老百姓看病难的问题，卫生部门决定大幅度降低药品价格，某种常用药品降价40%后的价格为a元，则降价前此药品的价格为（B)
A.a元
B.
a元C.40%·a元D.60%·a元
3.（20分）某学校在对口援助边远山区学校活动中，原计划赠书3000册，由于学生的积极响应，实际赠书3780册，其中初中部比原计划多赠了20%，高中部比原计划多赠了30%，问该校初、高中部原计划各赠书多少册？
解：设初中计划赠书x册，则高中部计划赠书（3000-x）册.
由题意列出方程：x(1+20%)+(3000-x)(1+30%)=3780
解得x=1200
，3000-x=1800(册).
答：初中部原计划赠书1200册，高中部原计划赠书1800册.
二、综合应用
4.（20分）用一根长60
cm的铁丝围成一个长方形.
（1）若长方形的宽是长的23，此时长方形的面积是多少？
（2）若长方形的宽比长少4
cm，此时长方形面积是多少？
（3）若围成的是一个正方形，此时正方形面积是多少？
（4）比较（1）、（2）、（3）中的面积关系，你能归纳出什么规律？
解：（1）设长为x
cm，则宽为23x
cm.
由题意（x+x）×2=60.
解得x=18,
x=12.
长方形的面积为18×12=216（cm2）.
（2）设长为y
cm，则宽为（y-4）
cm.
由题意（y+y-4）×2=60.
解得y=17,y-4=13.
长方形的面积为17×13=221（cm2）.
（3）设正方形边长为z
cm.
由题意4z=60.解得z=15.
正方形的面积为15×15=225（cm2）.
（4）周长一定时，长方形的长与宽相差越小，面积越大，当长与宽相等即为正方形时，面积最大.
三、拓展延伸
5.（20分）“丰收1号”油菜籽平均每公顷产量为2400
kg，含油率为40%，“丰收2号”油菜籽比“丰收1号”平均每公顷产量提高了300
kg，含油率提高了10个百分点，某村去年种植“丰收1号”油菜，今年改种“丰收2号”油菜，虽然种植面积比去年减少3公顷，但是所产油菜籽的总产油量比去年提高3750
kg，这个村去年和今年种植油菜的面积各是多少公顷？
解：设这个村今年种植油菜的面积是x
hm2，去年种植油菜的面积是（x+3）
hm2，则去年种植“丰收1号”油菜的产油量为2400×40%×（x+3）.今年种植“丰收2号”油菜的产油量为（2400+300）×（40%+10%）x.
根据题意得2400×40%×（x+3）=(2400+300)×(40%+10%)x-3750.
化简得960（x+3）=2700×0.5x-3750.
去括号得960x+2880=1350x-3750.移项、合并同类项，得-390x=-6630.系数化为1，得x=17.
x+3=17+3=20.
答：这个村去年种植油菜的面积是20
hm2，今年种植油菜的面积是17
hm2.章末复习
一、复习导入
1.导入课题：
同学们，学完本章内容后，你对本章的知识结构和知识要点以及知识运用等方面掌握得怎么样？还有哪些疑点？下面大家一起来走进本章的小结复习课堂，进行查漏补缺，完善本章的知识体系.
2.复习目标：
（1）通过对本章的复习和小结，形成完整的知识结构.
（2）通过对本章的复习和小结，熟练掌握解一元一次方程的基本思路和步骤.
（3）通过本章小结，学会运用方程思想和方法解决一些简单的实际问题.
3.学习重、难点：
重点：一元一次方程的解法.
难点：一元一次方程的应用.
二、分层复习
第一层次复习
1.复习指导：
（1）复习内容：教材第110页到第111页的内容.
（2）复习时间：5～8分钟.
（3）复习方法：阅读课本内容，通过回顾本章的知识展开过程，熟悉本章的知识点及运用.
（4）复习参考提纲：
①回顾本章知识展开顺序，完成下列填空：
②一元一次方程的解法：(填表).
③用一元一次方程解决实际问题的基本过程是：
这一过程包括设、列、解、检、答等步骤.正确分析问题中的相等关系是列方程的基础和关键.
④方程和等式是什么关系？一元一次方程的基本特点是什么？
方程一定是等式，等式不一定是方程.只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式.
⑤你对本章知识目标还有哪些疑难？请相互交流探讨.
2.自主复习：学生可结合复习指导进行复习.
3.互助复习：
（1）师助生：
①明了学情：教师深入课堂巡视了解学生的知识点梳理情况，倾听学生讨论的问题.收集学情信息，以便进行指导.
②差异指导：引导学生相互提问来检验知识掌握情况，促进记忆和理解，对重点复习的环节和共性疑点进行点拨引导.
（2）生助生：学生之间相互交流解疑.
4.强化复习：
（1）知识结构图.
（2）重要知识点.
（3）解一元一次方程的一般步骤.
（4）列方程解决实际问题的基本过程.
第二层次复习
1.复习指导:
（1）复习内容：典例分析.
（2）复习时间：8分钟.
（3）复习方法：按例题的分析引导，积极思考，然后尝试求解.
（4）复习参考提纲：
例1：已知x=－1是方程ax3＋bx－3=2的解，则当x=1时，求代数式ax3＋bx－3的值.
分析：根据方程解的意义，将x=－1代入方程中，然后比较所求的代数式可求值.
解：将x=-1代入方程a(-1)3+b(-1)-3=2,即a+b=-5.
当x=1时，原式=a·12+b·1-3=a+b-3=-8.
例2：在“五一”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话(如图)试根据图中信息，解答下列问题：
①小明他们一共去了几个成人，几个学生？
8个成人，4个学生.
②请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？说明理由.
分析：a.设成人的人数为x，则学生人数为12-x，根据总共的票价可列出方程：35x+17.5（12-x）=350.
b.算一算团体票的最少费用，再比较它与350的大小.
解：购买团体票，共需要花费的费用：35×16×0.6=336（元）＜350元.
答：买团体票便宜.
2.自主复习：同学们在自学指导下进行学习，力求独立求解，若有困难，可请教他人或相互协作完成.
3.互助复习：
（1）师助生：
①明了学情：教师深入课堂了解学生的学习进度，遇到的困难和出现的问题.
②差异指导：根据学情进行相应指导.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨，互帮互学.
4.强化复习：
（1）各小组展示学习成果，得出例题的规范解答.
（2）练习：
三、评价
1.学生的自我评价：谈谈自己在本章复习小结学习中的态度、方法和成效.
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：教师从总体和个体两个方面对学生在学习中的态度、学法和成效等进行总结.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）：
本课时的复习目的是使学生进一步系统掌握方程知识，学会用一元一次方程解决实际问题的基本技能和基本方法，进一步提高综合应用数学知识、灵活地分析和解决问题的能力.要抓住应用问题的基本类型和一般等量关系，利用知识间的联系加强理解，便于实际应用，提高计算能力.
针对性练习
一、基础巩固
1.（10分）已知4x2n－5+5=0
是关于x
的一元一次方程，则n
＝3.
2.（10分）当x＝时，代数式x－1
和的值互为相反数.
3.（10分）某商品的进价是1000元，售价为1500元，由于销售情况不好，商场决定降价出售，但又要保证利润不低于15%，那么商场最多降350元出售此商品.
4.（10分）对方程[－(2x－3)]=
变形，第一步较好的方法是（A）
A.去分母
B.去括号
C.移项
D.合并同类项
5.（10分）为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过7立方米，则按每立方米1元收费，若每月用水超过7立方米，则超过部分按每立方米2元收费.如果某用户今年5月缴纳17元水费，那么这户居民今年5月份的用水量为12立方米.
二、综合应用
7.（20分）小刚和小强从A、B两地同时出发，小刚骑自行车，小强步行，沿同一条路线相向匀速而行，出发后2
h两人相遇，相遇时小刚比小强多行进24
km，相遇后0.5
h小刚到达B地，两人的行进速度分别是多少？相遇后经过多少时间小强到达A地？
解：设相遇时小强行进的路程为x
km，小刚行进的路程为（x+24）
km，小强行进的速度为
km/h，小刚行进的速度为km/h.
三、拓展延伸
8.（10分）甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出了不同优惠方案：在甲超市累计购买商品超过300元后，超过部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超过200元后，超出部分按原价8.5折优惠，若顾客累计购买商品x(x≥300)
元.
（1）用含x
的式子分别表示顾客在甲、乙两家超市的费用.
（2）当x为多少时，两家超市费用一样多.
（3）当x＝500时，选择哪家超市优惠？说明理由.
（4）当x＝1000时，选择哪家超市优惠？说明理由.
解：（1）甲家：300+0.8×（x-300）=0.8x+60乙家：200+0.85（x-200）=0.85x+30
（2）0.8x+60=0.85x+30解得：x=600.
(3)选择乙家比较优惠
甲：300+0.8×（500-300）=460（元）;
乙：200+0.85×（500-200）=455（元）
∴选乙家.
（4）选择甲家比较优惠.
甲：300+0.8×（1000-300）=860（元）;
乙：200+0.85×（1000-200）=880（元）
∴选甲家.
