江苏省连云港市2019-2020学年高一下学期期末调研考试数学试题（word解析版）

江苏省连云港市2019～2020学年第二学期高一年级期末调研考试
数学试题
2020．7
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．＝
A．
B．
C．
D．
2．不等式的解集是
A．(，)
B．(，)(，)
C．(，)
D．(，)(，)
3．若从甲，乙，丙，丁4位同学中选出3名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是
A．
B．
C．
D．
4．某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄
之间的关系，将该校不小于35岁的80名教师
按年龄分组，分组区间为[35，40)，[40，45)，
[45，50)，[50，55)，[55，60]，由此得到频率
分布直方图如图，则这80名教师中年龄小于45
岁的人数有
第4题
A．45
B．46
C．48
D．50
5．过圆x2＋y2＝5上一点M(﹣1，2)作圆的切线l，则l的方程是
A．
B．
C．
D．
6．两条平行直线6x﹣4y＋5＝0与y＝x的距离是
A．
B．
C．
D．
7．如图，在三棱锥S—ABC中，SB＝SC＝AB＝AC＝BC＝4，SA
＝，则异面直线SB与AC所成角的余弦值是
A．
B．
C．
D．
第7题
8．圆的圆心为C，直线l过点(0，3)且与圆C交于A，B两点，若△ABC的面积为，则满足条件的直线l的条数为
A．1
B．2
C．3
D．4
二、?多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，?共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品1件，现从中任取2件，则下列说法正确的是
A．两件都是一等品的概率是
B．两件中有1件是次品的概率是
C．两件都是正品的概率是
D．两件中至少有1件是一等品的概率是
10．关于异面直线a，b，下列四个命题正确的有
A．过直线a有且仅有一个平面，使b⊥
B．过直线a有且仅有一个平面，使b∥
C．在空间存在平面，使a∥，?b∥
D．在空间不存在平面，使a⊥，b⊥
11．正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，若线段MN的最小值为，则
A．正方体的外接球的表面积为
B．正方体的内切球的体积为
C．正方体的棱长为1
D．线段MN的最大值为
12．瑞士著名数学家欧拉在1765?年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作△ABC，AB＝AC＝4，点B(﹣1，3)，点C(4，﹣2)，且其“欧拉线”与圆M：相切，则下列结论正确的是
A．圆M上点到直线x﹣y＋3＝0的最小距离为
B．圆M上点到直线x﹣y＋3＝0的最大距离为
C．若点(x，y)在圆M上，则x＋y的最小值是3﹣
D．圆与圆M有公共点，则a取值范围是[，]
三、填空题（本大题共4小题，?每小题5分，共计20分．其中第16题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，?每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．已知两点A(3，2)，B(8，12)，则直线AB的一般式方程为
．
14．用半圆形纸片卷成一个圆锥筒，该圆锥筒的高为，则半圆形纸片的半径为
．
15．设cosx＝t，用t的代数式表示cos2x＝
，用t的代数式表示cos3x＝
．
16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且满足a2﹣(b﹣c)2＝S，b＋c＝2，则S的最大值是
．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，b＝1，S△ABC＝．
（1）求c的值；
（2）求sinC的值．
18．（本小题满分12分）
已知tan(＋)＝，tan＝﹣2．
（1）求tan；
（2）求sin2．
19．（本小题满分12分）
已知函数（其中aR）．
（1）当a＝﹣1时，解关于x的不等式；
（2）若的解集为R，求实数a的取值范围．
20．（本小题满分12分）
如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，求证：
（1）BD1∥平面EAC；
（2）平面EAC⊥平面AB1C．
21．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2＋y2＋4x﹣2ay＋a2＝0．
（1）若圆C与x轴相切，求实数a的值；
（2）若M，N为圆C上不同的两点，过点M，N分别作圆C的切线l1，l2，若l1与l2相交于点P，圆C上异于M，N另有一点Q，满足∠MQN＝60°，若直线l：x﹣y﹣6＝0上存在唯一的一个点T，使得，求实数a的值．
22．（本小题满分12分）
已知梯形ABCD中，AB＝1，∠A＝60°，∠ABC＝90°，∠CBD＝45°，如图（1）所示．现将△ABC沿边BC翻折至△A′BC，记二面角A′—BC—D的大小为．
（1）当＝90°时，如图（2）所示，过点B作平面与A′D垂直，分别交A′C，A′D于点E，F，求点E到平面A′BF的距离；
（2）当＝30°时，如图（3）所示，求二面角A′—CD—B的正切值．
江苏省连云港市2019～2020学年第二学期高一年级期末调研考试
数学试题
2020．7
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．＝
A．
B．
C．
D．
答案：C
考点：二倍角的余弦公式
解析：，故选C．
2．不等式的解集是
A．(，)
B．(，)(，)
C．(，)
D．(，)(，)
答案：B
考点：一元二次不等式
解析：∵，∴或，故选B．
3．若从甲，乙，丙，丁4位同学中选出3名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是
A．
B．
C．
D．
答案：D
考点：古典概型
解析：P＝，故选D．
4．某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄
之间的关系，将该校不小于35岁的80名教师
按年龄分组，分组区间为[35，40)，[40，45)，
[45，50)，[50，55)，[55，60]，由此得到频率
分布直方图如图，则这80名教师中年龄小于45
岁的人数有
第4题
A．45
B．46
C．48
D．50
答案：C
考点：频率分布直方图
解析：，故选C．
5．过圆x2＋y2＝5上一点M(﹣1，2)作圆的切线l，则l的方程是
A．
B．
C．
D．
答案：B
考点：圆的切线方程
解析：根据切线方程公式可得切线方程为，即，故选B．
6．两条平行直线6x﹣4y＋5＝0与y＝x的距离是
A．
B．
C．
D．
答案：D
考点：两平行直线间的距离公式
解析：根据两平行间的距离公式可得，故选D．
7．如图，在三棱锥S—ABC中，SB＝SC＝AB＝AC＝BC＝4，SA
＝，则异面直线SB与AC所成角的余弦值是
A．
B．
C．
D．
第7题
答案：A
考点：异面直线所成的角
解析：取AB、BC、SC、SA的中点分别为D、E、F、G，
则∠EFG就是异面直线SB与AC所成的角或补角，
首先可判断出三角形SAE是等边三角形，求得三角形SAE高EG＝3，
FG＝FE＝2，
所以，
故异面直线SB与AC所成角的余弦值是，故选A．
8．圆的圆心为C，直线l过点(0，3)且与圆C交于A，B两点，若△ABC的面积为，则满足条件的直线l的条数为
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：D
考点：直线与圆相交
解析：圆化为标准方程为，
则，∴∠ACB＝60°或120°，
故圆心到直线AB的距离为1或，当l斜率不存在时，符合题意，
当l斜率为k时，设直线为，1或，
解得k＝，或，综上所述，共有4条，故选D．
二、?多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，?共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品1件，现从中任取2件，则下列说法正确的是
A．两件都是一等品的概率是
B．两件中有1件是次品的概率是
C．两件都是正品的概率是
D．两件中至少有1件是一等品的概率是
答案：BD
考点：几何概型
解析：两件都是一等品的概率，故A错误；两件中有1件是次品的概率为，故B正确；
两件都是正品的概率是，故C错误；两件中至少有1件是一等品的概率是，故D正确．故选BD．
10．关于异面直线a，b，下列四个命题正确的有
A．过直线a有且仅有一个平面，使b⊥
B．过直线a有且仅有一个平面，使b∥
C．在空间存在平面，使a∥，?b∥
D．在空间不存在平面，使a⊥，b⊥
答案：BCD
考点：空间中的位置关系
解析：当直线a⊥b，过直线a有无数个平面，能使b⊥，故A错误；
异面直线a，b，过直线a有且仅有一个平面，使b∥，故B正确；
异面直线a，b，在空间存在平面，使a∥，?b∥，故C正确；
如果a⊥，b⊥，则a∥b，即直线a，b共面，反之异面直线a，b，在空间不存在平面，使a⊥，b⊥故D正确．故选BCD．
11．正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，若线段MN的最小值为，则
A．正方体的外接球的表面积为
B．正方体的内切球的体积为
C．正方体的棱长为1
D．线段MN的最大值为
答案：AD
考点：正方体的外接球与内切球
解析：设正方体棱长为a，则，解得a＝2，
正方体外接球半径为，内切球半径为1，
正方体外接球表面积为，故A正确；
内切球体积为，故B错误；
正方体的棱长为2，故C错误；
线段MN的最大值为，故D正确．故选AD．
12．瑞士著名数学家欧拉在1765?年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作△ABC，AB＝AC＝4，点B(﹣1，3)，点C(4，﹣2)，且其“欧拉线”与圆M：相切，则下列结论正确的是
A．圆M上点到直线x﹣y＋3＝0的最小距离为
B．圆M上点到直线x﹣y＋3＝0的最大距离为
C．若点(x，y)在圆M上，则x＋y的最小值是3﹣
D．圆与圆M有公共点，则a取值范围是[，]
答案：ACD
考点：与圆有关的位置关系
解析：取BC中点D(，)，，，故直线AD为x﹣y﹣1＝0，
故，求得圆心M到直线x﹣y＋3＝0的距离为，
故圆M上点到直线x﹣y＋3＝0的最小距离为，最大距离为，所以A正确，B错误；
设，，则
，
则x＋y的最小值是3﹣，故C正确；
，解得，故D正确．故选ACD．
三、填空题（本大题共4小题，?每小题5分，共计20分．其中第16题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，?每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．已知两点A(3，2)，B(8，12)，则直线AB的一般式方程为
．
答案：
考点：直线的两点式、一般式
解析：，化为一般式为．
14．用半圆形纸片卷成一个圆锥筒，该圆锥筒的高为，则半圆形纸片的半径为
．
答案：2
考点：圆锥的侧面展开图
解析：半圆形纸片做成的圆锥，母线是底面半径的2倍，由于圆锥筒的高为，故半圆形纸片的半径为2．
15．设cosx＝t，用t的代数式表示cos2x＝
，用t的代数式表示cos3x＝
．
答案：，
考点：三角恒等变换
解析：，
．
16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且满足a2﹣(b﹣c)2＝S，b＋c＝2，则S的最大值是
．
答案：
考点：余弦定理，解三角形
解析：，
化简得，又，
解得（舍），或，则，
，
当b＝1时，S有最大值为．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，b＝1，S△ABC＝．
（1）求c的值；
（2）求sinC的值．
解：（1）在中，，
所以，所以；
（2）在中，由余弦定理得：
所以，所以，
在中，由正弦定理得：，
所以．
18．（本小题满分12分）
已知tan(＋)＝，tan＝﹣2．
（1）求tan；
（2）求sin2．
解：（1），
因为，，所以
（2），
因为，所以
19．（本小题满分12分）
已知函数（其中aR）．
（1）当a＝﹣1时，解关于x的不等式；
（2）若的解集为R，求实数a的取值范围．
解：（1）当时，由得，，
所以，所以不等式的解集为；
（2）因为解集为，所以在恒成立，
当时，得，不合题意；
当时，由在恒成立，
得，
所以
20．（本小题满分12分）
如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，求证：
（1）BD1∥平面EAC；
（2）平面EAC⊥平面AB1C．
证明：（1）连接BD交AC与O，连接OE，
因为O是BD中点，是棱的中点，
所以OE∥BD1，又BD1平面，OE?平面，
所以∥平面；
（2）方法一：连接,设正方体边长为1
在△中,,是中点，得,同理,故为所成二面角的平面角,
在△中,,,
得
故
故平面平面
法二：连接,在正方体中，
面，面,得
是正方形，得,又,
得面,面,故
∥得，
在△中,,是中点，得
又,得面，平面
故平面平面.
21．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2＋y2＋4x﹣2ay＋a2＝0．
（1）若圆C与x轴相切，求实数a的值；
（2）若M，N为圆C上不同的两点，过点M，N分别作圆C的切线l1，l2，若l1与l2相交于点P，圆C上异于M，N另有一点Q，满足∠MQN＝60°，若直线l：x﹣y﹣6＝0上存在唯一的一个点T，使得，求实数a的值．
解：（1）圆的方程可以化为：，
所以圆心，半径为2,
因为圆与轴相切，所以，所以
（2）因为点在圆上，且，
所以，
因为分别是圆的切线，
所以，即点在以为圆心，为半径的圆上，
所以点的轨迹方程为，
设，，
由得，
所以，即，所以，
因为直线上一存在唯一点，使得，
所以只有一组解，
所以，所以
22．（本小题满分12分）
已知梯形ABCD中，AB＝1，∠A＝60°，∠ABC＝90°，∠CBD＝45°，如图（1）所示．现将△ABC沿边BC翻折至△A′BC，记二面角A′—BC—D的大小为．
（1）当＝90°时，如图（2）所示，过点B作平面与A′D垂直，分别交A′C，A′D于点E，F，求点E到平面A′BF的距离；
（2）当＝30°时，如图（3）所示，求二面角A′—CD—B的正切值．
解：（1）因为平面平面，平面平面，
，平面，
所以平面，又平面，所以，
因为，，所以
又，，
所以，又，所以，
在中，，
又，，，
所以，又，所以，
在中，，所以，
在中，，
设点到平面的距离为，因为，所以，
所以；
（2）过点作直线//，过作交于点．因为，所以，又因为，所以就是二面角的平面角，
所以，因为，所以，
过点作交于点，连接，
因为，，，所以，
又，所以
又因为，，
所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以是二面角的平面角，
在中，，
所以二面角的正切值为．
2