人教版2020年春数学九年级下册 26．1．2反比例函数的图象和性质课件（共41张PPT）

(共41张PPT)
26.1.2
反比例函数的图象和性质
反比例函数的图象和性质的综合运用
人教版数学九年级上册
3.
深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法。
1.
理解反比例函数的系数
k
的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中。
2.能解决反比例函数与一次函数的综合问题。
学习目标
已知反比例函数的图象经过点A(2，6).
(1)这个函数的图象分布在哪些象限?
y随x的增大如何变化?
(2)点B(3，4)、C(
）和D（2，5）是否在这个
函数的图象上？
新知一
利用待定系数法确定反比例函数解析式
解：（1）因为点A（2,6）在第一象限，所以这个函数的图象在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小。
探究新知
解：（2）设这个反比例函数的解析式为
，
因为点A
(2，6)在其图象上，所以有
，
解得
k
=12.
因为点
B，C
的坐标都满足该解析式，而点D的坐标不满足，所以点
B，C
在这个函数的图象上，点
D
不在这个函数的图象上.
所以反比例函数的解析式为
.
方法总结：已知反比例函数图象上一点，可以根据坐标确定点所在的象限，然后确定反比例函数的性质.或用待定系数法求出反比例函数的解析式，再判断图象性质；要判断所给的点是否在该图象上，可以将其坐标代入求得的反比例函数解析式中，若满足左边＝右边，则在；若不满足左边＝右边，则不在．
【讨论】已知反比例函数图象上的一点,如何确定其图象的性质?以及所给的点是否在该图象上?
1.已知反比例函数
的图象经过点
A
(2，3)．
(1)
求这个函数的表达式；
解：∵
反比例函数
的图象经过点
A(2，3)，
∴
把点
A
的坐标代入表达式，得
，
　　
解得
k
=
6.
∴
这个函数的表达式为
.
　　
巩固练习
(2)
判断点
B
(－1，6)，C(3，2)
是否在这个函数的图象上，并说明理由；
解：分别把点
B，C
的坐标代入反比例函数的解析式，因为点
B
的坐标不满足该解析式，点C的坐标满足该解析式，所以点
B
不在该函数的图象上，点C
在该函数的图象上．
(3)
当
－3<
x
<－1
时，求
y
的取值范围．
解：∵
当
x
=
－3时，y
=－2；
当
x
=
－1时，y
=－6，且
k
>
0，
∴
当
x
<
0
时，y
随
x
的增大而减小，
∴
当
－3
<
x
<
－1
时，－6
<
y
<
－2.
解：（１）反比例函数图象的分布只有两种可能，分布在第一、第三象限，或者分布在第二、第四象限.这个函数的图象的一支在第一象限，则另一支必在第三象限．
∵函数的图象在第一、第三象限，
∴　m－５＞０，
解得
m＞５．　
如图是反比例函数
的图象一支，根据图象回答下列问题
：
（1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是什么？
（2）在这个函数图象的某一支上任取点A（a，b）和B（a′，b′），如果a>a′，那
么b和b′有怎样的大小关系？
新知二
反比例函数的综合性题目
（２）∵m－５＞０，在这个函数图象的任一支上，y随x的增大而减小，
∴当a＞a′时，b＜b′．
探究新知
【思考】根据反比例函数的部分图象，如何确定其完整图象的位置以及比例系数的取值范围?
注：由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内，因此函数y随x的增减性就不能连续的看，一定要强调“在每一象限内”，否则，笼统说k＜0时，y随x的增大而增大，从而出现错误.
2.
如图，是反比例函数
的图象的一个分支，对于
给出的下列说法：
①常数k的取值范围是
；
②另一个分支在第三象限；
③在函数图象上取点
和
，
当
时，
；
④在函数图象的某一个分支上取点
和
，
当
时，
．
其中正确的是____________（在横线上填出正确的序号）．
①
②
④
O
x
y
巩固练习
在反比例函数
的图象上分别取点P，Q
向
x
轴、y
轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写下页表格：
新知三
反比例函数中k的几何意义
探究新知
5
1
2
3
4
－1
5
x
y
O
P
S1
S2
P
(2，2)
Q
(4，1)
S1的值
S2的值
S1与S2的关系
猜想
S1，S2
与
k的关系
4
4
S1=S2
S1=S2=k
－5
－4
－3
－2
1
4
3
2
－3
－2
－4
－5
－1
Q
S1的值
S2的值
S1与S2的关系
猜想与k
的关系
P
(－1，4)
Q
(－2，2)
若在反比例函数
中也用同样的方法分别取
P，Q
两点，填写表格：
4
4
S1=S2
S1=S2=－k
y
x
O
P
Q
S1
S2
由前面的探究过程，可以猜想：
若点P是
图象上的任意一点，作
PA
垂直于
x
轴，作
PB
垂直于
y
轴，矩形AOBP
的面积与k的关系是S矩形
AOBP=|k|.
y
x
O
P
S
我们就
k
<
0
的情况给出证明：
设点
P
的坐标为
(a，b)
A
B
∵点
P
(a，b)
在函数
的图
象上，
∴
，即
ab=k.
∴
S矩形
AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k；
若点
P
在第二象限，则
a<0，b>0，
若点
P
在第四象限，则
a>0，b<0，
∴
S矩形
AOBP=PB·PA=a·
(－b)=－ab=－k.
B
P
A
综上，S矩形
AOBP=|k|.
自己尝试证明
k
>
0的情况.
点
Q
是其图象上的任意一点，作
QA
垂直于
y
轴，作
QB
垂直于x
轴，矩形AOBQ
的面积与
k
的关系是
S矩形AOBQ=
.
推理：△QAO与△QBO的面积和
k
的关系是
.
Q
对于反比例函数
，
A
B
|k|
y
x
O
反比例函数的面积不变性
3.如图，点B在反比例函数
(x>0）的图象上，横坐标是1，过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂足为A、C，则矩形OABC的面积为（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
B
巩固练习
例1
如图，点A在反比例函数
的图象上，AC垂直
x
轴于点C，且
△AOC
的面积为2，求该反比例函数的表达式．
解：设点
A
的坐标为(xA，yA)，
∵点A在反比例函数
的图象上，∴
xA·yA＝k，
∴反比例函数的表达式为
考点探究1
通过图形面积确定k的值
∴
，∴
k＝4，
探究新知
4.如图所示，过反比例函数
（x>0）的图象上一点A，作AB⊥x轴于点B，连接AO.若S△AOB=3,则k的值为（
）
A.4
B.5
C.6
D.7
C
巩固练习
例2
如图，P，C是函数
(x>0)图象上的任意两点，PA，CD
垂直于x
轴.
设△POA
的面积为S1，则
S1
=
；梯形CEAD
的面积为
S2，则
S1
与
S2
的大小关系是
S1
S2；
△POE
的面积
S3
和
S2
的大小
关系是S2
S3.
2
S1
S2
＞
＝
S3
考点探究2
利用k的性质判断图形面积的关系
探究新知
A.
SA
>SB>SC
B.
SAC.
SA
=SB=SC
D.
SA5.
如图，在函数
(x＞0)的图象上有三点A，B
，C，过这三点分别向
x
轴、y
轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、
y轴围成的矩形的面积分别为SA
，SB，SC，则
(
)
y
x
O
A
B
C
C
巩固练习
y
D
B
A
C
x
例3
如图，点
A
是反比例函数
(x＞0)的图象上任意一点，AB//x
轴交反比例函数
(x＜0)
的图象于点
B，以
AB
为边作平行四边形
ABCD，其中点
C，D
在
x
轴上，则
S四边形ABCD
=___.
3
2
5
?
考点探究3
根据k的几何意义求图形的面积
方法总结：解决反比例函数有关的面积问题，可以把原图形通过切割、平移等变换，转化为较容易求面积的图形.
探究新知
6.
如图，函数
y＝－x
与函数
的图象相交于A，B
两点，过点
A，B
分别作
y
轴的垂线，垂足分别为C，D，则
四边形ACBD的面积为
(
)
A.
2
B.
4
C.
6
D.
8
D
y
x
O
C
A
B
D
4
4
巩固练习
在同一坐标系中，函数
　和
y=
k2
x+b
的图象大致如下，则
k1
、k2、b各应满足什么条件？
k2
>0
b
>0
k1
>0
k2
>0
b
<0
k1
>0
①
x
y
O
x
y
O
②
新知四
一次函数与反比例函数的组合图形
探究新知
k2
<0
b
<0
k1
<0
k2
<0
b
>0
③
x
y
O
k1
>0
④
x
y
O
在同一坐标系中，函数
　和
y=
k2
x+b
的图象大致如下，则
k1
、k2、b各应满足什么条件？
例4
函数
y=kx－k
与
的图象大致是(
)
D.
x
y
O
C.
y
y
A.
x
B.
x
y
O
D
O
O
k＜0
k＞0
×
×
×
√
k＞0
k＜0
由一次函数增减性得k＞0
由一次函数与y轴交点知－k＞0，
则k＜0
x
提示：可对
k
的正负性进行分类讨论.
考点探究4
根据k的值识别函数的图形
7.在同一直角坐标系中，函数
与
y
=
ax+1
(a≠0)
的图象可能是
(
)
A.
y
x
O
B.
y
x
O
C.
y
x
O
D.
y
x
O
B
巩固练习
例5
如图是一次函数
y1=kx+b
和反比例函数
的图象，观察图象，当
y1﹥y2
时，x
的取值范围为
.
－2
3
y
x
0
－2<
x
<0
或
x
>3
解析：y1﹥y2
即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时.
观察右图，
考点探究5
通过函数图形确定字母的取值范围
方法总结：对于一些题目，借助函数图象比较大小更加简洁明了.
可知－2<
x
<0
或
x
>3.
探究新知
8.
如图，直线y=k1x+b与双曲线
交于A、B两点，
其横坐标分别为1和5，则不等式
的解集
是_________．
1＜x＜5
巩固练习
例6
已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点
P
(－3，4).
试求出它们的解析式，并画出图象.
由于这两个函数的图象交于点
P
(－3，4)，
则点P
的坐标分别满足这两个解析式.
解：设
y=k1x
和
.
所以
，
.
解得
.
考点探究6
利用函数的交点解答问题
探究新知
则这两个函数的解析式分别为
和
，
它们的图象如图所示.
这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？
【想一想】
9.
反比例函数
的图象与正比例函数
y
=
3x
的图象的交点坐标为
．
(2，6)，(－2，－6)
解析：联立两个函数解析式解方程得：
解得：
巩固练习
1.（2018?无锡）已知点P（a，m），Q（b，n）都在反比例函数
的图象上，且a＜0＜b，则下列结论一定正确的是（　　）
A．m+n＜0
B．m+n＞0
C．m＜n
D．m＞n
D
课堂检测
2.
（2018?连云港）已知A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）是反比例函数
图象上的两个点，则y1与y2的大小关系为_________．
y1＜y2
3.
在反比例函数
图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是_______．
k>9
4.如图，正比例函数
与反比例函数
的图象
交于点A（2，3）．
（1）求k、m的值；
（2）写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围．
（2）由图象可知，正比例函数值大于反比例函数值时：x＞2.
解：（1）将A（2，3）分别代入
y=kx
和
可得：3=2k
和
解得：
，
m=6.
5.
（2018?贵港）如图，已知反比例函数
（x＞0）的图象与一次函数
的图象交于A和B（6，n）两点．
（1）求
k和n的值；
（2）若点C（x，y）也在反比例函数
（x＞0）的图象上，求当2≤
x
≤6时，函数值
y的取值范围．
解：（1）当x=6时，
，
∴点B的坐标为（6，1）．
∵反比例函数
过点B（6，1），
∴k=6×1=6．
（2）∵k=6＞0，
∴当x＞0时，y随x值增大而减小，
∴当2≤
x
≤6时，1≤
y
≤3．
6.如图，反比例函数
与一次函数
y
=－x
+
2
的图象交于
A，B
两点.
(1)
求
A，B
两点的坐标；
A
y
O
B
x
解：
y=－x
+
2
，
解得
x
=
4，
y
=－2
所以A(－2，4)，B(4，－2).
或
x
=
－2，
y
=
4.
作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，
则AC=4，BD=2.
(2)
求△AOB的面积.
解：∵一次函数与x轴的交点为M
(2，0)，
∴OM=2.
O
A
y
B
x
M
C
D
∴S△OMB=OM·BD÷2=2×2÷2=2，
∴S△OMA=OM·AC÷2=2×4÷2=4，
∴S△AOB=S△OMB+S△OMA=2+4=6.