第一章 三角形专项练习 全等三角形的判定与性质的综合应用（含答案）

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专项练习 全等三角形的判定与性质的综合应用
类型一 全等三角形的应用——证明两线段（两角）相等
1.已知△ABN和△ACM的位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2.
（1）试说明：BD=CE；
（2）试说明：∠M=∠N。
如图，已知△ABC≌△EFG，AD，EH分别是△ABC和△EFG对应角的平分线。AD与EH有什么关系？请证明你的结论。
如图，已知点A，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE=∠CDF，AF=CE。试说明BC=AD。
类型二 全等三角形的应用——计算线段长度或图形面积
如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D。
试说明：AC∥DE；
若BF=13，EC=5，求BC的长。
如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC。若AC=6，求四边形ABCD的面积。
类型三 全等三角形的应用——两线段垂直
如图，AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，F是CD的中点，AF⊥CD吗？试说明理由。
如图，在△ABC中，AC=AB，AD平分∠BAC，AD=BD。试说明：CD⊥AC。
类型四 全等三角形的应用——将相等线段化归为同一三角形的三边
8.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线。试说明：AB+AC＞2AD。
参考答案
1.解:（1）在△ABD和△ACE中，因为AB＝AC，∠1＝∠2，AD＝AE，
所以△ABD≌△ACE（SAS）.所以BD＝CE.
（2）因为∠1＝∠2，所以∠1＋∠DAE＝∠2＋∠DAE，即∠BAN＝∠CAM。
由（1）得△ABD≌△ACE，所以∠B＝∠C.
在△ACM和△ABN中，因为∠C＝∠B，AC＝AB，∠CAM＝∠BAN，
所以△ACM≌△ABN（ASA）。所以∠M＝∠N。
2，解:AD＝EH. 理由如下：
因为△ABC≌△EFG，所以AB＝EF，∠B＝∠F，∠BAC＝∠FEG.
因为AD，EH分别是△ABC和△EFG对应角的平分线，所以∠BAD＝∠BAC，∠FEH＝∠FEG.
所以∠BAD＝∠FEH.所以△ABD≌△EFH（ASA）.所以AD＝EH.
3，解:因为AF＝CE，所以AF＋EF＝CE＋EF， 即AE＝CF.
因为AB// CD，所以∠BAE＝∠DCF.又因为∠ABE＝∠CDF，
所以△ABE≌△CDF（AAS）.所以AB＝CD.
又因为∠BAC＝∠DCA，AC＝CA，所以△ABC≌△CDA（SAS）.
所以BC＝AD.
4，解:（1）在△ABC与△DFE中，因为，所以△ABC≌△DFE（SAS）.
所以∠ACB＝∠DEF.所以AC// DE.
（2）因为△ABC≌△DFE，所以BC＝EF.
所以BC－EC＝EF－EG，即BE＝CF.所以2BE＝BF－EC＝8，即BE＝4.
所以BC＝BE＋EC＝4＋5＝9.
5，解:如图，过点A作AE⊥AC交CD的延长线于点E.
因为∠EAC＝∠BAD＝90°，所以∠EAD＝∠CAB.
因为 ∠E＋∠ACE＝∠ACE＋∠ACB＝90°，所以∠ E＝∠ACB.
又因为AB＝AD，所以△AED≌△ACB（AAS）.所以AE＝AC＝6.
所以四边形ABCD的面积等于△ACE的面积。
即四边形ABCD的面积＝AC×AE＝×6×6＝18.
6，解:AF⊥CD.理由如下:
如图，连接AC，AD.因为AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，
所以△ABC≌△AED（SAS）.所以AC＝AD.
因为AC＝AD，CF＝DF，AF＝AF，所以△ACF≌△ADF（SSS）
所以∠AFC＝∠AFD＝90°，所以AF⊥CD。
7.解:如图，在AB上截取AE＝AC，连接DE。
因为AC＝AB，所以AE＝AB.所以AE＝BE。
又因为AD＝BD，DE＝DE，所以△ADE≌△BDE（SSS）。
所以∠AED＝∠BED＝90°。
因为AD平分∠BAC，所以∠DAC＝∠DAE。
因为AC＝AE，∠DAC＝∠DAE，AD＝AD，所以△ACD≌△AED（SAS）
所以∠ACD＝∠AED＝90°。所以CD⊥AC。
8.解:如图，延长AD至点E，使DE＝AD，则AE＝2AD，连接CE.
因为BD＝CD，∠ADB＝∠EDC，AD＝DE，所以△ABD≌△ECD（SAS）
所以AB＝EC。
在△ACE中，因为AC＋EC＞AE＝2AD，所以AB＋AC＞2AD。
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