2011江苏高考物理：带电粒子在磁场中的运动

【知识梳理】
1．若带电粒子在匀强磁场中运动的速度方向与磁场方向平行，此时带电粒子受到的洛伦兹力为_____。带电粒子做_______________。
2．若带电粒子（电荷量为）在磁场中运动的速度的方向与磁场感应强度的方向垂直。带电粒子受到的洛伦兹力为____________________。带电粒子在垂直于磁场的平面内做__________________。
3．带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动时的轨道半径公式为________________，周期公式为________________。
【参考答案】
1．零；匀速直线运动
2．；匀速圆周运动
3． ；
【典型例题】
例1：图中虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面的交线，在平面右侧的半空间存在一磁感强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向外．O是MN 上的一点，从O 点可以向磁场区域发射电量为+q、质量为m、速率为的粒子，粒子射入磁场时的速度可在纸面内各个方向．已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的P点相遇，P 到O 的距离为L．不计重力及粒子间的相互作用．
（1）求所考察的粒子在磁场中的轨道半径．
（2）求这两个粒子从O 点射入磁场的时间间隔．
【分析与解】 （1）设粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R，由牛顿第二定律，有 qvB=m，
得 R =。
（2）如下图所示，以OP 为弦可画两个半径相同的圆，分别表示在P 点相遇的两个粒子的轨道．圆心和直径分别为O1、O2和OO1Q1、OO2Q2，在O 处两个圆的切线分别表示两个粒子的射入方向，用表示它们之间的夹角．由几何关系可知，，从O点射入到相遇，粒子1的路程为半个圆周加弧长Q1P=R，粒子2的路程为半个圆周减弧长PQ2=R。
粒子1的运动时间为 ，其中T为圆周运动的周期。
粒子2运动的时间为
两粒子射入的时间间隔为
因为 所以
有上述算式可解得 。
【解题策略】 本题涉及到两个关键点，一是对两个粒子在磁场中做匀速圆周运动的过程分析，由于两带电粒子在P点相遇，所以这两个粒子所通过的圆周必在P点相交．二是确定出两粒子运动的圆周与弦OP 的几何关系．可以说，第一个关键点是解答本题的突破口，而第二个关键点则是解答本题的核心．多数带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的问题，都需要确定出粒子运动的轨道半径与题目中所给的几何量（如本题中的OP=L）建立起联系，而要找到这一联系，画出必要的几何关系图则显得尤为重要．
【单元限时练习】
一、单项选择题：本题共6小题，每小题只有一个选项符合题意。
1．如图，在x＞0、y＞0的空间中有恒定的匀强磁场，磁感强度的方向垂直于Oxy平面向里，大小为B。现有一质量为m，电量为q的带电粒子，在x轴上到原点的距离为x0的P点，以平行于y轴的初速度射入此磁场，在磁场作用下沿垂直于y轴的方向射出此磁场。不计重力的影响。由这些条件可知（ ）
A．不能确定粒子通过y轴时的位置 B．不能确定粒子速度的大小
C．不能确定粒子在磁场中运动所经历的时间 D．以上三个判断都不对
答案：D 【说明】 由粒子沿垂直于y轴的方向射出此磁场，可判知该粒子在磁场中做圆周运动的半径为x0，据此可知粒子射入磁场的初速度。且同时判得粒子在磁场中运动的时间为T/4。
2．如图，匀强磁场中有一个带电量为q的正离子自a点沿箭头方向运动，当它运动轨道为半圆经过b点时，突然吸收了附近若干个电子，接着沿另一圆轨道运动到与a、b在一条直线上的c点，已知ac=ab。电子电量为e，由此可知，正离子吸收的电子个数为（ ）
A． B． C． D．
答案：D 【说明】 由，由轨道可判断离子始终带正电，且半径，则，即q－ne=q，得n=。
【纠错在线】 本题易犯比值计算上的错误而出错。
3．如图，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里。许多质量为m带电量为＋q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射入磁场区域。不计重力，不计粒子间的相互影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中R＝。哪个图是正确的？（ ）
A． B．
C． D．
答案：A 【说明】 画出各粒子大致的绕行方向即可判定。
【纠错在线】 本题易推理判断错误而错选C。
4.一带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动。已知匀强磁场的磁感应强度大小为0.8T，a、b是带电粒子运动轨迹上的两点，粒子从a到b的时间为1.2π×10－5s，从b继续运动到a的时间为8π×10－6s，则该粒子的质量与其带电量之比为 ( 　 )
(A)1.25×10－5kg/C 　　　(B)8.0×10－6kg/C
(C)4.8×10－6kg/C 　　　(D)4.0×10－6kg/C
答案:B[说明]由周期公式求解。
5.如图所示，在直角坐标系中，电子沿y轴正方向运动，由于电子运动产生的磁场在z轴正方向上a处的方向是 ( )
(A)+x轴方向 (B)－x轴方向
(C)+z轴方向 (D)－z轴方向
答案:B[说明] 电子运动方向与电流方向相反。
6．如图所示，是空间位置固定的两个电荷量相等的异种电荷，它们的连线中点为，是中垂线，两电荷连线与中垂线在纸平面内，在垂直纸面方向有一磁场，中垂线上一不计重力的带正电粒子以初速度保持沿中垂线运动，则（　　）
A．磁场的方向垂直纸面向外
B．带电粒子做匀速直线运动，所受洛仑兹力的大小不变
C．带电粒子做匀速直线运动，所受洛仑兹力的大小改变
D．带电粒子做变速直线运动，所受洛仑兹力的大小改变
答案：C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题有多个选项符合题意。
7．如图虚线所示的区域内有方向垂直于纸面的匀强磁场，一束速度大小各不相同的质子正对该区域的圆心O射入这个磁场；结果，这些质子在该磁场中运动的时间有的较长，有的较短，其中运动时间较长的粒子（ ）
A．射入时的速度一定较大 B．在该磁场中运动的路程一定较长
C．在该磁场中偏转的角度一定较大 D．从该磁场中飞出的速度一定较小
答案：CD 【说明】 由t=得，运动时间较长的粒子，圆弧所对应的圆心角（即粒子磁场中偏转的角度）较大，则圆弧半径较小，则相应的粒子速度较小，且路程较短。
【纠错在线】 本题由于不能建立质子在该磁场中运动的时间与运动轨迹的关系而出错。
8．如图所示，平行金属板M、N之间的距离为d，其中匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直于纸面向外，有带电量相同的正负离子组成的等离子束，以速度v沿着水平方向由左端连续射入，电容器的电容为C，当S闭合且平行金属板M、N之间的内阻为r。电路达到稳定状态后，关于电容器的充电电荷量Q说法正确的是 （ ）
A．当S断开时，
B．当S断开时，
C．当S闭合时，
D．当S闭合时，
答案：BC
9.一电子在匀强磁场中，以一固定的正电荷为圆心在一圆轨道上运行，磁场方向垂直于它的运动平面，电场力恰好是磁场作用在电子上的磁场力的3倍，电子电量为e，质量为m，磁场的磁感应强度为B。那么，电子运动的可能的角速度为( )
(A) (B) (C) (D)
答案:B、D[说明] 磁场力可能指向圆心，也可能沿半径向外。
10．如图所示，表面粗糙的斜面固定于地面上，并处于方向垂直纸面向外、强度为B的匀强磁场中。质量为m、带电量为＋Q的小滑块从斜面顶端由静止下滑。在滑块下滑的过程中，下列判断正确的是（ ）dyszplg
A．滑块受到的摩擦力不变
B．滑块到达地面时的动能与B的大小无关
C．滑块受到的洛伦兹力方向垂直斜面向下
D．滑块下滑的速度可能先增大后不变
答：CD。
解：取物块为研究对象，小滑块沿斜面下滑由于受到洛伦兹力作用，如答图1所示，C正确；
N=mgcosθ+qvB，由于v不断增大，则N不断增大，滑动摩擦力f=μN，摩擦力增大，A错误；
滑块的摩擦力与B有关，摩擦力做功与B有关，依据动能定理，在滑块下滑到地面的过程中，满足，所以滑块到地面时的动能与B有关，B错误；
当B很大，则摩擦力有可能很大，所以滑块可能静止在斜面上，D正确。21世纪教育网
三、本题共2小题，把答案填在题中的横线上或按题目要求作答。
11．20世纪40年代，我国物理学家朱洪元先生提出，电子在加速器中做匀速圆周运动时会发出“同步辐射光”，光的频率是电子的回转频率的n倍．现在“同步辐射光”已被应用于大规模集成电路的光刻工艺中．设同步辐射光频率为f，电子质量为m，电量为e，则加速器磁场的磁感应强度B的大小为_______，若电子的回转半径为R，则它的速率为_______．
答案： 【说明】 电子在磁场中运动的周期，又回转半径为，消去未知量即得．
12.如图所示，有一个质量为m、电量为q的带正电的小球停在绝缘的平面上，并且处在磁感应强度为B、方向指向纸内的匀强磁场中，为了使小球飘离平面，现将匀强磁场以平行于纸面方向的速度移动，其最小速度应为______，方向是_______。
答案:，水平向左
[说明] 匀强磁场移动，相当于磁场不动，带电粒子以反方向大小相等的速度移动。
四、本题共4题，解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤。有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。
13．在真空中，半径为r=3×10－2m的圆形区域内，有一匀强磁场，磁场的磁感应强度为B=0.2T，方向如图所示，一带正电粒子以初速度v0=106m/s从磁场边界上直径ab一端a点处射入磁场，已知该粒子荷质比为=108C/kg，不计粒子重力，若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角，其入射时粒子的方向应如何（以v0与Oa的夹角表示）？最大偏转角多大？
【分析与解】 本题是带电粒子在有界磁场中运动的问题，解决这类问题的基本思路是应用牛顿运动定律建立动力学方程，再考虑磁场边界的运动轨迹的几何关系。
题设条件是要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角，则应使粒子在磁场中的运动时间最长（或走过的圆弧最长），由轨迹图可推知粒子在磁场中运动的轨迹半径的时间关系。所以，首先需要比较圆周运动的轨道半径R与磁场区域半径r大小关系，可得R＞r，故粒子在磁场中的轨迹为一段圆弧，由此判断得要求粒子从b点射出时粒子偏转角最大。
当粒子从a点处射入磁场时，由于运动电荷的速度方向垂直于磁场方向，运动电子将在图示平面内做匀速圆周运动，由牛顿运动定律得 ，
得其轨道半径为 m=0.05m>r，
由于R＞r，粒子在磁场中的轨迹为一段圆弧，所以，若使粒子偏转角最大，应使粒子在磁场中的运动时间最长（或走过的圆弧最长），这要求粒子从b点射出，由此，粒子做圆运动的圆心O′在ab中垂线上，如图。
由上图可知 ，=37°，
所以，最大偏转角 =74°。
【分析与解】 解决带电粒子在磁场中的运动问题，除了运用常规的解题思路（画草图、找“圆心”、定“半径”）之外，更应侧重于运用数学知识进行分析。在众多的物理量和数学量中，角度往往是最关键的量，它既是建立几何量与物理量之间关系式的一个纽带，又是沟通几何图形与物理模型的桥梁。
14．如图所示，厚度为h，宽度为d的导体板放在垂直于它的磁感应强度为B的匀强磁场中，当电流通过导体板时，在导体板的上侧面A和下侧面A′之间会产生电势差，这种现象称为霍耳效应。实验表明：当磁场不太强时，电势差U、电流I和B的关系为，式中的比例系数K称为霍耳系数。
霍耳效应可解释如下：外部磁场的使运动的电子聚集在导体板的一侧，在导体板的另一侧会出现多余的正电荷，从而形成横向电场，横向电场对电子施加与洛仑兹力方向相反的静电力，当静电力与洛仑兹力达到平衡时，导体板上下两侧之间就会形成稳定的电势差。
设电流I是由电子的定向流动形成的，电子的平均定向速度为v，电量为e。试问：
（1）达到稳定状态时，导体板上侧面A的电势___________下侧面A′的电势（填高于、低于或等于）。
（2）由静电力和洛仑兹力平衡的条件，证明霍耳系数为，其中n代表导体单位体积中的电子的个数。
【分析与解】 （1）金属块内自由移动的是电子，定向运动方向与电流方向相反，即水平向左。而根据左手定则可判断得，电子将受向上的洛仑兹力的作用，则A板聚集的是负电荷，所以电势低于下侧面A′的电势。
（2）电子受到横向静电力与洛仑兹力的作用，两力平衡，则有eE=evB，
而，即得：U=Bhv，
又通过导体的电流密度 I=nevS=nevdh，
由题设条件 得 hvB= K ，
得 。
【解题策略】 该题是带电粒子在复合场中的运动，但原先只有磁场，电场是在通电后自行形成的。在很多问题中有类似的情况出现，如磁流体发电机，磁流量计等。而且，解决这类问题时，一般都用到静电力与洛仑兹力的平衡，需要注意归纳。另外，在本题中用到的联系宏观量I和微观量的电流表达式 I=nevS=nevdh是一个很有用的关系式，需要引起重视。
15．目前世界上正在研究的新型发电机——磁流体发电机的原理如图所示，设想在相距为d，且足够长的甲乙两金属板间加有垂直纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场，两板通过电键和灯泡相连，将气体加热到使之高度电离后由于正、负电荷一样多，且带电量均为q，因而称为等离子体，将其以速度v喷入甲、乙两板之间，这时甲、乙两板就会聚集电荷，产生电压，这就是磁流体发电机与一般发电机不同处，它可以直接把内能转化为电能．试问：
（1）图中哪个极板是发电机的正极？
（2）发电机的电动势多大？
（3）设喷入两极间的离子流每立方米有n个负电荷．离子流的截面积为S，则发电机的最大功率多大？
【分析与解】 磁流体发电机供电时，就其微观本质而言，是一种动态平衡过程，即断路时有Eq=Bqv，等离子体不发生偏转，电源两端稳定．一旦通路，极板上电荷减少，则有Eq（1）等离子体从左侧射入磁场，正离子受向上的洛仑兹力而偏向甲板，使甲板上累积正电荷，相应的乙板上累积负电荷，成为电源的正、负两极．
（2）当电键断开时甲、乙两板间的电压，即为电源的电动势．
稳定时，甲、乙两板上累积负电荷不再增加，此时的等离子体所受的洛仑兹力与电场力恰好平衡，则有 ，
即得电源电动势为 U=Bdv．
（3）理想状态时，喷入两极间的离子流全部流向两极板，这时电源达最大功率．
此时，电路中的最大电流为 ，
式中N为在时间内喷入两极间的正、负离子数总和，即 N=nSvt，
则发电机的最大功率 Pm=UIm=ndqSBv2．
【解题策略】 本题要求解决电源最大功率，判断其条件是解决问题的关键。当达理想状态时，喷入两极间的离子流全部偏向极板，电流达最大，电源功率即为最大．
16．在如图(a)所示的正方形平面oabc内存在着垂直于该平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，已知正方形边长为L。—个质量为m、带电量为+q的粒子(不计重力)在t=0时刻平行于oc边从o点射入磁场中．dyszplg
(1)若带电粒子从a点射出磁场，求带电粒子在磁场中运动的时间及初速度大小，
(2)若磁场的磁感应强度按如图(b)所示的规律变化，规定磁场向外的方向为正方向，磁感应强度的大小为B0，假使带电粒子能从oa边界射出磁场，磁感应强度B变化周期T的最小值．
(3)若所加磁场与第(2)问中的相同，要使带电粒子从b点沿着ab方向射出磁场，满足这一条件的磁感应强度变化的周期T及粒子射入磁场时的速度v0.
解：（1）若带电粒子从a点射出磁场，则做圆周运动的半径为r=L/2
所需时间
又根据
得
（2）要使粒子从oa边射出，其临界状态轨迹如图所示
则有sin=1/2, =300
在磁场变化的半个周期内,粒子在磁场中旋转1500角
运动时间
而t=T/2
所以磁场变化的最小周期为
（3）若使粒子从b点沿着ab方向射出磁场，轨迹如图示。
在磁场变化的半个周期内，粒子在磁场中旋转的角度为2β，其中β=450，
即T/2=T0/4
所以磁场变化的周期为
每一个圆弧对应的弦长OM为
圆弧半径为
由
得
S
R
M
N
+Q
m
图8
f
qvB
mg
N
m
+Q
答图1
a
o
c
b
v0
图（a）
B
0
-B0
t
T0
B0
2T0
图（b）
O1
o
O2
a
o
a
b
c
O1
β