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突破1.3
三角函数诱导公式重难点突破
考情分析
二、经验分享
【知识点1
诱导公式】
诱导公式一：
，，，其中
诱导公式二：
，
，，其中
诱导公式三：
，
，，其中
诱导公式四
，
，，其中
诱导公式五：
，
，其中
诱导公式六：
，
，其中
【知识点2
诱导公式的记忆】
口诀1：“奇变偶不变，符号看象限”，:
口诀2：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”
奇变偶不变
符号看象限
(为常整数)的三角函数值：①当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；②当为偶数时，函数名不变
的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号
三、题型分析
(一)
利用诱导公式求三角函数值
例1．【辽宁省沈阳市2018-2019学年高一下期中】cos225°=（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
由三角函数诱导公式可知：
故选C.
【变式训练1】.已知,那么（
）
A．
B．
C.
D．
【答案】A
【解析】因.故应选A.
【变式训练2】.已知，且为第四象限角，则(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由题，且为第四象限角，则
，
选B.
例2．（甘肃省宁县第二中学2018-2019学年高一下期中）已知，则的值为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】cos（60°–α）=sin[90°–（60°–α）]=sin（30°+α）=，故选C．
【变式训练1】.已知=，则的值等于(
)
A．
B．－
C．
D．±
【答案】Ａ
【解析】诱导公式，注意，，所以选Ａ
【变式训练2】.（浙江省杭州市2018-2019学年高一下期末）
若，则（
）
A.
－
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
因为
所以
所以，选B.
(二)
利用诱导公式化简及其证明
例3．已知sin＝，那么cosα＝________．
【答案】
【解析】sin＝sin＝cosα＝
【变式训练1】.已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据可得，从而，故选D．
【变式训练2】.已知，则的值为（
）
A．
B．－
C．
D．
－
【答案】A
【解析】
，=====.
【变式训练3】.已知，则的值为__________．（6分）
【答案】.
【解析】先由得，；然后依据倍角公式及三角函数的恒等变形可得，
；然后将的值代入即可得，．
例4．化简=___________（6分）
【答案】
【解析】
当是偶数时，，
当是奇数时，，
所以答案应为
.
【变式训练1】.（陕西省榆林市榆阳区第二中学2018-2019学年高一下期末）已知，
（1）求值：；
（2）求值：.
【答案】（1）3（2）
【解析】
（1）
（2）
【变式训练2】.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边在直线上，则（
）
A．-2
B．2
C．0
D．
【答案】B
【解析】设点为角终边上任意一点，根据三角函数定义有，再根据诱导公式.故选B.
(三)
诱导公式在函数中的应用
例5．已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵，∴，
∴，∴，
∴，∴，∴.
例6．【辽宁省沈阳市2018-2019学年高一下期中】（1）已知，求.
（2）若，求的值.
【答案】(1)
(2)1
【解析】
（1）用诱导公式化简等式可得
，代入可得.
故答案为；
（2）原式可化为：
把代入得
故答案为1.
【变式训练1】.（甘肃省宁县第二中学2018-2019学年高一下期中）
已知f（α）．
（1）化简f（α）；
（2）若α∈（0，π），且cos，求f（α）的值．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
（1）f（α）
＝﹣tanα．
（2）∵α∈（0，π），且cos，
∴sinα，
∴f（α）＝﹣tanα1．
【变式训练2】.【2018届浙江省名校协作体高三上学期考试】已知，且，则_____，_____．
【答案】
【解析】
又
，则
，且，可得
【变式训练3】.已知函数.
（1）化简；
（2）若，且，求的值.
【答案】(1)
;(2)
.
【解析】
（1）由题意得.
（2）由（1）知．
∵，
∴，
∴.
又，
∴，
∴.
∴.
四、迁移应用
1．已知，则是第（
）象限角.
A．一
B．二
C．三
D．四
【答案】B
【解析】由，，由可知是第二象限角，选B.
2.的值是（
）
A.1
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
，选B.
3．（浙江省杭州市2018-2019学年高一下期末）
若，则（
）
A.
－
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
因为
所以
所以，选B.
4．【2018届黑龙江省齐齐哈尔八中高三8月月考】已知且，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】,又
故答案为A.
5．已知=（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】.
6.
sin=
.
【答案】－
【解析】.
7.
.
【答案】
【解析】，选A.
8.计算与化简
（I）计算：
;
（II）化简：
.
【答案】（I）；（II）.
【解析】
（I）
（II）原式
9.
已知，计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【解析】由可得，2分
∴．1分
（1）原式＝3分
．1分
（2）原式3分
． 4分
另解：原式＝3分
＝3分
＝1分
10.
求值（1）
（2）已知，求的值.
【答案】(1)（2）
【解析】
试题分析：(1)
=
(2)
11．（1）化简；
（2），①求的值；
②求的值.
【答案】（1）；（2）①；②.
【解析】
（1）
.
（2）因为，
即
①
可见与同号，为第一或第三象限角．
又
②
联立①②可得：
当为第一象限角时，
当为第三象限角时，
②
.
12.（2019春?怀化期末）已知
（Ⅰ）化简；
（Ⅱ）若是第三象限角，且，求的值．
【分析】（Ⅰ）由已知利用诱导公式即可化简得解；
（Ⅱ）由，可得，根据角的范围利用同角三角函数基本关系式即可求解．
【答案】解：（Ⅰ）．
（Ⅱ），
，代入，得：，
是第三象限角，
．
【点睛】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
13.（2019春?大武口区校级期末）已知
（1）化简；
（2）若，求的值．
【分析】（1）直接利用诱导公式化简求解即可．
（2）求出正切函数值，利用同角三角函数基本关系式化简表达式为正切函数的形式，代入求解即可．
【答案】解：（1）．
（2），可得：，
，
将代入，
得．
【点睛】本题考查诱导公式以及同角三角函数基本关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．
14.（2018秋?红塔区校级期末）已知．
（1）将化为最简形式；
（2）若，且，求的值．
【分析】（1）由题意利用诱导公式，化简所给的式子，可得结果．
（2）由题意可得的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得的值，可得的的值，从而求得的值．
【答案】解：（1）由题意可得，．
（2）①，
平方可得，，
因为，所以，，，所以②，
由①②可得：，
所以．
【点睛】本题主要考查利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．
15.（2019秋?岳池县校级月考）求证：
（1）；
（2）．
【分析】（1）原式左边利用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简，右边利用诱导公式化简，得到两结果相等，即可得证；
（2）原式左边与右边分别利用同角三角函数间的基本关系化简，整理后得到两结果相等，即可得证．
【答案】证明：（1）左边；
右边，
左右，得证；
（2）左边，
右边，
左右，得证．
【点睛】此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及运用诱导公式化简求值，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
16.已知、、是的三个内角，求证：
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）由已知条件利用进行证明．
（2）由已知条件利用进行证明．
（3）由已知条件利用进行证明．
【答案】证明：（1）、、是的三个内角，
，
，
．
（2）、、是的三个内角，
，
，
．
（3）、、是的三个内角，
，
．
．
【点睛】本题考查三角函数的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意三角形内角和定理和诱导公式的合理运用．
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三角函数诱导公式重难点突破
考情分析
二、经验分享
【知识点1
诱导公式】
诱导公式一：
，，，其中
诱导公式二：
，
，，其中
诱导公式三：
，
，，其中
诱导公式四
，
，，其中
诱导公式五：
，
，其中
诱导公式六：
，
，其中
【知识点2
诱导公式的记忆】
口诀1：“奇变偶不变，符号看象限”，:
口诀2：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”
奇变偶不变
符号看象限
(为常整数)的三角函数值：①当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；②当为偶数时，函数名不变
的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号
三、题型分析
(一)
利用诱导公式求三角函数值
例1．【辽宁省沈阳市2018-2019学年高一下期中】cos225°=（
）
A.
B.
C.
D.
【变式训练1】.已知,那么（
）
A．
B．
C.
D．
【变式训练2】.已知，且为第四象限角，则(
)
A.
B.
C.
D.
例2．（甘肃省宁县第二中学2018-2019学年高一下期中）已知，则的值为（
）
A.
B.
C.
D.
【变式训练1】.已知=，则的值等于(
)
A．
B．－
C．
D．±
【变式训练2】.（浙江省杭州市2018-2019学年高一下期末）
若，则（
）
A.
－
B.
C.
D.
(二)
利用诱导公式化简及其证明
例3．已知sin＝，那么cosα＝________．
【变式训练1】.已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2】.已知，则的值为（
）
A．
B．－
C．
D．
－
【变式训练3】.已知，则的值为__________．（6分）
例4．化简=___________（6分）
【变式训练1】.（陕西省榆林市榆阳区第二中学2018-2019学年高一下期末）已知，
（1）求值：；
（2）求值：.
【变式训练2】.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边在直线上，则（
）
A．-2
B．2
C．0
D．
(三)
诱导公式在函数中的应用
例5．已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
例6．【辽宁省沈阳市2018-2019学年高一下期中】（1）已知，求.
（2）若，求的值.
【变式训练1】.（甘肃省宁县第二中学2018-2019学年高一下期中）
已知f（α）．
（1）化简f（α）；
（2）若α∈（0，π），且cos，求f（α）的值．
【变式训练2】.【2018届浙江省名校协作体高三上学期考试】已知，且，则_____，_____．
【变式训练3】.已知函数.
（1）化简；
（2）若，且，求的值.
四、迁移应用
1．已知，则是第（
）象限角.
A．一
B．二
C．三
D．四
2.的值是（
）
A.1
B.
C.
D.
3．（浙江省杭州市2018-2019学年高一下期末）
若，则（
）
A.
－
B.
C.
D.
4．【2018届黑龙江省齐齐哈尔八中高三8月月考】已知且，则（
）
A.
B.
C.
D.
5．已知=（
）
A．
B．
C．
D．
6.
sin=
.
7.
.
8.计算与化简
（I）计算：
;
（II）化简：
.
9.
已知，计算：
（1）；
（2）．
10.
求值（1）
（2）已知，求的值.
11．（1）化简；
（2），①求的值；
②求的值.
12.（2019春?怀化期末）已知
（Ⅰ）化简；
（Ⅱ）若是第三象限角，且，求的值．
13.（2019春?大武口区校级期末）已知
（1）化简；
（2）若，求的值．
14.（2018秋?红塔区校级期末）已知．
（1）将化为最简形式；
（2）若，且，求的值．
15.（2019秋?岳池县校级月考）求证：
（1）；
（2）．
16.已知、、是的三个内角，求证：
（1）；
（2）；
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