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突破1.4
三角函数的图像与性质
一、考情分析
二、经验分享
【知识点1
正弦曲线、余弦曲线】
1.定义：正弦函数和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线。
2.图象
【知识点2
正弦函数、余弦函数的图象和性质】
函数
正弦函数y＝sinx
余弦函数y=cosx
定义域
R
R
值域
[-1，1]
[-1，1]
奇偶性
奇函数
偶函数
周期性
最小正周期
最小正周期
单调区间k∈Z
增区间减区间
增区间减区间
最值点k∈Z
最大值点最小值点
最大值点最小值点
对称中心k∈Z
对称轴k∈Z
【知识点3
正弦型函数和余弦型复合函数的性质】
函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到：
定义域：；
（2）值域：；
（3）单调区间
求形如与函数的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．
比如：由解出的范围所得区间即为增区间，
由
解出的范围，所得区间即为减区间．
奇偶性
正弦型函数和余弦型函数不一定具备奇偶性．
①对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数；
②对于函数，当时为偶函数，当时为奇函数．
周期
函数及函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为．
（6）对称轴和对称中心
与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为．
同理，的对称轴由解出，对称中心的横坐标由解出．
【知识点4
正切函数的图象】
正切函数，且的图象，称“正切曲线”
1．定义域：，
2．值域：R
由正切函数的图象可知，当且无限接近于时，无限增大，记作（趋向于正无穷大）；当，无限减小，记作（趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线为正切函数的渐进线．
3．周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是
4．奇偶性：正切函数是奇函数，即．
【知识点5
正切型复合函数的性质】
1．定义域：将“”视为一个“整体”．令解得．
2.
值域：
3．单调区间：（1）把“”视为一个“整体”；（2）时，函数单调性与的相同（反）；（3）解不等式，得出范围．
特别注意：若，一般先用诱导公式化为，使的系数为正值，然后求单调区间．
4．奇偶性：当时为奇函数，否则，不具备奇偶性．
5．周期：最小正周期为．
三、题型分析
(一)
求正弦函数
余弦函数以及正切函数的定义域
例1．（2019·浙江高一期中）函数的定义域是（ ）
A.
B.
C.
D.
例2．（2019秋?安福县校级期中）函数的定义域为
．
【变式训练1】．（2019·山西省长治市第二中学校高一期中）函数的定义域为___________________
【变式训练2】．（2018·福建高一月考）函数的定义域为（
）
A.B.
C.D.
(二)
求正弦函数
余弦函数以及正切函数的值域
例3．（2019·黑龙江鹤岗一中高一期末（文））在上，满足的的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
例4．设为常数，且，则函数的最大值为（
）
A.
B.
C.
D.
【变式训练1】．（2019·宁夏高一期末）函数的最大值为，最小值为，则的最小正周期为______.
【变式训练2】．（2018·北京高一期末）已知函数
若点在角的终边上，求：和的值；
若，求的值域．
【变式训练3】．（2019·济南市历城第二中学高一期中）已知函数.
(1)求函数得单调增区间；
(2)求函数在区间的最值.
(三)
求正弦函数
余弦函数以及正切函数的单调性
例5．函数的单调递增区间是______.
例6.（2019·浙江高一期末）函数的最小正周期为_____；单调递增区间为_______．
【变式训练1】．（2018·浙江高一期中）函数的定义域为_______，值域为_______.
【变式训练2】．（2019·宁夏高一期末）函数的单调减区间为（
）
A．B．
C．D．
【变式训练3】．若函数的最大值为，最小值为．
（1）求，的值；
（2）求函数取得最大值时的的值；
（3）请写出函数的图象的对称轴．
(四)
五点法画函数图像
例7.（2018·内蒙古一机一中高一月考（理））已知函数
（1）用五点法作出函数的简图；
（2）写出函数的值域与单调区间.
【变式训练1】．已知函数．
（1）求函数的最小正周期及其单调递减区间；
（2）用“五点法”画出函数在上的图象（列表并作图），由图象研究并写出的图象在区间上的对称轴和对称中心．
（五）求正弦函数
余弦函数以及正切函数的周期
例8.（2019·北京高考模拟）已知函数在上有最大值，没有最小值，则的取值范围为____．
例9.（2019·浙江高二期中）设函数，则函数的最小正周期为______；单调递增区间为______.
例10.（2019·永昌县第四中学高一期末）函数的最小正周期是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】．（2019·湖南武冈市第一中学高一期中）下列函数中，最小正周期为的是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2】．（2019·广东高一期末）下列函数中，最小正周期为的是（
）
A．
B．
C．
D．
（六）奇偶性
对称轴与对称中心
例11.（2019·江西省奉新县第一中学高三月考（理））函数在其定义域上是(
)
A．奇函数
B．偶函数
C．既非奇函数也非偶函数
D．不能确定
例12.（2019·天水市第一中学高一期末（文））函数图像的一条对称轴方程为（）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】．（2019·云南高一期末）已知函数，则下列结论不正确的是（
）
A.是的一个周期
B.
C.的值域为R
D.的图象关于点对称
【变式训练2】．（2019·湖南高一期末）函数图像的一个对称中心是（
）
A.
B.
C.
D.
【变式训练3】．（2019·辽宁高一期中）函数的图象的一个对称中心是（
）
A．
B．
C．
D．
（七）求正弦函数
余弦函数以及正切函数的综合应用
例13.（2019·山西高一期中）函数是（
）
A．最小正周期为的偶函数
B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的奇函数
例14.已知函数.
(1)求函数的最大值以及相应的x的取值集合；
(2)若直线是函数的图像的对称轴，求实数m的值.
【变式训练1】．（2016·天津高一期末）给出下列五个命题：
①函数的一条对称轴是；
②函数的图象关于点（,0）对称；
③正弦函数在第一象限为增函数；
④若，则，其中；
⑤函数的图像与直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围为.
以上五个命题中正确的有
（填写所有正确命题的序号）
【变式训练2】．已知函数的最小正周期是，则______，若，则______
.
四、迁移应用
1.（2019春?南湖区校级月考）已知函数的定义域为
．
2.（2019秋?黄冈期末）函数的定义域是
．
3.（2019秋?射阳县校级期中）函数，，的值域
．
4（2019春?淄博校级月考）函数的值域为
．
5.（2019?上城区校级模拟）设函数，且以为最小正周期．
（1）求的解析式；
（2）求的对称轴方程及单调递增区间．
6.（2018秋?嘉兴期末）已知函数的最小值为1．
（Ⅰ）求的值及取此最小值时的值；
（Ⅱ）求函数的最小正周期和单调递增区间．
7.（2019春?郑州期末）已知函数，的最小正周期为．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）在给定的平面直角坐标系中，画出函数在区间，上的图象．
8.判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）；
（3）．
9.判断下列函数的奇偶性．
（1）；
（2）．
10.求单调性对称轴对称中心．
11.变式训练1：求函数的对称轴，对称中心
（1）；
（2）．
12.（2018秋?嘉兴期末）已知函数的最小值为1．
（Ⅰ）求的值及取此最小值时的值；
（Ⅱ）求函数的最小正周期和单调递增区间．
13.（2019春?靖远县期末）已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）求不等式的解集．
14.（2019秋?福建月考）已知函数，
（1）求函数的单调区间．
（2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值．
15.已知函数的定义域为，，值域为，．
（1）求实数，的值；
（2）求函数的最小值并求出对应的集合．
16.已知函数，．
（1）当时，求函数的最大值；
（2）对于区间，上的任意，都有成立，求实数的取值范围．
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突破1.4
三角函数的图像与性质
一、考情分析
二、经验分享
【知识点1
正弦曲线、余弦曲线】
1.定义：正弦函数和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线。
2.图象
【知识点2
正弦函数、余弦函数的图象和性质】
函数
正弦函数y＝sinx
余弦函数y=cosx
定义域
R
R
值域
[-1，1]
[-1，1]
奇偶性
奇函数
偶函数
周期性
最小正周期
最小正周期
单调区间k∈Z
增区间减区间
增区间减区间
最值点k∈Z
最大值点最小值点
最大值点最小值点
对称中心k∈Z
对称轴k∈Z
【知识点3
正弦型函数和余弦型复合函数的性质】
函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到：
定义域：；
（2）值域：；
（3）单调区间
求形如与函数的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．
比如：由解出的范围所得区间即为增区间，
由
解出的范围，所得区间即为减区间．
奇偶性
正弦型函数和余弦型函数不一定具备奇偶性．
①对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数；
②对于函数，当时为偶函数，当时为奇函数．
周期
函数及函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为．
（6）对称轴和对称中心
与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为．
同理，的对称轴由解出，对称中心的横坐标由解出．
【知识点4
正切函数的图象】
正切函数，且的图象，称“正切曲线”
1．定义域：，
2．值域：R
由正切函数的图象可知，当且无限接近于时，无限增大，记作（趋向于正无穷大）；当，无限减小，记作（趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线为正切函数的渐进线．
3．周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是
4．奇偶性：正切函数是奇函数，即．
【知识点5
正切型复合函数的性质】
1．定义域：将“”视为一个“整体”．令解得．
2.
值域：
3．单调区间：（1）把“”视为一个“整体”；（2）时，函数单调性与的相同（反）；（3）解不等式，得出范围．
特别注意：若，一般先用诱导公式化为，使的系数为正值，然后求单调区间．
4．奇偶性：当时为奇函数，否则，不具备奇偶性．
5．周期：最小正周期为．
三、题型分析
(一)
求正弦函数
余弦函数以及正切函数的定义域
例1．（2019·浙江高一期中）函数的定义域是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
令x+（k∈Z），
解得：x（k∈Z），
故函数的定义域为{x|x，k∈Z}
例2．（2019秋?安福县校级期中）函数的定义域为
．
【分析】由题意可得
，化简可得
，由此求出x的范围，即得函数的定义域．
【答案】解：∵函数，∴，即
．
化简可得
，解得﹣＜x＜．
故函数的定义域为（﹣，），故答案为（﹣，）．
【点睛】本题主要考查求余弦函数的定义域和值域，求对数函数的定义域，属于基础题．
【变式训练1】．（2019·山西省长治市第二中学校高一期中）函数的定义域为___________________
【答案】.
【解析】
由于正切函数为，
解不等式，得，
因此，函数的定义域为，
故答案为：.
【变式训练2】．（2018·福建高一月考）函数的定义域为（
）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】要使函数有意义，则2sin（π﹣2x）﹣1≥0，即sin2x≥，
则2kπ+≤2x≤2kπ+，k∈Z，则kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，
即函数的定义域为.故选：D．
(二)
求正弦函数
余弦函数以及正切函数的值域
例3．（2019·黑龙江鹤岗一中高一期末（文））在上，满足的的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】∵[0，2π]上，满足sinx，结合正弦函数图象可知x的取值范围：x．故选：D．
例4．设为常数，且，则函数的最大值为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】，
，又，所以最大值在是时取到，
综上所述，故选.
【变式训练1】．（2019·宁夏高一期末）函数的最大值为，最小值为，则的最小正周期为______.
【答案】
【解析】
令，所以，由于，所以在上单调递减，即有，解得，
，故最小正周期为.
【变式训练2】．（2018·北京高一期末）已知函数
若点在角的终边上，求：和的值；
若，求的值域．
【答案】(1)
，
-
(2)
[-1，2]
【解析】
（1）因为点P（1，-）在角的终边上，所以sin=，cos=.
所以f（-）=2
sin（-+）=2
sin=2×（-）=-.
（2）令t=x+，则原函数化为g（t）=2
sint.
因为x[，]，所以≤t≤，
注意到y=sin
t在[，]单增，在[，]单减，
且ymax=g（）=2
sin=2，
而g（）=2
sin（）=-1，g（）=2
sin（）=2×=>-1，
即f（x）的值域为[-1，2].
【变式训练3】．（2019·济南市历城第二中学高一期中）已知函数.
(1)求函数得单调增区间；
(2)求函数在区间的最值.
【答案】(1)
.
(2)
，.
【解析】
(1)由，得
∴的单调区间是.
(2)∵，则，，
∴，.
(三)
求正弦函数
余弦函数以及正切函数的单调性
例5．函数的单调递增区间是______.
【答案】
【解析】
令，解得
.
例6.（2019·浙江高一期末）函数的最小正周期为_____；单调递增区间为_______．
【答案】
【解析】
因为，所以，
因为，
所以增区间为
【变式训练1】．（2018·浙江高一期中）函数的定义域为_______，值域为_______.
【答案】
【解析】
由题意，可知，根据正弦函数图象，得，即函数的定义域为，此时，则函数的值域为，从而问题可得解.
【变式训练2】．（2019·宁夏高一期末）函数的单调减区间为（
）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】的单调减区间为，
,解得
函数的单调减区间为.故选A.
【变式训练3】．若函数的最大值为，最小值为．
（1）求，的值；
（2）求函数取得最大值时的的值；
（3）请写出函数的图象的对称轴．
【答案】（1）当时，,当时，
；（2）；（3）.
【解析】
（1）因为,
所以当时，有解得
当时，有解得
（2）由（1）知，所以函数，所以当时，函数取得最大值．
（3）函数，所以其图象的对称轴方程为．
(四)
五点法画函数图像
例7.（2018·内蒙古一机一中高一月考（理））已知函数
（1）用五点法作出函数的简图；
（2）写出函数的值域与单调区间.
【答案】（1）
（2）值域为，函数的单调增区间为：（），减区间为：（）
【解析】
（1）列表如下：
0
3
5
3
1
3
简图如下：
（2）由上图可知函数的值域，
当，即当时为增函数.
当，即当时为减函数.
函数的单调增区间为：（），减区间为：（）
【变式训练1】．已知函数．
（1）求函数的最小正周期及其单调递减区间；
（2）用“五点法”画出函数在上的图象（列表并作图），由图象研究并写出的图象在区间上的对称轴和对称中心．
【答案】(1)
最小正周期；单调递减区间为．
(2)列表及图象见解析；对称中心，无对称轴．
【解析】
（1）最小正周期．由，
得，
∴函数的单调递减区间为．
（2）列表如下，
0
0
0
2
0
从图象上可以直观看出，函数的图象在区间上有—个对称中心，无对称轴．
（五）求正弦函数
余弦函数以及正切函数的周期
例8.（2019·北京高考模拟）已知函数在上有最大值，没有最小值，则的取值范围为____．
【答案】
【解析】
因为函数在上有最大值，没有最小值，
所以，只需，
解得.
故答案为
例9.（2019·浙江高二期中）设函数，则函数的最小正周期为______；单调递增区间为______.
【答案】
【解析】
，，
由，，
得，，
故答案为：(1).
(2).
例10.（2019·永昌县第四中学高一期末）函数的最小正周期是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
由题意可知，函数的最小正周期，故选：D.
【变式训练1】．（2019·湖南武冈市第一中学高一期中）下列函数中，最小正周期为的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
A选项，函数的最小正周期为，所以该选项错误；
B选项，根据函数的图像得函数的最小正周期为，所以该选项正确；
C选项，函数的最小正周期为，所以该选项错误；
D选项，函数的最小正周期为，所以该选项错误.
故选：B
【变式训练2】．（2019·广东高一期末）下列函数中，最小正周期为的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
对于选项A,
的最小正周期为,
对于选项B,
的最小正周期为,
对于选项C,
的最小正周期为,
对于选项D,
的最小正周期为,
故选D.
（六）奇偶性
对称轴与对称中心
例11.（2019·江西省奉新县第一中学高三月考（理））函数在其定义域上是(
)
A．奇函数
B．偶函数
C．既非奇函数也非偶函数
D．不能确定
【答案】B
【解析】
函数，此时函数为偶函数，故选：B.
例12.（2019·天水市第一中学高一期末（文））函数图像的一条对称轴方程为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
依题意有
解得
故选B
【变式训练1】．（2019·云南高一期末）已知函数，则下列结论不正确的是（
）
A.是的一个周期
B.
C.的值域为R
D.的图象关于点对称
【答案】B
【解析】
A．的最小正周期为，所以是的一个周期，所以该选项正确；
B.
所以该选项是错误的；
C.
的值域为R，所以该选项是正确的；
D.
的图象关于点对称,所以该选项是正确的.
故选：B
【变式训练2】．（2019·湖南高一期末）函数图像的一个对称中心是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
由题得,
所以，
所以图像的对称中心是．
当k=1时，函数的对称中心为.
故选：B
【变式训练3】．（2019·辽宁高一期中）函数的图象的一个对称中心是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
由正切函数的对称中心可以推出对称中心的横坐标满足
，带入四个选项中可知，当时，.
故是图像的一个对称中心，选A.
（七）求正弦函数
余弦函数以及正切函数的综合应用
例13.（2019·山西高一期中）函数是（
）
A．最小正周期为的偶函数
B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的奇函数
【答案】A
【解析】
，，所以函数最小正周期为，是偶函数，因此本题选A.
例14.已知函数.
(1)求函数的最大值以及相应的x的取值集合；
(2)若直线是函数的图像的对称轴，求实数m的值.
【答案】（1）的最大值为2，x的取值集合为（2）
【解析】
(1)∵，
∴的最大值为2，此时，
∴所求x的取值集合为.
(2)令，则.
∵直线是函数的图像的对称轴，
∴.
【变式训练1】．（2016·天津高一期末）给出下列五个命题：
①函数的一条对称轴是；
②函数的图象关于点（,0）对称；
③正弦函数在第一象限为增函数；
④若，则，其中；
⑤函数的图像与直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围为.
以上五个命题中正确的有
（填写所有正确命题的序号）
【答案】①②⑤
【解析】
①将代入可得函数最大值,为函数对称轴；②函数的图象关于点对称,包括点；③,③错误；④利用诱导公式,可得不同于的表达式；⑤对进行讨论,利用正弦函数图象,得出函数与直线仅有有两个不同的交点，则．故本题答案应填①②⑤.
【变式训练2】．已知函数的最小正周期是，则______，若，则______
.
【答案】
【解析】
根据周期的公式，所以，
则：，
四、迁移应用
1.（2019春?南湖区校级月考）已知函数的定义域为
．
【分析】根据根式满足的条件，解三角不等式即可．
【答案】解：∵2sin（2x﹣）﹣1≥0?sin（2x﹣）≥，
∴2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，
∴kπ+≤x≤kπ+，k∈Z．
故答案是{x|kπ+≤x≤kπ+，k∈Z}
【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，解三角不等式．
2.（2019秋?黄冈期末）函数的定义域是
．
【分析】由题意可得
sinx≥0，cosx≥0，故2kπ+0≤x≤2kπ+，k∈z，解出x的范围，即得所求．
【答案】解：由题意可得
sinx≥0，cosx≥0，∴2kπ+0≤x≤2kπ+，k∈z，
故函数的定义域为（2kπ，2kπ+
），k∈z，
故答案为：（2kπ，2kπ+
），k∈z．
【点睛】本题考查求函数的定义域，以及三角函数在各个象限中的符号，得到2kπ+0≤x≤2kπ+，k∈z，是解题的关键，属于基础题．
3.（2019秋?射阳县校级期中）函数，，的值域
．
【分析】根据同角公式化简函数解析式，得到关于sinx的二次函数，根据二次函数的图象和性质，可得函数的值域．
【答案】解：y＝2cos2x+3sinx+2＝2（1﹣sin2x）+3sinx+2＝﹣2（sinx﹣）2+，
x∈[，]，
∴sinx∈[，1]，
∴当sinx＝时，函数f（x）取最大值，
当sinx＝或sinx＝1时，函数f（x）取最小值5，
故函数f（x）＝2cos2x+3sinx+2，x∈[，]的值域为[5，]，
故答案为：[5，]
【点睛】此题考查学生灵活运用同角公式化简求值，会利用二次函数的图象及增减性求出函数的值域．做题时注意余弦函数的值域．
4（2019春?淄博校级月考）函数的值域为
．
【分析】先换元t＝sinx，t∈[﹣1，1]，，利用凑分母分离常数，然后逐一求式子的范围，即可求函数的值域．
【答案】解：令t＝sinx，t∈[﹣1，1]，
所以：，
∵﹣1≤t≤1，
∴2≤t+3≤4，
∴，
∴，
∴，
函数的值域为．
故答案为：．
【点睛】本题重点考查分式函数求值域问题，用到换元，利用凑分母分离常数．
5.（2019?上城区校级模拟）设函数，且以为最小正周期．
（1）求的解析式；
（2）求的对称轴方程及单调递增区间．
【分析】（1）由题意利用正弦函数的周期性，求得ω的值，可得函数的解析式．
（2）由题意利用正弦函数的图象的对称性，求得它的对称轴方程；再利用正弦函数单调性求得它的单调递增区间．
【答案】解：（1）由于函数，且以为最小正周期，∴＝，∴ω＝3，
f（x）＝3sin（3x+）．
（2）令3x+＝kπ+，求得x＝+，故函数的图象的对称轴方程为
x＝+，k∈Z．
令
2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，求得﹣≤x≤+，可得函数的增区间为[﹣，+]，k∈Z．
【点睛】本题主要考查正弦函数的周期性，正弦函数单调性以及它的图象的对称性，属于基础题．
6.（2018秋?嘉兴期末）已知函数的最小值为1．
（Ⅰ）求的值及取此最小值时的值；
（Ⅱ）求函数的最小正周期和单调递增区间．
【分析】（Ⅰ）由题意利用正弦函数的最值，求出m的值及取此最小值时的x值．
（Ⅱ）利用正弦函数的周期性以及单调性，求得函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．
【答案】解：（Ⅰ）函数
f（x）＝2sin（2x﹣）+m（m∈R）的最小值为﹣2+m＝1，∴m＝3．
取取此最小值时，2sin（2x﹣）＝﹣1，2x﹣＝2kπ﹣，求得x＝kπ﹣，k∈Z．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
f（x）＝2sin（2x﹣）+3，它的最小正周期为＝π，
令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
【点睛】本题主要考查正弦函数的最值，周期性以及单调性，属于中档档题．
7.（2019春?郑州期末）已知函数，的最小正周期为．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）在给定的平面直角坐标系中，画出函数在区间，上的图象．
【分析】（1）根据T＝，求出周期，得到函数的解析式，代入值计算即可；
（2）利用五点作图法作图即可．
【答案】解：（1）依题意得，T＝＝π，解得ω＝2，所以f（x）＝sin（2x﹣），
所以
f（π）＝sin（2×﹣）＝sin（π+）＝﹣sin＝﹣，
（2）画出函数在区间上的图象如图所示：
【点睛】本题考查了三角函数的周期性质，以及三角函数值的求法和函数图象的做法，属于基础题．
8.判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】求出定义域，判断是否关于原点对称，注意运用诱导公式，定义域化简函数式，再计算f（﹣x），与f（x）比较即可判断其偶性．
【答案】解：（1）定义域为R，f（﹣x）＝sin（﹣2x）＝﹣sin2x＝﹣f（x），
则f（x）为奇函数；
（2）f（x）＝sin（+）＝﹣cos，
定义域为R，f（﹣x）＝﹣cos（﹣）＝﹣cos＝f（x），
则f（x）为偶函数；
（3）由1﹣cosx≥0且cosx﹣1≥0，则cosx＝1，
解得，x＝2kπ，k∈Z，则定义域关于原点对称，
由于f（x）＝0，则f（﹣x）＝f（x），且f（﹣x）＝﹣f（x），
则f（x）既是奇函数，也是偶函数．
【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义，考查运算能力，属于基础题．
9.判断下列函数的奇偶性．
（1）；
（2）．
【分析】（1）容易判断f（x）的定义域包含x＝，不包含，即定义域不关于原点对称，从而得出f（x）为非奇非偶函数；
（2）容易得出f（﹣x）＝f（x），从而得出f（x）为偶函数．
【答案】解：（1）∵；
∴时，f（x）有意义，时，f（x）没意义；
∴f（x）的定义域关于原点不对称；
∴f（x）为非奇非偶函数；
（2）f（﹣x）＝sin4（﹣x）﹣cos4（﹣x）+cos（﹣2x）＝sin4x﹣cos4x+cos2x＝f（x）；
即f（﹣x）＝f（x）；
∴f（x）为偶函数．
【点睛】考查奇函数、偶函数的定义，奇函数、偶函数定义域的特点．
10.求单调性对称轴对称中心．
【分析】对于函数y＝2cos（2x﹣），令2kπ﹣π≤2x﹣≤2kπ，求得x的范围，可得函数的增区间；令2kπ≤2x﹣≤2kπ+π，求得x的范围，可得函数的减区间．令2x﹣＝kπ，求得x的值，可得函数的图象的对称中心．
【答案】解：对于y＝2cos（﹣2x）＝2cos（2x﹣），
令2kπ﹣π≤2x﹣≤2kπ，求得kπ﹣≤x≤kπ+，
可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．
令2kπ≤2x﹣≤2kπ+π，求得kπ+≤x≤kπ+，
可得函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈z．
令2x﹣＝kπ，求得x＝+，
可得函数的图象的对称中心为（+，0）．
【点睛】本题主要考查余弦函数的单调性、余弦函数的图象的对称中心，属于基础题．
11.变式训练1：求函数的对称轴，对称中心
（1）；
（2）．
【分析】直接根据正余弦函数的图象及性质求解即可．
【答案】解：（1）f（x）＝sin（2x+π）；
令2x+π＝，k∈Z
可得：x＝，
∴对称轴方程为：x＝，k∈Z
令2x+π＝kπ，k∈Z
可得：x＝，
∴对称中心（，0）．k∈Z
（2）f（x）＝2cos（x﹣）+1．
令x﹣＝，k∈Z
可得：x＝2kπ
∴对称中心（2kπ，1）．k∈Z
令x＝kπ，k∈Z
可得：x＝，
∴对称轴方程为：x＝，k∈Z
【点睛】本题考查了正余弦函数的图象及性质的应用．属于基础题．
12.（2018秋?嘉兴期末）已知函数的最小值为1．
（Ⅰ）求的值及取此最小值时的值；
（Ⅱ）求函数的最小正周期和单调递增区间．
【分析】（Ⅰ）由题意利用正弦函数的最值，求出m的值及取此最小值时的x值．
（Ⅱ）利用正弦函数的周期性以及单调性，求得函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．
【答案】解：（Ⅰ）函数
f（x）＝2sin（2x﹣）+m（m∈R）的最小值为﹣2+m＝1，∴m＝3．
取取此最小值时，2sin（2x﹣）＝﹣1，2x﹣＝2kπ﹣，求得x＝kπ﹣，k∈Z．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
f（x）＝2sin（2x﹣）+3，它的最小正周期为＝π，
令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
【点睛】本题主要考查正弦函数的最值，周期性以及单调性，属于中档档题．
13.（2019春?靖远县期末）已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）求不等式的解集．
【分析】（1）根据余弦函数的单调增区间可得，然后解出x的范围即可；
（2）由f（x）＞1可得，则，k∈Z，解出x的范围即可．
【答案】解：（1），
由，
∴，
∴f（x）的单调递增区间为；
（2）∵f（x）＞1，∴，∴，
∴，k∈Z，
∴，k∈Z，
∴不等式的解集为，k∈Z．
【点睛】本题考查了余弦函数的单调性和解三角不等式，考查了运算能力，属基础题．
14.（2019秋?福建月考）已知函数，
（1）求函数的单调区间．
（2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值．
【分析】（1）x∈[﹣，]?2x﹣∈[﹣，]，利用余弦函数的单调性即可求得f（x）＝cos（2x﹣）的单调区间；
（2）利用（1）f（x）＝cos（2x﹣）在区间[﹣，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，即可求得其最小值和最大值及取得最值时x的值．
【答案】解：（1）∵f（x）＝cos（2x﹣），x∈[﹣，]，
∴2x﹣∈[﹣，]，
由﹣≤2x﹣≤0得：﹣≤x≤，
∴当x∈[﹣，]时，函数f（x）的单调递增区间为[﹣，]；
由0≤2x﹣≤得，≤x≤，
∴当x∈[﹣，]时，函数f（x）的单调减区间为[，]；
（2）∵f（x）＝cos（2x﹣）在区间[﹣，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，
又f＝0，
f＝，
f＝cos＝﹣cos＝﹣1，
∴函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值为，此时x＝，最小值为﹣1，此时x＝．
【点睛】本题考查余弦函数的单调性，考查余弦函数的定义域和值域，考查运算能力，属于中档题．
15.已知函数的定义域为，，值域为，．
（1）求实数，的值；
（2）求函数的最小值并求出对应的集合．
【分析】（1）由x的取值范围，求出2x+的取值范围，从而求出2sin（2x+）的取值范围；讨论a＞0、a＜0时，函数f（x）的最值问题，从而求出a和b的值．
（2）根据（1）的结论，分两种情况讨论，根据正弦函数的性质即可求出．
【答案】解：（1）∵0≤x≤，
∴≤2x+≤，
∴≤sin（2x+）≤1，
∴﹣1≤2sin（2x+）≤2，
当a＞0时，解得a＝2，b＝﹣7，
当a＜0时，，解得a＝﹣2，b＝1，
（2）当a＝2，b＝﹣7时，g（x）＝﹣8sin（﹣7x﹣）＝8sin（7x+），
其最小值为﹣8，7x+＝﹣+2kπ，k∈Z，即x＝﹣+，k∈Z，对应x的集合为{x|x＝﹣+，k∈Z}，
当a＝﹣2，b＝1时，g（x）＝﹣8sin（x﹣）＝﹣8sin（x﹣），
其最小值为﹣8，x﹣＝+2kπ，k∈Z，即x＝π+2kπ，k∈Z，对应x的集合为{x|x＝π+2kπ，k∈Z}．
【点睛】本题考查了三角函数的图象与应用问题，解题时应根据三角函数的最值与值域的关系，利用分类讨论的方法，求出a和b的值．
16.已知函数，．
（1）当时，求函数的最大值；
（2）对于区间，上的任意，都有成立，求实数的取值范围．
【分析】（1）把a＝1代入函数解析式，利用平方关系化正弦为余弦，平方后求最值；
（2）f（x）＝sin2x+acosx﹣＝，令t＝cosx换元，则原函数化为y＝．由f（x）≤1，得≤1在t∈（0，1]上成立，分离参数a，由对勾函数的单调性求得g（t）＝t+在t∈（0，1]上的最小值，则答案可求．
【答案】解：（1）当a＝1时，f（x）＝sin2x+cosx﹣
＝＝．
当cosx＝时，f（x）取最大值为；
（2）f（x）＝sin2x+acosx﹣＝，
令t＝cosx，∵x∈[0，），∴t＝cosx∈（0，1]．
则原函数化为y＝．
由f（x）≤1，得≤1在t∈（0，1]上成立，
即，也就是a≤t+在t∈（0，1]上成立，
令g（t）＝t+，由对勾函数的单调性可得在t∈（0，1]上g（t）的最小值为g（1）＝．
∴a．
即实数a的取值范围是（﹣∞，]．
【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换应用，训练了利用分离参数法求解恒成立问题，考查利用对勾函数的单调性求最值，是中档题．
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精品试卷·第
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