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突破2.1及2.2
平面向量的基本概念与线性运算
一、考情分析
二、考情分析
知识点1 平面向量的线性运算
运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫作a与b的差
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
(1)结合律：λ(μ
a)＝λμ
a＝μ(λa)；(2)第一分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μ
a；(3)第二分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb
知识点2 共线向量定理、平面向量基本定理及应用
1．向量共线的判定定理和性质定理
(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ使得b＝λa，则向量b与a共线．
(2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
(3)A，B，C是平面上三点并且在同一条直线上，且A与B不重合，P是平面内任意一点，若点C在直线AB上，则存在实数λ，使得________(如图所示)．
三、题型分析
(一)
关于平面向量的概念及其特殊向量的概念（零向量与单位向量）
例1．给出下列四个命题：
①若
，则；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则“
”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；
③若，，则；
④的充要条件是且.
其中正确命题的序号是( )
A．②③
B．①②
C．③④
D．②④
【答案】A
【解析】
①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.
②正确.∵，∴且，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则且方向相同，因此.
③正确.∵，∴的长度相等且方向相同，又，∴的长度相等且方向相同，∴的长度相等且方向相同，故.
④不正确.当且方向相反时，即使，也不能得到，故且不是的充要条件，而是必要不充分条件.
【变式训练1】下列说法正确的是（
）
A．就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量叫做相等向量
C．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段
D．共线向量是在一条直线上的向量
【答案】C
【解析】对于A，若∥，则，的方向相同或相反，所在的直线与所在的直线平行或在同一直线上，故A错误；
对于B，长度相等且方向相同的向量为相等向量，故B错误；
对于D，方向相同或相反的向量叫共线向量，故共线向量不一定在同一条直线上，故D错误．
故选：C．
【变式训练2】下列说法正确的个数是（
）
①两个有公共终点的向量是平行向量；
②任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点；
③向量与不共线，则与都是非零向量；
④若，，则.
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】有公共终点的向量的方向不一定相同或相反，所以①不正确；两个相等的非零向量可以在同一直线上，故②不正确；向量与不共线，则与都是非零向量，不妨设为零向量，则与共线，这与与不共线矛盾，故③正确；，则的长度相等且方向相同；，则的长度相等且方向相同，所以的长度相等且方向相同，故，④正确.
故选：B
【变式训练3】下列说法正确的是（
）
A．与向量共线的单位向量只有
B．向量与平行，则与的方向相同或相反
C．向量与向量是两平行向量
D．单位向量都相等
【答案】C
【解析】与向量共线的单位向量有，故A项错误.因为零向量与任一向量平行，因此，若与中有一个为零向量时，其方向是不确定的，故B项错误.因为向量与方向相反，所以二者是平行向量，故C项正确;单位向量的长度都相等，方向任意，而向量相等不仅需要长度相等，还要求方向相同，故D项错误.
故选：C
(二)
平行向量与共线向量
例2．梯形中，，，、分别是和的中点，设，，则______.
【答案】
【解析】
因为、分别是和的中点，所以，，
所以，因为，，所以，
所以.
故答案为：.
【变式训练1】．已知不共线的非零向量，若与平行，则实数的值为__________．
【答案】-4.
【解析】因为与平行，所以所以，解得：
【变式训练2】．已知，，若，，且AD与BC交于E点，则=___________.(用、表示)
【答案】
【解析】
因为,三点共线,所以存在实数m使得;
又三点共线,
所以存在实数n使得,
解得，所以，
故填：.:
【变式训练3】．【2015·天津，14，中】在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则·的最小值为________．
【答案】
【解析】 如图，分别过C，D作CN⊥AB于N，DM⊥AB于M，
则AM＝BN＝，∴CD＝MN＝1.
∴·＝(＋)·(＋＋)
＝2＋·＋·＋·＋·＋·
＝4－1－2－λ＋λ＋λ·
＝＋＋≥＋2＝，
当且仅当＝，即λ＝时等号成立，此时·有最小值.
例3．已知平行四边形中，若是该平面上任意一点，则满足（）.
（1）若是的中点，求的值；
（2）若、、三点共线，求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】（1）由题意,,
又,故,即.
（2）、、三点共线，设,
则,
又,故,即.
【变式训练1】．已知，不共线，若，试确定的值．
【答案】
【解析】
∵不共线；
∴；
又；
∴存在实数，使；
即，解得.
【变式训练2】．已知、是两个不平行的向量，，，，试判断、、的位置关系，并证明你的结论.
【答案】、、三点在一条直线上.
【解析】
由已知得，又因为，
所以，所以又，所以、、三点在一条直线上.
故得解.
得解得所以.
(三)
向量的线性运算（三角形法则与平行四边行法则）
例4．（2019·湖北高三月考（文））在中，是的中点，则(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
在中，为边上的中线，为的中点，
所以
，
故选D.
【变式训练1】．如图，在中，分别是边上的中线，G是它们的交点，则下列等式中不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
为三条中线的交点
为的重心
，，，可知正确，错误
又，则正确
本题正确选项：
【变式训练2】．已知分别是的边的中点，且
给出下列等式：
①②③④
其中正确的等式是______（请将正确等式的序号填在横线上）．（6分）
【答案】①②④
【解析】由题意，如图所示，
因为，且
①中，，所以是正确的；
②中，由三角形法则，可得，所以是正确的；
③中，因为是边的中点，则，所以不正确；
④中，由三角形法则，可得，所以是正确的，
综上可知，正确命题的序号为①②④.
(四)
向量的数乘与几何意义
例5．若，且，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为，所以得到，
所以得到，所以.故选：A.
【变式训练1】．若O是所在平面内一点，D为边的中点，且，那么（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图，D为的中点，.
故选C.
【变式训练2】．如图所示，点是正六边形的中心，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】，
本题正确选项：
四、迁移应用
1．给出下列说法：①和的模相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量就是有向线段；④；⑤.其中正确说法的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】
①正确，与是方向相反、模相等的两个向量;
②错误，方向不同包括共线反向的向量；
③错误，向量用有向线段表示，但二者并不等同；
④错误，是一个向量，而0为一个数，应为；
⑤错误，向量不能比较大小.
只有①正确，故选B.
2．（2019·上海市七宝中学高二月考）任意四边形ABCD内有一点O满足，则O点的位置是（
）
A．对角线的交点
B．对边中点连线的交点
C．BD的点
D．AC的中点
【答案】B
【解析】
如图,点、分别为、的中点,
,
,易得、共线,
故选：B
3.（2018·全国高考真题（理））在△中，为边上的中线，为的中点，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A.
4.（2019·广东高三学业考试）如图，中，，，用表示，正确的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
由，可得，则，即.
故选C.
5．（2018·全国高考真题（理））已知向量满足，，则（
）
A．4
B．3
C．2
D．0
【答案】B
【解析】
因为
所以选B.
6．（2019·安徽高三月考（理））平行四边形ABCD中，，，，若，且，则的值为(
)
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】D
【解析】
∵，，∴，
即，整理可得，
即，解得．
7．（2019·山东高一期末）在中，点是边上的靠近的三等分点，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
如图有向量运算可以知道：,选择A
故选：D.
8．给出下列结论：
①数轴上相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等；
②对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应；
③数轴上向量的坐标是一个实数，实数的绝对值为线段AB的长度，若起点指向终点的方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数；
④数轴上起点和终点重合的向量是零向量，它的方向不确定，它的坐标是0.
其中正确结论的个数是(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解析】
①向量相等，则它们的坐标相等，坐标相等，则向量相等，①正确；
②实数和数轴上的点是一一对应的关系，即有一个实数就有一个点跟它对应，有一个点也就有一个实数与它对应，②正确；
③数轴用一个实数来表示向量，正负决定其方向，绝对值决定其长度，③正确；
④数轴上零向量其起点和终点重合，方向不确定，大小为0，其坐标也为0，④正确.
故选：D.
9．（2019·江西高一期中）已知，不共线，若，试确定的值．
【答案】
【解析】
∵不共线；
∴；
又；
∴存在实数，使；
即，解得.
10．设是不共线的两个非零向量.
（1）若，求证：三点共线；
（2）若与共线，求实数的值；
（3）若，且三点共线，求实数的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.（3）.
【解析】
证明：（1），所以.
又因为为公共点，所以三点共线.
（2）设，则
解得或
所以实数的值为.
（3），
因为三点共线，所以与共线.
从而存在实数使，即，
得解得所以.
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精品试卷·第
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平面向量的基本概念与线性运算
一、考情分析
二、考情分析
知识点1 平面向量的线性运算
运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫作a与b的差
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
(1)结合律：λ(μ
a)＝λμ
a＝μ(λa)；(2)第一分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μ
a；(3)第二分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb
知识点2 共线向量定理、平面向量基本定理及应用
1．向量共线的判定定理和性质定理
(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ使得b＝λa，则向量b与a共线．
(2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
(3)A，B，C是平面上三点并且在同一条直线上，且A与B不重合，P是平面内任意一点，若点C在直线AB上，则存在实数λ，使得________(如图所示)．
三、题型分析
(一)
关于平面向量的概念及其特殊向量的概念（零向量与单位向量）
例1．给出下列四个命题：
①若
，则；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则“
”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；
③若，，则；
④的充要条件是且.
其中正确命题的序号是( )
A．②③
B．①②
C．③④
D．②④
【变式训练1】下列说法正确的是（
）
A．就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量叫做相等向量
C．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段
D．共线向量是在一条直线上的向量
【变式训练2】下列说法正确的个数是（
）
①两个有公共终点的向量是平行向量；
②任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点；
③向量与不共线，则与都是非零向量；
④若，，则.
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式训练3】下列说法正确的是（
）
A．与向量共线的单位向量只有
B．向量与平行，则与的方向相同或相反
C．向量与向量是两平行向量
D．单位向量都相等
(二)
平行向量与共线向量
例2．梯形中，，，、分别是和的中点，设，，则______.
【变式训练1】．已知不共线的非零向量，若与平行，则实数的值为__________．
【变式训练2】．已知，，若，，且AD与BC交于E点，则=___________.(用、表示)
【变式训练3】．【2015·天津，14，中】在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则·的最小值为________．
例3．已知平行四边形中，若是该平面上任意一点，则满足（）.
（1）若是的中点，求的值；
（2）若、、三点共线，求证：.
【变式训练1】．已知，不共线，若，试确定的值．
【变式训练2】．已知、是两个不平行的向量，，，，试判断、、的位置关系，并证明你的结论.
(三)
向量的线性运算（三角形法则与平行四边行法则）
例4．（2019·湖北高三月考（文））在中，是的中点，则(
)
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】．如图，在中，分别是边上的中线，G是它们的交点，则下列等式中不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2】．已知分别是的边的中点，且
给出下列等式：
①②③④
其中正确的等式是______（请将正确等式的序号填在横线上）．（6分）
(四)
向量的数乘与几何意义
例5．若，且，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】．若O是所在平面内一点，D为边的中点，且，那么（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2】．如图所示，点是正六边形的中心，则（ ）
A．
B．
C．
D．
四、迁移应用
1．给出下列说法：①和的模相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量就是有向线段；④；⑤.其中正确说法的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
2．（2019·上海市七宝中学高二月考）任意四边形ABCD内有一点O满足，则O点的位置是（
）
A．对角线的交点
B．对边中点连线的交点
C．BD的点
D．AC的中点
3.（2018·全国高考真题（理））在△中，为边上的中线，为的中点，则（
）
A．
B．
C．
D．
4.（2019·广东高三学业考试）如图，中，，，用表示，正确的是(
)
A．
B．
C．
D．
5．（2018·全国高考真题（理））已知向量满足，，则（
）
A．4
B．3
C．2
D．0
6．（2019·安徽高三月考（理））平行四边形ABCD中，，，，若，且，则的值为(
)
A．3
B．4
C．5
D．6
7．（2019·山东高一期末）在中，点是边上的靠近的三等分点，则（
）
A．
B．
C．
D．
8．给出下列结论：
①数轴上相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等；
②对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应；
③数轴上向量的坐标是一个实数，实数的绝对值为线段AB的长度，若起点指向终点的方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数；
④数轴上起点和终点重合的向量是零向量，它的方向不确定，它的坐标是0.
其中正确结论的个数是(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
9．（2019·江西高一期中）已知，不共线，若，试确定的值．
10．设是不共线的两个非零向量.
（1）若，求证：三点共线；
（2）若与共线，求实数的值；
（3）若，且三点共线，求实数的值.
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