中小学教育资源及组卷应用平台
突破2.5
平面向量的应用举例（在几何
物理等综合运用）
一、考情分析
高考对本部分的考查主要涉及平面向量的数量积和向量的线性运算，以运算求解和数形结合为主，重点掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，掌握向量加法、减法、数乘的运算及其几何意义等，注重转化与化归思想的应用.
平面向量的数量积一直是高考的一个热点，尤其是平面向量的数量积，主要考查平面向量的数量积的
运算、向量的几何意义、模与夹角、两向量的垂直等问题．题型一般以选择题、填空题为主.
平面向量的基本定理及坐标表示是高考中的一个热点内容，尤其是用坐标表示的向量共线的条件是高
考考查的重点内容，一般是通过向量的坐标表示，将几何问题转化为代数问题来解决，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也作为解答题中的条件，应用向量的平行或垂直关系进行转换．
二、经验分享
1.向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为0的向量其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位长度的向量
非零向量a的单位向量为±
平行向量
方向相同或相反的非零向量
0与任一向量平行或共线
共线向量
方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
2.向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
向量的加法
求两个向量和的运算
(1)交换律：a＋b＝b＋a.
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
向量的减法
求两个向量差的运算
三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb
3.向量共线定理
如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.
4、平面向量基本定理
（1）平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解.
向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键.
（2）平面向量共线的坐标表示
两向量平行的充要条件
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是a＝λb，这与x1y2－x2y1＝0在本质上是没有差异的，只是形式上不同.
（3）三点共线的判断方法：
判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定.
失误与防范
要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况.
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.
5、平面向量的数量积
已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos
θ叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b＝|a||b|cos
θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.
两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b＝0，两个非零向量a与b平行的充要条件是a·b＝±|a||b|.
6、平面向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos
θ的乘积.
7、平面向量数量积的重要性质
(1)e·a＝a·e＝|a|cos
θ；
(2)非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0；
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝a2，|a|＝；
(4)cos
θ＝；
(5)|a·b|≤|a||b|.
8、平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
9、平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝||＝.
(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
10、主要问题归类与方法：
1）几何图形中的向量关系与计算问题
方法1：基底法，选择适当的基底，把所研究的向量用基底表示；
方法2：坐标法，建立适当的坐标系，找到图形中各点的坐标，从而求出各向量的坐标．
2）方法选择与优化建议：
解决这类问题的基本方法是：（1）基底法；（2）坐标法．第(1)题用基底法，方便，第(2)题的两种解法总体难度相当，坐标法相对比较好想一点．
三、题型分析
（一）平面向量线性运算问题的求解策略：
（1）进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．
（2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．
（3）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：
①观察各向量的位置；
②寻找相应的三角形或多边形；
③运用法则找关系；
④化简结果.
例1.（1）.【2018年高考全国I卷理数】在中，为边上的中线，为的中点，则
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据向量的运算法则，可得
，
所以.故选A.
【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
（2）.【广东省2019届高三适应性考试数学试题】已知中，点是边的中点，若点满足，则
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由点M是边BC的中点，可得2，
由，可得2（）4，
即2（）+12，
可得6，即∥，
故选D．
【名师点睛】本题考查向量的中点表示，以及向量的加减运算和向量共线定理的运用，考查化简运算能力，属于基础题．解答时，由向量的中点表示和加减运算、以及向量的共线定理，即可得到结论．
【变式训练1】．【湖师范大学附属中学2019届高三数学试题】如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的
中点，F为CE的中点，则
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据题意得：，又，，所以.故选D.
【名师点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础试题.
【变式训练2】．如图，在同一个平面内，向量、，的模分别为1，1，，与的夹角为，且，与的夹角为，若，
则的值为____________．
【答案】3
【解析】由可得，，根据向量分解易得：
，即，解得
所以．
平面向量的坐标运算（平行与垂直）：
例2．【福建省宁德市2019届高三毕业班第二次（5月）质量检查考试数学试题】若已知向量，，若，则的值为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】∵向量，，且，
∴，即，
∴，
故选D.
【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及向量平行的充要条件，数量积坐标运算，考查计算能
【变式训练】已知非零向量满足，且，则的夹角为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】∵，且，
∴，且，
∴，
∴，
又，∴．
故选D．
【名师点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计算公式，以及向量夹角的范围，属于基础题．求解时，根据，得，再根据进行数量积的运算即可求出的值，根据向量夹角的范围即可求出夹角．
力，属于基础题.求解时，利用向量平行的充要条件得到，进而利用数量积的坐标运算得到结果.
（三）平面向量数量积的类型及求法：
（1）平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式；二是坐标公式.
（2）求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.
（3）两个应用：
①求夹角的大小：若a，b为非零向量，则由平面向量的数量积公式得(夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题．
②确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.
例3．（1）.【2019年高考天津卷理数】在四边形中，，点在线段的延长线上，且，则_____________．
【答案】
【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB=30°，则，.
因为∥，，所以，
因为，所以，
所以直线的斜率为，其方程为，
直线的斜率为，其方程为.
由得，，
所以.
所以.
【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便.
（2）..【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)数学试题】在矩形中，,．若点，分别是，的中点，则
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】C
【解析】由题意作出图形，如图所示：
由图及题意，可得：
，
.
∴.
故选：C．
【名师点睛】本题主要考查基底向量的设立，以及向量数量积的运算，属基础题．
【变式训练1】如图，已知等腰梯形中，是的中点，是线段上的动点，则的最小值是
A．
B．0
C．
D．1
【答案】A
【解析】由等腰梯形的知识可知，
设，则，
，
，
当时，取得最小值．
故选A．
【名师点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．求解时，计算，设，把代入得出关于的函数，根据的范围得出最小值．
（四）平面向量的模及其应用的类型与解题策略：
（1）求向量的模．解决此类问题应注意模的计算公式，或坐标公式的应用，另外也可以运用向量数量积的运算公式列方程求解．
（2）求模的最值或取值范围．解决此类问题通常有以下两种方法：
①几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围；
②代数法：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围．
（3）由向量的模求夹角．对于此类问题的求解，其实质是求向量模方法的逆运用.
例4．【山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校际联合考试数学试题】已知，，且，则向量在方向上的投影的数量为
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由得，所以，
所以向量在方向上的投影的数量为，
故选D.
【名师点睛】本题主要考查向量的投影，熟记向量数量积的几何意义即可，属于常考题型.求解时，先由求出，再由即可求出结果.
【变式训练1】已知向量满足，且在方向上的投影是，则实数
A．
B．2
C．
D．
【答案】A
【解析】因为向量满足，，
所以，
设向量的夹角为，则，
所以，即，解得.
故选A.
【名师点睛】本题主要考查向量的投影及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:
（1）求向量的夹角，
（此时往往用坐标形式求解）；
（2）求投影，在上的投影是；
（3）若向量垂直，则；
（4）求向量的模（平方后需求）.
【变式训练2】已知向量满足，，与垂直，则的最小值为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意知与垂直，则，可得．
又由，
所以当时，取得最小值1．
故选B．
【名师点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算及其应用，以及向量的垂直条件和向量的模的计算，其中解答中熟记向量的模、数量积和向量的坐标运算，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．求解时，根据向量的模与数量积的运算，求得，再根据二次函数的性质，即可求解．
（五）向量与平面几何综合问题的解法：
（1）坐标法
把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
（2）基向量法
适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．
例5、已知向量a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a，b是夹角为60°的两个单位向量．若向量c满足c·(a＋2b)＝－5，则|c|的最小值为
．
【答案】．eq
\f(5,7)
【解析】解法1（基向量和定义法）：因为
，
设c与a＋2b的夹角为，由c·(a＋2b)＝－5得：－5，
即，，所以，当时，|c|的最小值为eq
\f(5,7).
解法2（坐标法）：建立平面直角坐标系，设
a，b，c，因为c·(a＋2b)＝－5，
所以，即，所以点为直线上的动点，又|c|
（为坐标原点），所以|c|的最小值即为坐标原点到直线的距离，即|c|.
【变式训练1】在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，＝λ.若·＝－，则实数λ的值为________．
【答案】
【解析】解法1(基底法)
因为＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝λ＋(1－λ)，所以·＝[λ＋(1－λ)]·(－)＝λ||2＋(λ－1)||2＋(1－2λ)·＝4λ＋9(λ－1)＋(1－2λ)×2×3×cos120°＝19λ－12＝－，解得λ＝.
解法2(坐标运算法)
建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意有，A(0，0)，B(3，0)，C(－1，)，设点M的坐标为(x，y)，则(x－3，y)＝λ(－1－3，)，即故·＝(3－4λ，λ)·(－4，)＝19λ－12＝－，解得λ＝.
题型六
平面向量数量积中的隐圆问题
通过建系运用相关点法即可求得点的轨迹方程，通过点的轨迹方程发现其轨迹是一个圆，接下来问题就转化为定点与圆上的动点的距离的最小值问题，那就简单了．一般与动点有关的最值问题，往往运用轨迹思想，首先探求动点的轨迹，在了解其轨迹的基础上一般可将问题转化为点与圆的关系或直线与圆的关系或两圆之间的关系．
例6、已知△ABC是边长为3的等边三角形，点P是以A为圆心的单位圆上一动点，点Q满足＝＋，则||的最小值是________.
【答案】
－
【解析】解法1
以A为原点，AB为x轴建立平面直角坐标系，则＝(3，0)，＝，设Q(x，y)，P(x′，y′)，由＝＋，得＝，
即所以两式平方相加得2＋2＝(x′2＋y′2)，因为点P(x′，y′)在以A为圆心的单位圆上，所以x′2＋y′2＝1，从而有2＋2＝，所以点Q是以M为圆心，R＝的圆上的动点，因此BQmin＝BM－R＝－＝－.
【变式训练1】
已知||＝||＝，且·＝1.若点C满足|＋|＝1，则||的取值范围是________．
【答案】[－1，＋1]
【解析】如图，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，则＝＋，因为||＝||＝，·＝1，所以||＝|＋|＝＝＝，由|＋|＝1得|＋|＝|＋－|＝|－|＝||＝1，所以点C在以点D为圆心，1为半径的圆上，而||表示点C到点O的距离，从而||－1≤||≤||＋1，即－1≤||≤＋1，即||的取值范围是[－1，＋1]．
【变式训练2】已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，AB＝8，CD＝6，则·的取值范围是________．
【答案】[－9，0]
【解析】思路分析1
注意到圆是中心对称图形，因此，利用圆心来将所研究的向量关系进行转化，进而将问题转化为研究的模的问题来进行求解．
思路分析2
注意到这是与圆有关的问题，而研究与圆有关的问题在坐标系中研究较为方便，因此，通过建立直角坐标系，将问题转化为向量的坐标来进行求解．
解法1
因为＝＋，＝＋，又＝－，因此·＝2＋·(＋)＋·＝2－2＝2－16.因为M是弦CD上的动点，所以MOmax＝4，此时点M在圆上，MOmin＝＝，此时点M为弦CD的中点，故·∈[－9，0]．
解法2
以AB所在的直线为x轴，它的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，设M(x，y)，则A(4，0)，B(－4，0)，从而＝(4－x，－y)，＝(－4－x，－y)，故·＝x2＋y2－16.又因为点M为弦CD上的动点，且CD＝6，所以7＝16－9≤x2＋y2≤16，其中最小值在CD的中点时取得，所以·的取值范围是[－9，0]．
四、迁移应用
1.已知向量，，若（），则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】据已知得：，，，所以有，2m=1,m=.
【点睛】本题考查了向量的坐标运算和向量的平行的运算，属于基础题
2.
若等边的边长为，点满足，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D.
【解析】：，
故选D.
3.最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，我国的《九章算术》也有记载.所以，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理.现有满足“勾3股4弦5”，如图所示，其中，D为弦上一点（不含端点），且满足勾股定理，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由题意求出，故选A.
4.若,,满足,
,则的最大值为（
）
A.
10
B.
12
C.
D.
【答案】B.
【解析】：方法一：如图
方法二：
的最大值为故选B．
5.
已知非零向量满足：，，则向量的夹角的大小为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
B.
【解析】由有，则，有，故选B．
【点评】本题考查了向量垂直的关系和向量夹角的运算，向量的模。属于基础题.
6.已知为内部一点，且,则（
）
A.
1
B.
C.
2
D.
【答案】：D.
【解析】由题意，，即。
如图所示，令,则,
即为的重心，则,可得。
7．已知向量，，，则向量与向量的夹角为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】,，
只有C选项，
【方法点评】考查向量的数量积以及三角函数的诱导公式。基础题
8.
已知中，，E为BD中点，若，则的值为
（
）
A.
2
B.
6
C.
8
D.
10
【答案】C
【解析】由已知得：
所以.
9.在△ABC中，角A为，角A的平分线AD交BC于点D，已知,且,则在方向上的投影是（
）
A.1
B.
C.3
D,
【答案】D
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
突破2.5
平面向量的应用举例（在几何
物理等综合运用）
一、考情分析
高考对本部分的考查主要涉及平面向量的数量积和向量的线性运算，以运算求解和数形结合为主，重点掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，掌握向量加法、减法、数乘的运算及其几何意义等，注重转化与化归思想的应用.
平面向量的数量积一直是高考的一个热点，尤其是平面向量的数量积，主要考查平面向量的数量积的
运算、向量的几何意义、模与夹角、两向量的垂直等问题．题型一般以选择题、填空题为主.
平面向量的基本定理及坐标表示是高考中的一个热点内容，尤其是用坐标表示的向量共线的条件是高
考考查的重点内容，一般是通过向量的坐标表示，将几何问题转化为代数问题来解决，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也作为解答题中的条件，应用向量的平行或垂直关系进行转换．
二、经验分享
1.向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为0的向量其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位长度的向量
非零向量a的单位向量为±
平行向量
方向相同或相反的非零向量
0与任一向量平行或共线
共线向量
方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
2.向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
向量的加法
求两个向量和的运算
(1)交换律：a＋b＝b＋a.
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
向量的减法
求两个向量差的运算
三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb
3.向量共线定理
如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.
4、平面向量基本定理
（1）平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解.
向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键.
（2）平面向量共线的坐标表示
两向量平行的充要条件
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是a＝λb，这与x1y2－x2y1＝0在本质上是没有差异的，只是形式上不同.
（3）三点共线的判断方法：
判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定.
失误与防范
要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况.
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.
5、平面向量的数量积
已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos
θ叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b＝|a||b|cos
θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.
两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b＝0，两个非零向量a与b平行的充要条件是a·b＝±|a||b|.
6、平面向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos
θ的乘积.
7、平面向量数量积的重要性质
(1)e·a＝a·e＝|a|cos
θ；
(2)非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0；
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝a2，|a|＝；
(4)cos
θ＝；
(5)|a·b|≤|a||b|.
8、平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
9、平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝||＝.
(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
10、主要问题归类与方法：
1）几何图形中的向量关系与计算问题
方法1：基底法，选择适当的基底，把所研究的向量用基底表示；
方法2：坐标法，建立适当的坐标系，找到图形中各点的坐标，从而求出各向量的坐标．
2）方法选择与优化建议：
解决这类问题的基本方法是：（1）基底法；（2）坐标法．第(1)题用基底法，方便，第(2)题的两种解法总体难度相当，坐标法相对比较好想一点．
三、题型分析
（一）平面向量线性运算问题的求解策略：
（1）进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．
（2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．
（3）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：
①观察各向量的位置；
②寻找相应的三角形或多边形；
③运用法则找关系；
④化简结果.
例1.（1）.【2018年高考全国I卷理数】在中，为边上的中线，为的中点，则
A．
B．
C．
D．
（2）.【广东省2019届高三适应性考试数学试题】已知中，点是边的中点，若点满足，则
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】．【湖师范大学附属中学2019届高三数学试题】如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的
中点，F为CE的中点，则
A．
B．
C．
D．
【变式训练2】．如图，在同一个平面内，向量、，的模分别为1，1，，与的夹角为，且，与的夹角为，若，
则的值为____________．
平面向量的坐标运算（平行与垂直）：
例2．【福建省宁德市2019届高三毕业班第二次（5月）质量检查考试数学试题】若已知向量，，若，则的值为
A．
B．
C．
D．
【变式训练】已知非零向量满足，且，则的夹角为
A．
B．
C．
D．
（三）平面向量数量积的类型及求法：
（1）平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式；二是坐标公式.
（2）求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.
（3）两个应用：
①求夹角的大小：若a，b为非零向量，则由平面向量的数量积公式得(夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题．
②确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.
例3．（1）.【2019年高考天津卷理数】在四边形中，，点在线段的延长线上，且，则_____________．
（2）..【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)数学试题】在矩形中，,．若点，分别是，的中点，则
A．4
B．3
C．2
D．1
【变式训练1】如图，已知等腰梯形中，是的中点，是线段上的动点，则的最小值是
A．
B．0
C．
D．1
（四）平面向量的模及其应用的类型与解题策略：
（1）求向量的模．解决此类问题应注意模的计算公式，或坐标公式的应用，另外也可以运用向量数量积的运算公式列方程求解．
（2）求模的最值或取值范围．解决此类问题通常有以下两种方法：
①几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围；
②代数法：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围．
（3）由向量的模求夹角．对于此类问题的求解，其实质是求向量模方法的逆运用.
例4．【山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校际联合考试数学试题】已知，，且，则向量在方向上的投影的数量为
A．1
B．
C．
D．
【变式训练1】已知向量满足，且在方向上的投影是，则实数
A．
B．2
C．
D．
【变式训练2】已知向量满足，，与垂直，则的最小值为
A．
B．
C．
D．
（五）向量与平面几何综合问题的解法：
（1）坐标法
把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
（2）基向量法
适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．
例5、已知向量a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a，b是夹角为60°的两个单位向量．若向量c满足c·(a＋2b)＝－5，则|c|的最小值为
．
题型六
平面向量数量积中的隐圆问题
通过建系运用相关点法即可求得点的轨迹方程，通过点的轨迹方程发现其轨迹是一个圆，接下来问题就转化为定点与圆上的动点的距离的最小值问题，那就简单了．一般与动点有关的最值问题，往往运用轨迹思想，首先探求动点的轨迹，在了解其轨迹的基础上一般可将问题转化为点与圆的关系或直线与圆的关系或两圆之间的关系．
例6、已知△ABC是边长为3的等边三角形，点P是以A为圆心的单位圆上一动点，点Q满足＝＋，则||的最小值是________.
【变式训练1】
已知||＝||＝，且·＝1.若点C满足|＋|＝1，则||的取值范围是________．
【变式训练2】已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，AB＝8，CD＝6，则·的取值范围是________．
四、迁移应用
1.已知向量，，若（），则（
）
A．
B．
C．
D．
2.
若等边的边长为，点满足，则（
）
A.
B.
C.
D.
3.最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，我国的《九章算术》也有记载.所以，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理.现有满足“勾3股4弦5”，如图所示，其中，D为弦上一点（不含端点），且满足勾股定理，则（
）
A.
B.
C.
D.
4.若,,满足,
,则的最大值为（
）
A.
10
B.
12
C.
D.
5.
已知非零向量满足：，，则向量的夹角的大小为（
）
A.
B.
C.
D.
6.已知为内部一点，且,则（
）
A.
1
B.
C.
2
D.
7．已知向量，，，则向量与向量的夹角为（
）
A．
B．
C．
D．
8.
已知中，，E为BD中点，若，则的值为
（
）
A.
2
B.
6
C.
8
D.
10
9.在△ABC中，角A为，角A的平分线AD交BC于点D，已知,且,则在方向上的投影是（
）
A.1
B.
C.3
D,
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
