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突破2.3及2.4
平面向量的坐标运算及其数量积
一、考情分析
二、经验分享
三、题型分析
(一)
平面向量的基本定理与坐标表示
知识点1
平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．
例1．（1）.（2019·四川雅安中学高一月考）以下四组向量能作为基底的是（
）
A．
B．
C．
D．
（2）.（2019·江西高一期末（理））设是平面内的一组基底,则下面四组向量中,能作为基底的是（
）
A．与
B．与
C．与
D．与
（3）.（2019·内蒙古高三月考（理））在正方形中，点为内切圆的圆心，若，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】．（2011·北京高三开学考试（理））在平行四边形ABCD中，，，，则
.（用表示）
【变式训练2】．（2019·全国高三月考（理））己知边长为2的正方形，分别是边上的两个点，，若，则的最小值为_____________.
(二)
平面向量的坐标运算
知识点2
平面向量的坐标运算
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)．
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)．
(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)．
(4)a·b＝x1x2＋y1y2.
(5)|a|＝eq
\r(x＋y).若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.
例2．（1）.（2019·福建高三月考）已知，若，则的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
（2）.（2019·湖南高一期末）已知，，则（
）
A．2
B．
C．4
D．
【变式训练1】.（2017·湖北高一期中（文））已知向量，向量.
（1）求向量的坐标；
（2）当为何值时，向量与向量共线.
【变式训练2】.（2018·上海市嘉定区封浜高级中学高二期中）已知，为坐标原点.
(1)
求向量的坐标及；
(2)
若，求与同向的单位向量的坐标．
(三)
平面向量的数量积
知识点3．平面向量数量积
1．平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角．
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos
θ叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos
θ.规定：0·a＝0.
(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的模|a|与b在a的方向上的投影|b|cos
θ的乘积．
2．平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则
(1)e·a＝a·e＝|a|cos
θ.
(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(3)cos
θ＝.
(4)|a·b|≤|a||b|.
3．平面向量数量积的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ，则
(1)a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)|a|＝eq
\r(x＋y).若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.
(3)cos
θ＝eq
\f(x1x2＋y1y2,\r(x＋y)·\r(x＋y)).
(4)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
例3．（1）.（2019·陕西高二期中（文））平面向量与的夹角为60°，且，，则（
）
A．
B．
C．19
D．
（2）.（2019·全国高考真题（理））已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=
A．-3
B．-2
C．2
D．3
【变式训练1】.（2019·安徽高三月考（理））已知，，均为单位向量，与的夹角为，则的最大值为(
)
A．
B．
C．2
D．3
【变式训练2】.（2018·浙江高考真题）若，，均为单位向量，且，，则的最大值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【变式训练3】.（2019·江苏高考真题）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.
【变式训练4】.（2019·浙江高一期中）已知为单位向量，.
（1）求；
（2）求与的夹角的余弦值；
(四)
平面向量的应用（平行与垂直）
知识点1
平面向量的平行与垂直
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)．
(1)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件为x1y2－x2y1＝0.
a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0.判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定．
(2)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
x1y2－x2y1＝0与x1x2＋y1y2＝0不同，前者是两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．
例4．(1)．设向量，若向量与向量垂直，则实数的值为（
）
A．
B．1
C．
D．
(2)．（2019·河南高三月考（理））已知的重心恰好在以边为直径的圆上，若，则（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式训练1】（2017·浙江高考真题）已知向量满足，则的最小值是___________，最大值是______.
【变式训练2】．（2017·江苏高考真题）在同一个平面内，向量的模分别为与的夹角为，且与的夹角为，若，则_________．
四、迁移应用
1.已知平面向量满足，，，则的最小值_____________
2．(2015·天津，14，中)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则·的最小值为________．
3．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝( )
A．2
B．4
C．5
D．10
4．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．
5．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．
6．在平行四边形ABCD中，∠A＝，边AB，AD的长分别为2，1.若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是________．
7.(1)在四边形ABCD中，＝(1，2)，＝(－4，2)，则该四边形的面积为( )
A.
B．2
C．5
D．10
(2)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．
8.已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________．
9．已知向量＝(2，2)，＝(4，1)，在x轴上存在一点P使·有最小值，则点P的坐标是( )
A．(－3，0)
B．(2，0)
C．(3，0)
D．(4，0)
10.已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若3＋4＋5＝0，则△AOC的面积为( )
A.
B.
C.
D.
11.已知点O为△ABC的外心，且||＝4，||＝2，则·＝________．
12．(2015·福建福州一模，6)如图，设向量＝(3，1)，＝(1，3)，若＝λ＋μ，且λ≥μ≥1，则用阴影表示C点所有可能的位置区域正确的是( )
13．(2015·黑龙江伊春质检，6)已知平面向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为120°，若(a＋mb)⊥a，则实数m的值为( )
A．1
B.
C．2
D．3
14．(2015·河南中原名校联考，4)已知不共线向量a，b，|a|＝2，|b|＝3，a·(b－a)＝1，则|a－b|＝( )
A.
B．2
C.
D.
15．设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有如下四个命题：
①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；
②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；
③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc；
④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μ
c.
上述命题中的向量b，c和a在同一个平面内且两两不共线，则真命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
16．(2015·山西晋中十校联考，6)已知O为原点，点A，B的坐标分别为(a，0)，(0，a)，其中常数a>0，点P在线段AB上，且有＝t(0≤t≤1)，则·的最大值为( )
A．a
B．2a
C．3a
D．a2
17．已知点O为△ABC所在平面内一点，且2＋2＝2＋2＝2＋2，则O一定为△ABC的( )
A．外心
B．内心
C．垂心
D．重心
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．
19．在三角形ABC中，，，，是线段上一点，且，为线段上一点．
（1）设，，设，求；.
（2）求的取值范围；
（3）若为线段的中点，直线与相交于点，求．
20．设向量，，是不共线的非零向量，且向量，．
（1）证明：可以作为一组基底；
（2）以为基底，求向量的分解式；
（3）若，求，的值．
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突破2.3及2.4
平面向量的坐标运算及其数量积
一、考情分析
二、经验分享
三、题型分析
(一)
平面向量的基本定理与坐标表示
知识点1
平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．
例1．（1）.（2019·四川雅安中学高一月考）以下四组向量能作为基底的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于，与共线，不能作为基底；
对于，与不共线，能作为基底；
对于，与共线，不能作为基底；
对于，与共线，不能作为基底，故选B.
（2）.（2019·江西高一期末（理））设是平面内的一组基底,则下面四组向量中,能作为基底的是（
）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】C
【解析】
由是平面内的一组基底，所以和不共线，
对应选项A：，所以这2个向量共线，不能作为基底；
对应选项B：，所以这2个向量共线，不能作为基底；
对应选项D：，所以这2个向量共线，不能作为基底；
对应选项C：与不共线，能作为基底.
故选：C．
（3）.（2019·内蒙古高三月考（理））在正方形中，点为内切圆的圆心，若，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】连并延长到与相交于点，设正方形的边长为1，则，设内切圆的半径为，则，可得.
设内切圆在边上的切点为，则，有，，故.
故选：D
【变式训练1】．（2011·北京高三开学考试（理））在平行四边形ABCD中，，，，则
.（用表示）
【答案】
【解析】如图：
＝－＝＋2＝＋＝－＋(－)＝－＋
＝.故本题答案为.
【变式训练2】．（2019·全国高三月考（理））己知边长为2的正方形，分别是边上的两个点，，若，则的最小值为_____________.
【答案】
【解析】以为原点，所在的直线建立如图所示的平面直角坐标系，
则，设
，，
由可得，故.
，
进一步化简可得，
当时，有最小值且为，故填.
(二)
平面向量的坐标运算
知识点2
平面向量的坐标运算
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)．
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)．
(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)．
(4)a·b＝x1x2＋y1y2.
(5)|a|＝eq
\r(x＋y).若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.
例2．（1）.（2019·福建高三月考）已知，若，则的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设,因为,所以.
所以,所以,
解得:
,.所以.故选D.
（2）.（2019·湖南高一期末）已知，，则（
）
A．2
B．
C．4
D．
【答案】C
【解析】由题得=（0,4）所以．故选：C
【变式训练1】.（2017·湖北高一期中（文））已知向量，向量.
（1）求向量的坐标；
（2）当为何值时，向量与向量共线.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）
（2），
∵与共线，∴∴
【变式训练2】.（2018·上海市嘉定区封浜高级中学高二期中）已知，为坐标原点.
(1)
求向量的坐标及；
(2)
若，求与同向的单位向量的坐标．
【答案】(1)
，；（2）.
【解析】
（1）,.
（2）,
,
与同向的单位向量.
(三)
平面向量的数量积
知识点3．平面向量数量积
1．平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角．
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos
θ叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos
θ.规定：0·a＝0.
(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的模|a|与b在a的方向上的投影|b|cos
θ的乘积．
2．平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则
(1)e·a＝a·e＝|a|cos
θ.
(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(3)cos
θ＝.
(4)|a·b|≤|a||b|.
3．平面向量数量积的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ，则
(1)a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)|a|＝eq
\r(x＋y).若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.
(3)cos
θ＝eq
\f(x1x2＋y1y2,\r(x＋y)·\r(x＋y)).
(4)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
例3．（1）.（2019·陕西高二期中（文））平面向量与的夹角为60°，且，，则（
）
A．
B．
C．19
D．
【答案】B
【解析】
依题意.
故选：B.
（2）.（2019·全国高考真题（理））已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=
A．-3
B．-2
C．2
D．3
【答案】C
【解析】
由，，得，则，．故选C
【变式训练1】.（2019·安徽高三月考（理））已知，，均为单位向量，与的夹角为，则的最大值为(
)
A．
B．
C．2
D．3
【答案】B
【解析】
设与的夹角为，因为，，
所以，
所以，所以，此时.故选：B．
【变式训练2】.（2018·浙江高考真题）若，，均为单位向量，且，，则的最大值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】B
【解析】
∵，，均为单位向量，且，，则
0，
∴?（）≥1．
而
2223﹣2?（）≤3﹣2＝1，
故的最大值为
1，
故选：B．
【变式训练3】.（2019·江苏高考真题）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.
【答案】.
【解析】
如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.
，
得即故.
【变式训练4】.（2019·浙江高一期中）已知为单位向量，.
（1）求；
（2）求与的夹角的余弦值；
【答案】（1）；（2）.
【解析】
由题得；
由题得与的夹角的余弦值为
故答案为：（1）；（2）.
(四)
平面向量的应用（平行与垂直）
知识点1
平面向量的平行与垂直
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)．
(1)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件为x1y2－x2y1＝0.
a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0.判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定．
(2)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
x1y2－x2y1＝0与x1x2＋y1y2＝0不同，前者是两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．
例4．(1)．设向量，若向量与向量垂直，则实数的值为（
）
A．
B．1
C．
D．
【答案】D
【解析】
由已知得，向量与向量垂直，
.即，解得.故选D.
(2)．（2019·河南高三月考（理））已知的重心恰好在以边为直径的圆上，若，则（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】
设的中点为，则.因为的重心恰好在以边为直径的圆上，所以且
，解得.
【变式训练1】（2017·浙江高考真题）已知向量满足，则的最小值是___________，最大值是______.
【答案】4
【解析】
设向量的夹角为，由余弦定理有：，
，则：
，
令，则，
据此可得：，
即的最小值是4，最大值是．
【变式训练2】．（2017·江苏高考真题）在同一个平面内，向量的模分别为与的夹角为，且与的夹角为，若，则_________．
【答案】
【解析】
以为轴，建立直角坐标系，则，由的模为与与的夹角为，且知，
，可得，，由可得，，故答案为.
四、迁移应用
1.已知平面向量满足，，，则的最小值_____________
【答案】-4
【解析】设，，，由，得：
所以解得：，
故此的最小值为-4.
2．(2015·天津，14，中)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则·的最小值为________．
【答案】
【解析】 如图，分别过C，D作CN⊥AB于N，DM⊥AB于M，
则AM＝BN＝，∴CD＝MN＝1.
∴·＝(＋)·(＋＋)
＝2＋·＋·＋·＋·＋·
＝4－1－2－λ＋λ＋λ·
＝＋＋≥＋2＝，
当且仅当＝，即λ＝时等号成立，此时·有最小值.
3．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝( )
A．2
B．4
C．5
D．10
【答案】 D 方法一：以C为原点，CA，CB所在直线分别为x，y轴建立直角坐标系．设A(a，0)，B(0，b)，则D，P.从而|PA|2＋|PB|2＝＋＝(a2＋b2)＝10|PC|2，故＝10.
方法二：因为－＝，且＋＝2，两式平方相加得22＋22＝2＋42＝42＋42＝202，故＝10.
4．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．
【解析】 由题意，＝＋＝＋，
＝＋＝＋＝－，
所以·＝
·
＝2－·－2，
代入数据得2＝25－·－×64，
解得·＝22.
【答案】 22
5．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．
【解析】 ①以D点为原点，DC，DA所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的直角坐标系，则D(0，0)，A(0，1)，B(1，1)，C(1，0)．设E(x，1)，那么＝(x，1)，＝(0，1)，
∴·＝1.
②∵＝(1，0)，
∴·＝x.
∵正方形的边长为1，∴x的最大值为1，故·的最大值为1.
【答案】 1 1
6．在平行四边形ABCD中，∠A＝，边AB，AD的长分别为2，1.若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是________．
【解析】 方法一：因为点M，N分别在边BC和CD上，
可设＝＝k∈[0，1]，
则·＝(＋)·(＋＋)
＝(＋k)·(＋＋k)
＝ 2＋·＋k·＋k·＋k 2＋k2·＝4＋2×1×－4k＋2×1×k＋k－1×2×k2＝5－2k－k2＝－(k＋1)2＋6∈[2，5]，k∈[0，1]．
方法二：建立平面直角坐标系，如图．
则B(2，0)，C，D.
令＝＝λ，则M，N.
∴·＝·＋λ＝－λ2－2λ＋5＝－(λ＋1)2＋6.
∵0≤λ≤1，∴·∈[2，5]．
【答案】 [2，5]
7.(1)在四边形ABCD中，＝(1，2)，＝(－4，2)，则该四边形的面积为( )
A.
B．2
C．5
D．10
(2)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．
【解析】 (1)·＝(1，2)·(－4，2)＝0，故⊥.故四边形ABCD的对角线互相垂直，面积S＝·||·||＝××2＝5，故选C.
(2)方法一：由题意可知，＝＋，＝－＋.因为·＝1，
所以(＋)·＝1，则2＋·－2＝1.①
因为||＝1，∠BAD＝60°，所以·＝||，
因此①式可化为1＋||－||2＝1.解得||＝0(舍去)或，所以AB的长为.
方法二：以A为原点，AB为x轴建立如图的直角坐标系，过D作DM⊥AB于点M.由AD＝1，
∠BAD＝60°，可知AM＝，DM＝.设|AB|＝m(m＞0)，则B(m，0)．C，D.
因为E是CD的中点，所以E.所以＝，＝.
由·＝1，
可得＋＝1，
即2m2－m＝0，所以m＝0(舍去)或.
故AB的长为.
【答案】 (1)C (2)
【点拨】 解题(1)的关键是利用向量证明AC⊥BD；解题(2)的方法一是利用平面向量运算，将，用已知向量表示，然后求解；方法二是建立合适的平面直角坐标系，用坐标法求解，准确写出点的坐标是关键．
8.已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________．
【答案】 2
【解析】 方法一：·
＝·(－)
＝2－2＝22－×22＝2.
方法二：以A为原点建立平面直角坐标系(如图)，可得A(0，0)，E(1，2)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，＝(1，2)，＝(－2，2)，则·＝(1，2)·(－2，2)＝1×(－2)＋2×2＝2.
9．已知向量＝(2，2)，＝(4，1)，在x轴上存在一点P使·有最小值，则点P的坐标是( )
A．(－3，0)
B．(2，0)
C．(3，0)
D．(4，0)
【答案】 C 设点P的坐标为(x，0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)．
·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1.
当x＝3时，·有最小值1.此时点P的坐标是(3，0)．
10.已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若3＋4＋5＝0，则△AOC的面积为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】 A 由题设，得3＋5＝－4，即9＋2×3×5·＋25＝16，
∴cos∠AOC＝－，∴sin∠AOC＝，S△AOC＝×1×1×＝.
11.已知点O为△ABC的外心，且||＝4，||＝2，则·＝________．
【答案】 6
【解析】 因为点O为△ABC的外心，且||＝4，||＝2，
所以·＝·(－)＝·－·＝||||cos〈，〉－||||·cos〈，〉
＝||||×－||||×＝6.
12．(2015·福建福州一模，6)如图，设向量＝(3，1)，＝(1，3)，若＝λ＋μ，且λ≥μ≥1，则用阴影表示C点所有可能的位置区域正确的是( )
【答案】 D 设C(x，y)．∵＝λ＋μ＝λ(3，1)＋μ(1，3)＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，
∴解得
∵λ≥μ≥1，∴故选D.
13．(2015·黑龙江伊春质检，6)已知平面向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为120°，若(a＋mb)⊥a，则实数m的值为( )
A．1
B.
C．2
D．3
【答案】 D ∵(a＋mb)⊥a，∴(a＋mb)·a＝0，∴|a|2＋m·|a|·|b|cos
120°＝0，
即9＋m·3×2×＝0，∴m＝3.故选D.
14．(2015·河南中原名校联考，4)已知不共线向量a，b，|a|＝2，|b|＝3，a·(b－a)＝1，则|a－b|＝( )
A.
B．2
C.
D.
【答案】 A 由a·(b－a)＝1得a·b－a2＝1，∴a·b＝5.
∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝4－2×5＋9＝3，∴|a－b|＝.故选A.
15．设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有如下四个命题：
①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；
②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；
③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc；
④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μ
c.
上述命题中的向量b，c和a在同一个平面内且两两不共线，则真命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】 B 对于①，因为a与b给定，所以a－b一定存在，可表示为c，即c＝a－b，故a＝b＋c成立，①正确；对于②，因为b与c不共线，由平面向量基本定理可知②正确；对于③，以a的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb有交点，这个不一定满足，故③错误；对于④，利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边之和大于第三边，即必有|λb|＋|μc|＝λ＋μ≥|a|，故④错，因此正确的有2个．故选B.
16．(2015·山西晋中十校联考，6)已知O为原点，点A，B的坐标分别为(a，0)，(0，a)，其中常数a>0，点P在线段AB上，且有＝t(0≤t≤1)，则·的最大值为( )
A．a
B．2a
C．3a
D．a2
【答案】 D ∵＝t，∴＝＋＝＋t(－)＝(1－t)＋t＝(a－at，at)，
∴·＝a2(1－t)，∵0≤t≤1，∴0≤·≤a2.
17．已知点O为△ABC所在平面内一点，且2＋2＝2＋2＝2＋2，则O一定为△ABC的( )
A．外心
B．内心
C．垂心
D．重心
【答案】 C 由2＋2＝2＋2，得2＋(－)2＝2＋(－)2，
∴·＝·，∴·＝0.∴O在边AB的高线上．
同理，O在边AC，BC的高线上，则O为△ABC的垂心．故选C.
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．
【答案】
【解析】 方法一：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(，0)，D(2，0)，E(，1)，设F(x，2)，∴＝(x，2)，＝(，0)，∴·＝x＝，∴x＝1，
∴F(1，2)，∴·＝(，1)·(1－，2)＝.
方法二：·＝||||cos∠BAF＝，∴||cos∠BAF＝1，即||＝1，
∴||＝－1，·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·
＝·＋·＝×(－1)×(－1)＋1×2×1＝.
19．在三角形ABC中，，，，是线段上一点，且，为线段上一点．
（1）设，，设，求；.
（2）求的取值范围；
（3）若为线段的中点，直线与相交于点，求．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
（1）
而，．
（2）在三角形中，，，，
①
不妨设，
①式，．
（3）为线段的中点
不妨设
,
、M、D三点共线．
即
20．设向量，，是不共线的非零向量，且向量，．
（1）证明：可以作为一组基底；
（2）以为基底，求向量的分解式；
（3）若，求，的值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3），的值分别为3和1
【解析】
（1）证明：若共线，则存在唯一的实数，使得，
即．由，不共线，得
∴不存在，故不共线，可以作为一组基底．
（2）设，则．
∵，不共线，∴∴．
（3）由，得．
∵，共线，,故所求，的值分别为3和1．
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精品试卷·第
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