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突破3.1
两角和与差的正弦
余弦及正切公式
一、考情分析
二、经验分享
1
同角三角函数的基本关系式
：①，②=，
2
和角与差角公式
.
=
(由点的象限决定,
).
3
二倍角公式及降幂公式
.
.
三、题型分析
(一)
两角和与差的余弦公式的应用
例1．（1）（2019·山东高一期末）（
）
A．
B．
C．
D．
（2）．已知为锐角，为第三象限角，且，，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】．若，，且，，求的值.
两角和与差的正弦公式的应用
例2．（1）（2019·兰州市第五中学高一期末）（
）
A．
B．
C．
D．
（2）．（2018·广东高一期末）（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】．（5分）（2018?凌源市模拟）的值等于 ．
(三)
两角和与差的正切公式的应用
例3．（1）（2019·安徽高三月考（理））若，则（
）
A．3
B．-3
C．2
D．-2
（2）．已知，，那么（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】．（2018·上海交大附中高一开学考试）已知，，且、均为锐角，则______.
【变式训练2】．（2019·江苏高三期中（文））均为锐角，且，则的最小值是______.
(四)
二倍角公式的应用
.
.
例4．（1）（2017·北京高一期中）__________；__________．
（2）.（2018·上海交大附中高一开学考试）已知，则______.
【变式训练1】．（12分）（2019秋?瑞安市校级月考）设向量
，
，，
，其中，函数．
（1）求的最小正周期及单调递增区间；
（2）若，其中，求的值．
四、迁移应用
1．（2019·广东高一月考）在中，，，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2019·山东高一期末）（
）
A．
B．
C．
D．
3．计算：（
）
A．
B．
C．
D．
4．（5分）（2019?余杭区校级模拟）已知，则的值为
A．
B．
C．
D．
5．（5分）（2019春?大连校级期中）函数的图象的相邻两条对称轴间的距离是．若将函数的图象向右平移个单位，再把图象上每个点的横坐标缩小为原来的一半，得到，则的解析式为
A．
B．
C．
D．
6．（5分）（2019秋?新华区校级月考）已知，则的值为
A．0
B．1
C．
D．
7．（5分）（2019秋?海淀区校级期末）同时具有性质“①最小正周期为；②图象关于直线对称；③在，上是增函数”的一个函数是
A．
B．
C．
D．
13．（5分）（2018?凌源市模拟）的值等于 ．
8．（5分）（2019春?高密市校级月考）已知，且，的值 ．
9．（5分）（2019春?小店区校级月考）设函数的图象为，给出下列命题：
①图象关于直线对称；
②函数在区间内是增函数；
③函数是奇函数；
④图象关于点对称．
⑤的周期为
其中，正确命题的编号是 ①② ．（写出所有正确命题的编号）
10．（10分）（2018秋?渝中区校级期末）已知
（1）求的值；
（2）求的值．
11．（12分）（2019秋?凯里市校级期末）已知向量，，且，其中
（1）求和的值；
（2）若，，求角的值．
12．（12分）（2019秋?瑞安市校级月考）设向量
，
，，
，其中，函数．
（1）求的最小正周期及单调递增区间；
（2）若，其中，求的值．
突破1.1.2
余弦定理重难点突破
考纲要求
熟记并掌握余弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题；
能够利用余弦定理解三角形；
能利用正弦定理
余弦定理及三角变换解决较为复杂的三角形问题；
能利用三角函数的正弦定理和余弦定理，解决实际应用的相关问题。
二、经验分享
【正弦定理】?（R为外接圆的半径）.
【余弦定理】①;;
②
③在三角形△ABC中，若，则C为直角；若
，则C为钝角；若，则C为锐角。
【三角形常用结论
】
（1）
（2）在△ABC中，有.
（3)面积公式：
①，②.
【三角恒等变换公式】
（其中是三角形的三个内角）
三、题型分析
(一)
利用余弦定理解三角形
例1.
△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知,,,则b=（
）
（A）
（B）
（C）2
（D）3
例2.在中，已知，则（
）
A.
B.
C.
D.
或
【变式训练1】．（2018·北京高考模拟（文））已知分别为三角形ABC三个内角的对边,且,则三角形ABC中为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2】．（2019·全国高考真题（文））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则=（
）
A．6
B．5
C．4
D．3
【变式训练2】．如图，在△中，是边上的点，且，，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
(二)
利用正弦定理与余弦定理判断三角形得形状或面积
最值问题
例3.已知中，分别是角所对的边，已知，若，，则的面积等于（
）
A.
B.
C.
D.
例4.在中，分别是角所对的边，若，则的值为（
）
A.
B.
C.或
D.或
【变式训练1】．若的三个内角满足，则是（
）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.锐角三角形或钝角三角形
【变式训练2】（2013陕西）设△ABC的内角A,
B,
C所对的边分别为a,
b,
c,
若,
则△ABC的形状为（
）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
【变式训练3】（2016年全国II）的内角的对边分别为，若，
，，则
．
(三)
正余弦定理与三角变换的综合应用
例5.（2018·全国高考真题（理））在中，,BC=1,AC=5，则AB=（
）
A．
B．
C．
D．
例6．（2018·全国高考真题（文））的内角的对边分别为，，，若的面积为，则（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】.（2019·浙江高考模拟）在中，角所对的边，点为边上的中点，已知，，，则__________；__________．
【变式训练1】.（2019·北京高考模拟（文））在中，内角、、的对边分别为，，.若的面积为，且，.
（1）求角的大小；
（2）若，求角的大小.
【变式训练2】.在中，内角，，所对的边分别为，，．已知．
(1)求角的大小；
(2)设，，求和的值．
四、迁移应用
1.若内角A、B、C所对的边分别为，且，则（
）
A.
B.
C.
D.
2．（2018·浙江高考模拟）在中，内角所对的边分别是，若，则角的值为（
）
A．
B．
C．
D．
3．(2018全国卷Ⅱ)在中，，，，则
A．
B．
C．
D．
4．（2016年全国III）在中，，BC边上的高等于,则
A．
B．
C．
D．
5．钝角三角形的面积是，，，则=
A．5
B．
C．2
D．1
6．在中，，，分别为内角，，所对的边长，若，，则的面积是
A．3
B．
C．
D．
7.在中，内角A、B、C所对的边长分别为，且，则__________.
8．（2019·浙江高考模拟）在ABC
中，C＝45°，AB＝6
，D
为
BC
边上的点，且AD＝5，BD＝3
，则cos
B＝_____
，AC＝_____．
9.在△ABC中，a=3，，cosB=．
（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）求sin（B+C）的值．
10．已知在△中，．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的最大值．
11．在中，角所对的边分别是已知．
（1）求的大小；
（2）若的面积为，求的周长．
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两角和与差的正弦
余弦及正切公式
一、考情分析
二、经验分享
1
同角三角函数的基本关系式
：①，②=，
2
和角与差角公式
.
=
(由点的象限决定,
).
3
二倍角公式及降幂公式
.
.
三、题型分析
(一)
两角和与差的余弦公式的应用
例1．（1）（2019·山东高一期末）（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
由诱导公式
，所以选择A
（2）．已知为锐角，为第三象限角，且，，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
为锐角，且，.
为第三象限角，且，
，
.故选A.
【变式训练1】．若，，且，，求的值.
【答案】-1
【解析】
因为，且，
所以.
因为，且，所以.
所以
.
两角和与差的正弦公式的应用
例2．（1）（2019·兰州市第五中学高一期末）（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
故选：B
（2）．（2018·广东高一期末）（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
.
故选：C.
【变式训练1】．（5分）（2018?凌源市模拟）的值等于 ．
【分析】化为，然后展开两角和的正弦化简求值．
【答案】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查了两角和的正弦，是基础题．
(三)
两角和与差的正切公式的应用
例3．（1）（2019·安徽高三月考（理））若，则（
）
A．3
B．-3
C．2
D．-2
【答案】C
【解析】
因为，解得
故选C
（2）．已知，，那么（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
因为，所以，
故选:C
【变式训练1】．（2018·上海交大附中高一开学考试）已知，，且、均为锐角，则______.
【答案】
【解析】
由得，所以
，
∴，由于、均为锐角，所以.
故答案为：.
【变式训练2】．（2019·江苏高三期中（文））均为锐角，且，则的最小值是______.
【答案】
【解析】
因为，
所以，
因为均为锐角，所以.
因为，
等号成立当且仅当，
所以的最小值是.
故答案为：.
(四)
二倍角公式的应用
.
.
例4．（1）（2017·北京高一期中）__________；__________．
【答案】
【解析】
；
．
（2）.（2018·上海交大附中高一开学考试）已知，则______.
【答案】
【解析】
依题意，解得，所以.
故答案为：.
【变式训练1】．（12分）（2019秋?瑞安市校级月考）设向量
，
，，
，其中，函数．
（1）求的最小正周期及单调递增区间；
（2）若，其中，求的值．
【分析】（1）利用向量的坐标运算及两角和与差的正弦公式可将化简为，从而可求的最小正周期及单调递增区间；
（2），①由，②二者联立即可求得的值．
【答案】解：（1），，，
，
的最小正周期；
由得：
，
的单调递增区间为，．
（2），
，
，
，
或，
或．
【点睛】本题考查向量的坐标运算及两角和与差的正弦公式，着重考查二倍角的余弦与辅助角公式的应用，考查正弦函数的单调性与求值，属于中档题．
四、迁移应用
1．（2019·广东高一月考）在中，，，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
∵，∴为钝角，从而为锐角，
∴，，
．
故选：C．
2．（2019·山东高一期末）（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
由诱导公式
，所以选择A
3．计算：（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
原式
.故选C.
4．（5分）（2019?余杭区校级模拟）已知，则的值为
A．
B．
C．
D．
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系、诱导公式可得，从而利用诱导公式求得的值．
【答案】解：，
则，
故选：．
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．
5．（5分）（2019春?大连校级期中）函数的图象的相邻两条对称轴间的距离是．若将函数的图象向右平移个单位，再把图象上每个点的横坐标缩小为原来的一半，得到，则的解析式为
A．
B．
C．
D．
【分析】利用函数的图象变换规律，得出结论．
【答案】解：函数的图象的相邻两条对称轴间的距离是，．
若将函数的图象向右平移个单位，可得的图象，
再把图象上每个点的横坐标缩小为原来的一半，得到的图象，
故选：．
【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．
6．（5分）（2019秋?新华区校级月考）已知，则的值为
A．0
B．1
C．
D．
【分析】由已知求解，得到、的值，则答案可求．
【答案】解：，
，即，
则或，．
或，则，或，，
当，时，；
当，时，．
综上，的值为．
故选：．
【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查两角和与差的正弦函数，象限角、轴线角，是基础题．
7．（5分）（2019秋?海淀区校级期末）同时具有性质“①最小正周期为；②图象关于直线对称；③在，上是增函数”的一个函数是
A．
B．
C．
D．
【分析】根据三角函数的图象与性质，判断满足条件的函数即可．
【答案】解：“①最小正周期是，可得，排除选项；
②图象关于直线对称，可得：
，，排除选项，
，，排除选项；
对于，函数，
最小正周期为，
且，，函数图象关于对称；
，时，，，
是单调增函数，满足条件．
故选：．
【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
13．（5分）（2018?凌源市模拟）的值等于 ．
【分析】化为，然后展开两角和的正弦化简求值．
【答案】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查了两角和的正弦，是基础题．
8．（5分）（2019春?高密市校级月考）已知，且，的值 ．
【分析】由已知利用同角三角函数关系式可求，根据诱导公式化简所求后即可代入求值．
【答案】解：，且，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了同角三角函数关系式及诱导公式的应用，属于基础题．
9．（5分）（2019春?小店区校级月考）设函数的图象为，给出下列命题：
①图象关于直线对称；
②函数在区间内是增函数；
③函数是奇函数；
④图象关于点对称．
⑤的周期为
其中，正确命题的编号是 ①② ．（写出所有正确命题的编号）
【分析】①，在处取得最小值，可判断出其图象关于此直线对称；
②由，则，从而在区间上单调递增，进而可判断的单调性；
③判断是否成立即可；
④判断是否成立即可；
⑤判断，是否成立即可．
【答案】解：①，图象关于直线对称，正确；
②若，则，在区间上单调递增，从而函数在区间内是增函数，故正确；
③，函数不是奇函数，不正确；
④，故图象关于点不对称，不正确；
⑤，而，因此的周期为，故不正确．
综上可知：只有①②正确．
故答案为①②．
【点睛】熟练掌握三角函数的图象和性质是解题的关键．
10．（10分）（2018秋?渝中区校级期末）已知
（1）求的值；
（2）求的值．
【分析】（1）直接利用同角三角函数关系式的变换求出结果．
（2）直接利用差角公式的应用和特殊角的三角函数的值求出结果．
【答案】解：（1）已知
所以．
所以．
（2）．
【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
11．（12分）（2019秋?凯里市校级期末）已知向量，，且，其中
（1）求和的值；
（2）若，，求角的值．
【分析】（1）用向量垂直的充要条件的；再用三角函数的平方关系求值．
（2）用三角函数的和角公式展开求得，进一步求出．
【答案】解：（1），，即，
又，，，，
又，．
（2），
，即，
，
：答和的值为；角的值为
【点睛】本题考查向量垂直的充要条件和三角函数的和角公式．
12．（12分）（2019秋?瑞安市校级月考）设向量
，
，，
，其中，函数．
（1）求的最小正周期及单调递增区间；
（2）若，其中，求的值．
【分析】（1）利用向量的坐标运算及两角和与差的正弦公式可将化简为，从而可求的最小正周期及单调递增区间；
（2），①由，②二者联立即可求得的值．
【答案】解：（1），，，
，
的最小正周期；
由得：
，
的单调递增区间为，．
（2），
，
，
，
或，
或．
【点睛】本题考查向量的坐标运算及两角和与差的正弦公式，着重考查二倍角的余弦与辅助角公式的应用，考查正弦函数的单调性与求值，属于中档题．
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