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突破3.2
简单的三角恒等变换
一、考情分析
三角函数是高中数学的一个重要知识板块，也是高考的热点和重点内容．在考察中，以容易题和中档题为主．在复习本部分内容时，应该充分利用数形结合的思想，把图象和性质有机结合．利用图象的直观性得出函数的性质，同时也要学会利用函数的性质来描绘函数的图象．而在三角变换中，角的变换，三角函数名称的改变，三角函数次数的变换，三角函数表达形式的变换，频繁出现．因此，在训练中，要清楚各种公式，以及它们之间的联系，注意总结规律，并在应用中注意分析比较，提高能力．
二、经验分享
1
同角三角函数的基本关系式
：，=，
2
正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）
3
和角与差角公式
;;
.
=
(由点的象限决定,
).
3
二倍角公式及降幂公式
.
.
4
三角函数的周期公式
函数，
(A,ω,为常数，且A≠0)的周期；
函数，(A,ω,为常数，且A≠0)的周期.
三角函数的图像：
三、题型分析
(一)
利用半角以及二倍角公式求函数值
例1．（1）（2018·全国高考真题（文））若，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】,故选B.
（2）（2019·四川高三月考（文））已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为，
所以.故选：A.
【变式训练1】．若，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
.
又，所以所以，
所以上式.
，，所以上式.
【变式训练2】．若，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为,所以,
,又因为
所以,两边平方得,所以,
所以.故选:A.
(二)
利用辅助角公式研究函数性质
例2．（2017·北京高一期中）函数的最小正周期为__________，最大值为__________．
【答案】
【解析】
∵
，∴函数的最小正周期为，最大值为，故答案为.
例3．（2019·上海高三）已知函数.
（1）求的定义域；
（2）求函数在区间内的零点.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）由正切函数的性质可求f（x）的定义域为：；
（2）∵f（x）＝（1）?2sinxcosx＝sin2x+2sin2x＝sin2x﹣cos2x+1
sin（2x）+1，
∴F（x）＝f（x）﹣2sin（2x）﹣1＝0，
解得：2x2kπ，或2x2kπ，k∈Z，
即：x＝kπ，或x＝kπ，k∈Z，
又x∈（0，π），
∴k＝0时，x或x，
又f（x）的定义域为：
故F（x）在（0，π）内的零点为．
【变式训练1】．（2018·广东高三学业考试）函数，则的最大值和最小正周期分别为（
）
A．2和
B．4和
C．
2和
D．
4和
【答案】A
【解析】∵函数∴函数的最大值为2，最小正周期为
故选A
【变式训练2】．（2018·佛山市南海区桂城中学高一期中）已知函数.
（1）求函数的单调增区间；
（2）当时，求的值域.
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）函数，
令，解得：，
所以函数的单调增区间；
（2）当时，，，
，的值域为.
(三)
三角函数在实际问题中的应用
例4．（2019·重庆高三（理））被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意得m＝2sin18°，4﹣m2＝4﹣4sin218°＝4（1﹣sin218°）＝4cos218°，
∴＝．故选：C．
例5．（2018江苏）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成．已知圆的半径为40米，点到的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设与所成的角为．
(1)用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；
(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
【解析】(1)连结并延长交于，则⊥，所以=10．
过作⊥于，则∥，所以，
故，，
则矩形的面积为，
的面积为．
过作⊥，分别交圆弧和的延长线于和，则．
令，则，．
当时，才能作出满足条件的矩形，
所以的取值范围是．
答：矩形的面积为平方米，的面积为
，的取值范围是．
(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，
设甲的单位面积的年产值为，乙的单位面积的年产值为，
则年总产值为
，．
设，，
则．
令，得，
当时，，所以为增函数；
当时，，所以为减函数，
因此，当时，取到最大值．
答：当时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
【变式训练1】．（2014湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数
关系：，.
（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；
（Ⅱ）若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？
【解析】（Ⅰ）因为，
又，所以，，
当时，；当时，；
于是在上取得最大值12，取得最小值8.
故实验室这一天最高温度为，最低温度为，最大温差为
（Ⅱ）依题意，当时实验室需要降温.
由（1）得，
所以，即，
又，因此，即，
故在10时至18时实验室需要降温.
【变式训练2】．（2019·安徽高三月考（理））已知函数图象两条相邻的对称轴间的距离为.
（1）求的值；
（2）将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）
.
又函数图象两条相邻的对称轴间的距离为，，
所以，
即.
（2）由(1)可知，.
将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后，
得到函数的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标变为到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，
所以
.
四、迁移应用
1．【北京市东城区2019届高三下学期综合练习（二模)】如图，在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，终边分别是射线OA和射线OB．射线OA，OC与单位圆的交点分别为，.若，则的值是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
依题意，有：，，，，
＝.
故答案为：C.
2．【广东省南海中学等七校联合体2019届高三下学期冲刺模拟】已知函数的周期为，当时，方程恰有两个不同的实数解，，则（ ）
A．2
B．1
C．﹣1
D．﹣2
【答案】B
【解析】
由
，得．．作出函数在
上的图象如图：
由图可知，，．
故选B项．
3．【湖北省黄冈市2019届高三2月联考】已知函数的图象与直线恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大依次为，则（
）
A．-2
B．2
C．-1
D．1
【答案】D
【解析】
由题意得，，则，易知直线过定点，如图，由对称性可知，直线与三角函数图象切于另外两个点，
∴，则切线方程过点，
∴，
即，则，
∴.
故选D.
4．【江西省名校（临川一中、南昌二中)2019届高三5月联合考】关于的方程在内有且仅有个根，设最大的根是，则与的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．以上都不对
【答案】C
【解析】
由题意作出与在的图象，如图所示：
∵方程在内有且仅有5个根，最大的根是.
∴必是与在内相切时切点的横坐标设切点为，
，则，
斜率则
故选：C.
5．【江西省上饶市横峰中学2019届高三考前模拟考试】在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x的非负半轴重合，终边过点，则______________。
【答案】；
【解析】
由题意，角的终边过点，求得，
利用三角函数的定义，求得，
又由.
6．【上海市崇明区2019届高三三模】函数的单调递增区间为______
【答案】，
【解析】
令，，解得：，
的单调递增区间为：，
本题正确结果：，
7．【河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷】已知函数的两条对称轴之间距离的最小值为4，将函数的图象向右平移1个单位长度后得到函数的图象，则___________.
【答案】
【解析】
依题意，，所以，故，，因为，所以.
8．【北京市通州区2019届高三4月第一次模拟考试】已知函数
．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）当时恒成立，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）
所以最小正周期
；
（Ⅱ）因为
，所以
，
所以当
，即
时，
有最小值
，
所以有最小值-1，因为当时，
恒成立，所以
即m的取值范围是
9．【浙江省金华十校2019届第二学期高考模拟考试】已知函数的最小正周期为，且.
（1）求和的值；
（2）若，求．
【答案】（1），；（2）
【解析】
（1）∵函数
的最小正周期为，∴．
再根据，∴（舍去），或，
∴，故，
故.
（2）∵，∴为钝角，
故，
故.
10．【河北省廊坊市高二年级第二学期期中联合调研考试】己知，，若．
（Ⅰ）求的最大值和对称轴；
（Ⅱ）讨论在上的单调性．
【答案】(1)
;，(2)
在上单调递增，在上单调减.
【解析】
（1）
所以最大值为，
由，，所以对称轴，
（2）当时，，
从而当，即时，单调递增
当，即时，单调递减
综上可知在上单调递增，在上单调减.
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简单的三角恒等变换
一、考情分析
三角函数是高中数学的一个重要知识板块，也是高考的热点和重点内容．在考察中，以容易题和中档题为主．在复习本部分内容时，应该充分利用数形结合的思想，把图象和性质有机结合．利用图象的直观性得出函数的性质，同时也要学会利用函数的性质来描绘函数的图象．而在三角变换中，角的变换，三角函数名称的改变，三角函数次数的变换，三角函数表达形式的变换，频繁出现．因此，在训练中，要清楚各种公式，以及它们之间的联系，注意总结规律，并在应用中注意分析比较，提高能力．
二、经验分享
1
同角三角函数的基本关系式
：，=，
2
正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）
3
和角与差角公式
;;
.
=
(由点的象限决定,
).
3
二倍角公式及降幂公式
.
.
4
三角函数的周期公式
函数，
(A,ω,为常数，且A≠0)的周期；
函数，(A,ω,为常数，且A≠0)的周期.
三角函数的图像：
三、题型分析
(一)
利用半角以及二倍角公式求函数值
例1．（1）（2018·全国高考真题（文））若，则（
）
A．
B．
C．
D．
（2）（2019·四川高三月考（文））已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】．若，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2】．若，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
(二)
利用辅助角公式研究函数性质
例2．（2017·北京高一期中）函数的最小正周期为__________，最大值为__________．
例3．（2019·上海高三）已知函数.
（1）求的定义域；
（2）求函数在区间内的零点.
【变式训练1】．（2018·广东高三学业考试）函数，则的最大值和最小正周期分别为（
）
A．2和
B．4和
C．
2和
D．
4和
【变式训练2】．（2018·佛山市南海区桂城中学高一期中）已知函数.
（1）求函数的单调增区间；
（2）当时，求的值域.
(三)
三角函数在实际问题中的应用
例4．（2019·重庆高三（理））被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则（
）
A．
B．
C．
D．
例5．（2018江苏）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成．已知圆的半径为40米，点到的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设与所成的角为．
(1)用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；
(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
【变式训练1】．（2014湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数
关系：，.
（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；
（Ⅱ）若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？
【变式训练2】．（2019·安徽高三月考（理））已知函数图象两条相邻的对称轴间的距离为.
（1）求的值；
（2）将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的值.
四、迁移应用
1．【北京市东城区2019届高三下学期综合练习（二模)】如图，在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，终边分别是射线OA和射线OB．射线OA，OC与单位圆的交点分别为，.若，则的值是
A．
B．
C．
D．
2．【广东省南海中学等七校联合体2019届高三下学期冲刺模拟】已知函数的周期为，当时，方程恰有两个不同的实数解，，则（ ）
A．2
B．1
C．﹣1
D．﹣2
3．【湖北省黄冈市2019届高三2月联考】已知函数的图象与直线恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大依次为，则（
）
A．-2
B．2
C．-1
D．1
4．【江西省名校（临川一中、南昌二中)2019届高三5月联合考】关于的方程在内有且仅有个根，设最大的根是，则与的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．以上都不对
5．【江西省上饶市横峰中学2019届高三考前模拟考试】在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x的非负半轴重合，终边过点，则______________。
6．【上海市崇明区2019届高三三模】函数的单调递增区间为______
7．【河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷】已知函数的两条对称轴之间距离的最小值为4，将函数的图象向右平移1个单位长度后得到函数的图象，则___________.
8．【北京市通州区2019届高三4月第一次模拟考试】已知函数
．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）当时恒成立，求的取值范围．
9．【浙江省金华十校2019届第二学期高考模拟考试】已知函数的最小正周期为，且.
（1）求和的值；
（2）若，求．
10．【河北省廊坊市高二年级第二学期期中联合调研考试】己知，，若．
（Ⅰ）求的最大值和对称轴；
（Ⅱ）讨论在上的单调性．
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