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【专题讲义】人教版六年级数学上册
第1讲 定义新运算专题精讲（解析版）
知识要点梳理
课程目标 读懂新运算的含义，能按照指定的运算进行加减乘除等的运算。能按照新运算列出方程，正确解方程。
课程重点 读懂新运算的运算规则。
课程难点 找规律理解新运算。
教学方法建议 注意先练后讲，体现针对性。
定义新运算是用某些特殊的符号表示特定的意义，从而解答某些特殊算式的运算。在定义新运算中的※，〇，△……与+、-、×、÷是有严格区别的。解答定义新运算问题，必须先理解定义的含义，遵循新定义的关系式把问题转化为一般的+、-、×、÷运算问题。基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
【规律方法】理解新运算符号的含义是解答问题的关键。
解答
5*（4*8）
=5*（4+8/2）
=5*
6=5+6/2=11/2
故答案为：11/2
分析：
因为a*b表示a与b和的一半，由此方法运算得出答案即可.
【难度分级】 A
1．规定 a*b=(b＋a)×b，求(2*3)*5 ？
解答
（23）×5
=（5+23）×5
=28×5
=140
2.定义运算“△”如下：对于两个自然数 a 和 b，它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b。例如：4△ 6=(4，6)＋[4，6]=2＋12=14。根据上面定义的运算， 18△12 等于几？
答案解析
因为，18和12的最大公约数是6，最小公倍数是36，所以，
18△12=（18，12）+[18，12]=6+36=42；
故答案为：42.
·解析
根据新运算知道，求18△12，就是求18和12的最大公约数与最小公倍数的和，由此即可解答.
例 2．如果 3*2=3+33=36 ；2*3=2+22+222=246 ；1*4=1+11+111+1111=1234，则 4*5 的值为多少？
【规律方法】观察规律，得出运算的规则。
答案解析
=4+44+444+4444+44444
=49380
答：4*5等于49380。
·解析
本题考查找规律；从已知条件可以归纳出“*”表示的运算的计算规则：“*”表示几个依次递增的不同位数的自然数之和，“*”前面的数表示第一个加数，”*”后面的数表示加数的个数。所以，4*5=4+44+444+4441+44444，算出来结果为49380
【难度分级】 B
3.如果 4＃2=4+44=88，3＃4=3+33+333+3333=3072，计算 2*5 的值.
答案解析
2*5
=2+22+222+2222+22222
=24690.
故答案为：24690.
·解析
根据所给出的式子知道，a*b=a+aa+aaa+aaa a..一直加到b个a，由此用此方法计算2*5的值.
4.已知： 2 3=2×3×4，4 5=4×5×6×7×8，……求（4 4）÷（3 3）的值。
答案解析
解：（44）÷（33）
=（4×5×6×7）
=（3×4×5）
=14
·解析
【考点提示】
本题考查的是定义新运算的知识，关键是理解定义的新运算；
【解题方法提示】
根据题意可得，ab的含义是计算从a开始，连续b个整数的积，由此即可用乘法表示出44和33；再根据上步分析列出乘除法的综合算式，对其进行计算，问题即可解答。
例 3．x、y 是自然数，规定 x▽y=4x—3y，如果 5*a=8，那么 a 是几？
【规律方法】根据新运算列出方程，解方程。
解答
5*a=8
4×5-3a=8
20-3a=8
3a=20-83
3a=12
a=12÷3
a=4
故答案为：4.
【难度分级】 C
5．如果 a△b 表示(a-2)×b，例如 3△4=(3-2)×4=4，那么当( a△2)△3=12 时，a 等于几？
解答
（a△2）△3=12，
（a-2）×2△3=12，
（2a-4）△3=12，
（2a-4-2）×3=12，
（2a-6）×3=12，
6a-18=12，6a=12+18，
6a=30，a=5，故答案为：5.
分析：
由题意得出a△b等于a与2的差乘b，由此用此方法把（a△2）△3=12写成方程的形式，解方程即可求出a的值.
6.规定 a 3=a+(a+1)+(a+2)，若 x 5=45，求 x 的值。
解答
因为
规定a*3=a+（a+1）+（a+2）
所以
x*5=45
x+（x+1）+（x+2）+（x+3）+（x+4）=45
x+x+1+x+2+x+3+x+4=45
5x+10=45
5x=45-10
5x=35
x=35÷5
x=7
故答案为：7.
1、两个整数a 和 b，a 除以 b 的余数记为 a△b。例如，13 △5=3。根据这样定义的运算， (26△9) △4 等于几？
解答
（26△9）△4
=8△4
=0
答：（26△9）△4等于0.
2、规定：符号“△”为选择两数中较大的数的运算，“☆”为选择两数中较小的数的运算 ，例如，3△5=5，3☆ 5=3。请计算下式： [(70 ☆3)△5]×[ 5 ☆(3△7)]。
解答
[(70 ☆3)△5]×[ 5☆(3△7)]
=[3△5]×[5☆7]
=5×5
=25
3、设 m，n 是任意的自然数，A 是常数，定义运算m⊙n=（A×m-n）÷4，并且 2⊙3=0.75。试确定常数A，并计算 5⊙7 的值。
解答
2A-3=0.75×4
A=3
原式=（3×5-7）+4×（2×3一2）÷4×（3×3-1）÷4=4
4.二进制是计算技术中广泛采用的一种计数方法，二进制数是用 0 和 1 两个数字来表示的。二进制加减法算式和十进制写法一样，算法也一样，也要求数位对齐， 从低位到高位依次运算，但加法中“满二进一”，减法中“借一当二”。因此，在二进制加法中，同一数位上的数相加只有四种情况：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10.
阅读以上关于二进制的介绍，完成以下两道二进制计算（列竖式计算）。
（1）101+11 （2）101-11
解答
分析：
【解题方法提示】
分析题意，观察所给的例子可知，二进制加法算式是“满二进一”，计算101+11时，先将这两个数的个位对齐，从低位到高位依次运算；由于这两个数的个位都是1，根据1+1=10在个位写0，向十位进1，此时十位是0+1+1，所以十位写0向百位进1，此时百位是1+1，所以百位写0向干位进1，据此解答；二进制加法算式是“借一当二”，计算101-11，先将这两个数的个位对齐，从低位到高位依次运算；由于这两个数的个位都是1，根据1-1=0在个位写0，十位是0-1，不够减向百位借1当2，此时百位是0，据此解答。
1、定义两种运算“※”和“△”如下： a※b 表示a，b 两数中较小的数的 3 倍， a△b 表示 a，b 两数中较大的数的 2.5 倍。比如：4※5=4×3=12，4△5=5×2.5=12.5。计算： [(0.6※0.5)+(0.3△0.8)]÷[（1.2※0.7）-（0.64△0.2）]
解答
[（0.6※0.5）+（0.3△0.8）]
=[（1.28※0.7）-（0.64△0.2）]
=[0.5×3+0.8×2.5]÷[0.7×3-0.64×2.5]
=3.5÷0.5
=7
2、定义一种新运算：a b=b2﹣ab，如：1 2=22﹣1×2=2，计算（-1 2） 3 的值．
解答
【答案】
-9
【解析】
根据题中的新定义得：1- 2=4+2=6，则原式=6 3=9-18=-9。
故答案为：-9。
分析：
原式利用已知的新定义计算即可得到结果.
2.有 A、B、C、D 四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数。装置 A∶将输入的数加上 5；装置 B∶将输入的数除以 2；装置 C∶将输入的数减去 4；装置 D∶将输入的数乘以 3。这些装置可以连接，如装置 A 后面连接装置 B 就写成 A B，输入 1 后，经过 A B，输出 3。
(1)输入 9，经过 A B C D，输出几？
(2)经过 B D A C，输出的是 100，输入的是几？
(3)输入 7，输出的还是 7，用尽量少的装置该怎样连接？
解答
（1）[（9+5）÷2-4]×3，
=[14÷2-4]×3
=[7-4]×3，
=3×3
=9；
（2）设输入的数为x，根据题意得x÷2×3+5-4=100，
3/2x+1=100，
3/2x+1-1=100-1，
3/2x×2/3=99×2/3
x=66；
（3）（7+5）÷2+5-4
=12÷2+5-4，
=6+5-4
=7；
[（7-4）×3+5]÷2
=[3×3+5]÷2，
=[9+5]÷2
=14÷2
=7
答：装置连接为A.B·A.C或C.D·A.B分析：
【资料介绍】该资料结合定义新运算的知识点、考点与考题精编而成，学生版+教师版双具备，适用性强，既方便学生高效复习，也便于老师备课，为授课之首选。
模块一
知识讲解
模块二
方法归纳
模块三
课堂精讲
模块四
讲练结合题
模块五
课后自测练习
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第1讲 定义新运算专题精讲（学生版）
知识要点梳理
课程目标 读懂新运算的含义，能按照指定的运算进行加减乘除等的运算。能按照新运算列出方程，正确解方程。
课程重点 读懂新运算的运算规则。
课程难点 找规律理解新运算。
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定义新运算是用某些特殊的符号表示特定的意义，从而解答某些特殊算式的运算。在定义新运算中的※，〇，△……与+、-、×、÷是有严格区别的。解答定义新运算问题，必须先理解定义的含义，遵循新定义的关系式把问题转化为一般的+、-、×、÷运算问题。基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
【规律方法】理解新运算符号的含义是解答问题的关键。
【难度分级】 A
1．规定 a*b=(b＋a)×b，求(2*3)*5 ？
2.定义运算“△”如下：对于两个自然数 a 和 b，它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b。例如：4△ 6=(4，6)＋[4，6]=2＋12=14。根据上面定义的运算， 18△12 等于几？
例 2．如果 3*2=3+33=36 ；2*3=2+22+222=246 ；1*4=1+11+111+1111=1234，则 4*5 的值为多少？
【规律方法】观察规律，得出运算的规则。
【难度分级】 B
3.如果 4＃2=4+44=88，3＃4=3+33+333+3333=3072，计算 2*5 的值.
4.已知： 2 3=2×3×4，4 5=4×5×6×7×8，……求（4 4）÷（3 3）的值。
例 3．x、y 是自然数，规定 x▽y=4x—3y，如果 5*a=8，那么 a 是几？
【规律方法】根据新运算列出方程，解方程。
【难度分级】 C
5．如果 a△b 表示(a-2)×b，例如 3△4=(3-2)×4=4，那么当( a△2)△3=12 时，a 等于几？
6.规定 a 3=a+(a+1)+(a+2)，若 x 5=45，求 x 的值。
1、两个整数a 和 b，a 除以 b 的余数记为 a△b。例如，13 △5=3。根据这样定义的运算， (26 △9) △4 等于几？
2、规定：符号“△”为选择两数中较大的数的运算，“☆”为选择两数中较小的数的运算 ，例如，3△5=5，3☆ 5=3。请计算下式： [(70 ☆3)△5]×[ 5 ☆(3△7)]。
3、设 m，n 是任意的自然数，A 是常数，定义运算m⊙n=（A×m-n）÷4，并且 2⊙3=0.75。试确定常数A，并计算 5⊙7 的值。
4.二进制是计算技术中广泛采用的一种计数方法，二进制数是用 0 和 1 两个数字来表示的。二进制加减法算式和十进制写法一样，算法也一样，也要求数位对齐， 从低位到高位依次运算，但加法中“满二进一”，减法中“借一当二”。因此，在二进制加法中，同一数位上的数相加只有四种情况：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10.
阅读以上关于二进制的介绍，完成以下两道二进制计算（列竖式计算）。
（1）101+11 （2）101-11
1、定义两种运算“※”和“△”如下： a※b 表示a，b 两数中较小的数的 3 倍， a△b 表示 a，b 两数中较大的数的 2.5 倍。比如：4※5=4×3=12，4△5=5×2.5=12.5。计算： [(0.6※0.5)+(0.3△0.8)]÷[（1.2※0.7）-（0.64△0.2）]
2、定义一种新运算：a b=b2﹣ab，如：1 2=22﹣1×2=2，计算（-1 2） 3 的值．
2.有 A、B、C、D 四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数。装置 A∶将输入的数加上 5；装置 B∶将输入的数除以 2；装置 C∶将输入的数减去 4；装置 D∶将输入的数乘以 3。这些装置可以连接，如装置 A 后面连接装置 B 就写成 A B，输入 1 后，经过 A B，输出 3。
(1)输入 9，经过 A B C D，输出几？
(2)经过 B D A C，输出的是 100，输入的是几？
(3)输入 7，输出的还是 7，用尽量少的装置该怎样连接？
【资料介绍】该资料结合定义新运算的知识点、考点与考题精编而成，学生版+教师版双具备，适用性强，既方便学生高效复习，也便于老师备课，为授课之首选。
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