北师大版数学九年级上册 1.3　正方形的性质与判定 同步练习题（Word版 含答案）

第一章　特殊平行四边形
1.3　正方形的性质与判定
1.
如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF＝3，△EFC的周长为12，则EC的长为(
)
A.
4
B.
5
C.
6
D.
8
2.
平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是(　　)
A．对角线互相垂直且相等
B．对角线相等
C．对角线互相垂直
D．对角线互相平分
3.
如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则∠CME等于(　　)
A.
25°
B.
35°
C.
45°
D.
50°
4.
如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点D，B作DE⊥a于点E，BF⊥a于点F，若DE＝4，BF＝3，则EF的长为(　　)
A.
7
B.
8
C.
9
D.
10
5.
如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF.其中正确的有(　　)
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
6.
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF.添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是(　　)
A．AC＝BF
B．CF⊥BF
C．BD＝DF
D．BC＝AC
7.
如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF，CD，如果AC＝BC，那么四边形DECF是(　　)
A.菱形
B.矩形
C.
正方形
D.
梯形
8.
下列命题中，真命题是(　　)
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
D．
对角线互相平分的四边形是平行四边形
9.
四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB＝AD；②∠DAB＝90°；③AO＝CO，BO＝DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD；⑥正方形ABCD，则下列推理不成立的是(　　)
A．①②?⑥
B．①③?⑤
C．①④?⑥
D．②③?④
10.
如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成(　　)度角．
A.
30
B.
45
C.
50
D.
60
11.
如图，四边形ABCD，AEFG都是正方形，点E，G分别在AB，AD上，连接FC，过点E作EH∥FC交BC于点H.若AB＝4，AE＝1，则BH的长为
12.
如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是
13.
如图，正方形ABCD的边长为4
cm，则图中阴影部分的面积为
cm2
14.
如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为________．
15.
如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…，则正方形OB2
015B2
016C2
016的顶点B2
016的坐标是________．
16.
如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA.下列结论：①四边形AEDF是平行四边形；②若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形；③若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；④若∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，则四边形AEDF是正方形，你认为正确的是
(填序号)
17.
?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，
请添加一个条件：____________，使得?ABCD为正方形．
18.
如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，
∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF=
19.
如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形的四边中点为顶点作四边形，…依次作下去，所作的第三个四边形的周长为________；第n个四边形的周长为________．
20.
如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF＝90°，EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证：AE＝EF.
21.
如图，过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.
(1)判断四边形ACED的形状，并说明理由；
(2)若BD＝8
cm，求线段BE的长．
22.
如图，点O是线段AB上一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F.
(1)求证：四边形CDOF是矩形；
(2)当∠AOC为多少度时，四边形CDOF是正方形？请说明理由．
23.
如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE＝PB.
(1)求证：△BCP≌△DCP；
(2)求证：∠DPE＝∠ABC；
(3)把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变(如图②)，若∠ABC＝58°，
则∠DPE＝________度．
24.
如图①，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，HA＝EB＝FC＝GD，连接EG，FH，交点为O.
(1)如图②，连接EF，FG，GH，HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；
(2)将正方形ABCD沿线段EG，HF剪开，再把得到的四个四边形按图③的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD的边长为3
cm，HA＝EB＝FC＝GD＝1
cm，则图③中阴影部分的面积为________cm2.
25.
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为点F，交直线MN于点E，连接CD，BE.
(1)求证：CE＝AD；
(2)当点D是AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？请说明理由；
(3)若点D为AB的中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明理由．
答案：
1---10
BDCAB
ACDAB
11.
3
12.
4
13.
8
14.
15.
(21
008，0)
16.
①
②
③
④
17.
∠BAD＝90°
18.
7
19.
4()n
20.
解：如图，取AB的中点H，连接EH，
∵∠AEF＝90°，∴∠2＋∠AEB＝90°，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠1＋∠AEB＝90°，∴∠1＝∠2，∵点E是BC的中点，点H是AB的中点，∴BH＝BE，AH＝CE，∴∠BHE＝45°，∵CF是∠DCG的角平分线，
∴∠FCG＝45°，∴∠AHE＝∠ECF＝135°，
在△AHE和△ECF中，∴△AHE≌△ECF(ASA)，∴AE＝EF.
21.
解：.(1)四边形ACED是平行四边形．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，即AD∥CE，∵DE∥AC，∴四边形ACED是平行四边形．
(2)由(1)知，BC＝AD＝CE＝CD，在Rt△BCD中，令BC＝CD＝x，
则x2＋x2＝82.解得x＝4，∴BE＝2x＝8(cm)．
22.
.(1)证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB，∴∠AOC＝2∠COD，∠COB＝2∠COF，∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∴2∠COD＋2∠COF＝180°，∴∠COD＋∠COF＝90°，∴∠DOF＝90°.
∵OA＝OC，OD平分∠AOC，∴OD⊥AC，AD＝DC，
∴∠CDO＝90°，∵CF⊥OF，∴∠CFO＝90°，∴四边形CDOF是矩形．
(2)当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形．
理由如下：∵∠AOC＝90°，AD＝DC，∴OD＝DC.
又由(1)知四边形CDOF是矩形，则矩形CDOF是正方形．
因此，当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形．
23.
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCP＝45°，
又∵CP＝CP，∴△BCP≌△DCP(SAS)．
(2)证明：由(1)知，△BCP≌△DCP，∴∠CBP＝∠CDP，∵PE＝PB，∴∠CBP＝∠E，∴∠CDP＝∠E，∵∠1＝∠2(对顶角相等)，
∴180°－∠1－∠CDP＝180°－∠2－∠E，即∠DPE＝∠DCE，∵AB∥CD，∴∠DCE＝∠ABC，∴∠DPE＝∠ABC.
(3)
58
24.
(1)四边形EFGH是正方形．
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
AB＝BC＝CD＝DA.∵HA＝EB＝FC＝GD，∴AE＝BF＝CG＝DH.∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.∴EH＝EF＝FG＝GH.
∴四边形EFGH是菱形．由△DHG≌△AEH，知∠DHG＝∠AEH.
∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠DHG＋∠AHE＝90°.∴∠GHE＝90°.
∴菱形EFGH是正方形．
(2)
1
25.
(1)证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，又∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD.
(2)四边形BECD是菱形．理由如下：∵D为AB中点，∴AD＝BD，又∵CE＝AD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝BD，∴?BECD是菱形．
(3)当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．理由如下：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°，∴AC＝BC，∵D为BA的中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∵四边形BECD是菱形，∴四边形BECD是正方形，即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．