1.1 因式分解同步练习题（含答案）
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第一章 因式分解
1 因式分解
考点突破
考点1 因式分解的概念
例1 （北海）下列因式分解正确的是（ ）
A.x2-4＝（x＋4）（x-4） B.x2＋2x＋1＝x（x＋2）＋1
C.3mx-6my＝3m（x-6y） D.2x＋4＝2（x＋2）
思路导引:因式分解是多项式的一种变形，因式分解后，等式的左边为多项式，右边为因式的积因式分解要彻底，一直分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
方法归纳
因式分解是将多项式的和差形式恒等变形为整式积的形式，与整式乘法是互逆变形.
考题训练
1.下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A.y＋1＝y（1＋） B.1-x2＋y2＝（1＋x）（1-x）＋y2
C.x2＋x＋＝（x＋）2 D.（x＋2y）（x-y）＝x2＋xy - 2y2
2.（聊城）把8a3 - 8a2＋2a进行因式分解，结果正确的是（ ）
A.2a（4a2-4a＋1） B.8a2（a-1）
C.2a（2a-1）2 D.2a（2a＋1）2
3.根据a（a＋b）＝a2＋ab，写出因式分解的形式为_______________________。
4.计算下列（1）～（3）题，并根据计算结果把（4）～（6）题因式分解。
（1）（x-2）（x-1）＝______________________________；
（2）（m＋2）2＝__________________________________；
（3）3x（x-2）＝__________________________________；
（4）m2＋4m＋4＝_________________________________；
（5）x2-3x＋2＝___________________________________；
（6）3x2 - 6x＝_____________________________________。
考点2 因式分解的简单应用
例2 20162＋2016能被2017整除吗？说说你的理由。
思路导引:解题的关键是利用因式分解将20162＋2016分解成两个数的积，只需满足其中一个数能被2017整除即可。
方法归纳
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，在化简与求值、探索规律与说理以及实际问题中有着广泛的应用。
考题训练
5.（福州）若x＋y＝10，xy＝1，则x3y＋xy3的值是_________________。
6.对于任何整数n，多项式（4n＋5）2 - 92都能（ ）
A.被8整除 B.被n整除 C.被2n＋1整除 D.被n＋1整除
7.在一块边长为13.2 cm的正方形纸板的四个角上，各剪去一个边长为3.4 cm的正方形，则剩余部分的面积是________________。
8.用简便方法计算:
65×52.31 - 23×52.31＋58×52.31.
巩固练习
1.下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A.x2-9＋6x＝（x＋3）（x-3）＋6x B.（x-2）（x＋5）＝x2＋3x-10
C.x2 - 8x＋16＝（x-4）2 D.（x-2）（x＋3）＝（x＋3）（x-2）
2.（滨州）把多项式x2＋ax＋b因式分解，得（x＋1）（x - 3），则a，b的值分别是（ ）
A.a＝2，b＝3 B.a＝ - 2，b＝ - 3 C.a＝ - 2，b＝3 D.a＝2，b＝ - 3
3.若多项式ax2 - b可因式分解为（3x＋5）（3x - 5），则（ ）
A.a＝ - 3，b＝ - 5 B.a＝3，b＝5 C.a＝ - 9，b＝ - 25 D.a＝9，b＝25
4.（黄石）因式分解:x2 - 36＝__________________________________。
5.观察下列等式:
16 - 1＝3×5；
25 - 4＝3×7；
36 - 9＝3×9；
49 - 16＝3×11；
……
用自然数n（其中n≥1）表示上面一系列等式所反映出来的规律是___________________。
6.连一连:
（a-b）（a＋b） （6＋2n）（6-2n）
36 - 4n 2mn（3＋2m）
x2 - 6x＋9 （x - 3）2
3mn＋2m2n a2 - b2
上面从左到右的变形属于因式分解的有哪些？
7.上数学课时，老师提出了一个问题:“一个奇数的平方减1，结果是怎样的数？”请你解答这个问题。
8.若x＋2是多项式4x2＋5x＋m因式分解后的一个因式，则m等于（ ）
A. －6 B. 6 C. －9 D. 9
9.（潍坊）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a＋1的是（ ）
A.a2－1 B.a2＋a C.a2＋a－2 D.（a＋2）2－2（a＋2）＋1
10.若a＋b＝2，则a2－b2＋4b的值是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
11.如图所示，由一个边长为a的小正方形与两个长、宽分别为a，b的小长方形拼接成长方形ABCD，则整个图形可表达出一些有关多项式因式分解的等式，请根据图中信息任意写出两个等式.
（1）__________________________________；
（2）__________________________________。
12.3100－4×399＋10×398能被7整除吗？为什么？
13.（1）若多项式x2－3x＋a可分解为（x－5）（x－b），求a与b的值；
（2）已知x3－12x＋16有一个因式为x＋4，试把它分解出来.
参考答案
【典型考题】
例1 D 解析:（x＋4）（x－4）＝x2－16≠x2－4，故选项A错误；B选项等号右边是和的形式，不是积的形式，不是因式分解，故B选项错误；3m（x－6y）＝3mx－18my，显然与等式的左边3mx－6my不相等，故选项C错误；选项D符合因式分解的概念，故选D.
考题训练
1.C 2.C
3.a?＋ab＝a（a＋b） 解析:根据因式分解与整式乘法互逆变形的特征，把等号左右两边互换即得因式分解的形式。
4.（1）x2－3.x＋2 （2）m2＋4m＋4 （3）3x2－6x
（4）（m＋2）2 （5）（x－2）（x－1） （6）3x（x－2）
解析:根据整式乘法可得（1）～（3）题的计算结果，再根据因式分解与整式乘法的互逆关系对应填写（4）～（6）题即可。
例2 解:由20162＋2 016＝2016（2 016＋1）＝2 016×2 017，故2 0162＋2 016能被2017整除.
考题训练
5.98
6.A
7.128 cm2
8.解:原式＝52. 31＋ （65－23＋58）＝52. 31×100＝5 231.
巩固练习
1.C 解析:选项A等号右边仍是和的形式，不符合因式分解的定义；选项B是整式乘法；选项C符合题意；选项D是运用乘法交换律仅交换了因式的位置，并非因式分解。
2.B
3.D
4.（x＋6）（x-6）
5. （n＋3）2－n2＝3（2n＋3） 解析:原式可变形为42－12＝3×5；52－22＝3×7；62－32＝3×9；72－42＝3×11；......据此规律，可得（n＋3）2－n2＝3（2n＋3）.
6.解:
7.解:不妨设这个奇数为2n＋1，根据题意，得（2n＋1）2－1＝（2n＋1＋1）（2n＋1－1）＝2n（2n＋2）＝4n（n＋1）。显然n、n＋1为连续的整数，故其中一个数必为偶数，所以4n（n＋1）必能被8整除，即一个奇数的平方减1，结果是一个能被8整除的数。
8.A 9.C 10.C
11.如:（1）a2＋2ab＝a（a＋2b）；（2）a（a＋b）＋ab＝a（a＋2b）；
（3）a（a＋2b）－a（a＋b）＝ab等（任写两个即可）
解析:根据图形面积的和、差及因式分解的概念书写等式即可。
12.解:能被7整除，理由如下:
3100－4×399＋10×398
＝398（32－4×3＋10）
＝398×7.
即3100－4×399＋10×398能被7整除.
13.解:（1）由题意，得x2－3x＋a＝（x－5）（x－b）＝x2－（5＋b）x＋5b，
所以－（5＋b）＝－3，a＝5b. 所以a＝－10，b＝－2.
设x3－12x＋16＝（x2＋ax＋4）·（x＋4），
则有x3－12x＋16＝x3＋（4＋a）x2＋（4a＋4）x＋16，
所以4＋a＝0（或4a＋4＝－12），解得a＝－4.
所以x3－12x＋16＝（x2－4x＋4）（x＋4）＝（x－2）2（x＋4）.
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第一章 因式分解
1 因式分解
考点突破
考点1 因式分解的概念
例1 （北海）下列因式分解正确的是（ ）
A.x2-4＝（x＋4）（x-4） B.x2＋2x＋1＝x（x＋2）＋1
C.3mx-6my＝3m（x-6y） D.2x＋4＝2（x＋2）
思路导引:因式分解是多项式的一种变形，因式分解后，等式的左边为多项式，右边为因式的积因式分解要彻底，一直分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
方法归纳
因式分解是将多项式的和差形式恒等变形为整式积的形式，与整式乘法是互逆变形.
考题训练
1.下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A.y＋1＝y（1＋） B.1-x2＋y2＝（1＋x）（1-x）＋y2
C.x2＋x＋＝（x＋）2 D.（x＋2y）（x-y）＝x2＋xy - 2y2
2.（聊城）把8a3 - 8a2＋2a进行因式分解，结果正确的是（ ）
A.2a（4a2-4a＋1） B.8a2（a-1）
C.2a（2a-1）2 D.2a（2a＋1）2
3.根据a（a＋b）＝a2＋ab，写出因式分解的形式为_______________________。
4.计算下列（1）～（3）题，并根据计算结果把（4）～（6）题因式分解。
（1）（x-2）（x-1）＝______________________________；
（2）（m＋2）2＝__________________________________；
（3）3x（x-2）＝__________________________________；
（4）m2＋4m＋4＝_________________________________；
（5）x2-3x＋2＝___________________________________；
（6）3x2 - 6x＝_____________________________________。
考点2 因式分解的简单应用
例2 20162＋2016能被2017整除吗？说说你的理由。
思路导引:解题的关键是利用因式分解将20162＋2016分解成两个数的积，只需满足其中一个数能被2017整除即可。
方法归纳
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，在化简与求值、探索规律与说理以及实际问题中有着广泛的应用。
考题训练
5.（福州）若x＋y＝10，xy＝1，则x3y＋xy3的值是_________________。
6.对于任何整数n，多项式（4n＋5）2 - 92都能（ ）
A.被8整除 B.被n整除 C.被2n＋1整除 D.被n＋1整除
7.在一块边长为13.2 cm的正方形纸板的四个角上，各剪去一个边长为3.4 cm的正方形，则剩余部分的面积是________________。
8.用简便方法计算:
65×52.31 - 23×52.31＋58×52.31.
巩固练习
1.下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A.x2-9＋6x＝（x＋3）（x-3）＋6x B.（x-2）（x＋5）＝x2＋3x-10
C.x2 - 8x＋16＝（x-4）2 D.（x-2）（x＋3）＝（x＋3）（x-2）
2.（滨州）把多项式x2＋ax＋b因式分解，得（x＋1）（x - 3），则a，b的值分别是（ ）
A.a＝2，b＝3 B.a＝ - 2，b＝ - 3 C.a＝ - 2，b＝3 D.a＝2，b＝ - 3
3.若多项式ax2 - b可因式分解为（3x＋5）（3x - 5），则（ ）
A.a＝ - 3，b＝ - 5 B.a＝3，b＝5 C.a＝ - 9，b＝ - 25 D.a＝9，b＝25
4.（黄石）因式分解:x2 - 36＝__________________________________。
5.观察下列等式:
16 - 1＝3×5；
25 - 4＝3×7；
36 - 9＝3×9；
49 - 16＝3×11；
……
用自然数n（其中n≥1）表示上面一系列等式所反映出来的规律是___________________。
6.连一连:
（a-b）（a＋b） （6＋2n）（6-2n）
36 - 4n 2mn（3＋2m）
x2 - 6x＋9 （x - 3）2
3mn＋2m2n a2 - b2
上面从左到右的变形属于因式分解的有哪些？
7.上数学课时，老师提出了一个问题:“一个奇数的平方减1，结果是怎样的数？”请你解答这个问题。
8.若x＋2是多项式4x2＋5x＋m因式分解后的一个因式，则m等于（ ）
A. －6 B. 6 C. －9 D. 9
9.（潍坊）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a＋1的是（ ）
A.a2－1 B.a2＋a C.a2＋a－2 D.（a＋2）2－2（a＋2）＋1
10.若a＋b＝2，则a2－b2＋4b的值是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
11.如图所示，由一个边长为a的小正方形与两个长、宽分别为a，b的小长方形拼接成长方形ABCD，则整个图形可表达出一些有关多项式因式分解的等式，请根据图中信息任意写出两个等式.
（1）__________________________________；
（2）__________________________________。
12.3100－4×399＋10×398能被7整除吗？为什么？
13.（1）若多项式x2－3x＋a可分解为（x－5）（x－b），求a与b的值；
（2）已知x3－12x＋16有一个因式为x＋4，试把它分解出来.
参考答案
【典型考题】
例1 D 解析:（x＋4）（x－4）＝x2－16≠x2－4，故选项A错误；B选项等号右边是和的形式，不是积的形式，不是因式分解，故B选项错误；3m（x－6y）＝3mx－18my，显然与等式的左边3mx－6my不相等，故选项C错误；选项D符合因式分解的概念，故选D.
考题训练
1.C 2.C
3.a?＋ab＝a（a＋b） 解析:根据因式分解与整式乘法互逆变形的特征，把等号左右两边互换即得因式分解的形式。
4.（1）x2－3.x＋2 （2）m2＋4m＋4 （3）3x2－6x
（4）（m＋2）2 （5）（x－2）（x－1） （6）3x（x－2）
解析:根据整式乘法可得（1）～（3）题的计算结果，再根据因式分解与整式乘法的互逆关系对应填写（4）～（6）题即可。
例2 解:由20162＋2 016＝2016（2 016＋1）＝2 016×2 017，故2 0162＋2 016能被2017整除.
考题训练
5.98
6.A
7.128 cm2
8.解:原式＝52. 31＋ （65－23＋58）＝52. 31×100＝5 231.
巩固练习
1.C 解析:选项A等号右边仍是和的形式，不符合因式分解的定义；选项B是整式乘法；选项C符合题意；选项D是运用乘法交换律仅交换了因式的位置，并非因式分解。
2.B
3.D
4.（x＋6）（x-6）
5. （n＋3）2－n2＝3（2n＋3） 解析:原式可变形为42－12＝3×5；52－22＝3×7；62－32＝3×9；72－42＝3×11；......据此规律，可得（n＋3）2－n2＝3（2n＋3）.
6.解:
7.解:不妨设这个奇数为2n＋1，根据题意，得（2n＋1）2－1＝（2n＋1＋1）（2n＋1－1）＝2n（2n＋2）＝4n（n＋1）。显然n、n＋1为连续的整数，故其中一个数必为偶数，所以4n（n＋1）必能被8整除，即一个奇数的平方减1，结果是一个能被8整除的数。
8.A 9.C 10.C
11.如:（1）a2＋2ab＝a（a＋2b）；（2）a（a＋b）＋ab＝a（a＋2b）；
（3）a（a＋2b）－a（a＋b）＝ab等（任写两个即可）
解析:根据图形面积的和、差及因式分解的概念书写等式即可。
12.解:能被7整除，理由如下:
3100－4×399＋10×398
＝398（32－4×3＋10）
＝398×7.
即3100－4×399＋10×398能被7整除.
13.解:（1）由题意，得x2－3x＋a＝（x－5）（x－b）＝x2－（5＋b）x＋5b，
所以－（5＋b）＝－3，a＝5b. 所以a＝－10，b＝－2.
设x3－12x＋16＝（x2＋ax＋4）·（x＋4），
则有x3－12x＋16＝x3＋（4＋a）x2＋（4a＋4）x＋16，
所以4＋a＝0（或4a＋4＝－12），解得a＝－4.
所以x3－12x＋16＝（x2－4x＋4）（x＋4）＝（x－2）2（x＋4）.
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