【2020年暑期衔接】青岛版八下 第1讲 平行四边形的性质及判定（含答案解析）

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2020年暑期衔接训练青岛版八年级下册：第1讲
平行四边形的性质及判定
一、单选题：
1.在下列性质中，平行四边形不一定具有的是（????
）
A.?对边相等???????????????????????????B.?对角互补???????????????????????????C.?对边平行???????????????????????????D.?对角相等
2.如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝7，EF＝3，则BC的长为（???
）
A.?11?????????????????????????????????????????B.?12?????????????????????????????????????????C.?13?????????????????????????????????????????D.?14
3.在四边形ABCD中,现有以下条件:①AB//CD,②A
B=CD,③BC//AD,④BC=AD,从中任选两个使四边形ABCD为平行四边形的选法有(??
).
A.?3种???????????????????????????????????????B.?4种???????????????????????????????????????C.?5种???????????????????????????????????????D.?6种
4.如图，平行四边形ABCD的周长为24cm
，
AC与BD相交于点O
，
OE⊥AC交AD于E
，
则△DCE的周长为（??
）
A.?4cm???????????????????????????????????B.?16cm???????????????????????????????????C.?12cm???????????????????????????????????D.?24cm
5.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，∠BCA的平分线CE与边AB相交于E，若EB＝EA＝EC，那么下列结论正确的个数有（??
）
①∠ACE＝30°；②OE∥DA；③S?ABCD＝AC?AD；④CE⊥DB
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
6.如图，在□ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线相交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝1，则AE的长为（??????
）
A.?2??????????????????????????????????????????B.?4??????????????????????????????????????????C.?4??????????????????????????????????????????D.?8
7.如图，在平行四边形ABCD中，点A1,
A2,
A3,
A4和C1,
C2,
C3,
C4分别是AB和CD的五等分点，点B1,
B2和D1,D2分别是BC和DA的三等分点.已知四边形A4B2C4D2的面积为18，则平行四边形ABCD的面积为（???
）
A.?22?????????????????????????????????????????B.?25?????????????????????????????????????????C.?30?????????????????????????????????????????D.?15
8.小敬不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃．其编号应该是(???
)
A.?①，②????????????????????????????????B.?①，④????????????????????????????????C.?③，④????????????????????????????????D.?②，③
9.如图，已知平行四边形ABCD的对角线的交点是0，直线EF过O点，且平行于AD，直线GH过0点且平行于AB，则图中平行四边形共有（??
）
A.?15个????????????????????????????????????B.?16个????????????????????????????????????C.?17个????????????????????????????????????D.?18个
10.如图，在□ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF，CF，则下列结论中不一定成立的是（??
）
A.?S△BEC=2S△CEF??
??????????????????B.?EF=CF??????????????????C.?∠DCF=
∠BCD??????????????????D.?∠DFE=3∠AEF
二、填空题:
11.在平行四边形ABCD中，若
与
的度数之比为
，则
的度数为________．
12.在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为（x+3），（x﹣4）和16，则这个四边形的周长是________.
13.如图，在平行四边形ABCD中，AC＝8，BD＝6，AD＝a，则a的取值范围是________.
14.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，O（0，0），A（1，-2），B（3，1）则C点坐标为________．
15.如图，已知?OABC的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为________．
16.在?ABCD中，AB、BC、CD三条边的长度分别为（a﹣3）cm、（a﹣4）cm、（9﹣a）cm，则这个平行四边形的周长为?________cm．
17.已知在直角坐标系中有A、B、C、D四个点，其中A，B，C三个点的坐标分别为（0，2），（﹣1，0），（2，0），则当点D的坐标为________?时，以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形．
18.阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
已知：如图，
及
边的中点
．
求作：平行四边形
．
①连接
并延长，在延长线上截取
；
②连接
、
．
所以四边形
就是所求作的平行四边形．
老师说：“小敏的作法正确．
请回答：小敏的作法正确的理由是________．
19.如图，在四边形
中，
，点
分别从点
同时出发，点
以
的速度由点
向点
运动，点
以
的速度由点
向点
运动设运动时间为
.当
________.时，
为平行四边形的一边.
20.如图，平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝2BG，连接AP，若S△PBG＝2，则S四边形AEPH＝________.
三、作图题:
21.图①，图②均是
的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A在格点上．试在网格中画出顶点在格点上，面积为6，且符合相应条件的图形．
（1）在图①中，画出以点A为顶点的非特殊的平行四边形．
（2）在图②中，画出以点A为对角线交点的非特殊的平行四边形．
四、解答题:
22.如图，四边形ABCD是平行四边形，且DE∥BF，分别交对角线AC于点E、F，连接EB，FD．
求证：BE∥DF．
23.如图，把?ABCD分成4个小平行四边形，已知?AEOG，?BFOG，?CFOH的面积分别为8，10，30，求?OEDH的面积．
24.如图，□ABCD中，
的角平分线
交AD于点E，
的角平分线
交
于点
，
，DE=3，
=50°.
（1）求
的度数；
（2）求□ABCD的周长.
25.如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线BD上的点，BE＝DF.
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）求证：AF∥CE.
26.如图，在平面直角坐标系中，点A
(0，4)．动点P从原点O出发，沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q从点A出发，沿y轴负方向以每秒1个单位的速度运动，以QO、QP为邻边构造平行四边形OQPB，在线段OP的延长线长取点C，使得PC＝2，连接BC、CQ．设点P、Q运动的时间为t(0（1）用含t的代数式表示:
点B的坐标________，点C的坐标________；
（2）当t＝1时：①四边形QOBC的面积为________；
②在平面内存在一点D，使得以点Q、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，直接写出此时点D的坐标．________
答案解:析部分
一、单选题
1.【答案】
B
解:：∵平行四边形的对边平行、对角相等、对边相等，
∴选项B不符合题意；
故答案为B．
【分析】根据平行四边形的性质逐项排除即可
2.【答案】
A
解:∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝7，BC＝AD，AD∥BC，
∵BF平分∠ABC交AD于F，CE平分∠BCD交AD于E，
∴∠ABF＝∠CBF＝∠AFB，∠BCE＝∠DCE＝∠CED，
∴AB＝AF＝7，DC＝DE＝7，
∴EF＝AF＋DE?AD＝7＋7?AD＝3.
∴AD＝11，
∴BC＝11.
故答案为：A.
【分析】先证明AB＝AF＝7，DC＝DE，再根据EF＝AF＋DE?AD求出AD，即可得出答案.
3.【答案】
B
解:①②或③④组合，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定；
①③组合，利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行判定；
②④组合，利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判定；
∴共有4种选法.
故选：B.
【分析】根据两组对边分别平行或相等，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，先分别组合再逐一判断即可.
4.【答案】
C
解:∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，OA=OC，
∵?ABCD的周长为24cm，
∴AD+CD=12cm，
∵OA=OC，OE⊥AC，
∴EC=AE，
∴△DCE的周长为：DE+EC+CD=DE+AE+CD=AD+CD=12（cm）．
故答案为：C．
【分析】由?ABCD的周长为16cm，即可求得AD+CD=8cm，又由OE⊥AC，可得DE是线段AC的垂直平分线，即可得AE=EC，继而可得△DCE的周长等于AD+CD的长．
5.【答案】
C
解:∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD
∴∠DCE＝∠CEB，
∵CE是角平分线所以∠DCE＝∠BCE，
∴∠BCE＝∠CEB，BE＝BC
∵EB＝EA＝EC，
∴∠ACB＝90°，EC＝BC＝EB，
∴△BEC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠CAB＝30°，故①正确，
∵OD＝OB，AE＝EB，
∴OE∥AD，故②正确，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝90°，
∴AD⊥AC，
∴S?ABCD＝AC?AD，故③正确，
假设CE⊥BD，则推出四边形ABCD是菱形，显然不可能，故④错误，
故答案为：C．
【分析】由EB=EC=EC，结合等边对等角和三角形内角和定理，易得∠ACB＝90°，故
S?ABCD＝AC?BC=AC·AD。又∠BCA的平分线，CE，故
∠ACE
=45°。E、O分别是AC、AB中点，故OE∥BC∥DA。
6.【答案】B
解:∵AE为∠DAB的平分线，
∴∠DAE=∠BAE，
∵DC∥AB，
∴∠BAE=∠DFA，
∴∠DAE=∠DFA，
∴AD=FD，
又F为DC的中点，
∴DF=CF，
∴AD=DF=DC=AB=2，
在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG=
，
则AF=2AG=2
，
∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴AF=EF，
则AE=2AF=4
．
故答案为：B．
【分析】根据△ADF≌△ECF可说明AE＝2AF=2EF
．
由DC∥AB，AF是∠BAD的平分线，可得到∠DAG=∠DFG,所以根据等角对等边可得AD＝FD，在Rt△DGF中用勾股定理可计算GF，根据AE＝2AF＝4GF可求解:．
7.【答案】
C
解:
设平行四边形ABCD的面积是S，设AB=5a，BC=3b．AB边上的高是3x，BC边上的高是5y．
则S=5a?3x=3b?5y．即ax=by=
．
△AA4D2与△B2CC4全等，B2C=
BC=b，B2C边上的高是
?5y=4y．
则△AA4D2与△B2CC4的面积是2by=
S．
同理△D2C4D与△A4BB2的面积是
．
则四边形A4B2C4D2的面积是S-
S-
S-
-
=
S，
即
S=18，
解:得S=30．
则平行四边形ABCD的面积为30．
故答案为：C．
【分析】可以设平行四边形ABCD的面积是S，根据等分点的定义利用平行四边形ABCD的面积减去四个角上的三角形的面积，就可表示出四边形A4B2C4D2的面积，从而得到两个四边形面积的关系，即可求解:．
8.【答案】
D
解:
带②，③过去，可分别延长②，③的各边，相交于两点，即为平行四边形的另外两点.
故选D.
【分析】观察图象可得，根据带去的两块玻璃看是否能还原成原来的平行四边形.
9.【答案】D
解:平行四边形有：?AEOG，?AEFD，?ABHG，?GOFD，?GHCD，?EBHO，?EBCF，?OHCF，?ABCD，?EHFG，
?AEHO，?AOFG，?EODG，?BHFO，?HCOE，?OHFD，?OCFG，?BOGE．
共18个．
故选：D．
【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，根据图形写出所有的平行四边形即可得解:．
10.【答案】A
解:A、延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
∵∠A=∠FDM，
AF=DF，
∠AFE=∠DFM，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM
，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故S△BEC=2S△CEF错误，A符合题意；
B、∵△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FM，故此选项不符合题意，B不合题意；
C、∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在
ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=
∠BCD，故此选项不符合题意，C不合题意；
D、设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°-x，
∴∠EFC=180°-2x，
∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，
∵∠AEF=90°-x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此选项不符合题意，D不合题意．
故答案为：A．
【分析】A、将EF延长交CD延长线与点M，因为点F是AD的中点所以可知△ADF≌△DMF，因为MC>AB，所以，所以，所以A错误.
B、利用平行四边形的性质，因为CE⊥AB，所以∠EDC=，因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以EF=FC；
C、利用平行四边形对边平行的性质即可知，∠DCF=；
D、利用外角的性质和三角形内角和的性质，通过转化，可以得到.
二、填空题
11.【答案】
100°.
解:在
ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∠A，∠B的度数之比为5：4，
∴∠A=100°，∠B=80°，
∴∠C=∠A=100°
故答案为：100°
【分析】根据平行四边形的性质可知∠A，∠B互补，根据已知可以求出∠A，∠B的度数，而∠C是∠A的对角，所以相等．
12.【答案】
50
解:∵ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∴x+3＝16，x＝13，
∴AB＝16，BC＝9，CD＝16，DA＝9，
这个四边形的周长是16+16+9+9＝50.
故答案为：50.
【分析】根据平行四边形的对边相等可解:出x的值，继而可得出四边的长度，也就得出了这个四边形的周长.
13.【答案】
1＜a＜7
解:∵在平行四边形ABCD中，AC=8，BD=6，
∴AO=4，OD=3
∴4-3＜a＜4+3
即1＜a＜7
故答案为：1＜a＜7。
【分析】根据平行四边形的性质，可得OD和AO的长度，在三角形ADO中，根据三角形三边关系即可求得a的取值范围。
14.【答案】
（2，3）
解:连接OB、AC
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AP=CP，OP=BP，
∵O（0，0），B（3，1），
∴点P的坐标（1．5，0．5），
∵A（1，-2），
∴C点的坐标（2，3），
故答案为（2，3）．
【分析】连接OB、AC，根据O、B的坐标易求点P的坐标，再根据平行四边形的性质：对角线互相平分即可求出点C的坐标．
15.【答案】
5
解:当B在x轴上时，对角线OB长的最小，如图所示：
直线x=1与x轴交于点D，直线x=4与x轴交于点E，
根据题意得：∠ADO=∠CEB=90°，OD=1，OE=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA∥BC，OA=BC，
∴∠AOD=∠CBE，
在△AOD和△CBE中，
，
∴△AOD≌△CBE（AAS），
∴OD=BE=1，
∴OB=OE+BE=5；
故答案为：5．
【分析】结合图形可知对角线OB长的最小，利用平行四边形的每组对边平行且相等及垂直所得直角可证得△AOD≌△CBE，从而可求得BE的长，即可求得满足条件的OB长.
16.【答案】10
解:∵平行四边形的对边相等，
当a﹣3=9﹣a时
a﹣3=9﹣a，
解:得：a=6cm，
即得AB=3cm、BC=2cm、CD=3cm、DA=2cm，
∴平行四边形ABCD的周长是：AB+BC+CD+DA=10cm；
当a﹣4=9﹣a时，
a=6.5cm，
即得AB=3.5cm、BC=2.5cm、CD=2.5cm、DA=2.5cm，
∴AB≠BC=CD=DA，
∴四边形不是平行四边形，
故答案为10
【分析】根据平行四边形的对边相等可列出方程，从而解:出a，这样就可得出各边的长，继而得出周长．
17.【答案】（3，2）、（﹣3，2）、（1，﹣2）
解:如图所示：
故答案为：（3，2）、（﹣3，2）、（1，﹣2）．
【分析】分别在平面直角坐标系中确定出A、B、C的位置，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可确定D的位置．
18.【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形
解:∵
是
边的中点，
∴
，
∵
，
∴四边形
是平行四边形，
则依据：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【分析】只要用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，就可以得到作图的思路了。
19.【答案】
2或3
解:根据题意有AP=2t，CQ=t，PD=9-2t，BQ=6-t，
①∵AD∥BC，
∴当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形，
∴2t=6-t，解:得t=2，
∴运动2s时四边形APQB是平行四边形，
②∵AD∥BC，
∴当PD=CQ时，四边形PDCQ是平行四边形，
∴9-2t=t，解:得t=3，
∴运动3s时，四边形PDCQ是平行四边形，
故答案为：2或3.
【分析】当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形，当PD=CQ时，四边形PDCQ是平行四边形，分别求出t即可.
20.【答案】
8
解:∵EF∥BC，GH∥AB，
∴四边形HPFD、四边形PGCF、四边形BGPE是平行四边形，
∴
，
∵S△PBG＝2，
∴
，
∵CG＝2BG，
∴
，
∵
,
∴
.
故答案为：8.
【分析】由题意根据平行四边形的判定和性质，进行面积的等量代换分析即可求解:.
三、作图题
21.【答案】
（1）解:：如图，平行四边形ABCD即为所求．
（2）解:：如图，平行四边形EFGH即为所求．
【分析】（1）画出底为3，高为2的平行四边形ABCD即可．（2）利用数形结合的思想解:决问题即可．
四、解:答题
22.【答案】证明：∵BF∥DE，
∴∠BFE=∠DEF，
又四边形ABCD为平行四边形，
∴∠BAF=∠ECD，
又∠BFE=∠BAF+∠ABF，∠DEF=∠ECD+∠EDC，
∴∠ABF=∠CDE，
且AB=CD，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（ASA），
∴BF=DE，
∵BF∥DE，
∴四边形BFDE为平行四边形，
∴BE∥DF．
【分析】由BF∥DE可得∠BFE=∠DEF，结合平行四边形的性质可得到∠ABF=∠CDE，可证明△ABF≌△CDE，可证得BF=DE，可证明四边形BFDE为平行四边形，即可得出结论．
23.【答案】解:设平行线AD，GH之间的距离为h1
，
平行线GH，BC之间的距离为h2
，
则
＝
＝
，
＝
＝
，∴
＝
，即
＝
，∴S?OEDH＝24
【分析】根据平行线间的距离相等可设平行线AD，GH之间的距离为h1
，
平行线GH，BC之间的距离为h2
，
则,,,所以四边形OEDH的面积=24.
24.【答案】
（1）解:：∵?ABCD中，∠ABC=50°，
∴∠ADC=∠ABC=50°，
∵DF平分∠ADC，
（2）解:：四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=5，
∵DE=3，
∴AD=AE+DE=8，
∴?ABCD的周长=2（AB+AD）=2×（5+8）=26.
【分析】（1）由平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC，再根据角平分线的性质可得∠FDC=∠ADC=∠ABC可求解:；
（2）由平行四边形的想可得AD∥BC，AD=BC，AB=CD；由平行线的性质得∠AEB=∠EBC，由角平分线的性质可得∠ABE=∠EBC，所以可得∠ABE=∠AEB，由等角对等边可得AB=AE，所以AD=AE+ED，于是平行四边形的周长=2（AB+AD）可求解:。
25.【答案】
（1）解:：连接AC,交BD于点O,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,BO=DO,
∵BE=DF,
∴EO=FO,
∴四边形AECF是平行四边形,
∴AE∥FC,
∴∠1=∠2,
（2）解:：∵四边形AECF是平行四边形,
∴AF∥CE.
【分析】（1）作辅助线,利用平行四边形的性质得出AO=CO,BO=DO,进而得出EO=FO,即可得出四边形AECF是平行四边形,得出答案即可；（2）利用（1）中所求,结合平行四边形的性质得出即可.
26.【答案】
（1）（2t，t﹣4）；（2+2t，0）
（2）12；（﹣2，0）、（2，6）或（6，﹣6）
解:（1）设点P运动的时间为t，
可得：OP=2t，QO=OA-AQ=4-t，
所以点B的坐标为（2t，t-4），点C的坐标为（2+2t，0）；
（
2
）解:：①当t=1时，
S四边形QOBC=S?OQC+S?OCB=
·（2+2）·3+
·（2+2）·3=12，
②要使以点Q、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，
则可得点D的坐标有三种情况，
当QD∥BC，当t=1时，OD1=PC=2，故点D1的坐标为（﹣2，0）；
当QD∥BC，当t=1时，点B的坐标为（2，﹣3），3+3=6，故可得点D2的坐标为（2，6）；
当QB∥DC，当t=1时，点C的坐标为（4，0），故可得点D3的坐标为（6，﹣6）.
【分析】（1）设点P运动的时间为t，故OP=2t，QO=OA-AQ=4-t，由题意可得点B的坐标为（2t，t-4），点C的坐标为（2+2t，0）；
（2）根据S四边形QOBC=S△OQC+S△OCB计算即可；
（3）分三种情形讨论即可①当BQ为对角线时，OD1=PC=2，故点D1的坐标为（-2，0）；②当QC为对角线时，点B的坐标为（2，-3），可得点D2的坐标为（2，6）；③当BC2对角线时，点C的坐标为（4，0），可得点D3的坐标为（6，-6）；
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