【2020年暑期衔接】青岛版八下 第2讲 特殊的平行四边形（含解析）

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2020年暑期衔接训练青岛版八年级下册：第2讲
特殊的平行四边形
一、单选题:
1.顺次连接四边形各边中点所构成的四边形是正方形，则原四边形可能是（???
）
A.?平行四边形????????????????????????????????B.?矩形????????????????????????????????C.?菱形????????????????????????????????D.?正方形
2.下列四个命题中，错误的命题是（???
）．
A.?四条边都相等的四边形是菱形；
B.?对角线互相垂直平分的四边形是正方形；
C.?有三个角是直角的四边形是矩形；
D.?一组对边平行且相等，对角线垂直且相等的四边形是正方形．
3.如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（?
）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?无法确定
4.如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，边AB＝8，E为边DA的中点，P为边CD上的一点，连接PE、PB，当PE＝EB时，线段PE的长为（???
）
A.?4???????????????????????????????????????B.?8???????????????????????????????????????C.?4
???????????????????????????????????????D.?4
5.如图,是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形,若直线AB将它分成面积相等的两部分,则x的值是（???
）．
A.?4或6????????????????????????????????????B.?3或5????????????????????????????????????C.?1或7????????????????????????????????????D.?3或6
6.如图1，分别沿长方形纸片ABCD和正方形纸片EFGH的对角线AC，EG剪开，拼成如图2所示的?ALMN，若中间空白部分四边形OPQR恰好是正方形，且?ALMN的面积为50，则正方形EFGH的面积为（??
）
A.?24?????????????????????????????????????????B.?25?????????????????????????????????????????C.?26?????????????????????????????????????????D.?27
7.如图，点E，F分别是正方形ABCD内部、外部的点，四边形ADFE与四边形BCFE均为菱形，连接AF，BF.有如下四个结论：①
；②
；③EF垂直平分DC；④
；其中正确的是（???
）
A.?①②④?????????????????????????????????B.?①②③?????????????????????????????????C.?①③④?????????????????????????????????D.?①③
8.如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP＋PN的最小值是(???
)
A.??????????????????????????????????????????B.?1?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?2
9.如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在
上，且不与M，N重合，当P点在
上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则AB的长度（??
）
A.?变大??????????????????????????????????B.?变小??????????????????????????????????C.?不变??????????????????????????????????D.?不能确定
10.如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝
EC；②四边形PECF的周长为8；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF；⑤EF的最小值为2
；⑥AP⊥EF．其中正确结论的序号为（??
）
A.?①②④⑤⑥???????????????????????????B.?①②④⑤???????????????????????????C.?②④⑤???????????????????????????D.?②④⑤⑥
11.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M为BC中点，连接AM，过D作DE⊥AM于E，则DE的长度为(???
)
A.?2?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?3?????????????????????????????????????????D.?
12.如图，在平面直角坐标系中，已知点
，若平移点
到点
，使以点
为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是(?
?)
A.?向左平移（
）个单位，再向上平移1个单位??????????B.?向左平移
个单位，再向下平移1个单位
C.?向右平移
个单位，再向上平移1个单位??????????D.?向右平移2个单位，再向上平移1个单位
二、填空题:
13.如图，在长方形ABCD中，AB=4cm,BC=5cm,在CD上取一点E，将△ADE折叠后点D恰好落在BC边上的点F，则CE的长为________?cm．
14.如图，在矩形ABCD中，BC＝40cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和1cm/s，则最快________s后，四边ABPQ成为矩形.
15.如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，将△BCE沿BE折叠后得到△BEF，点F在矩形ABCD的内部，将BF延长交AD于点G．若
=
，则
=________．
16.如图，将边长为2的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置，使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则HD=________。（结果保留根号)
17.如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于
BF的相同长度为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF.若四边形ABEF的周长为16，∠C＝60°，则四边形ABEF的面积是________.
18.如图，直线过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直E的距离分别是1和2，则正方形ABCD面积是________.
19.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P为AB边上不与A，B重合的一动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则线段EF的最小值是________．
20.如图，直角坐标系中，点P（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的平行线，分别与直线，
直线y=﹣x交于A，B两点，以AB为边向右侧作正方形ABCD．
当点（3，0）在正方形ABCD内部时，t的取值范围是________?．
三、作图题:
21.如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，
点A，B，C均在格点上．
（1）计算AB边的长是多少；
（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺作出一个以AB为边的矩形，使矩形的面积等于△ABC的面积2.5倍.（不要求证明）
四、解答题:
22.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△ADE，连接BD和CE，BD与CE交于点F．
（1）∠AEC的度数；
（2）求证：四边形ABFE是菱形．
23.已知正方形ABCD和等腰Rt△BEF，BE=EF，∠BEF=90°，按图放置，使点E在BC上，取DF的中点G，连结EG、CG．
（1）请添加一条辅助线，构造一个和△FEG全等的三角形，并证明它们全等．
（2）探索EG、CG的数量关系和位置关系，并证明．
24.如图1，四边形ABCD为矩形，E为边BC上一点，G为边AD上一点，四边形AEGF为菱形．
（1）如图2，当G与D重合时，求证：E为BC的中点；
（2）若AB=3，菱形AEGF为正方形，且EC＜EG，求AD的取值范围．
25.如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，连接AD、CF．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？为什么？
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
D
解：∵新四边形是正方形，且正方形各边相等，各角都是90°，
又∵新四边形的各边都平行于原四边形对角线且等于原四边形对角线的一半，
∴原四边形的对角线应相等且垂直，
∴满足条件的原四边形可能是正方形，
故答案为：D．
【分析】根据三角形中位线定理与正方形的性质得出原四边形的对角线应相等且垂直，据此进行判断．
2.【答案】
B
解：A．四条边都相等的四边形是菱形，所以A选项为真命题；
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以B选项为假命题；
C．有三个角是直角的四边形是矩形，所以C选项为真命题；
D．一组对边平行且相等，对角线垂直且相等的四边形是正方形，所以D选项为真命题．
故答案为：B
【分析】根据菱形、正方形、矩形的判定分别对四个选项进行判断．
3.【答案】
C
解：解：连接OP，
∵矩形ABCD，AB=6，BC=8，
∴∠ABC=90°，OA=OD=OC
在Rt△ABC中，
∴OA=OD=5；
∴S矩形ABCD=6×8=48，
∴S△AOD=S矩形ABCD=×48=12；?
∵S△AOD=S△AOP+S△POD=
∴
解之：PE+PF=4.8.
故答案为：C
【分析】
连接OP，利用矩形的性质及勾股定理求出AC的长，从而可得到OA、OD的长，利用矩形的面积公式可求出矩形ABCD的面积，再根据S△AOD=S矩形ABCD
，
求出△AOD的面积，然后由S△AOD=S△AOP+S△POD
，
利用三角形的面积公式就可求出PE+PF的值。
4.【答案】
D
解：连接BD
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=8，∠A=60°
∴△ABD是等边三角形，
∵点E为AD的中点，
∴BE⊥AD，,
∴∠AEB=90°
∴
∵PE=BE
∴.
故答案为：D.
【分析】连接BD，利用菱形的四边相等，可证AB=AD，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△ABD是等边三角形，再利用等边三角形三线合一的性质，可证得△ABE是直角三角形，同时可求出AE的长，然后利用勾股定理求出BE的长，即可得到PE的长。
5.【答案】
D
解：如图，延长BD.AF交于点E，延长BM,AN交于点C
根据题意可知：EF=3；CM=9-x且四边形EACB为矩形
∵若直线AB将它分成面积相等的两部分，
∴矩形EFGD与矩形HNCM的面积相等
∴??
x(9-x)=6×3
?
x2-9x+18=0
解得：x=3，或x=6，
故答案为：D．
【分析】如图，延长BD.AF交于点E，延长BM,AN交于点C，根据正方形的性质及矩形的性质可以得出EF,的长，进而即可表示出CM的长，进而再根据矩形的一条对角线，将矩形分割成两面积相等的三角形，从而即可题意即可得出矩形EFGD与矩形HNCM的面积相等，根据矩形的面积计算方法列出方程，求解即可.
6.【答案】
B
解：设EF=a，BC=b，AB=c，则PQ=a-c，RQ=b-a，PQ=RQ
∴a=
，
∵?ALMN的面积为50，∴bc+a2+(a-c)2=50,
把a=
代入化简求值得b+c=10,
∴a=5,
∴正方形EFGH的边长为5，
∴正方形EFGH的面积为25，
故答案为：B.
【分析】此题涉及的知识点是正方形、长方形的性质，先根据正方形和长方形的性质求出各边长的关系，再根据?ALMN的面积，求出各边长的关系，最后得出面积.
7.【答案】
D
解：根据题意，在正方形ABCD，菱形ADFE，菱形BCFE中，
∴
，故①符合题意；
∵
，
∴△ABE是等边三角形，△DCF是等边三角形，
∴∠AEB=60°，∠FDC=60°
∴∠ADF=90°+60°=150°，
∴
，故②不符合题意；
∵AD⊥CD，AD∥EF，
∴EF⊥CD，
∵△DCF是等边三角形，
∴EF垂直平分DC；故③符合题意；
延长FE，交AB于点G，
∵EF⊥CD，AB∥CD，
∴EF⊥AB，
∴
，
，
∵
，
∴
，故④不符合题意；
∴正确的结论有：①③.
故答案为：D.
【分析】根据菱形和正方形的性质，即可得到
；由△DCF是等边三角形，得到∠FDC=60°，则
；由△CDF是等边三角形，AD⊥CD，AD∥EF，即可得到EF垂直平分DC；延长FE，交AB于点G，则
，
，由
，即可判断.
8.【答案】
B
解：做点N关于AC的对称点，连接MN，与AC相交于一点，当点P位于此位置时，MP+PN是最小的，
即MN=AD，
所以MP+PN=1.
故答案为：B
【分析】这是一个典型的将军饮马问题，解决这类问题，先做其中一个点的对称点，即做N或M点关于AC的对称点，再根据两点之间线段最短，即可找到点P的位置，利用菱形四条边都相等的性质，就可以求得MP与PN的最小值。
9.【答案】
C
解：PAOB是扇形OMN的内接矩形，根据矩形的性质AB=OP=半径，所以AB长度不变．
故答案为：C
【分析】四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，根据矩形的对角线相等得出AB=OP，而OP又是该扇形的半径，从而得出答案
。
10.【答案】
A
解：①如图，延长FP交AB与G，连PC，延长AP交EF与H，
∵GF∥BC，
∴∠DPF＝∠DBC，
∵四边形ABCD是正方形
∴∠DBC＝45°
∴∠DPF＝∠DBC＝45°，
∴∠PDF＝∠DPF＝45°，
∴PF＝EC＝DF，
∴在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2
，
∴DP＝
EC．
故①正确；
②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8，
故②正确；
③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP＝45度，
∴当∠PAD＝45度或67.5度或90度时，△APD是等腰三角形，
除此之外，△APD不是等腰三角形，
故③错误．
④∵四边形PECF为矩形，
∴PC＝EF，∠PFE＝∠ECP，
由正方形为轴对称图形，
∴AP＝PC，∠BAP＝∠ECP，
∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，
故④正确；
⑤由EF＝PC＝AP，
∴当AP最小时，EF最小，
则当AP⊥BD时，即AP＝
BD＝
＝2
时，EF的最小值等于2
，
故⑤正确；
⑥∵GF∥BC，
∴∠AGP＝90°，
∴∠BAP+∠APG＝90°，
∵∠APG＝∠HPF，
∴∠PFH+∠HPF＝90°，
∴AP⊥EF，
故⑥正确；
本题正确的有：①②④⑤⑥；
故答案为：A．
【分析】由正方形ABCD，PF⊥CD，易得△PDF是等腰直角三角形，故斜边DP＝
EC；四边形PECF的周长等于CF与PF和的2倍，又PF=DF，即可得四边形PECF周长为CD长的2倍为8；P是动点，不能保证△APD一定是等腰三角形；连接PC后，易得AP=PC，即可得到在矩形PECF中，AP=PC=EF；EF的最小值即AP的最小值，垂线段最短即可得；延长AP交EF于H后，易得∠PFH+∠HPF=90°，从而AP⊥EF。
11.【答案】B
解：连接DM，
∵矩形ABCD
∴∠B=90°。BC=AD=3
∵M为BC中点
∴BM=BC=×3=1.5
在Rt△ABM中
∵S△AMD=ADAB=AMDE
∴3×2=2.5DE
解之：DE=
故答案为：B.
【分析】连接DM，根据已知可求出△ADM的面积，根据中点的性质可得得出BM的长，再利用勾股定理求出AM的长，然后利用等面积法可求得答案。
12.【答案】C
解：过B作射线BC∥OA，在BC上截取BC=OA，则四边形OACB是平行四边形，
过B作BH⊥x轴于H，
∵B（
，1），
∴OB=
，
∵A（2，0），
∴C（3，1）
∴OA=OB，
∴则四边形OACB是菱形，
∴平移点A到点C，向右平
个单位，再向上平移1个单位而得到，
故答案为：C．
【分析】过B作射线BC∥OA，在BC上截取BC=OA，过B作BH⊥x轴于H，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形OACB是平行四边形，用勾股定理可求得OB的长，由计算可求得OA=OB，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形OACB是菱形，根据菱形的性质即可得平移的方向和距离。
二、填空题
13.【答案】3
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，AD=BC=5，CD=AB=4．
∵△AEF是△ADE翻折得到的，
∴AF=AD=5，EF=DE，
∴BF=3，
∴FC=2，
∵FC2+CE2=EF2
，
∴22+CE2=（4-CE）2
，
解得CE=．
【分析】在△ABF中，利用勾股定理可求得BF的长，进而可求得CF长；同理在△CEF中，利用勾股定理可求得CE长．
14.【答案】
10
解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠BAQ=∠ABP=90°，AD=BC=40cm
设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，此时AQ=BP
∴3x=40-x
∴x=10
故答案为：10.
【分析】根据矩形的四个角都是直角且对边相等得出∠BAQ=∠ABP=90°，AD=BC=40cm，根据运动的观点来看，DQ=x，BP=3x，故AQ=40-x，当四边形ABPQ成为矩形时，AQ=BP，从而即可列出方程，求解即可.
15.【答案】
解：如图，连接GE，
∵点E是CD的中点，
∴DE=EC，
∵将△BCE沿BE折叠后得到△BEF，点F在矩形ABCD的内部，
∴∠BFE=90°，EF=EC=ED，
在Rt△EFG和△EDG中，
，
∴Rt△EFG≌△EDG（HL），
∴FG=DG，
∵，
设DG=FG=x，则AG=7x，AD=BC=8x，BG=BF+FG=9x，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】连接GE，易证Rt△EFG≌△EDG，设DG=FG=x，则AG=7x，AD=BC=8x，BG=BF+FG=9x，表示出，
进而得到.
16.【答案】
解：∵四边形ABCD为正方形
∴CD=1，∠CDA=90°
根据旋转的性质，
∴CF=，
∠CFE=45°
∴△DFH为等腰直角三角形
∴DH=DF=CF=CF-CD=-1.
【分析】根据正方形的性质计算得到CD和∠CDA的数值，根据旋转的性质以及正方形的性质可得∠CFE为45°，由此判定△DFH为等腰直角三角形，计算得到CF-CD的度数即可。
17.【答案】
8
解：由作法得AE平分∠BAD，AB＝AF，
则∠1＝∠2，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BE∥AF，∠BAF＝∠C＝60°，
∴∠2＝∠BEA，
∴∠1＝∠BEA＝30°，???
∴BA＝BE，
∴AF＝BE，
∴四边形AFEB为平行四边形，△ABF是等边三角形，
而AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形；
∴BF⊥AE，AG＝EG，
∵四边形ABEF的周长为16，
∴AF＝BF＝AB＝4，
在Rt△ABG中，∠1＝30°，
∴BG＝
AB＝2，AG＝
BG＝2
，
∴AE＝2AG＝4
，
∴菱形ABEF的面积＝
BF×AE＝
×4×4
＝8
；
故答案为：8
.
【分析】利用作图可知AE平分∠BAD，AB＝AF，再利用平行四边形的性质，易证AF＝BE，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形AFEB为平行四边形，再利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证得四边形ABEF是菱形，利用菱形的性质，就可求出AB的长，然后利用解直角三角形求出AE，BF的长，利用菱形的面积等于两对角线之积的一半，就可求出四边形ABEF的面积。
18.【答案】
5.
解：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵AE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
∴∠ABE+∠CBF=180°-90°=90°，∠ABE+∠EAB=90°，
∴∠EAB=∠CBF，
在△AEB和△BFC中，
,
∴△AEB≌△BFC（AAS），
∴BE=CF=2，
在Rt△AEB中，由勾股定理得：
,
即正方形ABCD的面积是5，
故答案为：5.
【分析】根据正方形性质得出AB=CB，∠ABC=90°，求出∠EAB=∠FBC，证△AEB≌△BFC，求出BE=CF=2，在Rt△AEB中，由勾股定理求出AB，即可求出正方形的面积.
19.【答案】
4.8
解：如图，连接CP，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝
＝10，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C＝90°，
∴四边形CFPE是矩形，
∴EF＝CP，
由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，S△ABC＝
BC?AC＝
AB?CP，
即
×8×6＝
×10?CP，
解得CP＝4.8．
故答案为：4.8
【分析】连接CP,
PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，可得到四边形CFPE为矩形，则EF=CP，当CP⊥AB时有最小值，则求出CP的最小值即可.
20.【答案】＜t＜3
解：∵点P（t，0），AB∥y轴，
∴点A（t，t），B（t，﹣t），
∴AB=|t﹣（﹣t）|=|t|，
∵t＞0时，点C的横坐标为t+t=t，
∵点（2，0）在正方形ABCD内部，
∴t＞3，且t＜3，
解得t＞且t＜3，
∴＜t＜3；
故答案为：＜t＜3．
【分析】根据点P的横坐标表示出AB，由点C的横坐标大于3列出不等式求解即可．
三、作图题
21.【答案】
（1）解：AB=
（2）解：如图所示，矩形ABHG即为所求．
（1）利用方格纸的特点，AB其实就是一个两直角边分别是2,1
的直角三角形的斜边，根据勾股定理即可算出AB的长；
（2）根据算出三角形ABC的面积是4,，根据矩形的面积等于△ABC的面积2.5倍得出矩形的面积是10，由矩形的面积等于长乘以宽得出算出矩形另一条边的长为2，
而2是两直角边分别为2,4的直角三角形的斜边，利用方格纸即可做出符合条件的矩形。
四、解答题
22.【答案】
（1）解：根据旋转可得∠CAE=100°，AC=AE，
∵∠AEC+∠ACE+∠CAE=180°，
∴∠AEC=（180°﹣100°）=40°；
（2）证明：∵∠BAD=∠CAE=100°，AB=AC=AD=AE，
∴∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC=40°．
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=140°，
∴∠BFE=360°﹣∠BAE﹣∠ABD﹣∠AEC=140°，
∴∠BAE=∠BFE，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵AB=AE，
∴平行四边形ABFE是菱形．
【分析】（1）根据旋转可得∠CAE=100°，AC=AE，再根据三角形内角和定理可得∠AEC的度数；
（2）首先证明∠BAE=∠BFE，∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC，再根据对角相等的四边形是平行四边形，可证得四边形ABFE是平行四边形，然后再根据旋转可得AE=AB，依据邻边相等的平行四边形是菱形，即可证得．
23.【答案】解：（1）延长EG交CD于点H，如图，则△DHG≌△FEG．证明如下：
∵∠BEF=90°，
∴EF⊥BC，
而CD⊥BC，
∴EF∥CD，
∴∠1=∠2，
∵点G为DF的中点，
∴DG=FG，
在△DHG和△FEG中，
，
∴△DHG≌△FEG（ASA）；
（2）EG=CG，EG⊥CG．证明如下：
∵△DHG≌△FEG，
∴EF=DH，EG=HG，
∵BE=EF，
∴BE=DH，
∵CB=CD，
∴CD﹣DH=CB﹣BE，即CH=CE，
∴△CHE为等腰直角三角形，
∵EG=GH，
∴CG⊥EH，CG=EG=GH，
即EG=CG，EG⊥CG．
【分析】（1）延长EG交CD于点H，如图，先证明EF∥CD，则∠1=∠2，再由点G为DF的中点得到DG=FG，然后利用“ASA”判断△DHG≌△FEG；
（2）由△DHG≌△FEG得到EF=DH，EG=HG，而BE=EF，所以BE=DH，根据正方形的性质得CB=CD，则CH=CE，于是可判断△CHE为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质得到CG⊥EH，CG=EG=GH，即EG=CG，EG⊥CG．
24.【答案】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，AB=DC，
∵四边形AEGF为菱形，
∴AE=DE，
在Rt△ABE和Rt△DCE中，，
∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL），
∴BE=CE，
即E为BC的中点；
（2）作GH⊥BC于H，如图所示：
则GH=AB=3，
∵四边形AEGF为正方形，
∴∠EAF=∠EDF=90°，AB=CD=3，∠EAD=∠EDA=45°，
∴∠BAE=∠EDH=45°，
∴△ABE和△DHE是等腰直角三角形，
∴BE=AB=3，EH=DH=CD=3，
∴EG=EH=3，
∵EC＜EG，
∴EC＜3，
∴AD=BC=BE+EC＜3+3，
∴AD得取值范围是6＜AD＜3+3．
【分析】（1）由矩形和菱形的性质得出∠B=∠C=90°，AB=DC，AE=DE，根据HL证明Rt△ABE≌Rt△DCE，得出BE=CE即可；
（2）作GH⊥BC于H，由正方形的性质得出△ABE和△DHE是等腰直角三角形，得出BE=AB=3，EH=DH=CD=3，求出EG=EH=3，
即可得出AD得取值范围是．
25.【答案】（1）证明：∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE∥AB，
∵AF∥BC，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴AF=BD，则AF=DC，
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形；
（2）当△ABC是直角三角形时，四边形ADCF是菱形，
理由：∵点D是边BC的中点，△ABC是直角三角形，
∴AD=DC，
∴平行四边形ADCF是菱形．
【分析】（1）首先利用平行四边形的判定方法得出四边形ABDF是平行四边形，进而得出AF=DC，利用一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，进而得出答案；
（2）利用直角三角形的性质结合菱形的判定方法得出即可．
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精品试卷·第
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