【2020年暑期衔接】青岛版八下 第3讲 三角形的中位线定理（含解析）

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2020年暑期衔接训练青岛版八年级下册：第3讲
三角形的中位线定理
一、单选题：
1.如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，连接DE、EF、FD得△DEF，如果△ABC的周长是24cm，那么△DEF的周长是(???
)
A.?6cm???????????????????????????????????B.?12cm???????????????????????????????????C.?18cm???????????????????????????????????D.?32cm
2.如图是一块等腰三角形空地ABC，已知点D，E分别是边AB，AC的中点，量得AC=10米，AB=BC=6米，若用篱笆围成四边形BCED来放养小鸡，则需要篱笆的长是（
??）
A.?22米????????????????????????????????????B.?17米????????????????????????????????????C.?14米????????????????????????????????????D.?11米
3.如图，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（?????
）
A.?线段EF的长逐渐增大???????????????????????????????????????????B.?线段EF的长逐渐减小
C.?线段EF的长不变??????????????????????????????????????????????????D.?线段EF的长与点P的位置有关
4.如图，四边形ABCD中，点E、F、G分别是线段AD、BC、AC的中点，则△EFG的周长（??
）
A.?与AB，BC，AC的长有关????????????????????????????????????B.?与AD，DC，AC的长有关
C.?与AB，DC，EF的长有关????????????????????????????????????D.?与AD，BC，EF的长有关
5.如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的中线，BD与CE相交于点0，点F、G分别是BO、CO的中点，连接AO．若AO=6cm，BC=8cm，则四边形DEFG的周长是（??
）
A.?14
cm????????????????????????????????B.?18
cm????????????????????????????????C.?24
cm????????????????????????????????D.?28
cm
6.直角三角形斜边上的中线与连结两直角边中点的线段的关系是（　　）
A.?相等且平分??????????????????????B.?相等且垂直??????????????????????C.?垂直平分??????????????????????D.?垂直平分且相等
7.如图，点D、E、F分别是△ABC中AB、BC、AC边上的中点，点M、N、P分别是DE、EF、DF的中点．若△ABC的周长为24，则△PMN的周长为（　　）
A.?6??????????????????????????????????????????B.?8??????????????????????????????????????????C.?10??????????????????????????????????????????D.?12
8.如图，△ABC的周长为26，点D、E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P．若BC=10，则PQ的长是（　　）
A.?1.5??????????????????????????????????????????B.?2??????????????????????????????????????????C.?3??????????????????????????????????????????D.?4
9.如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，M，N分别是AD，BC的中点，AB=4，DC=2，则MN的长不可能是（　　）
A.?3?????????????????????????????????????????B.?2.5?????????????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????????????????D.?1.5
10.如图，以任意△ABC的边AB和AC向形外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，F、G分别是线段BD和CE的中点，则的值等于（　　）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
11.如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，AH⊥BC于H，FD=8，则HE等于（　　）
A.?20?????????????????????????????????????????B.?16?????????????????????????????????????????C.?12?????????????????????????????????????????D.?8
12.如图，在一张△ABC纸片中，∠C=90°，∠B=60°，DE是中位线，现把纸片沿中位线DE剪开，计划拼出以下四个图形：①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有一个角为锐角的菱形；④正方形．那么以上图形一定能被拼成的个数为（　　）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
二、填空题：
13.如图所示，DE为
的中位线，点F在DE上，且
，若
，
，则
的长为________.
14.如图，在四边形
中，点E、F分别是线段AD、BC的中点，G、H分别是线段BD、AC的中点，当四边形
的边满足________时，四边形
是菱形.
15.已知：如图，在△ABC中，点A1
，
B1
，
C1分别是BC、AC、AB的中点，A2
，
B2
，
C2分别是B1C1
，
A1C1
，
A1B1的中点，依此类推….若△ABC的周长为1，则△AnBnCn的周长为________.
16.如图是跷跷板的示意图，立柱
与地面垂直，以
为横板
的中点，
绕点
上下转动，横板
的
端最大高度
是否会随横板长度的变化而变化呢？一位同学做了如下研究：他先设
，
，通过计算得到此时的
，再将横板
换成横板
，
为横板
的中点，且
，此时
点的最大高度为
，由此得到
与
的大小关系是：
________
（填“
、“
”或“
”）可进一步得出，
随横板的长度的变化而________（填“不变”或“改变”）．
17.如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，M，N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=
BD，连结DM、DN、MN。若AB=5，则DN=________。
18.如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F．若AB=6，则BF的长为________?
19.如图，△ABC中，AB=AC，以AC为斜边作Rt△ADC，使∠ADC=90°，∠CAD=∠CAB=26°，E、F分别是BC、AC的中点，则∠EDF等于________?
20.如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为________?
三、解答题：
21.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点F在AC上，AF=FC，AD与BF交于点E．求证：点E是AD的中点．
22.【知识链接】连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线
【动手操作】小明同学在探究证明中位线性质定理时，是沿着中位线将三角形剪开然后将他们无缝隙、无重叠
的拼在一起构成平行四边形，从而得出：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半
【定理证明】小明为证明定理，画出了图形，写出了不完整的已知和求证（如图1）；
（1）在图1方框中填空，以补全已知和求证；
（2）按图2小明的想法写出证明．
23.如图，四边形ABCD中，已知AB=CD，点E、F分别为AD、BC的中点，延长BA、CD，分别交射线FE于P、Q两点．求证：∠BPF=∠CQF．
24.D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O是△ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．
（1）如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；
（2）若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？（直接写出答案，不需要说明理由．）
25.已知：△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC，E为BC的中点，求证：AB=2DE．
26.如图，BM、CN分别平分△ABC的外角∠ABD、∠ACE，过A分别作BM、CN的垂线，垂足分别为M、N，交CB、BC的延长线于D、E，连结MN．
求证：MN=（AB+BC+AC）
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
B
解：∵点D为AB的中点，点F为AC的中点
∴DF为三角形ABC的中位线
∴DF=BC，同理可得，DE=AC，EF=AB
∴三角形DEF的周长=DF+DE+EF=BC+AC+AB=12cm。
故答案为：B。
【分析】根据题意分别证明三角形DEF的三边分别为三角形ABC的中位线，根据中位线的性质，结合三角形ABC的周长求出答案即可。
2.【答案】
B
解：由题意可知，点D，E分别是边AB，AC的中点，
?
?
?
，即
四边形BCED的周长
故答案为：B
【分析】利用三角形中位线定理求出DE的长，再利用线段中点的定义求出BD、CE的长，然后求出四边形BCDE的周长。
3.【答案】
C
解：连接AR，
∵E，F分别为AP，PR的中点，
∴EF=
AR，
当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，
∵AR的长度不变，∴线段EF的长不变.
故答案为：C.
【分析】连接AR，根据中位线定理可得EF=
AR，因为AR的长度不变，所以线段EF的长不变.
4.【答案】
C
解：∵点E、G分别是线段AD、AC的中点，
∴EG＝
CD，
∵点F、G分别是线段BC、AC的中点，
∴GF＝
AB，
则△EFG的周长＝EG＋GF＋EF＝
CD＋
AB＋EF，
∴△EFG的周长与AB、DC、EF的长有关，
故答案为：C．
【分析】根据三角形中位线定理得到EG＝
CD，GF＝
AB，根据三角形的周长公式解答即可．
5.【答案】A
解：∵BD，CE是△ABC的中线，
∴ED∥BC且ED=
BC，
∵F是BO的中点，G是CO的中点，
∴FG∥BC且FG=
BC，
∴ED=FG=
BC=4cm，
同理GD=EF=
AO=3cm，
∴四边形DEFG的周长=3+4+3+4=14（cm）．
故选A．
【分析】由中位线定理，可得EF∥AO，FG∥BC，且都等于边长BC的一半，据此可得出结论．
6.【答案】
A
解：如图，
?
在直角三角形ABC中，
∵CE是斜边上的中线，
∴CE=AB，
∵D是BC的中点，F是AC的中点，
∴EF∥BC，DE∥AC，DF=AB，
又∵∠ACB是直角，
∴四边形CDEF是矩形，
∴CE=DF，且CE与DF互相平分．
只有当AC=AB时，CE与DF垂直．
故选：A．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答即可．
7.【答案】
A
解：∵点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴DE=BC，EF=AB，DF=AC，
∴△DEF的周长=?（AB+BC+AC）=×24=12，
同理可得：△PMN的周长=×△DEF的周长6．
故选A．
【分析】根据三角形中位线定理易得所求的三角形的各边长为原三角形各边长的一半，那么所求的三角形的周长就等于原三角形周长的一半求解即可．
8.【答案】
C
解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），
∴PQ是△ADE的中位线，
∵BE+CD=AB+AC=26﹣BC=26﹣10=16，
∴DE=BE+CD﹣BC=6，
∴PQ=?DE=3．
故选：C．
【分析】首先判断△BAE、△CAD是等腰三角形，从而得出BA=BE，CA=CD，由△ABC的周长为26，及BC=10，可得DE=6，利用中位线定理可求出PQ．
9.【答案】
A
解：如图，连接BD，取BD的中点G，连接MG、NG，
∵点M，N分别是AD、BC的中点，
∴MG是△ABD的中位线，NG是△BCD的中位线，
∴AB=2MG，DC=2NG，
∴AB+DC=2（MG+NG），
由三角形的三边关系，MG+NG＞MN，
∴AB+DC＞2MN，
∴MN＜（AB+DC），
∴MN＜3；
故选：A．
【分析】连接BD，取BD的中点G，连接MG、NG，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB=2MG，DC=2NG，再根据三角形的任意两边之和大于第三边得出MN＜（AB+DC），即可得出结果．
10.【答案】
B
解：如图，取BC的中点H，连接BE、FH、GH，
∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠BAE=∠DAC，
在△ABE和△ADC中，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE=CD，∠ABE=∠ADC，
∴∠BDC+∠DBE=∠BDA+∠ABD=90°，
∴BE⊥CD，
又∵F、G分别是线段BD和CE的中点，
∴FH、GH分别是△BCD和△BCE的中位线，
∴FH∥CD且FH=CD，GH∥BE且GH=BE，
∴△HFG是等腰直角三角形，
∴.
∴.
故选B．
【分析】取BC的中点H，连接BE、FH、GH，求出∠BAE=∠DAC，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADC全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=CD，全等三角形对应角相等可得∠ABE=∠ADC，然后求出BE⊥CD，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得FH∥CD且FH=CD，GH∥BE且GH=BE，然后求出△HFG是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得?，然后求出的值即可．
11.【答案】
D
解：∵D、F分别是AB、BC的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF=AC（三角形中位线定理）；
又∵E是线段AC的中点，AH⊥BC，
∴EH=?AC，
∴EH=DF=8．
故选D．
【分析】利用三角形中位线定理知DF=AC；然后在直角三角形AHC中根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可将所求线段EH与已知线段DF联系起来了．
12.【答案】
C
【分析】将该三角形剪成两部分，拼图使得△ADE和直角梯形BCDE不同的边重合，即可解题．
解：①使得BE与AE重合，即可构成邻边不等的矩形，如图：
∵∠B=60°，
∴，
∴CD≠BC．
②使得CD与AD重合，即可构成等腰梯形，如图：
③使得AD与DC重合，能构成有两个角为锐角的是菱形，如图：
故计划可拼出①②③．
故选C
【点评】本题考查了三角形中位线定理的运用，考查了三角形中位线定理的性质，本题①中求证BD≠BC是解题的关键．
二、填空题
13.【答案】
3
解：∵
为
的中位线，
，
∴
∵
∴
∴
故答案为：3.
【分析】根据中位线的性质求得
，再根据直角三角形斜边中线定理求得
，根据
即可求出EF的长度.
14.【答案】
AB=CD
解：当AB=CD时，四边形EGFH是菱形.
∵点E，G分别是AD，BD的中点，
∴EG∥AB，同理HF∥AB，∴EG∥HF，EG=HF=
AB，
∴四边形EGFH是平行四边形.
∵EG=
AB，又可同理证得EH=
CD，
∵AB=CD，
∴EG=EH，
∴四边形EGFH是菱形.
故答案为AB=CD.
【分析】本题可根据菱形的定义来求解.E、G分别是AD，BD的中点，那么EG就是△ADB的中位线，同理，HF是△ABC的中位线，因此EG、HF同时平行且相等于AB，因此EG∥HF，EG=HF，因此四边形EHFG是平行四边形，E、H是AD，AC的中点，那么EH=
CD，要想证明EHFG是菱形，那么就需证明EG=EH，那么就需要AB、CD满足AB=CD的条件.
15.【答案】
解：∵A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，
∴A1B1、A1C1、B1C1是△ABC的中位线，
∴△A1B1C1∽△ABC，且相似比为
，
∵A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，
∴△A2B2C2∽△A1B1C1且相似比为
，
∴△A2B2C2∽△ABC的相似比为
依此类推△AnBnCn∽△ABC的相似比为
，
∵△ABC的周长为1，
∴△AnBnCn的周长为
.
故答案为：
.
【分析】由于A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，就可以得出△A1B1C1∽△ABC，且相似比为
，△A2B2C2∽△ABC的相似比为
，依此类推△AnBnCn∽△ABC的相似比为
.
16.【答案】=；不变
解：过
作
，
，
∵
是
与
的中位线，
∴
，
∴
，
故答案为：
．
随横板的长度的变化而不变．故答案为：?
(1).
=???
(2).
不变.
【分析】过
B
作
B
D
⊥
A
D
，
B
′
D
′
⊥
A
′
D
′
，由题意知O
C
是
△
A
B
D
与
△
A
′
B
′
D
′
的中位线，所以根据三角形的中位线定理可得BD=B′D′=2OC，则可得h1=h2，即h
随横板的长度的变化而不变。
17.【答案】
解：连接CM，
∵
M，N分别是AB、AC的中点
，
∴MN=CB，MN∥BC，
∵
CD=??BD
，∴CD=BC，
∴MN=CD，MN∥CD，
∴四边形DCMN是平行四边形，
∴DN=CM，
在Rt△ABC中，
M是AB的中点，
∴CM=AB=，
∴DN=.
故答案为：.
【分析】连接CM，根据三角形中位线定理可得MN=CB，MN∥BC，由CD=??BD
，可得CD=BC，从而可得MN=CD，MN∥CD，即证四边形DCMN是平行四边形，可得DN=CM.利用直角三角形的性质可求出CM=AB=，
从而求出DN的长.
18.【答案】8
解：∵∠ACB=90°，D为AB的中点，AB=6，
∴CD=AB=3；
又∵CE=CD，
∴CE==1，
∴ED=CE+CD=1+3=4；
又∵BF∥DE，点D是AB的中点，
∴ED是△AFB的中位线．
∴BF=2ED=2×4=8，
即BF的长为8．
故答案为：8．
【分析】首先根据直角三角形斜边上中线的性质，求出CD的长度是多少；然后根据CE=CD，求出CE的长度是多少，进而求出ED的长度是多少；最后判断出ED是△AFB的中位线，根据三角形中位线定理，求出BF的长为多少即可．
19.【答案】
解：∵E、F分别是BC、AC的中点，∠CAD=∠CAB=26°，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=AB，∠EFC=∠CAB=26°．
∵AB=AC，△ACD是直角三角形，点E是斜边AC的中点，
∴DF=AF=CF，
∴DF=EF，∠CAD=∠ADF=26°．
∵∠DFC是△AFD的外角，
∴∠DFC=26°+26°=52°，
∴∠EFD=∠EFC+∠DFC=26°+52°=78°，
∴∠EDF==51°．
故答案为：．
【分析】先根据题意判断出△DEF的形状，由平行线的性质得出∠EFC的度数，再由三角形外角的性质求出∠DFC的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论．
20.【答案】
解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠FAG=∠FAC，
∵CG⊥AD，
∴∠AFG=∠AFC=90°，
在△AFG和△AFC中，
，
∴△AFG≌△AFC，
∴FG=FC，AG=AC=3，
∴F是CG的中点，
又∵点E是BC的中点，
∴EF是△CBG的中位线，
∴EF==．
故答案为：．
【分析】首先根据全等三角形判定的方法，判断出△AFG≌△AFC，即可判断出FG=FC，AG=AC，所以点F是CG的中点；然后根据点E是BC的中点，可得EF是△CBG的中位线，再根据三角形中位线定理，求出线段EF的长为多少即可．
三、解答题
21.【答案】证明：取CF得中点M，连接DM，
∵AF=FC，
∴AF=FM=CM，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
∴DM是△BFC的中位线，
∴DM∥BF，
∵AF=FM，
∴AE=DE，
即点E是AD的中点．
?
【分析】取CF得中点M，连接DM，由已知条件可证明DM是△BFC的中位线，所以DM∥BF，又因为AF=AM，所以可得AE=DE，问题得证．
22.【答案】
（1）解：中点，∥，=
（2）证明：延长DE到点F，使EF=DE．连接CF，
在△ADE和△CEF中，
∵
∴△ADE≌△CEF，
∴AD=CF，∠A=∠ECF，
∴AD∥CF，
∵BD=AD=CF，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DE∥BC，且DF=BC，
∴DE=DF=BC．
【分析】（1）作出图形，然后写出已知、求证；
（2）延长EF到D，使FD=EF，利用“边角边”证明△ADE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=CF，全等三角形对应角相等可得∠A=∠ECF，根据两直线平行判断出AB∥CF，然后判断出四边形BCFD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得结论．
23.【答案】证明：如图，连接BD，作BD的中点M，连接EM、FM．
∵点E是AD的中点，
∴在△ABD中，EM∥AB，EM=
AB，
∴∠MEF=∠P
同理可证：FM∥CD，FM=
CD．
∴∠MGH=∠DFH．
又∵AB=CD，
∴EM=FM，
∴∠MEF=∠MFE，
∴∠P=∠CQF．．
【分析】如图，连接BD，作BD的中点M，连接FM、EM．利用三角形中位线定理证得△EMF是等腰三角形，则∠MEF=∠MFE．利用三角形中位线定理、平行线的性质推知∠MEF=∠P，∠MFE=∠DCQF．根据等量代换证得∠P=∠CQF．
24.【答案】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC边的中点，
∴DE∥BC，且DE=BC，
同理，GF∥BC，且GF=BC，
∴DE∥GF且DE=GF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）解：当OA=BC时，平行四边形DEFG是菱形．
【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC且DE=BC，GF∥BC且GF=BC，从而得到DE∥GF，DE=GF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形解答．
25.【答案】证明：如图，取AB中点F，连接FD，EF，
∵AF=BF，BE=CE，
∴EF∥AC，
∴∠1=∠C，
∵∠B=2∠C，
∴∠B=2∠1，
∵AD⊥BC，AF=BF，
∴FD=BF=AB，
∴∠B=∠2，
∴∠2=2∠1，
∵∠2=∠1+∠3，
∴∠1=∠3，
∴DF=DE，
∵FD=BF=AB，
∴AB=2DE．
【分析】首先取AB中点F，连接FD，EF，判断出EF∥AC，即可判断出∠1=∠C，再根据∠B=2∠C，可得∠B=2∠1；然后根据AD⊥BC，AF=BF，判断出FD=BF=AB；最后判断出∠1=∠3，即可判断出DF=DE，所以AB=2DE，据此解答即可．
26.【答案】证明：∵AM⊥BM，
∴∠AMB=∠DMB=90°，
∵BM平分∠ABD，
∴∠ABM=∠DBM，
在△ABM与△DBM中，
∴△ABM≌△DBM（asa），
∴AB=DB，AM=DM，
同理：AN=EN，AC=CE，
∴MN=DE=（DB+BC+CE）=（AB+BC+AC）．
【分析】首先通过△ABM≌△DBM，得到AB=DB，AM=DM，同理：AN=EN，AC=CE，再根据三角形的中位线定理即可得到结果．
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