放缩法与反证法证明不等式

(共19张PPT)
不等式的证明
复习
不等式证明的常用方法:
比较法、综合法、分析法
反证法
先假设要证明的命题不成立，以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到矛盾，说明假设不正确，从而间接说明原命题成立的方法。
例题
例2、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，
abc > 0， 求证：a, b, c > 0
证：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0
又由a + b + c > 0, 则b + c > a > 0
∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0
与题设矛盾
若a = 0，则与abc > 0矛盾，
∴必有a > 0
同理可证：b > 0, c > 0
例3、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,
不可能同时大于1/4
则三式相乘： (1 a)b (1 b)c (1 c)a >
又∵0 < a, b, c < 1 ∴
同理：
以上三式相乘： (1 a)a (1 b)b (1 c)c≤
与①矛盾∴结论成立
证明：设(1 a)b>1/4, (1 b)c>1/4, (1 c)a>1/4,
在证明不等式过程中，有时为了证明的需要，可对有关式子适当进行放大或缩小，实现证明。例如：
要证b要证b>a,只须寻找b2使b>b2且b2≥a(缩小)
这种证明方法,我们称之为放缩法。
放缩法的依据就是传递性。
放缩法
例1、若a, b, c, d R+，求证：
证：记m =
∵a, b, c, d R+
∴1 < m < 2 即原式成立
法１：
证明：在　　　　时，显然成立.
当　　　　时，左边
法２：
法３：函数的方法
例4、巳知：a、b、c∈　　，求证：
略解
小结
在证明不等式过程中，有时为了证明的需要，可对有关式子适当进行放大或缩小，实现证明。例如：
要证b要证b>a,只须寻找b2使b>b2且b2≥a(缩小)
这种证明方法,我们称之为放缩法。
放缩法的依据就是定理2（传递性性质）
课堂练习
1、当 n > 2 时，求证：
证：∵n > 2 ∴
　　　　　
∴n > 2时,
课堂练习
2、若p>0,q>0,且p3+q3=2,
求证：p+q≤2
课堂小结
证明不等式的特殊方法:
（1）放缩法：对不等式中的有关式子进行
适当的放缩实现证明的方法。
（2）反证法：先假设结论的否命题成立，
再寻求矛盾，推翻假设，从而证明结
论成立的方法。
考一本习题讲解