基本不等式

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重要不等式
定理１：如果 ，那么
（当且仅当 时取“=”号）．
我们可以用比较法证明．
探究
你能从几何的角度解释定理１吗？
几何解释１－课本第五页．
动画
几何解释２
a
a
几何解释３
思考 1
(当且仅当
时取“ = ”号）．
如果 是正数，那么
基本不等式
定理２（均值定理）
概念
如果ａ、ｂ都是正数，我们就称　　　　为ａ、ｂ
的算术平均数，　　称为ａ、ｂ的几何平均数。
均值定理可以描述为：
两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数
.
均值定理的几何意义
D
B
C
E
o
A
当且仅当
中的“ = ”号成立．
时
这句话的含义是:
思考 2
当
当
和
成立的条件相同吗？
如： 成立，而 不成立。
思考 3
成立的条件_______
成立的条件______
典例探讨
例1 求证：
（２）已知
都是正数，求证
证明：由
都是正数，得
练习1
例2 求证：（1）在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大；（2）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短。
变形.
1 如果积
已知
都是正数，求证：
是定值
那么当
时,和
有最小值
2 如果和
是定值
那么当
时,积
有最大值
证：
∵
∴
1 当
（定值）时，
∵上式当
时取“=” ∴当
时，
有最小值
2 当
(定值)时，
∴
∵上式当
时取“=”
∴当
时，
∴
注意：
1、最值的含义（“≥”取最小
值，“≤”取最大值）
2、用极值定理求最值的三个必要条
件：一“正”、二“定”、三“相等”
练习2
1.巳知x>0,y>0且xy=100,则x+y的最小 值
是 _______,此时x=___,y= _____
4.证明
（1）
证：∵
∴
于是
（2）
解：∵
于是
从而
？
≤
解:
解：∵
∴
∴
=
当且仅当
即
时
有最小值1
例3.
若Ｘ＞－１，则ｘ为何值时
有最小值，最小值为几？
练习3
已知０＜ｘ＜１，求ｘ（１－ｘ）的最大值．
例4
注意:利用算术平均数和集合平均
数定理时一定要注意定理的条件:
一正;二定;三相等.有一个条件达不
到就不能取得最值.
练习4
求f(x)=2+log2x+5/log2x的最值.
例5.
且
1、已知
，
求
的最小值
解：
当且仅当
即
时
证明：
注意:本题条件a,b,c为实数
练习5
作业
课本作业；P1０　　　５、６