椭圆的参数方程
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(共63张PPT)
圆的参数方程
思考1：圆心为原点，半径为r的圆的参数方程是什么呢？
并且对于 的每一个允许值,由方程组① 所确定的点M(x,y),都在圆O上.
并且对于 的每一个允许值,由方程组① 所确定的点M(x,y),都在圆O上. 我们把方程组①叫做圆心在原点、半 径为r的圆的参数方程， 是参数(几何意义).
思考2：
[例1] 如图，已知点P是圆x2+y2=4上的一个动点，点Q是x轴上的定点，坐标为(6,0).当点P在圆上运动时，线段PQ中点M的轨迹 是什么
y
P
M
x
Q
O
y
P
M
x
Q
O
解法二:设M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x1，y1)，由中点坐标公式得:
∵点P在圆x2+y2=4上 ∴ x12+y12=4即(2x－6)2+(2y)2=4 ∴ M的轨迹方程为(x－3)2+y2=1 ∴点M的轨迹是以(3,0)为圆心、1为半径的圆。
y
P
M
x
Q
O
***练习***
(2，－2)
***练习***
(2，－2)
1
***练习***
(2，－2)
1
***练习***
(2，－2)
1
***练习***
椭圆的参数方程
探究1：以原点O为圆心，a，b(a>b>0) 为半径分别作两个同心圆，设A为大圆上的 任一点，连接OA，与小圆交于点B。过点 A，B分别作x轴，y轴的垂线，两垂线交于点M，设OA与Ox所成 角为Φ(0≤Φ≤2 )， 求点M轨迹的参数方程， 并说出点M的轨迹。
B
0
y
x
A
M
探究2：研读教材P27-P28，对比圆 方程的参数 与椭圆方程的参数Ф的几 何意义。
分析：点M的横坐标与点A的横坐标相同，点M的纵坐标与点B的纵坐标相同.而A、B的坐 标可以通过引进 参数建立联系. 设 xOA=φ
x
y
A
M
N
B
O
解：设 xOA=φ，M(x, y)， 则A：(acosφ, asinφ)，B：(bcosφ, bsinφ),
由已知:
即为点M的轨迹参数方程.
x
y
A
M
N
B
O
解：设 xOA=φ，M(x, y)， 则A：(acosφ, asinφ)，B：(bcosφ, bsinφ),
由已知:
即为点M的轨迹参数方程.
x
y
A
M
N
B
O
解：设 xOA=φ，M(x, y)， 则A：(acosφ, asinφ)，B：(bcosφ, bsinφ),
由已知:
即为点M的轨迹参数方程.
x
y
A
M
N
B
O
2. 在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.a>b
2. 在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.a>b 另外，称为离心角,规定参数 的取值范围是
2. 在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.a>b 另外，称为离心角,规定参数 的取值范围是
知识归纳
椭圆的标准方程:
椭圆的参数方程:
x
y
A
M
N
B
O
椭圆的标准方程:
椭圆的参数方程:
x
y
A
M
N
B
O
知识归纳
椭圆的标准方程:
椭圆的参数方程:
x
y
A
M
N
B
O
知识归纳
圆的标准方程：
圆的参数方程:
x
y
A
O
圆的标准方程：x2+y2=r2
圆的参数方程:
x
y
A
O
圆的标准方程：x2+y2=r2
圆的参数方程:
x
y
A
O
圆的标准方程：x2+y2=r2
圆的参数方程:
x
y
A
O
θ的几何意义是
圆的标准方程：x2+y2=r2
圆的参数方程:
θ的几何意义是 AOP=θ
x
y
P
A
O
θ
椭圆的标准方程:
椭圆的参数方程:
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:
x
y
A
M
N
B
O
类比理解
类比理解
椭圆的标准方程:
椭圆的参数方程:
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:
是 AOX=φ，不是 MOX=φ.
x
y
A
M
N
B
O
φ
探究3：如何将椭圆一般普通方程
转化成对应的参
数方程？
[练习] 把下列普通方程化为参数方程.
[练习] 把下列普通方程化为参数方程.
4
4
2
4
2
4
2
[例2] 如图，在椭圆4x2+9y2=36上求一点P，使P到直线l：x+2y－10=0的距离最小.
y
x
O
[例2] 如图，在椭圆4x2+9y2=36上求一点P，使P到直线l：x+2y－10=0的距离最小.
y
x
O
P
分析1：
[例2] 如图，在椭圆4x2+9y2=36上求一点P，使P到直线l：x+2y－10=0的距离最小.
分析2：
y
x
O
P
分析1：
分析3：平移直线l至首次与椭圆相切，切点即为所求.
y
x
O
P
分析3：平移直线l至首次与椭圆相切，切点即为所求. 小结：借助椭圆的参数 方程，可以将椭圆上的 任意一点的坐标用三角 函数表示，利用三角知 识加以解决。
y
x
O
P
[练习1]
[练习2]
[练习2]
练习3.
练习3.
B
椭圆方程(焦点在x轴上)
2.(了解)普通一般方程
普通参数方程
1.标准普通方程
标准参数方程
平移
3. 椭圆的普通方程与参数方程的互 化；注意参数方程中的角是离心角，而 不是旋转角。
4. 针对解题的不同情况合理选择椭 圆的方程形式。
《考一本》第10课时
圆的参数方程
思考1：圆心为原点，半径为r的圆的参数方程是什么呢？
并且对于 的每一个允许值,由方程组① 所确定的点M(x,y),都在圆O上.
并且对于 的每一个允许值,由方程组① 所确定的点M(x,y),都在圆O上. 我们把方程组①叫做圆心在原点、半 径为r的圆的参数方程， 是参数(几何意义).
思考2：
[例1] 如图，已知点P是圆x2+y2=4上的一个动点，点Q是x轴上的定点，坐标为(6,0).当点P在圆上运动时，线段PQ中点M的轨迹 是什么
y
P
M
x
Q
O
y
P
M
x
Q
O
解法二:设M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x1，y1)，由中点坐标公式得:
∵点P在圆x2+y2=4上 ∴ x12+y12=4即(2x－6)2+(2y)2=4 ∴ M的轨迹方程为(x－3)2+y2=1 ∴点M的轨迹是以(3,0)为圆心、1为半径的圆。
y
P
M
x
Q
O
***练习***
(2，－2)
***练习***
(2，－2)
1
***练习***
(2，－2)
1
***练习***
(2，－2)
1
***练习***
椭圆的参数方程
探究1：以原点O为圆心，a，b(a>b>0) 为半径分别作两个同心圆，设A为大圆上的 任一点，连接OA，与小圆交于点B。过点 A，B分别作x轴，y轴的垂线，两垂线交于点M，设OA与Ox所成 角为Φ(0≤Φ≤2 )， 求点M轨迹的参数方程， 并说出点M的轨迹。
B
0
y
x
A
M
探究2：研读教材P27-P28，对比圆 方程的参数 与椭圆方程的参数Ф的几 何意义。
分析：点M的横坐标与点A的横坐标相同，点M的纵坐标与点B的纵坐标相同.而A、B的坐 标可以通过引进 参数建立联系. 设 xOA=φ
x
y
A
M
N
B
O
解：设 xOA=φ，M(x, y)， 则A：(acosφ, asinφ)，B：(bcosφ, bsinφ),
由已知:
即为点M的轨迹参数方程.
x
y
A
M
N
B
O
解：设 xOA=φ，M(x, y)， 则A：(acosφ, asinφ)，B：(bcosφ, bsinφ),
由已知:
即为点M的轨迹参数方程.
x
y
A
M
N
B
O
解：设 xOA=φ，M(x, y)， 则A：(acosφ, asinφ)，B：(bcosφ, bsinφ),
由已知:
即为点M的轨迹参数方程.
x
y
A
M
N
B
O
2. 在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.a>b
2. 在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.a>b 另外，称为离心角,规定参数 的取值范围是
2. 在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.a>b 另外，称为离心角,规定参数 的取值范围是
知识归纳
椭圆的标准方程:
椭圆的参数方程:
x
y
A
M
N
B
O
椭圆的标准方程:
椭圆的参数方程:
x
y
A
M
N
B
O
知识归纳
椭圆的标准方程:
椭圆的参数方程:
x
y
A
M
N
B
O
知识归纳
圆的标准方程：
圆的参数方程:
x
y
A
O
圆的标准方程：x2+y2=r2
圆的参数方程:
x
y
A
O
圆的标准方程：x2+y2=r2
圆的参数方程:
x
y
A
O
圆的标准方程：x2+y2=r2
圆的参数方程:
x
y
A
O
θ的几何意义是
圆的标准方程：x2+y2=r2
圆的参数方程:
θ的几何意义是 AOP=θ
x
y
P
A
O
θ
椭圆的标准方程:
椭圆的参数方程:
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:
x
y
A
M
N
B
O
类比理解
类比理解
椭圆的标准方程:
椭圆的参数方程:
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:
是 AOX=φ，不是 MOX=φ.
x
y
A
M
N
B
O
φ
探究3：如何将椭圆一般普通方程
转化成对应的参
数方程？
[练习] 把下列普通方程化为参数方程.
[练习] 把下列普通方程化为参数方程.
4
4
2
4
2
4
2
[例2] 如图，在椭圆4x2+9y2=36上求一点P，使P到直线l：x+2y－10=0的距离最小.
y
x
O
[例2] 如图，在椭圆4x2+9y2=36上求一点P，使P到直线l：x+2y－10=0的距离最小.
y
x
O
P
分析1：
[例2] 如图，在椭圆4x2+9y2=36上求一点P，使P到直线l：x+2y－10=0的距离最小.
分析2：
y
x
O
P
分析1：
分析3：平移直线l至首次与椭圆相切，切点即为所求.
y
x
O
P
分析3：平移直线l至首次与椭圆相切，切点即为所求. 小结：借助椭圆的参数 方程，可以将椭圆上的 任意一点的坐标用三角 函数表示，利用三角知 识加以解决。
y
x
O
P
[练习1]
[练习2]
[练习2]
练习3.
练习3.
B
椭圆方程(焦点在x轴上)
2.(了解)普通一般方程
普通参数方程
1.标准普通方程
标准参数方程
平移
3. 椭圆的普通方程与参数方程的互 化；注意参数方程中的角是离心角，而 不是旋转角。
4. 针对解题的不同情况合理选择椭 圆的方程形式。
《考一本》第10课时