直线与圆的位置关系2
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(共37张PPT)
直线与圆的位置关系
典例精讲
题型一 圆内接四边形的判定与应用
典例精讲
题型一 圆内接四边形的判定与应用
例1.如图，已知CA、CB
是⊙O的两条切线，A、B是
切点,OC交直线AB于D,OF垂
直于CF于F,交直线AB于E,
求证：OD·OC=OE·OF=OA2.
证明：
如右图，AB是⊙O的直径，
过A、B引两条弦AD和BE，相交
于点C，求证：AC·AD+BC·BE=
AB2.
如右图，AB是⊙O的直径，
过A、B引两条弦AD和BE，相交
于点C，求证：AC·AD+BC·BE=
AB2.
证明：
题型二 切割线定理及应用
题型二 切割线定理及应用
例2.例如右图，等边三角形
ABC中，边AB与⊙O相切于点H，
边BC、CA分别与⊙O交于点D、
E、F、G.已知AG=2,GF=6,FC=1,
求DE的长.
题型二 切割线定理及应用
例2.例如右图，等边三角形
ABC中，边AB与⊙O相切于点H，
边BC、CA分别与⊙O交于点D、
E、F、G.已知AG=2,GF=6,FC=1,
求DE的长.
分析：DE是CD与BE的公共部分，要求
DE,应与BE,BD,CD,CE建立联系，可利用切
割线定理转化为BH,CF,CG的关系从而得到
解决.
解析：
题型三 圆周角定理和圆的切线定理及应用
例3.如图，已知C是以AB为直径的半圆O
上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的
圆的切线相交于点D，E为CH的中点，连接
AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于
点G.
(1)求证:点F是BD的中点；
(2)求证:CG是⊙O的切线；
(3)若FB=FE=2，求⊙O
的半径.
题型三 圆周角定理和圆的切线定理及应用
解析
如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∠OAB=30°.
(1)求∠APB的大小；
(2)当OA=3时，求AP的长.
如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∠OAB=30°.
(1)求∠APB的大小；
(2)当OA=3时，求AP的长.
解析
点评：本题用到的知识点较多，主要知识
点有：①圆的切线的性质；②等腰三角形的性
质；③四边形内角和定理；④锐角三角函数等.
如右图，已知AB为半圆O的直径，直线
l切半圆于点C，AD⊥l于点D，BE⊥l于点E，
BE交半圆O于点F，AD=3cm,
BE=7 cm.
(1)求⊙O的半径；
(2)求线段DE的长.
分析：①连接OC，证C为DE的中点.
在解有关圆的切线问题时，常常要作出过
切点的半径.②对于(2)则连接AF，证四边
形ADEF为矩形，从而得到AD=EF,然后
在Rt△ABF中运用勾股定理，求AF的长.
解析
1.当题目中涉及圆的切线问题时，常常
需要作出过切点的半径，通过它可以构建有
用的垂直关系.
2.在梯形当中，最常见的辅助线是高
线，可以构造出直角三角形，然后在直角三
角形中进行相关的计算.
点评：
1.圆内接四边形的重要结论：内接于圆的平
行四边形是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内
接于圆的梯形是等腰梯形.应用这些性质可以大大
简化证明有关几何题的推证过程.
2.圆的切线的性质定理及推论有如下结论：
如果一条直线具备以下三个条件中的任何两个，
就可推出第三个：①垂直于切线；②过切点；③
过圆心.于是利用切线性质时，过切点的半径是常
作的辅助线.
方法提炼
3.判定切线通常有三种方法：①和圆
有惟一一个公共点的直线是圆的切线；②
圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的
切线；③过半径外端且和半径垂直的直线
是圆的切线.
4.圆心角、圆周角、弦切角是圆中三
类重要的角，准确理解它们的定义、定理
及所对、所夹弧的关系.
5.与圆有关的比例线段的证明要诀：
相交弦、切割线定理是法宝，相似三角形
中找诀窍，联想射影定理分角线，辅助线
来搭桥，第三比作介绍，代数方法不可少，
分析综合要记牢，十有八九能见效.
走进高考
学例1
解析
学例2 (2009·宁夏/海南卷)如图，已知
△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，
∠B=60°，F在AC上，且AE=AF.
(1)证明:B,D,H,E四点共圆；
(2)证明:CE平分∠DEF.
证明：(1)在△ABC中，因为∠B=60°，
所以∠BAC+∠BCA=120°.
因为AD,CE是角平分线，
所以∠HAC+∠HCA=60°,故∠AHC=120°.
于是∠EHD=∠AHC＝120°.
因为∠EBD+∠EHD=180°，所以B,D,H,E四
点共圆.
(2)连接BH，则BH为∠ABC的平分线，
得∠HBD=30°.
由（1）知B,D,H,E四点共圆，
所以∠CED=∠HBD=30°.
又∠AHE=∠EBD=60°，
由已知可得EF⊥AD,
可得∠CEF=30°.
所以CE平分∠DEF.
作业布置
考一本《配套练习》
直线与圆的位置关系
典例精讲
题型一 圆内接四边形的判定与应用
典例精讲
题型一 圆内接四边形的判定与应用
例1.如图，已知CA、CB
是⊙O的两条切线，A、B是
切点,OC交直线AB于D,OF垂
直于CF于F,交直线AB于E,
求证：OD·OC=OE·OF=OA2.
证明：
如右图，AB是⊙O的直径，
过A、B引两条弦AD和BE，相交
于点C，求证：AC·AD+BC·BE=
AB2.
如右图，AB是⊙O的直径，
过A、B引两条弦AD和BE，相交
于点C，求证：AC·AD+BC·BE=
AB2.
证明：
题型二 切割线定理及应用
题型二 切割线定理及应用
例2.例如右图，等边三角形
ABC中，边AB与⊙O相切于点H，
边BC、CA分别与⊙O交于点D、
E、F、G.已知AG=2,GF=6,FC=1,
求DE的长.
题型二 切割线定理及应用
例2.例如右图，等边三角形
ABC中，边AB与⊙O相切于点H，
边BC、CA分别与⊙O交于点D、
E、F、G.已知AG=2,GF=6,FC=1,
求DE的长.
分析：DE是CD与BE的公共部分，要求
DE,应与BE,BD,CD,CE建立联系，可利用切
割线定理转化为BH,CF,CG的关系从而得到
解决.
解析：
题型三 圆周角定理和圆的切线定理及应用
例3.如图，已知C是以AB为直径的半圆O
上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的
圆的切线相交于点D，E为CH的中点，连接
AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于
点G.
(1)求证:点F是BD的中点；
(2)求证:CG是⊙O的切线；
(3)若FB=FE=2，求⊙O
的半径.
题型三 圆周角定理和圆的切线定理及应用
解析
如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∠OAB=30°.
(1)求∠APB的大小；
(2)当OA=3时，求AP的长.
如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∠OAB=30°.
(1)求∠APB的大小；
(2)当OA=3时，求AP的长.
解析
点评：本题用到的知识点较多，主要知识
点有：①圆的切线的性质；②等腰三角形的性
质；③四边形内角和定理；④锐角三角函数等.
如右图，已知AB为半圆O的直径，直线
l切半圆于点C，AD⊥l于点D，BE⊥l于点E，
BE交半圆O于点F，AD=3cm,
BE=7 cm.
(1)求⊙O的半径；
(2)求线段DE的长.
分析：①连接OC，证C为DE的中点.
在解有关圆的切线问题时，常常要作出过
切点的半径.②对于(2)则连接AF，证四边
形ADEF为矩形，从而得到AD=EF,然后
在Rt△ABF中运用勾股定理，求AF的长.
解析
1.当题目中涉及圆的切线问题时，常常
需要作出过切点的半径，通过它可以构建有
用的垂直关系.
2.在梯形当中，最常见的辅助线是高
线，可以构造出直角三角形，然后在直角三
角形中进行相关的计算.
点评：
1.圆内接四边形的重要结论：内接于圆的平
行四边形是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内
接于圆的梯形是等腰梯形.应用这些性质可以大大
简化证明有关几何题的推证过程.
2.圆的切线的性质定理及推论有如下结论：
如果一条直线具备以下三个条件中的任何两个，
就可推出第三个：①垂直于切线；②过切点；③
过圆心.于是利用切线性质时，过切点的半径是常
作的辅助线.
方法提炼
3.判定切线通常有三种方法：①和圆
有惟一一个公共点的直线是圆的切线；②
圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的
切线；③过半径外端且和半径垂直的直线
是圆的切线.
4.圆心角、圆周角、弦切角是圆中三
类重要的角，准确理解它们的定义、定理
及所对、所夹弧的关系.
5.与圆有关的比例线段的证明要诀：
相交弦、切割线定理是法宝，相似三角形
中找诀窍，联想射影定理分角线，辅助线
来搭桥，第三比作介绍，代数方法不可少，
分析综合要记牢，十有八九能见效.
走进高考
学例1
解析
学例2 (2009·宁夏/海南卷)如图，已知
△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，
∠B=60°，F在AC上，且AE=AF.
(1)证明:B,D,H,E四点共圆；
(2)证明:CE平分∠DEF.
证明：(1)在△ABC中，因为∠B=60°，
所以∠BAC+∠BCA=120°.
因为AD,CE是角平分线，
所以∠HAC+∠HCA=60°,故∠AHC=120°.
于是∠EHD=∠AHC＝120°.
因为∠EBD+∠EHD=180°，所以B,D,H,E四
点共圆.
(2)连接BH，则BH为∠ABC的平分线，
得∠HBD=30°.
由（1）知B,D,H,E四点共圆，
所以∠CED=∠HBD=30°.
又∠AHE=∠EBD=60°，
由已知可得EF⊥AD,
可得∠CEF=30°.
所以CE平分∠DEF.
作业布置
考一本《配套练习》