苏教版高中数学必修一3.2对数函数 同步练习（含答案解析）

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苏教版高中数学必修一3.2对数函数
一、单选题
1.函数
的图象过定点
（
）
A.?（1，2）??????????????????????????B.?（2，1）??????????????????????????C.?（-2，1）??????????????????????????D.?（-1，1）
2.
的值是(
??)
A.?2???????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????????C.?1???????????????????????????????????????????D.?
3.当
时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x
，
y=logax的大致图象是（??
）
A.?????????B.?????????
C.?????????D.?
4.若
，
则的值为?
（???）
A.?6???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????????D.?
5.已知
，则a，b，c的大小关系是（???
）
A.???????????????????????B.???????????????????????C.???????????????????????D.?
6.函数
的图象可能是(?
)
A.????????????????????????????????????B.?
C.?????????????????????????????????????D.?
7.若
?
，则
的取值范围是（??
）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
8.在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是(
??)
A.?a>5或a<2????????????????????????B.?29.设
，则a，b，c的大小关系为
??
A.???????????????????????B.???????????????????????C.???????????????????????D.?
10.表达式
的运算结果为（???
）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
11.已知函数f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定义函数F（x）=
，
给出下列命题：
①F（x）=|f（x）|；
②函数F（x）是偶函数；
③当a＜0时，若0＜m＜n＜1，则有F（m）﹣F（n）＜0成立；
④当a＞0时，函数y=F（x）﹣2有4个零点．
其中正确命题的个数为（　　）
A.?0???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?3
12.已知0＜a＜b＜1＜c，m=logac，n=logbc，r=ac，则m，n，r的大小关系是（??
）
A.?m＜n＜r????????????????????????????B.?m＜r＜n????????????????????????????C.?r＜m＜n????????????????????????????D.?n＜m＜r
二、填空题（共5题；共5分）
13.函数
的定义域为________.
14.已知
，则
?________.
15.计算：
________．
16.设函数
（
且
）恒过点
，则
________.
17.若
，则
=________
三、解答题（共8题；共80分）
18.（1）若6x=24y=12，求的值；
（2）解方程：1og2（2x+8）=x+1．
19.计算下列各式的值：
（1）（ln
5）0+（
）0.5+
﹣2log42；
（2）log21﹣lg
3?log32﹣lg
5．
20.已知函数f（x）=loga（1﹣x）+loga（x+3）（a＞0，且a≠1）
（1）求函数f（x）的定义域和值域；
（2）若函数
f（x）有最小值为﹣2，求a的值．
21.已知函数
.
（1）求函数
的定义域；
（2）若函数
的最小值为
，求
的值.
22.已知函数
；
（1）若
，求
的值；
（2）若区间
上存在
，使得方程
成立，求实数
的取值范围。
23.设函数
的定义域为
．
（1）若
，求
的取值范围；
（2）求
的最大值与最小值，并求出最值时对应的
的值．
24.设
为奇函数，且实数
。
（1）求
的值；
（2）判断函数
在
的单调性，并写出证明过程；
（3）当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围。
25.已知函数y=f(x)的图象与g(x)=logax(a＞0，且a≠1)的图象关于x轴对称，且g(x)的图象过点(9,2)．
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）若f(3x?1)＞f(?x＋5)成立，求x的取值范围．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
D
【解析】因为函数
必过点
，所以当
时，有
，所以函数
必过点
.
故答案为：D
【分析】根据对数函数
必过点
，即可确定相应函数图象所过定点坐标.
2.【答案】
D
【解析】
＝
÷log27＝
.
故答案为：D.
【分析】利用对数的运算法则，即可得出结论。
3.【答案】A
【解析】解：当
时，
函数y=a﹣x为减函数，且过（0，1）点，
函数y=logax为增函数，且过（1，0）点，
故答案为：A
【分析】由当
a
=?时，指数函数和对数函数的图像可得出。
4.【答案】
A
【解析】由得选A.
【分析】本题涉及到的对数运算公式有，
，
.
5.【答案】
A
【解析】因为
，所以
，
，
所以
.
故答案为：A.
【分析】利用对数函数的单调性即可比较大小.
6.【答案】
D
【解析】函数
是奇函数，排除A，C；
当
时，
，对应点在x轴下方，排除B；
故答案为：D．
【分析】根据奇偶性的定义，判断函数为奇函数，结合图象的对称性及函数的取值逐一排除即可.
7.【答案】
C
【解析】loga（4a﹣1）＜1＝logaa，
当a＞1时，0＜4a﹣1＜a，解得
a
，此时无解，
当0＜a＜1时，4a﹣1＞a且4a﹣1＞0，解得a
，即
a＜1，
综上所述a的范围为（
，1）．
故答案为：C．
【分析】对a的取值分类讨论，结合对数函数的单调性，解不等式，求出a的取值范围即可.
8.【答案】
B
【解析】由对数的定义知
?
所以2故答案为：B.
【分析】利用对数的意义，底数大于0且不等于1，真数大于0，即可求实数a的取值范围.
9.【答案】
B
【解析】
，
，
，
，
，b，c的大小关系为
．
故答案为：B．
【分析】根据指数函数与对数函数的单调性，取中间量0和1进行比较即可.
10.【答案】
A
【解析】
故答案为：A
【分析】直接利用对数的运算法则得到答案.
11.【答案】
D
【解析】解：（1）∵函数f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定义函数F（x）=
，
∴|f（x）|=|a|log2x|+1|，∴F（x）≠|f（x）|；
①不对
（2）∵F（﹣x）==F（x）
∴函数F（x）是偶函数；
故②正确
（3）∵当a＜0时，若0＜m＜n＜1，
∴|log2m|＞|log2n|
∴a|log2m|+1＞a|log2n|+1，
即F（m）＜F（n）成立；
故F（m）﹣F（n）＜0成立；
所以③正确
（4）
∵f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定义函数F（x）=
，
∴x＞0时，（0，1）单调递减，（1，+∞）单调递增
∴x＞0时，F（x）的最小值为F（1）=1，
故x＞0时，F（x）与y=﹣2有2个交点，
∵函数F（x）是偶函数
∴x＜0时，F（x）与y=﹣2有2个交点
故当a＞0时，函数y=F（x）﹣2有4个零点．
所以④正确，
【分析】（1）|f（x）|=|a|log2x|+1|，∴F（x）≠|f（x）|；①不对：（2）F（﹣x）==F（x），函数F（x）是偶函数；故②正确
（3）|log2m|＞|log2n|，a|log2m|+1＞a|log2n|+1，即F（m）＜F（n）成立；故F（m）﹣F（n）＜0成立；所以③正确
（4）x＞0时，F（x）的最小值为F（1）=1，运用图象判断即可．
12.【答案】D
【解析】解：∵a＞0，∴r=ac＞0为正数
又∵a＜b＜1，c＞1
∴
＜
=0，
＜
=0，m、n都是负数
又∵
＜
＜0，
，
∴
，即m＞n
因此，有n＜m＜r成立
故答案为：D
【分析】根据指数函数的性质，可得r=ac＞0为正数．再由对数函数的单调性，可得
＜0，
＜0，且m的倒数比n的倒数要小，因此n＜m＜0．由此不难得到本题的答案．
二、填空题
13.【答案】
【解析】对数函数f（x）＝log2（x﹣1）中，
x﹣1＞0，
解得x＞1；
∴f（x）的定义域为（1，+∞）．
故答案为：（1，+∞）．
【分析】根据对数函数的真数大于0，列出不等式求解集即可．
14.【答案】
1
【解析】根据
，
转化为对数式为
，
故.
故答案为1.
【分析】将指数式转化为对数式，结合对数的运算，即可求出式子的值.
15.【答案】
-1
【解析】因为
，故填
.
【分析】利用分数指数幂的运算性质和指数与对数的运算性质化简求值。
16.【答案】
【解析】
经过定点
，故
故答案为：
【分析】根据函数过定点得到
，计算得到答案.
17.【答案】
【解析】因为
所以
?
所以
?
【分析】由已知得
，
利用对数运算性质即可求值.
三、解答题
18.【答案】
解：（1）6x=24y=12，
∴x=log612，y=log2412，
∴""=log126+log1224=log12（6×24）=log12122=2，
（2）1og2（2x+8）=x+1．
∴2x+8=2x+1=2×2x
，
∴2x=8=23
，
∴x=3．
【解析】（1）根据对数的定义，求出x，y，再根据换底公式求出
，
，
根据对数的运算性质计算即可；
19.【答案】
（1）解：∵2log42=
=
∴原式=1+
+
﹣
=
（2）解：log21﹣lg3?log32﹣lg5．
原式=0﹣
?log32﹣lg5
=0﹣
﹣lg5
=0﹣lg2﹣lg5
=﹣（lg2+lg5）
=﹣lg10
=﹣1
【解析】对数运算中换底公式可以使得看似不能进行的计算得以进行.
20.【答案】
（1）解：由
，得﹣3＜x＜1，∴函数的定义域{x|﹣3＜x＜1}，f（x）=loga（1﹣x）（x+3），
设t=（1﹣x）（x+3）=4﹣（x+1）2
，
∴t≤4，又t＞0，则0＜t≤4．
当a＞1时，y≤loga4，值域为{y|y≤loga4}．
当0＜a＜1时，y≥loga4，值域为{y|y≥loga4}．
（2）解：由题设及（1）知：
当0＜a＜1时，函数有最小值，∴loga4=﹣2，解得
．
【解析】1、本题考查的是对数函数求定义域即真数大于零，复合函数求值域设t=（1﹣x）（x+3）=4﹣（x+1）2
，
可得t≤4，根据题意可得0＜t≤4．对a分情况讨论当a＞1时，y≤loga4，值域为{y|y≤loga4}．当0＜a＜1时，y≥loga4，值域为{y|y≥loga4}．
????????????
2、本题考查的是指对互化求值。
21.【答案】
（1）解：要使函数有意义，则有
?
解之得
，
所以函数的定义域为
．
（2）解：
?
?
．
，
，
．由
，得
，
【解析】（1）利用函数定义域的求法列式，即可求出结果；
（2）先利用对数的运算整理函数的解析式，再根据已知函数的最小值列式，即可求出a的值.
22.【答案】
（1）解：因为
，
所以
，
所以
（2）解：由
?
?
?
?,
因为
，
【解析】（1）将x和代入，结合对数式的运算法则，解对数方程，即可求出相应的x；
（2）分离参数，构造新的函数，采用换元法，结合二次函数的性质，即可求出实数a的取值范围.
23.【答案】
（1）解：
的取值范围为区间
（2）解：记
．
∵
在区间
是减函数，在区间
是增函数
∴当
即
时，
有最小值
；
当
即
时，
有最大值
．
【解析】（1）由已知函数的
定义域为
，即可求出
的取值范围
.
（2）先构造函数
，
再利用二次函数的单调性，即可求出对数函数的最值及对应的
的值
.
24.【答案】
（1）解：由
，得
，有
或
，根据奇函数的定义域关于原点对称，有
，解得
（2）解：函数
在
上单调递增。证明如下：
对任意的
，
，且
，由
，
?……（
），
由
，所以有
，有
，又因为
，有（
）式
为负，因此
，即，
，
所以，函数
在
上单调递增
（3）解：当
时，由不等式
恒成立，有
，
由(2)知
在
上单调递增，又因为
在
上单调递增，就有
在
上单调递增，当
时，
在
上单调递增。要使
恒成立，只需
，解得，
【解析】（1）根据题目中所给的条件的特点，根据对数的基本运算以及函数奇偶性的性质建立条件关系即可求a的值；
（2）根据函数单调性的定义即可证明f（x）在区间（1，+∞）上单调递增；
（3）结合函数的单调性，利用参数分离法即可求出m的取值范围．
25.【答案】
（1）解：∵loga9=2，解得a=3，∴g(x)=log3x.
∵函数y=f(x)的图象与g(x)=log3x的图象关于x轴对称，
∴
（2）解：∵f(3x?1)＞f(?x＋5)，
∴
，
则
，解得
，
所以x的取值范围为
【解析】(1)由f(x)与g(x)图象关于x轴对称,得到两函数的解析式之间的关系,利用g(x)过已知点,求a的值得到函数解析式;
(2)将函数不等式转化为同底型对数不等式,结合函数函数的单调性得到不等式组求解.
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