江苏省连云港市2019-2020学年高二下学期期末调研考试数学试题 Word版含答案

2019～2020学年第二学期高二期末调研考试
数学试题
一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上．
1．已知i为虚数单位，复数 ，则z的虚部是
2．已知随机变量， 且，则
3．若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有
A． 种
B． 种
C． 种
D．种
4．设随机变量X的概率分布如下表所示，且E（X）＝2．5，则a—b＝
5．如图，在正四棱柱中， ，
P为的中点．则异面直线AC与BP所成的角为
A． 90° B． 60°
C． 45°D． 30°
6．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0．6， 0．7，若两人各投2次，则两人投中次数不等的概率是
A． 0．6076 B． 0．7516 C． 0．3924 D． 0．2484
7．4个不同的小球放入编号为1， 2， 3， 4的4个盒子中，则恰有2个空盒的放法有
A． 144种 в． 120种 C． 84种 D． 60种
8．已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是
二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上．
9．已知m， n是两条不重合的直线， α， β， γ是三个两两不重合的平面，下列命题是真命题的有
A．若m⊥α， m⊥β，则α//β
B．若mα， nβ， m//n，则α//β
C．若m， n是异面直线， mα， m//β， nβ， n∥α，则α//β
D．若α⊥γ， β⊥γ，则α//β
10．关于排列组合数，下列结论正确的是
11．为弘扬我国古代的“六艺文化” ，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐"“射”“御” “书” “数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周．则
A．某学生从中选3门，共有30种选法
B．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法
C．课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法
D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法
12．已知函数，则
A．函数f(x)的递减区间是
B．函数f(x)在上单调递增
C．函数f（x）的最小值为1
D．若，则m＋n＞2
三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13．已知i为虚数单位，设，若为实数，则m＝________．
14．已知函数f（x）＝tanx，那么＝________
15．若的二项展开式中常数项为，则常数a的值是________
16．棱长为12的正四面体ABCD与正三棱锥E—BCD的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在一球的球面上，则正三楼锥E—BCD的体积为 ________，该正三棱锥内切球的半径为________． （第一空3分，第二空2分）
四、解答题：共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17． （本小题满分10分）
江苏省新高考方案要求考生在物理、历史科目中选择一科，我市在对某校高一年级学生的选科意愿调查中，共调查了100名学生，其中男、女生各50人，男生中选历史15人，女生中选物理10人．
（1）请根据以上数据建立一个2x2列联表；
(2)判断性别与选科是否相关．
附：
18． （本小题满分12分）
已知的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为14：3．
(1)求正整数n；
(2)若，求
19． （本小题满分12分）
今年年初，我市某医院计划从3名医生、5名护士中随机选派4人参加湖北新冠肺炎疫情狙击战．
（1）求选派的4人中至少有2名医生的概率；
（2）设选派的4人中医生人数为X，求X的概率分布和数学期望．
20．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若函数f（x）的图象与直线6x—3y—7＝0相切，求实数a的值；
(2)求f(x)在区间[－1，1]上的最大值．
21． （本小题满分12分）
如图，在三校柱中，已知
（1）求证：平面ACC1A1⊥平面ABC ；
(2)求二面角大小的余弦值．
22． （本小题满分12分）
已知函数
(1)若在上是单调递增函数，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）在上是单调递减函数，求实数a的取值集合．
2019～2020学年度高二年级第二学期期末考试试题数学参考答案及评分标准
一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．
1．D 2．B 3．A 4．C 5．B 6．A 7．C 8．C
二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分.
9．AC 10．ABD 11．CD 12．BCD
三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14． 15．2 16．
四、简答题：共6小题，共70分.
17．解：（1）由题意可得
选物理 选历史 合计
男生 35 15 50
女生 10 40 50
合计 45 55 100
…………………4分
（2）提出假设：
学生选科与性别没有关系.[]
根据列联表中的数据，可以求得
. …………………8分
因为当成立时，的概率约为0.001，
所以我们有99.9％的把握认为，学生选科与性别有关. …………………10分
18．解：（1）由第5项与第3项的二项式系数之比为14∶3得
， …………………3分
，所以，（舍）. …………………6分
（2）由得，，①
当时，代入①式得； …………………8分
因， …………………10分[]
当时，代入①式得，
所以. …………………12分
19．解：（1）记选派的4人中至少有2名医生为事件A，记4人中有2名医生2名护士为事件，记4人中有3名医生1名护士为事件，且与互斥．则当事件A发生时，有或发生，所以有
． …………………2分
又；； …………………4分
所以.
答：选派的4人中至少有2名医生的概率为. …………………6分
（注：不记事件扣2分，不说明事件的互斥性扣2分，不重复扣分；
不用公式直接计算扣2分，不答扣1分）
（2）由题意选派的医生人数可以是0，1，2，3.所以
；；
；. …………………10分
所以，随机变量的概率分布表为
0 1 2 3
故随机变量的数学期望为
=．
答：的数学期望为． …………………12分
（注：不列分布表的扣1分）
20．解：（1）设切点，因切线方程为，
所以，①
又，② …………………2分
由①得③，将③代入②得，
，得或， …………………4分
当时，代入③得；当时，代入③得.
因，所以实数=1. …………………6分
（2）因，
当时，，当时，，所以在上递增，
当时，，所以在上递减，
所以； …………………8分
当时，，当时，，所以在上递增，
当时，，所以在上递减，
当时，，所以在上递增，
又，，[]
所以当时，；
当时，. …………………11分
综上有 …………………12分
21．（1）取中点，连结，
在中，，，所以为正三角形，
因为为中点，所以，； …………………2分
在中，，，，
所以，由余弦定理得
所以，，所以， …………………4分
又，，平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面． …………………6分
（2）在中，，，
故，所以，又，，
分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
，，，
因为，所以， …………………8分
所以，，
设平面的法向量为，[]
所以，即
令，解得，，所以
设平面的法向量为，
所以，即
令，解得，，所以 …………………10分
所以，，，
所以，
所以，二面角的余弦值为. …………………12分
22．解：（1）因，所以，
又在上是单调递增函数，
所以在上恒成立，且无连续区间使恒为0．
则 ……………………………………3分
所以恒成立，令，
因，所以，则. ……………………………5分
（2）因，所以，
又在上是单调递减函数，
所以恒成立，且无连续区间使恒为0．
因，所以是的一个极大值，则有，……………………8分
因，
代入有. ……………………10分
当时，有，
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减．
所以，所以当时，在单调递减.
故实数的取值集合为. …………………12分[]