三角函数知识小结
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文档简介
三角函数的图象与性质
（一）知识要点
1正弦、余弦、正切函数的图像和性质
定义域 R R
值域 R
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调性 上为增函数；上为减函数（） ；上为增函数上为减函数（） 上为增函数（）
2的图像和性质
（1）定义域 （2）值域
（3）周期性 （4）奇偶性
（5）单调性
（二）学习要点
1会求三角函数的定义域
2会求三角函数的值域
3会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法。如与的周期是.
4会判断三角函数奇偶性
5会求三角函数单调区间
6对函数的要求
（1）五点法作简图
（2）会写变为的步骤
（3）会求的解析式
（4）知道，的简单性质
7知道三角函数图像的对称中心，对称轴
8能解决以三角函数为模型的应用问题
（三）例题讲解
例1求函数的定义域，周期和单调区间。
例2已知函数
（1）求函数的定义域； （2） 求函数的值域； （3） 求函数的周期；
（4）求函数的最值及相应的值集合； （5）求函数的单调区间；
（6）若，求的取值范围；
（7）求函数的对称轴与对称中心；
（8）若为奇函数，，求；若为偶函数，，求。
（四）练习题
一、选择题
1.将函数的图象向左平移个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是
A． B．
C． D．
2.设，对于函数，下列结论正确的是
A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值
C．有最大值且有最小值 D．既无最大值又无最小值
3.函数y=1+cosx的图象
（A）关于x轴对称 （B）关于y轴对称
（C）关于原点对称 （D）关于直线x=对称
4.已知函数f(x)=2sinx(>0)在区间[,]上的最小值是－2，则的最小值等于
A. B. C.2 D.3
5.设点P是函数的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值，则的最小正周期是
A．2π B. π C. D.
6.已知，函数为奇函数，则a＝( )
（A）0 （B）1 （C）－1 （D）±1
7为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点
（A）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
（B）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
（C）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
（D）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
8.已知函数,则的值域是
(A) (B) (C) (D)
9.函数的最小正周期是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
10.函数的单调增区间为
A． B．
C． D．
11.下列函数中，图象的一部分如右图所示的是
（A） （B）
（C） （D）
12.已知函数（、为常数，，）在处取得最小值，则函数是（ ）
A．偶函数且它的图象关于点对称 B．偶函数且它的图象关于点对称
C．奇函数且它的图象关于点对称 D．奇函数且它的图象关于点对称
13设，那么“”是“”的（ ）
Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件
Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
14.函数y=sin2+4sinx,x的值域是
(A)［-,］ (B)［-,］ (C)［］ (D)［］
二、填空题
15.在的增区间是
16.满足的的集合是
17.的振幅,初相,相位分别是
18.,且是直线的倾斜角,则
19.已知函数在区间上的最小值是，则的最小值是＿＿＿＿。
20.若是偶函数，则a= .
21.如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈记
水轮上的点P到水面的距离为米（P在水面下则为负数），则
（米）与时间（秒）之间满足关系式：，且当P点
从水面上浮现时开始计算时间，有以下四个结论：；；；，则其中所有正确结论的序号是 。
三．解答题
22设函数
（1）用“五点法”作出在一个周期内的简图；
（2）写出它可由的图像经怎样的变化得到。
23已知函数的图像关于直线对称，求的值。
24已知（是常数
（1）若的定义域为，求的单调增区间；
（2）若时，的最大值为4，求的值。
25已知函数在同一个周期上的最高点为，最低点为。求函数解析式。
27已知函数f(x)=A(A>0,>0,0<<函数，且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）.
（1）求;
（2）计算f(1)+f(2)+… +f(2 008).
三角函数的图象与性质答案
例1. 定义域,周期,单调减区间
例2 .（1） （2）， （3） （4）的最大值为2，此时的取值集合为；的最小值为-2，此时的取值集合为；（5）的增区间；的减区间。（6）， （7）的对称轴为;对称中心。（8）当，或，或，或，为奇函数；当，或，或，或，为偶函数。
例3．（1）向左平移个单位；（2）向左平移个单位。
例4. (1) (2)
例5．解 ( http: / / www. / wxc / ) (1)由图示，这段时间的最大温差是30－10=20(℃)；
(2)图中从6时到14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象 ( http: / / www. / wxc / )
∴=14－6,解得ω=,
由图示A=(30－10)=10，b=(30+10)=20，这时y=10sin(x+φ)+20,将x=6,y=10代入上式可取φ=π ( http: / / www. / wxc / )
综上所求的解析式为y=10sin(x+π)+20,x∈［6,14］ ( http: / / www. / wxc / )
一、选择题
解：将函数的图象向左平移个单位，平移后的图象所对应的函数为
，由图象知，，
所以，因此选C。
2.解：令，
则函数的值域为函数的值域，又，所以是一个减函减，故选B。
3. 解：函数y=1+cos是偶函数，故选B
4. 解：函数在区间上的最小值是，则ωx的取值范围是， ∴ 或，∴ 的最小值等于，选B.
5. 解析：设点P是函数的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值，∴ 最小正周期为π，选B.
6.解法1由题意可知，得a=0
解法2：函数的定义域为R,又f(x)为奇函数,故其图象必过原点即f(0)=0,所以得a=0,
解法3由f(x)是奇函数图象法函数画出的图象选A
7.先将的图象向左平移个单位长度，
得到函数的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数的图像，选择C。
8. 解:
即等价于，故选择答案C。
9. 解：的，选C
10. 解：函数的单调增区间满足，
∴ 单调增区间为，选C.
11. 解析：从图象看出，T=，所以函数的最小正周期为π，函数应为y=向左平移了个单位，即=，选D.
12. 解：函数、为常数,，∴ 的周期为2π，若函数在处取得最小值，不妨设，则函数=，所以是奇函数且它的图象关于点对称，选D.
13. 解析：在开区间中，函数为单调增函数，所以设那么是的充分必要条件，选C.
14. 解析：，故选择C。
本题是求有关三角函数的值域的一种通法，即将函数化为
或的模式。
二、填空题
15. 16.
17. 8, , 18.
19. 解：函数在区间上的最小值是，则ωx的取值范围是， ∴ 或，∴ 的最小值等于.
20.解析：是偶函数，取a=－3，可得为偶函数。
21.（1）（2）（4）
三．解答题
22（2）左移个单位得横坐标变为倍得
纵坐标变为3倍得
23
24（1） （2）
25
26 （1）由表知，
由t=0,y=1.5,得A+b=1.5 由t=3,y=1.0，得b=1.0 所以A=0.5,b=1,
(2)由题知,当y>1时才可对冲浪者开放.
,
即12k-3或或
所以在规定时间内,有6个小时可供冲浪者运动,即上午9:00至下午15:00.
27. 解：（I）
的最大值为2，.
又其图象相邻两对称轴间的距离为2，，
.
过点，
又.
（II）解法一：，
.
又的周期为4，，
解法二：
又的周期为4，，
x
y
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（一）知识要点
1正弦、余弦、正切函数的图像和性质
定义域 R R
值域 R
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调性 上为增函数；上为减函数（） ；上为增函数上为减函数（） 上为增函数（）
2的图像和性质
（1）定义域 （2）值域
（3）周期性 （4）奇偶性
（5）单调性
（二）学习要点
1会求三角函数的定义域
2会求三角函数的值域
3会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法。如与的周期是.
4会判断三角函数奇偶性
5会求三角函数单调区间
6对函数的要求
（1）五点法作简图
（2）会写变为的步骤
（3）会求的解析式
（4）知道，的简单性质
7知道三角函数图像的对称中心，对称轴
8能解决以三角函数为模型的应用问题
（三）例题讲解
例1求函数的定义域，周期和单调区间。
例2已知函数
（1）求函数的定义域； （2） 求函数的值域； （3） 求函数的周期；
（4）求函数的最值及相应的值集合； （5）求函数的单调区间；
（6）若，求的取值范围；
（7）求函数的对称轴与对称中心；
（8）若为奇函数，，求；若为偶函数，，求。
（四）练习题
一、选择题
1.将函数的图象向左平移个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是
A． B．
C． D．
2.设，对于函数，下列结论正确的是
A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值
C．有最大值且有最小值 D．既无最大值又无最小值
3.函数y=1+cosx的图象
（A）关于x轴对称 （B）关于y轴对称
（C）关于原点对称 （D）关于直线x=对称
4.已知函数f(x)=2sinx(>0)在区间[,]上的最小值是－2，则的最小值等于
A. B. C.2 D.3
5.设点P是函数的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值，则的最小正周期是
A．2π B. π C. D.
6.已知，函数为奇函数，则a＝( )
（A）0 （B）1 （C）－1 （D）±1
7为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点
（A）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
（B）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
（C）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
（D）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
8.已知函数,则的值域是
(A) (B) (C) (D)
9.函数的最小正周期是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
10.函数的单调增区间为
A． B．
C． D．
11.下列函数中，图象的一部分如右图所示的是
（A） （B）
（C） （D）
12.已知函数（、为常数，，）在处取得最小值，则函数是（ ）
A．偶函数且它的图象关于点对称 B．偶函数且它的图象关于点对称
C．奇函数且它的图象关于点对称 D．奇函数且它的图象关于点对称
13设，那么“”是“”的（ ）
Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件
Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
14.函数y=sin2+4sinx,x的值域是
(A)［-,］ (B)［-,］ (C)［］ (D)［］
二、填空题
15.在的增区间是
16.满足的的集合是
17.的振幅,初相,相位分别是
18.,且是直线的倾斜角,则
19.已知函数在区间上的最小值是，则的最小值是＿＿＿＿。
20.若是偶函数，则a= .
21.如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈记
水轮上的点P到水面的距离为米（P在水面下则为负数），则
（米）与时间（秒）之间满足关系式：，且当P点
从水面上浮现时开始计算时间，有以下四个结论：；；；，则其中所有正确结论的序号是 。
三．解答题
22设函数
（1）用“五点法”作出在一个周期内的简图；
（2）写出它可由的图像经怎样的变化得到。
23已知函数的图像关于直线对称，求的值。
24已知（是常数
（1）若的定义域为，求的单调增区间；
（2）若时，的最大值为4，求的值。
25已知函数在同一个周期上的最高点为，最低点为。求函数解析式。
27已知函数f(x)=A(A>0,>0,0<<函数，且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）.
（1）求;
（2）计算f(1)+f(2)+… +f(2 008).
三角函数的图象与性质答案
例1. 定义域,周期,单调减区间
例2 .（1） （2）， （3） （4）的最大值为2，此时的取值集合为；的最小值为-2，此时的取值集合为；（5）的增区间；的减区间。（6）， （7）的对称轴为;对称中心。（8）当，或，或，或，为奇函数；当，或，或，或，为偶函数。
例3．（1）向左平移个单位；（2）向左平移个单位。
例4. (1) (2)
例5．解 ( http: / / www. / wxc / ) (1)由图示，这段时间的最大温差是30－10=20(℃)；
(2)图中从6时到14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象 ( http: / / www. / wxc / )
∴=14－6,解得ω=,
由图示A=(30－10)=10，b=(30+10)=20，这时y=10sin(x+φ)+20,将x=6,y=10代入上式可取φ=π ( http: / / www. / wxc / )
综上所求的解析式为y=10sin(x+π)+20,x∈［6,14］ ( http: / / www. / wxc / )
一、选择题
解：将函数的图象向左平移个单位，平移后的图象所对应的函数为
，由图象知，，
所以，因此选C。
2.解：令，
则函数的值域为函数的值域，又，所以是一个减函减，故选B。
3. 解：函数y=1+cos是偶函数，故选B
4. 解：函数在区间上的最小值是，则ωx的取值范围是， ∴ 或，∴ 的最小值等于，选B.
5. 解析：设点P是函数的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值，∴ 最小正周期为π，选B.
6.解法1由题意可知，得a=0
解法2：函数的定义域为R,又f(x)为奇函数,故其图象必过原点即f(0)=0,所以得a=0,
解法3由f(x)是奇函数图象法函数画出的图象选A
7.先将的图象向左平移个单位长度，
得到函数的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数的图像，选择C。
8. 解:
即等价于，故选择答案C。
9. 解：的，选C
10. 解：函数的单调增区间满足，
∴ 单调增区间为，选C.
11. 解析：从图象看出，T=，所以函数的最小正周期为π，函数应为y=向左平移了个单位，即=，选D.
12. 解：函数、为常数,，∴ 的周期为2π，若函数在处取得最小值，不妨设，则函数=，所以是奇函数且它的图象关于点对称，选D.
13. 解析：在开区间中，函数为单调增函数，所以设那么是的充分必要条件，选C.
14. 解析：，故选择C。
本题是求有关三角函数的值域的一种通法，即将函数化为
或的模式。
二、填空题
15. 16.
17. 8, , 18.
19. 解：函数在区间上的最小值是，则ωx的取值范围是， ∴ 或，∴ 的最小值等于.
20.解析：是偶函数，取a=－3，可得为偶函数。
21.（1）（2）（4）
三．解答题
22（2）左移个单位得横坐标变为倍得
纵坐标变为3倍得
23
24（1） （2）
25
26 （1）由表知，
由t=0,y=1.5,得A+b=1.5 由t=3,y=1.0，得b=1.0 所以A=0.5,b=1,
(2)由题知,当y>1时才可对冲浪者开放.
,
即12k-3
所以在规定时间内,有6个小时可供冲浪者运动,即上午9:00至下午15:00.
27. 解：（I）
的最大值为2，.
又其图象相邻两对称轴间的距离为2，，
.
过点，
又.
（II）解法一：，
.
又的周期为4，，
解法二：
又的周期为4，，
x
y
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