上海市进才中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学试卷 Word版含答案

进才中学高二下期末数学试卷
2020.6
一、填空题
1．已知集合，且，则实数的值为 ．
2．已知集合，集合，求 ．
3．“”是“”的 条件．
4．已知集合，则实数的取值范围是 ．
5．设是半径为的球的直径，则两点的球面距离是 ．
6．若从总体中抽出以下6个数据组成样本：9，5，9，8，7，6，则该样本的中位数为 ．
7．若，则下列不等式：①；②；③；④中成立的是 ．（填写你认为正确的命题序号）
8．某校要从2名男生和4名女生中选出4人担任某游泳赛事的志愿者工作，则在选出的志愿者中，男女都有的概率为 ．
9．若一个圆锥的全面积为，其侧面展开图扇形的圆心角为，则这个圆维的体积为 ．
10．设有两个命题：（1）不等式的解集为；（2）函数恒有意义，如果这两个命题至少有一个是假命题，则的取值范围为 ．
11．若实数满足，，则的最大值为 ．
12．已知集合，将中的正整数从小到大排列为：，，，…．若，则正整数 ．
二、选择题
13．对于原命题：“已知，若，则”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
14．已知三条直线及平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，，则
15．，其中，则所有的交集为（ ）
A． B． C． D．
16．对任意正整数，定义的双阶乘如下：当为偶数时，；当为奇数时，．
现有四个命题：①，②，③个位数为0，
④各位数为5．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
三、解答题
17．解不等式（组）：．
18．已知的展开式的系数和比的展开式的二项式系数和大992，求的展开式中：
（1）二项式中的常数项；（2）系数小于1025的项．
19．长方体中，，．
（1）求异面直线与所成角；
（2）求点到平面的距离；
（3）求二面角的大小．
20．若实数、、满足，则称比远离．
（1）若比远离1且，求实数的取值范围；
（2）设，其中，求证：比更远离；
（3）若，试问：与哪一个更远离，并说明理由．
21．已知函数的定义域为，值域为，其中．
（1）若关于原点对称，求实数的取值范围；
（2）试判断1是否在集合内，并说明理由；
（3）是否存在实数，使得对任意，都有成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、填空题
1．或0 2． 3．充分非必要 4． 5．
6．7.5 7．①②③ 8． 9． 10． 11． 12．1511
【第9题解析】设该圆锥的底面半径、高、母线分别为、、，
由题意，，∴，
由，从而．
【第10题解析】，（1）即恒成立，若（1）为真命题，则，若（2）为真命题，则，或，（1）（2）均为真命题，可得，
其补集即为所求，∴．
【第11题解析】令，
于是条件即（*），（**），
对（*）式应用基本不等式得，当且仅当时等号成立，
由（**）可得，从而．
【第12题解析】，
当时，（表示奇数），当时，（表示4个倍数），
∴将中的正整数从小到大排列，可得1，3，4，5，7，8，…，（每4个正整数，保留3个），
又，∴．
二、选择题
13．C 14．B 15．A 16．C
【第15题解析】由题意，，∴
∵，∴．
【第16题解析】①③④正确；，②错误；选C．
三、解答题
17．．
18．或（舍），∴．
（1），当，可得常数项为；
（2）系数小于1025的项为、、、、．
19．（1）；（2）；（3）．
20．（1）由题意，，∵，∴，即，
两边平方，得；
（2）即证，即证，
∵，∴，即证，即证（*），
∵，∴，
∴，（*）成立，即比更远离；
（3）∵，∴，
从而，
①时，
，
即；
②时，
，
即；
综上，，即比更远离．
21．（1），
①，即时，，符合，
②，设方程的两实根为，要满足题意，必有，
综上，；
（2）若，则，从而，解得或，
①当时，要满足，还需注意此时分式的分母，∴，
②当时，要满足，还需注意此时分式的分母，∴，
综上，当时，，当，（由分式分母不为零，得且）；
（3）先考虑对任意的恒成立．
记，对应的判别式分别为，则，
①且恒成立，计算，得，
②，必须有，且方程与方程两实根必须完全相同，此时必有系数对应成比例，即，解得，满足判别式的条件，
要满足对任意的恒成立，必有或；
再在或的情况下，考虑对任意的恒成立．
①时，，由，可得，
要满足题意，，得，∴；
②时，，，
值域为，不符；
③时，，符合；
综上，或．