上海市上海市青浦高级中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试卷 Word版含答案

青浦高中高一期末数学试卷
2020.07
一. 填空题
1. 已知角满足且，则角是第 象限的角
2. 在数列中，若，，则
3. 计算
4. 设，角的终边经过点，那么的值等于
5. 函数的最小正周期是
6. 利用数学归纳法证明不等式“（，）”的过程中，
由“”变到“”时，左边增加了 项
7. 的值域是
8. △中，，，△的面积为，则
9. 若不等式对于任意都成立，则实数的取值范围是
10. 设数列的通项公式为，则
11. 关于的方程只有一个实数根，则实数
12. 数列的前项和为，若数列的各项按如下规律排列：
、、、、、、、、、、、、、、、
有如下运算结论：
① ；
② 数列、、、、是等比数列；
③ 数列、、、、的前项和为；
④ 若存在正整数，使，，则；
其中正确的结论是 （将你认为正确的结论序号都填上）
二. 选择题
13.“”是“函数为偶函数”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
14. 函数的图像可以由的图像（ ）个单位得到
A. 向左平移 B. 向右平移 C. 向左平移 D. 向右平移
15. 德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，
就将它减半（即），如果是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，
经过有限步后，一定可以得到1.对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请
你研究：如果对正整数（首项）按照上述规则施行变换后的第6项为1（注：1可以多次
出现），则的所有不同值的个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 32
16. 设函数，其中、、、为已知实常数，，
有下列四个命题：
（1）若，则对任意实数恒成立；
（2）若，则函数为奇函数；
（3）若，则函数为偶函数；
（4）当时，若，则（）；
则上述命题中，正确的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
三. 解答题
17. 已知数列满足，（）.
（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式.
18. 已知函数，.
（1）求函数的单调减区间；
（2）若存在，使等式成立，求实数的取值范围.
19. 某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室，如图所示，是一块边长为100的正方形地皮，扇形是运动场的一部分，其半径是80，矩形就是拟建的健身室，其中、分别在和上，在弧上，设矩形的面积为，.
（1）将表示为的函数；
（2）求健身室面积的最大值，并指出此时的点在弧何处？
20. 在等差数列中，，，令，数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）是否存在正整数、（），使得、、成等比数列？若存在，求出所有的、的值，若不存在，请说明理由.
21. 定义：对于任意，满足条件且（是与无关的常数）
的无穷数列称为数列.
（1）若（），证明：数列是数列；
（2）设数列的通项为，且数列是数列，求常数的取值范围；
（3）设数列（，），若数列是数列，求的取值范围.
参考答案
一. 填空题
1. 三 2. 19 3. 4.
5. 6. 7. 8.
9. 10. 11. 12. ①③④
二. 选择题
13. A 14. D 15. A 16. C
三. 解答题
17.（1）证明略；（2）.
18.（1），；（2）.
19.（1）
（）；（2），此时的点在弧的端点或处.
20.（1）；（2）；（3）存在，，.
21.（1）证明略；（2）；（3）.