人教版九年级数学上册 21.2.4一元二次方程根与系数的关系 课件（共33张PPT）

(共33张PPT)
根与系数关系
1.一元二次方程的一般形式是什么？
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
2.一元二次方程的求根公式是什么？
一、复习旧知:
求一个一元二次方程，使它的两个
根分别为
①2和3;
②-4和7;
③3和-8;
④-5和-2
x2-5x+6=0
x2-3x-28=0
③(x-3)(x+8)=0
x2+5x-24=0
④(x+5)(x+2)=0
②(x+4)(x-7)=0
①(x-2)(x-3)=0
x2+7x+10=0
问题1：从求这些方程的过程中你发现根
与各项系数之间有什么关系？
二、预习检测：
三、新课讲解：
1.如果方程x2+px+q=0有两个根是x1,x2
那么有x1+
x2=-p,
x1
?x2=q
2.以
为两根的一元二次方程
(二次项系数为1)为:
填写下表：
猜想：
如果一元二次方程
的两个根
分别是
、
，那么，你可以发现什么结论？
方程
两个根
两根之和
两根之积
a与b之间关系
a与c之间关系
已知：如果一元二次方程
的两个根分别是
、
。
求证：
推导:
如果一元二次方程
的两个根分别是
、
，那么：
这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。
一元二次方程的
根与系数的关系
16世纪法国最杰出的数学家韦达发现
代数方程的根与系数之间有这种关系，因此,人们把这个关系称为韦达定理。数学原本只是韦达的业余爱好，但就是这个业余爱好，使他取得了伟大的成就。韦达是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进。是他确定了符号代数的原理与方法，使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用。因此，他获得了“代数学之父”之称。
1.
3.
2.
4.
5.
口答下列方程的两根之和与两根之积。
返回
四、例题讲解：
的值。
解：
根据根与系数的关系:
用根与系数的关系，不解方程，几种常见的求值
求与方程的根有关的代数式的值时,
一般先将所求的代数式化成含两根之和,
两根之积的形式,再整体代入.
[2013·包头]已知方程x2－2x－1＝0，则此方程(　　)
A．无实数根
B．两根之和为－2
C．两根之积为－1
D．有一根为－1＋
中考连接：
C
五、课堂小结：
1.一元二次方程根与系数的关系是什么?
2.应用一元二次方程的根与系数关系时，
首先要把已知方程化成一般形式.
六、布置作业：
1、预习下一节新课；
2、课本P16的练习及P17习题21.2第7题。
例1.
不解方程，求方程
的
两根的平方和、倒数和。（解法如上）
运用根与系数的关系解题类型
例如：已知方程
x2＝2x＋1的两根为x1,x2，
不解方程，求下列各式的值。
（1）（x1－x2）2
（2）x13x2＋x1x23
（3）
1、如果-1是方程2X2－X+m=0的一个根，则另
一个根是___，m
=____。
2、设
X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则
X1+X2
=
___
,X1X2
=
____，
X12+X22
=
(
X1+X2)2
-
___
=
___
(
X1-X2)2
=
(
___
)2
-
4X1X2
=
___
3、判断正误：
以2和-3为根的方程是X2－X-6=0
（
）
4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是
_____
。
X1+X2
2X1X2
-3
4
1
14
12
×
2和-1
基础练习
（还有其他解法吗？）
例2：
已知方程
的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
解：设方程
的两个根
分别是
、
，其中
。
所以：
即：
由于
得：k=-7
答：方程的另一个根是
，k=-7
例3：已知方程　　　　　　　　的两个实数根
是　　　且　　　　　
求k的值。
解：由根与系数的关系得
X1+X2=-k，
X1×X2=k+2
又
X12+
X2
2
=
4
即(X1+
X2)2
-2X1X2=4
K2-
2(k+2）=4
K2-2k-8=0
∵
△=
K2-4k-8
当k=4时，
△＜0
当k=-2时，△＞0
∴
k=-2
解得：k=4
或k=－2
例4：方程
有一个正根，一个负根，求m的取值范围。
解:由已知,
△=
{
即
{
m>0
m-1<0
∴0总结规律：
两根均为负的条件：
X1+X2
且X1X2
。
两根均为正的条件：
X1+X2
且X1X2
。
两根一正一负的条件：
X1+X2
且X1X2
。
当然，以上还必须满足一元二次方程有根的条件：b2-4ac≥0
。
即：
练习：方程x2?(m?1)x?2m?1?0求m满足什么条件时,方程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数？方程的一根为零？
解:??(m?1)2?4(2m?1)?m2?6m?5
①∵两根互为相反数
∴两根之和m?1?0,m??1,且??0
∴m??1时,方程的两根互为相反数.
②∵两根互为倒数
??m2?6m?5,
∴两根之积2m?1?1
m?1且??0,
∴m?1时,方程的两根互为倒数.
③∵方程一根为0,
∴两根之积2m?1?0
且??0,
∴
时,方程有一根为零.
引申:1、若ax2?bx?c?0
(a?0
??0)
（1）若两根互为相反数,则b?0;
（2）若两根互为倒数,则a?c;
（3）若一根为0,则c?0
;
（4）若一根为1,则a?b?c?0
;
（5）若一根为?1,则a?b?c?0;
（6）若a、c异号,方程一定有两个实数根.
2.应用一元二次方程的根与系数关系时，
首先要把已知方程化成一般形式.
3.应用一元二次方程的根与系数关系时，
要特别注意，方程有实根的条件，即在初
中代数里，当且仅当
时，才
能应用根与系数的关系.
1.一元二次方程根与系数的关系是什么?
总结归纳
以
为两根的一元二次方程
(二次项系数为1)为:
　4、已知两根求作新的方程
请同学们在课后通过以下几道题检测
自己对本节知识的掌握情况：
P36
第6题
P38
第11、12题
本堂课结束了，望同学
们勤于思考，学有所获。
Goodbye!
See
you
next
time!