平行四边形典型例题

平行四边形典型例题
【例1】如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则图中全等三角形有（　）
　　 A．2对　　 B．3对　　 C．4对　　 D．5对
【分析】由平行四边形的对边平行、对角线互相平分，可得全等三角形有：△ABD和△CDE，△ADC和△CBA ，△AOD 和△BOC 、△AOB 和△COD ．
【答案】C
【例2】如图，□ABCD中，∠B、∠C的平分线交于点O ，BO 和CD 的延长线交于E ，
　 　求证：BO=OE ．
【分析】证线段相等，可证线段所在三角形全等．可证△COE ≌△COB ．已知OC 为公共边， ∠OCE=∠OCB，又易证∠E=∠EBC．问题得证．
【证明】在□ABCD中，∵AB//CD，
　　∴ ，
　　又∵ （角平分线定义）．
　　∴ ，
　　又∵ ，
　　∴△ ≌△
　　∴ ．
　　说明：证线段相等通常有两种方法：（1）在同一三角形中证三角形等腰；（2）不在同一三角形则证两三角形全等．本题也可根据等腰三角形“三线合一”性质证明结论．
【例3】如图，在ABCD中，AE⊥BC于E ，AF⊥DC 于F ，∠ADC=60°，BE=2，CF=1，
求△DEC 的面积．
【解】在 中， ， 、 ．
　　在Rt △ABE 中， ， ．
　　∴ ， ．
　　∴ ．
　　在 △ 中， ．
　　∴ ．
　　故 ．
【例4】已知：如图，D 是等腰△ABC 的底边BC 上一点，DE//AC ，DF//AB ．
求证：DE+DF=AB．
【分析】由于 ， ，从而可以利用平行四边形的定义和性质，等腰三角形的判定和性质来证．
【解】∵ ，
∴四边形 是平行四边形．
　　∴ ．
　　∵ ，∴ ．
　　∵ ，∴ ．
　　∴ ．
　　∴ ．
　　说明：证明一条线段等于另外两条线段的和常采用的方法是：把三条线段中较长的线段分为两段，证明这两段分别等于另两条线段．
【例5】如图，已知： 中， 、 相交于 点， 于 ， 于 ，求证： ．
【分析】
　【解】因为四边形 是平行四边形，
　　所以 ， ．
　　又因为 、 交于 点，
　　所以 ．
　　又因为 ， ，
　　所以 ．
　　于是△ ≌△ ．
　　从而 ．
　【例6】已知：如图，AB//DC ，AC、BD交于O，且AC=BD。
　　 求证：OD=OC.
　　证明：过B作 交DC延长线于E，则 。
　　∵ ， ，
　　∴
　　∵ ， ∴
　　∴ ∴
　　∴
　　说明：本题条件中有“夹在两条平行线之间的相等且相交的线段”，由于位置交错而一时用不上，为此通过作平行线，由“夹在两条平行线间的平行线段相等”将线段AC平移到BE，得到等腰△BDE，使问题得解．
【例7】如图，□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F，
求证：四边形AFCE是菱形．
解：略。
【例8】如图所示，□ABCD中，各内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，
证明：四边形EFGH是矩形。
【例9】如图所示，已知矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过顶点C，作BD的垂线与∠BAD的平分线相交于点E，交BD于G，证明：AC=CE。