平行四边形典型问题分类解析

平行四边形典型问题分类解析
为了开阔同学们的视野，特就一些平行四边形典型问题分类选解几例，希望同学们从中得到启示．
1．证明线段垂直
例1 已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB = 2BC，M为AB的中点，求证：CM⊥DM．
分析：根据平行四边形的性质，不仅对角相等，而且相邻角的角也互补，这就为证明垂直提供了充分的条件．又有已知中AB = 2BC和M为AB的中点，可以得到相等的角．其中有内错角相等，也有等边对等角性质的应用，使∠CDM＋∠DCM =，可使问题得到解决．
证明：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD = BC，
∴∠AMD =∠CDM，∠BMC =∠DCM，
∵AB = 2BC，M是AB的中点，∴AD = AM = BM = BC．
∴∠ADM =∠AMD，∠BMC =∠BC M
∴∠ADM =∠CDM，∠BC M =∠DCM，
∴∠CDM =∠ADC，∠DCM =∠BCD．
又∠ADC＋∠BCD =，∴∠CDM＋∠DCM =，即∠DMC =．
∴CM⊥DM．
评析：本题通过利用平行四边形和等腰三角形的性质，证明了CM、DM所在的三角形两锐角互余，由三角形内角和定理得出∠DMC =，从而得到结论．这是证明两线段互相垂直的常用方法．
2．证明线段平行
例2 如图，AB、CD 交于点O，AC∥DB，AO = BO，E、F分别为OC、OD的中点，连结AF、BE．求证：AF∥BE．
分析：从已知条件可证△AOC≌△BOD，得到OC = OD，又有E、F为OC、OD中点，则OE = OF，判定四边形AFBE为平行四边形，即有AF∥BE．
证明：连结BF、AE，∵AC∥DB，∴∠C =∠D．
在△AOC和△BOD中，有
∴△AOC≌△BOD，∴OC = OD．
又E、F为OC、OD的中点，∴OE = OF，
∴四边形AFBE是平行四边形，
∴AF∥BE．
评析：学行四边形以后，又多了一种证明平行线的方法．
3．证明线段相等
例3 如图，△ABC中，AB = AC，P是BC上的一点，PE∥AC，PF∥AB，分别交AB、AC于E、F，请猜出线段PE、PF、AB之间存在什么关系，并证明你的猜想．
分析：从已知条件中不难证明PF = AE，PE = BE，从而PE、PF、AB之间满则关系式PE＋PF = AB．即猜想结论：PE＋PF = AB．
证明：∵PE∥AC，∴∠BPE =∠C．
∵AB = AC，∴∠B =∠C，
∴∠BPE =∠B，∴PE = BE．
PE∥AC，PF∥AB，
∴四边形AEPF是平行四边形，∴PF = AE．
∵BE＋AE = AB，∴PE＋PF = AB．
评析：在解决此类探索性问题时，一般通过对已知条件的分析、比较、概括探索出结论，这就是对猜想问题的常用解题思路．
4．求线段的长度
例4 如图，在四边形ABCD中，AB = 6，BC = 8，∠A =，∠B =，∠C =，求AD的长．
分析：要求AD的长度，需要借助辅助线把问题转化，由∠A 和∠B的关系可以判定AD∥BC，这样不妨过点C作AB的平行线，构成一个平行四边形，然后利用角之间的关系与平行四边形的性质，使问题得以解决．
解：点C作CE∥AB交AD于E，
∵∠A＋∠B =，∴AD∥BC，
∴四边形ABCE是平行四边形．
∴AE = BC = 8，CE = AB = 6，∠BCE =∠A =．
又∵∠BCD =，∴∠DCE =．
而∠D =－－－=，
∴∠D =∠DCE =，∴DE = CE，
∴AD = 8＋6 = 14．
评析：在判定AD∥BC后，辅助线的添加是解题的关键，虽然辅助线的添加在解题时没有一定规律可循，但可以通过分析已知条件与待求结论，从中得到启发，从而正确地作出辅助线．
A
M
D
B
C
例1图
A
C
O
F
B
D
E
例2图
E
B
P
C
F
A
例3图
D
C
B
A
E
例4图