第十九章 四边形全章教案设计及其作业设计
文档属性
| 名称 | 第十九章 四边形全章教案设计及其作业设计 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 424.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2011-06-06 19:12:20 | ||
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文档简介
第十九章 四边形
19.1 平行四边形
第一课时 平行四边形的性质（一）
学法解析
1．认知起点：对几何中的平行线、三角形以及小学中的四边形有关知识的积累，以此为起点来认识平行四边形．
2．知识线索：
3．学习方式：观察形象、突出概念，合作交流．
教学过程
一、创设情境，导入新知
【活动方略】
教师提问：上一节布置大家收集有关平行四边形的图片（相片），现在你们将自己所收集的图片与同伴交流．
学生活动：分四人小组，拿出收集的图片进行交流，观察其特征．
教师活动：请各组派代表将你们组收集、讨论的情况向全班进行交流．
媒体使用：学生上讲台利用实物投影或直接展示，来汇报自己的材料．
学生活动：通过观察图片、交流心得，丰富联想，得到平行四边形的特征：是有两组对边分别平行的四边形．
教师归纳：定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，记作“”，如下图a、b，记作“ABCD”．（板书）
【设计意图】采用让学生课前收集现实生活中的平行四边形并通过合作交流来引入平行四边形定义自然流畅，激发了学生兴趣．
二、情理推导，认识性质
【问题牵引】
操作探究：请同学们用两块三角板画出一个平行四边形，观察下面问题．
1．平行四边形边之间有何关系？请证明．
2．平行四边形角之间有何关系？请证明．
【活动方略】
学生活动：分四人小组进行探讨，在探讨中采用观察、度量的方法，很快发现平行四边形具有以下性质：
性质一：平行四边形的对边相等；
性质二：平行四边形的对角相等．
教师活动：在学生通过观察、度量的体验，发现了平行四边形性质之后，引导学生进行证明．
学生活动：证明平行四边形性质一、二，并踊跃上台演示．
思路点拨：对于四边形的问题通常可以转化为三角形来解决，如性质一、二，可通过连结对角线AC或BD（如下图c、d）的方法将平行四边形切割成两块三角形，然后利用三角形全等证明．
【设计意图】采用学生动手画图感知得到平行四边形的两个性质，然后再应用“化归”的数学思想解决性质的严格证明，并渗透一题多解的发散思维．
三、范例点击，提高认知
例1（投影显示）如图，小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中一条边AB长为8m，其他三条边各长多少？
思路点拨：这个实际问题首先通过周长36m的平行四边形这个条件，利用已知一条边AB=8m，很容易求出AB=DC=8m，AD=BC=10m，这是平行四边形性质中的对边相等的应用．
【活动方略】
教师活动：操作投影仪，分析例1，引导学生正确应用平行四边形的性质一，并板书，教会学生如何书写几何语言．（见课本P93）
学生活动：参与教师分析，弄清解题思路．
【课堂探究】（投影显示）
探究题：如图，已知ABCD中，∠A：∠B=2：3，求∠C，∠D的度数．
思路点拨：本题首先应明确ABCD中，由于AD∥BC，因此∠A+∠B=180°，根据已知条件∠A：∠B=2：3，可以求出∠A=72°，∠B=108°，然后再用平行四边形性质过渡得到∠D=∠B=108°，∠C=∠A=72°．
【活动方略】
教师活动：操作投影仪，提出问题后，组织学生训练，关注“学困生”的学习，在巡视中发现解题中的问题，可通过让这样的学生（代表性）上台演示，发动学生纠正．
学生活动：先独立思考，从已知条件中分析出思路：要求∠C，∠D，只要能求出∠A，∠B，这样就把问题转化成熟悉的思路上来，通过两个式子：∠A+∠B=180 ①，∠A：∠B=2：3 ②用代数的代入法求得结果．
【设计意图】补充这道探究题的目的是让学生有一个独立思考问题的素材．同时也是对课本例题的充实．
四、随堂练习，巩固深化
1．课本P93 “练习” 1、2、3．
2．【探研时空】
（1）如图，从ABCD的顶点D和C，分别引对边AB的垂线DE和CF，交AB和它的延长线于E、F，求证：△AED≌△BFC．
（2）求证：平行四边形ABCD中，顶点B、D与对角线AC的距离相等．
（提示：证出Rt△AED≌Rt△BFC）
五、课堂总结，发展潜能
本节课主要通过情境引入平行四边形定义：两驵对边分别平行的四边形叫做平行四边形，同时引入表达符号“”；接着利用观察和度量以及证明得到平行四边形两个性质：（1）平行四边形对边相等；（2）平行四边形对角相等．
本节课除了弄清上述概念之外还应该学会严谨的书写表达，注意其完整性，同时应领悟平行四边形化归成三角形的思想，这是添加辅助线的方向．
六、布置作业，专题突破
1．课本P99 习题19．1 1，2，6，11．
2．选用课时作业优化设计
七、课后反思
第一课时作业优化设计
【驻足“双基”】
1．已知ABCD的周长为20cm，且AD-AB=1cm，则AD=______，CD=______．
2．平行四边形内角和等于________．
3．平行四边形周长为50cm，两邻边之比为2：3，则两邻边分别为_____．
4．如图，在ABCD中，∠ADB=40°，∠ABD=85°，则∠C=_____，∠ABC=_______．
5．已知一个平行四边形的两对角和为214°，则这个平行四边形相邻的两内角的度数分别为_________．
6．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AB=5cm，D为BC边上任意一点，DF∥AC，DE∥AB，求ABCD的周长．
【提升“学力”】
7．连结平行四边形对边中点的线段是否能将对角线二等分？与同伴交流．
8．如图，已知ABCD，AD、BC的距离AE=15cm，AB、DC的距离AF=30cm，且∠EAF=30°，求AB、BC、ABCD面积．
【聚焦“中考”】
9．（2003年安徽省中考题）如图，在ABCD中，AC=4，BD=6，P点BD上的任一点，过P作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E、F．设BP=x，EF=y，则能反映y与x之间关系的图象为（ ）
10．（2003年北京市中考题）如图所示，在ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE=CF，请你以下为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的第一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．
（1）连结：__________．
（2）猜想：________=________．
（3）证明．
答案：
1．5.5cm，4.5cm 2．360° 3．10cm，15cm 4．55°，125° 5．107°，73° 6．10cm 7．EF能将AC二等分 8．30cm，60cm，900cm2 9．A
10．（1）BF，（2）BF=DE，（3）提示：证△BCF≌△DAE．
第二课时 平行四边形的性质（二）
学法解析
1．认知起点：已学习了三角形全等证明，平行四边形定义，性质一、二的基础上，在积累了一定的经验的情况下学习本节课内容．
2．知识线索：
3．学习方式：采用观察、操作、交流的方式解决重点突破难点．
教学过程
一、动手操作，感知轻重
【活动方略】
教师活动：操作投影仪，显示“探究”中的问题（课本P94）组织学生分四人小组进行讨论，从操作中发现ABCD的边、角关系：“对边相等，对角相等”，然后进一步启发学生去发现对角线交点O到平行四边形四个顶点的距离的关系．
学生活动：分四人小组，画图、操作、交流，从中领悟并验证平行四边形ABCD绕点O（两个对角线的交点）旋转180°仍和EFGH重合，从中观察出平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分的三个性质．
教师活动：操作投影仪，提出下面问题：
已知ABCD中，AC、BD交于O，图中有哪些三角形全等？哪些线段是相等的？请同学们用多种方法加以验证．
学生活动：合作学习，相互讨论自己的思维，并交流不同的验证思路．
思路点拨：图中有四对三角形全等，分别是：△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，△ABD≌△BCD，△ADC≌△CBA．有如下线段相等：OA=OC，OB=OD，AD=BC，AB=DC，证明中应用到“AAS”，“ASA”证明．
师生归纳：平行四边形性质三：平行四边形对角线互相平分．
【设计意图】采用动手操作感知，辅以三角形全等知识的应用，发现、验证了所要学习的内容，解决了重点突破了难点．
二、范例点击，应用所学
例2（投影显示）
如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及ABCD面积．
思路点拨：可以利用平行四边形对边相等求出BC=AD=8，CD=AB=10，在求AC长度时，因为∠ACB=90°，可以在Rt△ACB中应用勾股定理求出AC= =6，由于OA=OC，因此AO=3，求ABCD面积是48．
【活动方略】
教师活动：分析讲例2，教会学生分析思路是本例的重点．渗透“综合分析法”．
学生活动：参与教师分析，学会几何分析的基本思路．学会“综合分析法”．
【设计意图】对于几何计算或证明，分析思路和方法是根本，通过本例，让学生学会如何分析，学会如何严格的书写突破用几何语言书写表达的难点．
【课堂演练】
演练题1 已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=12cm，BD=18cm，AD=13cm，求△BOC的周长．（答案：28cm）
演练题2 已知ABCD的周长为48cm，AB比AC长4cm，那么这个四边形的各边长为多少？
（答案：AB=CD=14cm，BC=AD=10cm）
演练题3 在ABCD中，已知∠B+∠D=140°，求∠C度数．（答案：110°）
教师活动：操作投影仪，显示“课堂演练题”，巡视、启发，关注“学困生”，可以请部分学生上讲台“板演”，然后与学生一起共同纠正存在的问题．
学生活动：独立完成课堂演练题．学会应用平行四边形性质．
思路点拨：演练题1应用平行四边形的对边相等求得BC=13cm，再应用平行四边形对角线互相平分求出BO=BD=9cm，OC=AC=6cm；演练题2主要应用平行四边形对边相等可知AB+BC=×48=24cm，再利用AB=BC+4这两个等式，以代数的手法求之；演练题3，应用平行四边形对角相等，得∠B=∠D=70°，再通过∠C+∠B=180°求出∠C度数．
三、随堂练习，巩固深化
1．课本P95 “练习”1、2．
2．【探研时空】
如图，ABCD中，DE垂直平分AB，ABCD的周长为5cm，△ABD的周长比ABCD的周长少1.5cm，求平行四边形各边长．
（提示：△ABC的周长比ABCD的周长少1.5cm，实际上说，BD比BC+DC少1.5cm，∴DA=DB=（BC+DC）-1.5=1）[答案：1cm，1.5cm，1cm，1.5cm]．
四、课堂总结，发展潜能
平行四边形
定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
性质：（1）边的性质：对边平行且相等．
（2）角的性质：对角相等，邻角互补．
（3）对角线的性质：对角线互相平分．
备注：小结中应直观应用图形帮助记忆．
五、布置作业，专题突破
1．课本P100 习题19．1 3，8，9
2．选用课时作业优化设计
六、课后反思
第二课时作业优化设计
【驻足“双基”】
1．ABCD中，∠A的余角与∠B的和是120°，则∠A=_____，∠B=______．
2．平行四边形的周长等于56cm，两邻边的长的比为3：1，那么这个平行四边形较长的边长为_________．
3．ABCD的周长为60cm，对角线交于O，△AOB的周长比△BOC的周长大8cm，则AB、BC的长分别是_________．
4．ABCD中，周长为50cm，AB=15cm，∠A=30°，则此平行四边形的面积为______．
5．如图，EF为ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若AB=4，BC=5，OE=1.5，那么四边形EFCD的周长是（ ）．
A．12 B．13 C．14 D．16
6．一个平行四边形的两条邻边的长分别是4cm和5cm，它们的夹角是30°，这个平行四边形的面积是（ ）．
A．10cm2 B．10cm2 C．5cm2 D．5cm2
【提升“学力”】
7．如图，ABCD中，∠ABC=3∠A，F是CB的延长线上一点，EF⊥DC于E，CF=CD，若EF=3cm，求DE长．
8．如图，ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF=30°，AE=4cm，AF=3cm，求ABCD周长．
【聚焦“中考”】
9．（2004年江苏省南京市中考题）如图，E、F是ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．
求证：（1）△ABE≌△CDF；
（2）BE∥DF．
10．（2002年福州市中考题）如图，已知ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O，且与BC、AD分别相交于点E、F，求证：OE=OF．
答案:
1．75°，105° 2．21cm 3．19cm，11cm 4．75cm2 5．A 6．A 7．3-3 8．28cm 9．（1）提示：证∠DCA=∠CAB，用“SAS”解决，（2）提示：证∠FEB=∠DFE
10．提示：证△BEO≌△DFO（ASA）
平行四边形的判定（1）
学法解析
1．认知题后：学习了三角形全等、平行四边形定义、性质以后学习本节课内容．
2．知识线索：
3．学习方式：采用动手操作来发现新的知识，通过交流形成知识体系．
教学过程
一、回顾交流，逆向思索
教师提问：
1．平行四边形定义是什么？如何表示？
2．平行四边形性质是什么？如何概括？
学生活动：思考后举手回答：
回答：1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（教师在黑板上画出下图：帮助学生直观理解）
回答：2．平行四边形性质从边考虑：（1）对边平行，（2）对边相等，（3）对边平行且相等（“”）；从角考虑：对角相等；从对角线考虑：两条对角线互相平分．（借助上图直观理解）．
教师归纳：（投影显示）
平行四边形
【活动方略】
教师活动：操作投影仪，显示课本P96和P97“探究”的问题．用问题牵引学生动手操作、思考、发现、归纳、论证，可以让学生分成4人小组讨论，然后再进行小组汇报，教师同时也拿出教具同学在一起探索．
学生活动：分四人小组，拿出准备好的学具探究．在活动中发现：（1）将两长两短的四根细木条（或用硬纸片），用小钉铰合在一起，做成四边形，如果等长的木条成对边，那么无论如何转动这四边形，它的形状都是平行四边形；（2）若将两根细木条中点用钉子钉合在一起，用像皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形，转动两根木条，这个四边形是平行四边形．（3）将两条等长的木条平行放置，另外用两根木条（不一定等长）用钉子予以加固，得到的四边形一定是平行四边形．（如下图）
教师活动：归纳学生的发言，将问题引入到平行四边形判定方法上来．
教师归纳：（借助上面的性质归纳）
平行四边形判定与性质：
备注：具体内容见课本P96～P97，教师此时可引导学生对定理进行证明．
提出问题：同学们能否证明出上面所提出的判定呢？
学生活动：开始证明上面提出的判定方法．主要是通过辅助线将四边形切割成一对三角形，再证明这对三角形全等把问题归结到定义上去．
评析：在教师的指导下，学生学会添加辅助线，并学会数学的化归思想，这是几何学的重要环节，应予以突破．
【设计意图】将两个“探究”应用操作感知的方法来发现，再应用数学化归思想，借助辅助线予以推理论证，达到解决重点，突破难点的目的．
二、范例点击，应用所学
例3（投影显示）
如图，ABCD的对角线AC，BD交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF．求证四边形BFDE是平行四边形．
思路点拨：例3的证明方法有多种，思路1：用课本的证法，依据平行四边形的对角线性质为方向，用AE=CF，可得OE=OF，OB=OD，从而得证．思路2：连接BE、DF，利用三角形全等来证明四边形BFDE的两组对边分别相等．思路3：证明△ADE≌△BCF得到DE=BF，∠DEO=∠BFO．从而推出DE∥BF，也就是说用一组对边平行且相等的方法来证．但课本的证法最简单．
教师活动：操作投影仪，分析例3，引导学生从不同的思路来证明例3．拓宽学生的思维，请部分学生上讲台演示．
学生活动：分四人小组，合作交流，对例3提出不同的证明思路．踊跃上台“板演”．
【设计意图】以例3为素材，发展学生一题多证的发散性思维，同时将上面的三种平行四边形的判定方法进行应用、归纳，形成切入点，但要注意采用最优证法．
【课堂演练】（投影显示）
演练题：在ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，四边形AECF是平行四边形吗？证明你的结论．
思路点拨：本道题有多种证法，如：可以从一组对边平行且相等的角度切入去证AEFC；也可以从两组对边分别相等的切入点予以证明，去证AE=FC，AF=EC．
【活动方略】
教师活动：操作投影仪，组织学生训练，巡视、关注“学困生”的思维，发现好的证明方法．
学生活动：独立思考，应用所学知识切入进行证明，形成分析思路，注意问题转化．踊跃上台演示．
教师活动：在学生充分思考的基础上，请几位不同证明方法的学生上讲台演示，同时纠正书写表达方法．
评析：应用一组对边平行且相等的方法较为简捷，在分析中要善于将未知问题逆推转化成能够解决的熟悉问题．
【设计意图】让学生反复认识，学会分析．
三、随堂练习，巩固深化
1．课本P97“练习” 1，2．
2．【探研时空】
如图，ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足为E、F、G、H分别为AD、BC的中点，求证：EF和GH互相平分．（请用两种不同的证法）．
评析：课本P97“练习2”可以做为平行四边形的又一判定方法．
四、课堂总结，发展潜能
平行四边形判定：
1．边的关系：
2．角的关系：证明两组对角分别相等．
3．对角线的关系：证明两条对角线互相平分．
备注：借助图形来理解，总结．
五、布置作业，专题突破
1．课本P100 习题19．1 4，5，10，12
2．选用课时作业优化设计
六、课后反思
第三课时作业优化设计
【驻足“双基”】
1．在ABCD中，若∠B-∠A=60°，则∠D=________．
2．平行四边形的长边是短边的2倍，一条对角线与短边垂直，则这个平行四边形的各角是__________．
3．如果一个平行四边形的一边长是8，一条对角线长为6，那么它的另一条对角线的长x的取值范围是________．
4．由两个全等三角形用各种不同的方法拼成四边形，在这些拼成的四边形中是平行四边形的个数是（ ）．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．以长为3cm、4cm、6cm的三条线段中的两条为边，另一条为对角线画平行四边形，可以画出不同形状的平行四边形（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．已知：如图ABCD中，DM=BN，BE=DF，求证：四边形MENF是平行四边形．
【提升“学力”】
7．已知：如图，△ABD、△BCE、△ACF都是等边三角形，求证：四边形ADEF是平行四边形．
【聚焦“中考”】
8．（2004年黑龙江省哈尔滨市中考题）如图，已知E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上一点，且CE=DC，连结AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连结OF．求证：AB=2OF．
答案:
1．120° 2．60°，120°，60°，120° 3．106．提示：证△BEN≌△DFM，∴EN=FM，再证：△BFN≌△DEN
7．提示：△CEF≌△CBA，∴EF=BA=AD，同理△BDE≌△BAC，DE=AC=AF，∴ADEF
8．连结BE，∵ABCD，∴ABCD，AO=OC，
∵CE=CD，∴ABCE，∴ABEC，
∴BF=FC，∴OFAB，∴AB=2OF．
平行四边形的判定(2)
学法解析
1．认知起点：三角形、平行四边形有关知识．
2．知识线索：
3．学习方式：采用“讲授法”教学，学生以观察、分析、探讨的方式学习．
教学过程
一、回顾交流，归纳提升
【课堂温习】
教师提问：1．平行四边形的定义是什么？
2．平行四边形具有哪些性质？
3．平行四边形是如何判定的？
教师板书：画出一个平行四边形，如下图．（帮助理解）
学生活动：踊跃发言，相互讨论，归纳出平行四边形的性质与判定．
【课堂演练】（教师板书）
演练题：如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，E、F分别为BO、DO的中点．求证：AF∥CE．（请你用两种方法证明）
思路点拨：方法1：证明△AOF≌△COE，推出∠AFE=∠CEF，从而得证AF∥CE．方法2：连结AE，CF，去证明四边形AECF为平行四边形．
教师活动：组织学生完成“演练题”，巡视、关注“学困生”，对于思路较好的学生，请他们完成后再上台演示．教师注意纠正他们的书写．
学生活动：独立完成“演练题”，结合本道题，回顾和应用平行四边形性质，判定．
【师生共识】
构图:
【设计意图】采用先回顾（提问式）平行四边形性质、判定，再通过“演练题”进行实际应用，这样不空洞，且能调动积极性，有利于归纳、提升．
二、问题牵引，导入新知
例4 如图，点D，E分别是△ABC的边AB、AC的中点，求证DE∥BC，且DE=BC．
思路点拨：对于证明某条线段是某条线段的一半，常用的几何方法是“加倍法”，“折半法”，通过三角形全等把问题化归到平行四边形问题中去，然后再利用平行四边形的有关概念、性质来解决．本题可以延长DE到F，使EF=DE，通过连结AF、FC、CD把问题转化到ADCF中去，再根据平行四边形性质证明DBCF．
【活动方略】
教师活动：板书例4，分析并引导学生积极参与．教会学生如何添加辅助线，如何书写辅助线的添加法，然后板书出例4的证明．
学生活动：参与教师分析例4，学会“加倍法”的几何分析思路．
教师板书例4证法：（见课本P98）
教师问题：还有没有不同于课本的证法呢？
学生活动：相互讨论，踊跃发言，想出不同的证法．上讲台演示．
参考证法：
证法：延长DE到F使得EF=DE，连结FC，证△ADE≌△FEC，得到AD=FC（割补法），再利用BDCF证出DBCF，从而得到DF=BC，推出DE=BC，DE∥BC．
能用折半法吗？试一试！
教师活动：归纳学生的不同证法，然后应用例4的结论导入新知：（口述后让学生翻开课本画一画）．
三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．
教师提问：一个三角形有几条中位线？中位线和三角形的中线一样吗？
学生回答：有三条中位线，中位线是两边中点连线段；而中线是顶点和对边中点的连线段，因此它们不同．
【设计意图】采用引例导入，丰富学生的联想，又能从中学会几何不同的证明方法．
三、随堂练习，巩固深化
1．课本P99 “练习”1，2，3．
2．【探研时空】
如图，已知BE、CF分别为△ABC中∠B、∠C的平分线，AM⊥BE于M，AN⊥CF于N，求证：MN∥BC．
（提示：延长AN，AM，证AN=NR，AM=MQ．利用三角形中位线定理可证）．
四、课堂总结，发展潜能
1．三角形中位线定理：三角形两边中点的连线是三角形的中位线；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．三角形的中位线是三角形中一条重要的线段，三角形中位线定理在许多计算及证明中都要用到．
2．把握三角形中位线定理的应用时机：
（1）题目的条件中出现两个或两个以上的线段中点；
（2）题目的条件中虽然只有一个（线段的）中点，但过这点有直线平行于过中点所属线段端点的直线．
3．利用三角形中位线定理，添加辅助线的方法有：
五、布置作业，专题突破
1．课本P100～102 习题19．1 7，8，13，14
2．选用课时作业优化设计
六、课后反思
第四课时作业优化设计
【驻足“双基”】
1．已知△ABC中，AB：BC：CA=3：2：4且AB=9cm，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，则△DEF的周长是________．
2．已知△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F为BC上一点，EF=BC，∠EFC=35°，则∠EDF=________．
3．顺次连结四边形各边中点所得到的四边形是___________．
4．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，CE⊥AD于E，M为BC的中点，AB=14cm，AC=10cm，求ME的长．
【提升“学力”】
5．已知△ABC中，AD⊥BC于D，E、F、G分别是AB、BD、AC的中点，EG＝EF，AD+EF=9cm，求△ABC面积．
6．已知：在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，∠AEB=∠CED．F为BC的中点．求证：AF=DF=（BF+CE）．
【聚焦“中考”】
7．如图，在ABCD中，E、F是对角线AC的两个三等分点，求证：四边形BFDE是平行四边形．
8．已知五边形ABCDE中，AC∥ED，交BE于点P，AD∥BC，交BE于点Q，BE∥CD，求证：△BCP≌△QDE．
答案:
1．13.5cm 2．72.5° 3．平行四边形 4．提示：延长CE交AB于T，2cm
5．提示：AD=2EF，EF=3，AD=6，EG=EF=，BC=9，S=27 5．27cm2
6．提示：延长BE、CD交于G，
如果只证AF=DF，那么过F作AD的垂线即可，
现在要使AF、DF与BE+CE建立起联系，就应进一步观察图形的特点了．
注意到∠AEB=∠CED，CD⊥AD，
因此可通过延长BE、CD交于G，过CE与BE之和成为线段BG，
接下来易见DF为△BCG的中位线，至此，DF与BE+CE的关系已清楚了，
同理可证AF=（BE+CE）．
7．提示：连结DB
8．由AC∥ED，BE∥CD可以推出PCDE，因此可得PC=ED，
再由AC∥ED，BC∥AD得到角∠BPC=∠QED，∠CBP=∠DQE，
根据三角形全等条件可证得．
19.2 特殊的平行四边形
（一）菱形
菱形（1）
学法解析
1．认知起点：已学过平行四边形概念、性质、判定，积累一定的推理方法和经验．
2．知识线索：
现实情境
3．学习方式：观察、分析、合作交流．
教学过程
一、创设情境，操作感知
【活动方略】
活动素材：现实生活中的菱形图片（相片），实物等．
活动方式：分四人小组先在组内交流学生自己收集的有关菱形的图片，实物等．然后进行全班性交流．
活动目标：在教师的引导下，认识菱形，感受菱形的生活价值．
引入定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
【操作感知】
活动教具：活动式木框，如下图:
活动过程：教师拿出平行四边形木框（可活动的），操作给学生看，让学生体会到：平移平行四边形的一条边，使它与相邻的一条边相等，可以得到一个菱形，说明菱形也是平行四边形的特例，因此，菱形也具有平行四边形的所有性质．
【设计意图】让学生收集并在课堂上交流生活中的菱形图片，调动学生的求知欲，激发学生的探究意识，再通过教师的教具操作感受菱形的定义．
二、应用学具，探究新知
【活动方略】
问题牵引：请同学们拿出矩形纸片，对折两次，然后沿课本图19．2-8中虚线剪下，再打开，看一看得到了什么图形？观察这个图形（菱形），它是轴对称图形吗？有几条对称轴？对称轴在什么位置上？你能找出图中相等的线段和角吗？
活动过程：教师使用投影仪，显示“问题牵引”后，和同学们一起进行实践操作，观察剪下来的图形是怎样的图形．实际上，学生很容易发现，剪下的一个图形是菱形．
学生活动：动手操作后发现：菱形是轴对称图形，对称轴就是它对角线所在的直线（两条）．从中利用轴对称图形的性质可和：
菱形性质：（1）菱形的四条边都相等；
（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
教师提问：菱形的面积是怎样求得的呢？能有几种求面积的方法？
学生活动：首先学生想到菱形也是平行四边形，因此，它可以利用菱形的底×菱形的高的方法求得面积，即S=BC·h．（右图）
引导观察：在教师的引导下，学生很快发现菱形的对角线将菱形切成4个全等的直角三角形，以此可推出菱形的面积S=4×Rt△BOA=BD·AC，即菱形面积也可以等于对角线乘积的一半．
【设计意图】充分地应用直观学具的制作，发现菱形所具有的性质，激发课堂学习的热情．
三、范例点击，应用所学
例2 （投影显示）如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（分别精确到0.01m和0.01m2）．
思路点拨：（1）由于花坛是菱形的，要求对角线AC和BD．只要求出BO，AO即可，而BO、AO又都在一个△ABO中，因此，可以通过求出∠ABO=30°，得到AO=AB=10m，即AC=20，再应用勾股定理求出BD值．（2）也可利用等边三角形来解决．
【活动方略】
教师活动：操作投影仪，分析例2，引导学生把问题归结到利用直角三角形ABO或等边三角形ABC中去解决；先分析课本的解题方法，然后再启发学生从等边三角形的知识来求解．
学生活动：参与教师讲例2，提出不同的思路（1）利用直角三角形有关知识．（2）利用等边三角形有关知识．（1）方法见课本；（2）方法：由于菱形ABCD，使得AB=AC，又因为∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，即AC=AB=20m，AO=10m，再应用勾股定理求BO．求得面积S=AC·BD≈346.4（m2）．
【设计意图】
采取启发式教学，发挥学生的潜能，培养一题多解的思想．
【合作交流】
已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，且AC=6，BD=8，求菱形的高.
菱形具有平行四边形的所有性质，S菱表ABCD=BCh．① 而菱形自身的特性使得S菱形ABCD=AC·BD，② 将①②联立可以求出h的值．
【活动方略】
教师活动：制作投影仪，组织学生讨论，请部分学生上台演示．
学生活动：先独立思考，再与同学交流；踊跃上台演示，从中理解两个菱形公式的应用．×6×8＝5×h，h=．
【设计意图】
补充这题题目的思想是对菱形的两个面积公式进行综合应用．
四、随堂练习，巩固深化
【课堂演练】
演练题1：如图，在菱形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，求证：AE=AF．（用两种证法）
思路点拨：本题证法有四种，证法1：利用菱形性质证得∠B=∠D，AB=AD，BE=DF，再运用△ABE≌△ADF（SAS）可以证出AE=AF，证法2：连线AC，证△AEC≌△AFC（SAS）．
【活动方略】
教师活动：板书“课堂演练题”，引导学生一题多证．请部分学生上台“演示”．
学生活动：课堂练习，然后上台演示自己的练习，同伴相互交流．
【课堂演练】
演练题2：课本P108 “练习”1
演练题3：求证：连结菱形四边中点所得的四边形是矩形（要求画出图形，写出已知、求证，并证明）
五、课堂总结，发展潜能
1．菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形．
2．菱形性质：（1）边的性质：对边平行，四条边都相等．
（2）角的性质：对角相等．
（3）对角线的性质：两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
（4）对称性：是轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线．
六、布置作业，专题突破
1．课本P113 习题19．2 5，12
2．选用课时作业优化设计
七、课后反思
第三课时作业优化设计
【驻足“双基”】
1．菱形的两条对角线长分别为16cm，12cm，那么这个菱形的高是_______．
2．已知菱形两邻角的比是1：2，周长是40cm，则较短对角线长是________．
3．菱形的面积为50cm2，一个内角为30°，则其边长为______．
4．菱形一边与两条对角线所构成两角之比为2：7，则它的各角为______．
5．菱形ABCD，若∠A：∠B=2：1，∠CAD的平分线AE和边CD之间的关系是（ ）．
A．相等 B．互相垂直且不平分
C．互相平分且不垂直 D．垂直且平分
6．在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，菱形ABCD面积等于24cm2，AE=6cm，则AB长为（ ）．
A．12cm B．8cm C．4cm D．2cm
【提升“学力”】
7．近几年，城市里流行一种新式的衣帽架，它是用木条构成的几个连续的菱形（如图），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且实用，你能根据形状，说出它的好处和固定方法吗？
【聚焦“中考”】
8．如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，作EF∥BC，交AC于点F，如果EF=4，那么CD的长为（ ）．
A．2 B．4 C．6 D．8
9．已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF．
（1）求证：△ABE≌△ADF．
（2）过点C作CG∥EA，交AF于H，交AD于G，若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC的度数．
答案:
1．9.6cm 2．10cm 3．略 4．40° 140°
5．D 6．C 7．略 8．D 9．（1）略，（2）∠AHC=100°
菱形(2)
学法解析
1．认知起点：已经学行四边形、矩形、菱形等有关知识的基础上，积累了一定的推理经验．
2．知识线索：
3．学习方式：以操作引入，迁移的方式展开学习，采用合作交流的学习方式来解决重点突破难点．
教学过程
一、回顾交流，操作导入
教师提问：
1．菱形的定义是什么？
（一组邻边相等的平行四边形是菱形）
2．菱形具有哪些性质呢？
性质：（1）边的性质：对边平行，四条边都相等；
（2）角的性质：对角相等；
（3）对角线的性质：两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；
（4）对称性：是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线．
学生活动：采用相互提示、回顾并回答的方法，结合图形直观理解．
【课堂演练】（投影显示）
填空
1．菱形的周长为12cm，一个内角等于150°，则它的面积是_____．
（答案：4.5cm2）
2．矩形的一条边长为4cm，面积为20cm2，则这个矩形的一条对角线长为______．
（答案：cm）
3．菱形中较大角是较小角的3倍，高为5cm，则这个菱形边长为______．
（答案：5cm）
【活动方略】
教师活动：操作投影仪，组织学生演练，然后提问个别学生．
学生活动：独立思考，完成填空题，通过训练，达到回忆的目的．
【设计意图】用合作交流的方式复习概念，再通过课堂训练，以练促思．
二、教具演示，观察发现
【问题牵引】
教具：两根一长一短的细木条，钉子、橡皮筋．
操作：教师在两根细木条的中点处固定一个小钉子，做成一个可转动的十字，再将四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形，问：这个四边形是怎样的四边形？（答：平行四边形）．教师继续操作教具，转动木条，问：将木条转成互相垂直的位置，这时这个平行四边形是怎样的平行四边形呢？为什么？
回答：学生观察后回答：因为将木条转成互相垂直后，这个平行四边形两条对角线互相垂直平分，根据线段垂直平分线性质定理，可以得到这个平行四边形一组邻边相等，根据菱形定义，它是菱形．
【形成定理】（教师板书）
菱形判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
【归纳方法】（学生归纳）
菱形的判定方法：
（1）边的关系：是平行四边形，并且有一组邻边相等．
（2）对角线的关系：是平行四边形，并且对角线互相垂直．
三、范例点击，应用所学
例2 如图，ABCD的对角线AC、BD交于O，AB=5，AO=4，BO=3，求证ABCD是菱形．（投影显示）
思路点拨：由于平行四边形对角线互相平分，构成了△ABO是一个三角形，而AB=5，AO=4，BO=3，由勾股定理可知∠AOB=90°，这样可利用菱形判定定理证得．
【活动方略】
教师活动：操作投影仪，分析例2．
讲明分析思路，是利用勾股定理求证∠AOB=90°（板书）
教师活动：补充课堂演练题．组织学生应用知识．
演练题1：如图，在矩形ABCD中，BC=2AB，E是AD上的点，∠BCE=75°，求证：BE=BC.
思路点拨：已知四边形ABCD是矩形，∠BCE=75°，所以∠DEC=75°，∠ECD=15°，以CD为边，在矩形外作∠DCF=60°，这样得到∠F=30°，得到CF=2CD=2AB=BC，∠FCE=∠FEC=75°，只要证四边形BCFE是菱形即可；本题还可以证△BCE≌△FCE来解决．
学生活动：分析、思考，完成演练题1，然后上台演示、交流．
证明：以CD为边在矩形ABCD的外面作∠DCF=60°交AD的延长线于F，
则∠F=30°，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DEC=∠BCE=75°，
∴CF=2CD=2AB=BC．∠DCE=∠DCB-∠ECB=90°-75°=15°，
∴∠ECF=∠ECD+∠DCF=15°+60°=75°．
∴∠ECF=∠FEC=75°，∴EF=CF，∴EF=BC．
又BC=CF．
∴四边形EBCF是菱形．
【设计意图】以例2分析帮助学生理解判定定理的应用，然后教师放手让学生演练，培养学生独立思考能力．
四、随堂练习，巩固深化
1．课本P110 “练习”1，2，3
2．【探研时空】
Rt△ABC，∠A=90°，∠B的平分线交AC于D，自A作BC的垂线交BD于E，自D作DF⊥BC，求证：AEFD为菱形．
（提示：欲证AEFD是菱形，首先证明AEFD是平行四边形，再证它有一组邻边相等）．
五、课堂总结，发展潜能
1．当平行四边形的一组邻边相等时，这个平行四边形是菱形，菱形也是平行四边形特例，它是轴对称图形，它的对称轴是它的对角线所在的直线，因此它有两条对称轴．
2．菱形也具有平行四边形的所有性质，而且由“一组邻边相等”可导出菱形的特殊性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
3．判定一个四边形是菱形的方法有：
（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
六、布置作业，专题突破
1．课本P114 习题19．2 6，7，10，14
2．选用课时作业优化设计
七、课后反思
第四课时作业优化设计
【驻足“双基”】
1．如图所示，四边形ABCD、DEBF都是矩形，AB=BF，AD、BE相交于M，BC、DF交于N，求证：四边形BMDN是菱形．
2．如图所示，菱形ABCD，E、F分别是BC、CD上的点，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=18°，求∠CEF的度数．
【提升“学力”】
3．如图所示，ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD于E，交BC于F，求证四边形AFCE是菱形．
4．求证：连接矩形四边中点的四边形是菱形（要求画出图形，写出已知、求证，证明）
【聚焦“中考”】
5．（2003年吉林省中考题）如图，菱形花坛ABCD的边长为6m，∠B=60°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分的图形的周长（粗线部分）为（ ）．
A．12m B．20m C．22m D．24m
6．（2003年广东省广州市中考题）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC=4，则BD的长为（ ）．
A．8 B．4 C．2 D．8
7．（2004年山西省中考题）如图，过ABCD的对角线交点O作互相垂直的两条直线EG、FH与平行四边形ABCD各边分别相交于E、F、G、H．求证：四边形EFGH是菱形．
8．（2004年贵州省贵阳市中考题）如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，求图中阴影部分面积．
答案:
1．提示：先证BNDM，再证△BFN≌△DCN，得BN=DN 2．∠CEF=18°
3．提示：FG AE，∴AECF，AF∥CE，同理：DE∥BF，∠FGE=90°
4．提示：连接矩形对角线
5．B 6．B
7．提示：证△OBG≌△ODE，推出OE=OG，
同理OF=OH，得平行四边形EFGH，
由EG⊥FH得菱形EFGH 8．2.5
（二）矩形
矩形(1)
学法解析
1．认知起点：已经学习了三角形、平行四边形，积累了一定的经验的基础上学习本节课内容．
2．知识线索：情境与操作→平行四边形→矩形→矩形性质．
3．学习方式：观察、操作、感知其演变，以合作交流的学习方式突破难点．
教学过程
一、联系生活，形象感知
【显示投影片】
教师活动：将收集来的有关长方形图片，播放出来，让学生进行感性认识，然后定义出矩形的概念．
矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．（也就是小学学习过的长方形）．
教师活动：介绍完矩形概念后，为了加深理解也为了继续研究矩形的性质，拿出教具．同学生一起探究下面问题：
问题1：改变平行四边形活动框架，将框架夹角∠α变为90°，平行四边形成为一个矩形，这说明平行四边形与矩形具有怎样的从属关系？（教师提问）
学生活动：观察教师的教具，研究其变化情况，可以发现：矩形是平行四边形的特例，是属于平行四边形，因此它具有平行四边形所有性质．
问题2：既然它具有平行四边形的所有性质，那么矩形是否具有它独特的性质呢？（教师提问）
学生活动：由平行四边形对边平行以及刚才变角∠α为90°可以得到∠α的补角也是90°，从而得到矩形四个角都是直角．
评析：实际上，在小学学生已经学过长方形四个角都是90°，这里学生不难理解．
教师活动：用橡皮筋做出两条对角线，让学生观察这两条对角线的关系，并要求学生证明（口述）．
学生活动：观察发现：矩形的两条对角线相等，口述证明过程是：充分利用（SAS）三角形全等来证明．
口述：∵四边形ABCD是矩形
∴∠ABC=∠DCB=90°，AB=DC
又∵BC为公共边
∴△ABC≌△DCB（SAS）
∴AC=BD
教师提问：AO=_____AC，BO=______BD呢？（，）BO是Rt△ABC的什么线？由此你可以得到什么结论？
学生活动：观察、思考后发现AO=AC，BO=BD，BO是Rt△ABC的中线．由此归纳直角三角形的一个性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半（师生回忆）．
【设计意图】采用观察、操作、交流、演绎的手法来解决重点突破难点．
二、范例点击，应用所学
例1 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长．（投影显示）
思路点拨：利用矩形对角线相等且平分得到OA=OB，由于∠AOB=60°，因此，可以发现△AOB为等边三角形，这样可求出OA=AB=4cm，∴AC=BD=2OA=8cm．
【活动方略】
教师活动：板书例1，分析例1的思路，教会学生解题分析法，然后板书解题过程（课本P104）
学生活动：参与教师讲例，总结几何分析思路．
【问题探究】（投影显示）
如图，△ABC中，∠A=2∠B，CD是△ABC的高，E是AB的中点，求证：DE=AC．
思路点拨：本题可从E是AB的中点切入，考虑应用三角形中位线定理．应用三角形中位线必需找到另一个中点．分析可知：可以取BC中点F，也可以取AC的中点G为尝试．
【活动方略】
教师活动：操作投影仪，引导、启发学生的分析思路，教会学生如何书写辅助线．
学生活动：分四人小组，合作探索，想出几种不同的证法．
证法一：取BC的中点F，连结EF、DF，如图（1）
∵E为AB中点，∴EFAC，∴∠FEB=∠A，
∵∠A=2∠B，∴∠FEB=2∠B．DF=BC=BF，
∴∠1=∠B，∴∠FEB=2∠B=2∠1=∠1+∠2，
∴∠1=∠2，∴DE=EF=AC．
证法二：取AC的中点G，连结DG、EG，∵CD是△ABC的高，
∴在Rt△ADC中，DG=AC=AG，
∵E是AB的中点，∴GE∥BC，∴∠1=∠B．
∴∠GDA=∠A=2∠B=2∠1，
又∠GDA=∠1+∠2，∴∠1+∠2=2∠1，
∴∠2=∠1，∴DE=DG=AC．
【设计意图】
补充这道演练题是训练学生的应用能力，提高一题多解的意识，形成几何思路．
三、随堂练习，巩固深化
1．课本P104 “练习”1，2，3．
2．【探研时空】
已知：如图，从矩形ABCD的顶点C作对角线BD的垂线与∠BAD的平分线相交于点E．求证：AC=CE．
思路点拨：要证AC=CE，可以考虑∠E=∠CAE，AE平分∠BAD，所以∠DAE=∠BAE，因此，从中发现∠CAE=∠DAE-∠DAC．
另外一个条件是CE⊥BD，这样过A作AF⊥BD于F，则AF∥CE，可以将∠E转化为∠FAE，∠FAE=∠BAE-∠FAE．现在只要证明∠BAF=∠DAC即可，而实际上，∠BAF=∠BDA=∠DAC，问题迎刃而解．
四、课堂总结，发展潜能
1．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，因此，矩形是平行四边形的特例，具有平行四边形所有性质．
2．性质归纳：
（1）边的性质：对边平行且相等．
（2）角的性质：四个角都是直角．
（3）对角线性质：对角线互相平分且相等．
（4）对称性：矩形是轴对称图形．
五、布置作业，专题突破
1．课本P112 习题19．2 1，4，9，16
2．选用课时作业优化设计
六、课后反思
第一课时作业优化设计
【驻足“双基”】
1．矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，对角线长是________，两边长分别等于________．
2．矩形周长为36cm，一边中点与对边两顶点的连线所夹的角是直角，则矩形各边长是______．
3．已知矩形ABCD中，O是AC、BD的交点，OC=BC，则∠CAB=_______．
4．如图，矩形ABCD中，E是BC中点，∠BAE=30°，AE=4，则AC=______．
5．如图，矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取上一点M，使AM=AB，则∠MBC=_______．
6．矩形具有一般平行四边形不具有的性质是（ ）．
A．对角相等 B．对角线相等 C．对边相等 D．对角线互相平分
7．如果E是矩形ABCD中AB的中点，那么△AED的面积：矩形ABCD的面积值为（ ）．
A． B． C． D．
8．已知：如图，矩形ABCD中，EF⊥CE，EF=CE，DE=2，矩形的周长为16，求AE的长．
【提升“学力”】
9．如图，矩形ABCD中，DF平分∠ADC交AC于E，交BC于F，∠BDF=15°，求∠DOC、∠COF的度数．
【聚焦“中考”】
10．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、DC上，BF∥DE，若AD=12cm，AB=7cm，且AE：EB=5：2，求阴影部分EBFD的面积．
11．小明爸爸的风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料生产一批形状如图所示的风筝，点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，其中阴影部分用甲布料，其余部分用乙布料，（裁剪两种布料时，均不计余料），若生产这批风筝需要甲布料30匹，那么需要乙布料多少匹呢？
答案:
1．10，5，5 2．6cm，12cm，6cm，12cm 3．30° 4．2 5．15°
6．B 7．C 8．3
9．60°，75°
提示：∠ODC=∠ODE+∠EDC=15°+45°=60°，
∴△ODC是等边三角形，∴∠DOC=60°，
∵OC=CD，CD=CF，∴OC=CF，
又∵∠OCF=90°-60°=30°，
∴∠COF==75°．
10．24cm2 11．30匹
矩形（2）
学法解析
1．认知起点：在学行四边形有关概念、矩形的有关定义性质，积累了一定的推理方法的基础上继续学习本节课内容．
2．知识线索：
3．学习方式：采用知识迁移的手法，通过学生合作交流，探究解决本节课重点，突破难点．
教学过程
一、回顾交流，拓展延伸
【实验观察】
教师活动：拿出教具进行操作，将平行四边形渐变为矩形，然后在渐变的过程中明确判定一个四边形是矩形的第一种方法是通过定义来判定．
判定1：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
教师解释：也就是说：证明一个四边形是矩形可先证这个四边形是平行四边形，然后再证这个平行四边形有一个角是直角．
学生活动：观察教具，回忆学过的矩形定义，深刻理解定义可作为矩形判定的方法之一，并归纳出通俗易记的构架：先证→再证一个Rt△→矩形．
教师活动：出示教具继续操作，探究，提问：当矩形一个角变成90°后，其余三个角同时都变成90°，两条对角线也成为相等的线段，那么这个变形中你们想到了什么呢？能从中得到怎样的启发？
学生活动：观察、联想后，提出各自的见解：
考虑到对角线，因为四边形的两条对角线在保持互相平分的前提条件下，无论怎么伸缩，它们的长度都是相等时，平行四边形将变为矩形．（如图）
判定2：对角线相等的平行四边形是矩形．
教师解释：也就是说，要证明一个四边形是矩形，先证它是平行四边形，再证两条对角线相等．
学生归纳：先证→再证对角线相等→矩形．
学生活动：归纳后，口述证明思路：如上图a，可应用“SSS”证明由△ABC≌△DCB，得∠ABC=∠DCB=90°，由定义知，平行四边形ABCD是矩形．（教师也可以请学生上台“板演”）．
教师活动：组织学生阅读P105第十二行～第十五行的问题，联系生活实际，加深理解矩形判定定理的实际应用．
学生活动：观察课本图形，阅读问题，并与同伴交流，提出自己的看法：测量两组对边长是否分别相等的目的是看看它是否是平行四边形，再测量它们的两条对角线是否相等，目的是看看这个平行四边形是否是矩形．
【动手操作】
教师提问：请同学们按书本中李芳的画图步骤，画出一个四边形，感受一下李芳的判断，发表自己的见解．
学生活动：动手画图，发现李芳的判断是正确的，然后踊跃发表自己的看法，并上台“板演”自己的证明．
证明：如右图，∠BAD=∠ABC=90°，
∴∠BAD+∠ABC=180°，∴AD∥BC．
同理 ∠BAD+∠ADC=180°，∴AB∥DC
∴四边形ABCD是平行四边形，又∠ABC=90°，
∴得到四边形ABCD是矩形．
判定3：有三个角是直角的四边形是矩形．
归纳矩形的判定方法（学生进行）
【矩形判定】（投影显示）
（1）定义：是平行四边形，并且有一个是直角．
（2）角的定义：是平行四边形，并且有三个角是直角．
（3）对角线的关系：是平行四边形，并且两条对角线相等．
【设计意图】
采用直观教具进行观察，通过师生互动，解决重点问题，突破本节课难点．
二、范例点击，应用所学
例（补充材料）
如图，已知在四边形ABCD中，AC⊥DB，交于O、E、F、G、H分别是四边的中点，求证四边形EFGH是矩形．（教师用投影显示题目）．
【活动方略】
先让学生独立思考几分钟，然后教师再提问个别学生，让他讲出证明思路来，如果班上没有学生想的出证明思路，教师再进行启发、引导学生学会分析，找到切入点．
学生活动：独立分析，并拿出课堂笔记本练习．
教师活动：分析例子的证明思路，引导学生利用三角形中位线定理证明四边形EFGH是平行四边形，切入点：凡中点问题都可以考虑用中位线定理，然后再引导学生去证一个角是直角，如证∠HEF=90°．
学生活动：在教师引导下，很快找到△ADC，并知道EH是这个三角形中位线，从而证得EHAC，同理FGAC，∴EHFG．证出四边形EFGH是平行四边形．然后通过AC⊥DB，可证出∠FEH=90°，从而证出四边形EFGH是矩形．
【设计意图】
教师补充一个例题，帮助学生综合地应用几何知识，学会几何分析．
三、随堂练习，巩固深化
1．课本P106 “练习” 1，2
2．【探研时空】
如图，已知AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE，
求证：四边形BCED是矩形．（用两种证法）
（提示：证法1．连结DC，BE，利用先证平行四边形再证DC=BC可得，证法2．从定义出发）
四、课堂总结，发展潜能
判定一个四边形是矩形的方法与思路是：
五、布置作业，专题突破
1．课本P112 习题19．2 3
2．选用课时作业优化设计
六、课后反思
第二课时作业优化设计
【驻足“双基”】
1．矩形一条长边的中点与其对边的两端点的连线互相垂直，已知矩形的周长为24cm，则矩形的面积是_______．
2．如果矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O点，且∠BOC=120°，AB=3cm，那么矩形ABCD的面积为________．
3．下面命题正确的个数是（ ）．
（1）矩形是轴对称图形
（2）矩形的对角线大于夹在两对边间的任意线段
（3）两条对角线相等的四边形是矩形
（4）有两个角相等的平行四边形是矩形
（5）有两条对角线相等且互相平行的四边形是矩形
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
4．矩形的对角线所成的角之一是65°，则对角线与各边所成的角度是（ ）．
A．57.5° B．32.5°
C．57.5°、33.5° D．57.5°、32.5°
5．如图，矩形ABCD中，AF=CE，求证：AECF是平行四边形．
【提升“学力”】
6．如图，在△ABC中，AB=AC，PE⊥AB，PF⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E、D、F，求证：PE-PF=CD．
【聚焦“中考”】
7．已知：如图，矩形ABCD中，AE=DE，BE的延长线与CD的延长线相交于点F，求证：S矩形ABCD=S△BCF．
8．若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，请你求出这个平行四边形的一个最小内角的值等于多少？
9．如图，四边形ABCD中，AC=6，BD=8，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2……如此进行下去得到四边形AnBnCnDn．
（1）证明：四边形A1B1C1D1是矩形；
（2）写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积；
（3）写出四边形AnBnCnDn的面积；
（4）求四边形A5B5C5D5的周长．
答案:
1．32cm2 2．9cm2 3．D 4．D
5．提示：用AF=CE，FC=AE，证AECF，只要证，△ADF≌△CEB，推出DF=BE
6．提示：过C作CM⊥EP，证矩形CMED，得ME=CD，证△CMP≌△CFP，得PM=PF
7．
证法一：在Rt△BAE和Rt△FDE中，
∵∠BAE=∠FDE=90°，AE=DE，∠AEB=∠DEF，
∴△BAE≌△FDE，∴AB=DF，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∴FC=2AB．
∴S=×BC×FC=BC·AB．
∵S矩形ABCD=BC·AB，∴S矩形ABCD=S△FBC；
证法二：∵∠BAE=∠FDE=90°，AE=DE．∠AEB=∠DEF，
∴△BAE≌△FDE．∴S△BAE = S△FDE，
∵S△FBC = S△FDE +S四边形BCDE，
∵S矩形ABCD=S△BAE+S四边形BCDE，
∴S矩形ABCD= S△BCF．
8．30°
9．（1）提示：用三角形中位线；（2）12，6；（3）24×；（4）
（三）正方形
正方形(1)
教学过程：
创设问题情境，搭建研究平台
在小学学过的平行四边形、矩形、菱形、正方形这些特殊的四边形中，我们已学了平行四边形、矩形、菱形的定义、性质和判定，而正方形还没有研究过，根据小学学过的正方形的知识，同学们能说出它的哪些性质？
正方形四条边相等；正方形四个角是直角；正方形的面积等于边长的平方；正方形是轴对称图形，也是中心称图形。
生活中有很多地方用到正方形，我们感到正方形很熟悉，但对已学过的平行四边形，矩形、菱形比较，对正方形还没有深入地研究，同学们不想知道它其中的奥妙吗？
讲授新课
把平行四边形的一个角变成直角，再移动一条短边，让一组邻边相等，此时平行四边形变成一个正方形的变化的全过程；同时再展现先移动一条短边，截成一组邻边相等的平行四边形，而把一个角变成直角，此时平行四边形变成正方形。
请同学们给出正方形的定义：
一组邻边相等的矩形叫做正方形；一个角为直角的菱形叫做正方形；一组邻边相等且有一个角为直角的平行四边形叫正方形。
我们从它的定义可以发现，正方形是特殊的矩形，即邻边相等的矩形；也是特殊的菱形，即有一个角是直角的菱形；而矩形、菱形又是特殊的平行四边形，所以正方形也是特殊的平行四边形，即一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形。
做一做：把一个长方形纸片如图那样折一下，即可折出一个正方形纸片。请你说明其中的道理。
学生活动：通过折叠裁剪，得出正方形，并观察其图形特征，明白制作原理：邻边相等的矩形是正方形。
类比平行四边形、矩形、菱形、的性质我们来研究正方形的性质，可以从正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形入手，分别从边、角、对角线三个方面进行归纳总结。
学生活动：（讨论后发现）
边：正方形四条边都相等；对边平行；
角：正方形四个角都是直角；
对角线：正方形两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
由此发现正方形的性质概括了平行四边形、矩形、菱形关于边、角、对角线的全部性质。在利用这些性质解决问题时，要根据需要选择相应的结论，做到“对症下药”。
应用举例：
【例4】求证正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形。
师生共析：因为是正方形，所以两条对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角。平分可以产生线段等量关系和角的等量关系，垂直可以产生直角，于是可以得到四个全等的等腰直角三角形。
已知：如图四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相互交于点O。
求证：△ABO.△BCO.△CDO.△DAO是全等的等腰直角三角形.
证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AC﹦BD,AC⊥BD
∴AO＝BO＝CO＝DO.
∴△ABO.△BCO.△CDO.△DAO都是等腰直角三角形.
并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO 。
拓展讨论：
图中有多少个等腰直角三角形。
正方形ABCD有多少条对称轴？请分别写出这些对称轴。
解析：图中共有八个等腰直角三角形，它们分别是△ABO、△BCO、△CDO、△DAO、△ABD、△BCD、△ABC、△ADC。且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO；△ABD≌△BCD≌△ABC≌△ADC。
连接正方形对边中点的连线是对称轴，这样的对称轴有两条；两条对角线也分别是正方形的对称轴，所以正方形共有四条对称轴。这进一步体现了它既有矩形的性质，同时也具有菱形的性质。
补充题：已知如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是E、F。
求证：DECF是正方形。
证明：DE⊥AC ∠DEC=90°
DF⊥BC ∠DFC=90° 四边形DECF是矩形
∠ACB=90°
CD平分∠ACB
DE⊥AC DE=DF
DF⊥BC
四边形DECF是正方形
随堂练习
课本 P112练习2
课时小结
图 形性 质 平行四边形 矩形 菱形 正方形
对边平行且相等
四条边都相等
对角相等
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线互相垂直
对角线相等
每条对角线平分一组对角
五、课后作业 习题19·2 7、8、13。
正方形(2)
教学过程：
创设问题情景，引入新课
我们学行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？请填入下图中。
通过填写让学生形象地看到正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，还是特殊的平行四边形；而正方形、矩形、菱形都是平行四边形；矩形、菱形都是特殊的平行四边形。
1、怎样判断一个四边形是矩形？
2、怎样判断一个四边形是菱形？
3、怎样判断一个四边形是平行四边形？
4、怎样判断一个平行四边形是矩形、菱形？
议一议：你有什么方法判定一个四边形是正方形？
二、讲授新课
1、探索正方形的判定条件：
学生活动：四人一组进行讨论研究，老师巡回其间，进行引导、质疑、解惑，通过分析与讨论，师生共同总结出判定一个四边形是正方形的基本方法。
（1）直接用正方形的定义判，即先判定一个四边形是平行四边形，若这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，那么临就可以判定这个平行四边形是正方形；
（2）先判定一个四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形，那么这个四边形是正方形；
（3）先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形，那么这个四边形是正方形。
后两种判定均要用到矩形和菱形的判定定理。矩形和菱形的判定定理是判定正方形的基础。这三个方法还可写成：有一个角是直角，且有一组邻边相等的四边形是正方形；有一组邻边想的相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形。
上述三种判定条件是判定四边形是正方形的一般方法，可当作判定定理用，但由于判定平行四边形、矩形、菱形的方法各异，所给出的条件各不相同，所以判定一个四边形是不是正方形的具体条件也相应可作变化，在应用时要仔细辨别后才可以作出判断。
2、正方形判定条件的应用
【例1】判断下列命题是真命题还是假命题？并说明理由。
四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；
四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；
对角线互相垂直平分的四边形是正方形；
对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。
师生共析：
是真命题。因为四条边相等的四边形是菱形，又四个角相等，根据四边形内角和定理知每个角为90°，所以由有一个角是直角的菱形是正方形可以判定此命题是真命题。
真命题。四个角相等可知每个角都是直角，是矩形，由对角线互相垂直可判定这个矩形是菱形，所以根据是矩形又是菱形的四边形是正方形，可判定其为真。
假命题。对角线平分的四边形是平行四边形，对角线垂直的四边形是菱形，所以它不一定是正方形。如下图，满足AO=CO，BO=DO且AC⊥BD但四边形ABCD不是正方形。
假命题。它可能是任意四边形。如上图，AC⊥BD且AC=BD，但四边形ABCD不是正方形。
真命题。
方法一，对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线垂直的平行四边形是菱形，所以是矩形又是菱形的四边形是正方形。可判定其为真。
方法二，对角线平分 平行四边形
对角线垂直
平行四边形
对角线相等
方法三，由对角线互相垂直平分可知是菱形，由对角线平分且相等可知是矩形，而既是菱形又是矩形的四边形就是正方形。
总结：通过辨析，掌握判定正方形的各种方法和思路，从题中所给各种不同条件出发寻找命题成立的判定依据，以便灵活应用。
【例2】如下图E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF=45°，试说明EF=BE+DF。
师生共析：要证EF=BE+DF，如果能将DF移到EB延长线或将BE移到FD延长线上，然后证明两线段长度相等。此时可依靠全等三角形来解决。
像这种在EB上补上DF或在FD补上BE的方法叫做补短法。
解：将△ADF旋转到△ABC，∠∠∠∠∠△
则△ADF≌△ABG
∴AF=AG，∠ADF=∠BAG，DF=BG
∵∠EAF=45°且四边形是正方形，
∴∠ADF﹢∠BAE=45°
∴∠GAB﹢∠BAE=45°
即∠GAE=45°
∴△AEF≌△AEG（SAS）
∴EF=EG=EB﹢BG=EB﹢DF
【例3】画一个正方形，使它的对角线长为30，并说明画法的依据。
画法：1、画线段=30cm，取AC的中点O。
2、过点O画AC的垂线，并分别在AC的两侧取OB=OD=15cm。
3、连结AB﹑BC﹑CD﹑DA.
则四边形ABCD就是所要画的正方形.
证明：∵AO=CO,BO=DO
四边形ABCD是平行四边形。
又∵AC=BD, ∴平行四边形ABCD是矩形。
∵AC⊥BD
∴平行四边形ABCD是菱形。
∴四边形ABCD是正方形（四边形既是矩形又是菱形，则四边形是正方形）。
说明:由学生分析画法,在证明过程中让学生逐一说出判断理由,以加深对正方形的判定方法的认识.
三、随堂练习 课本P112练习3。
通过练习进一步巩固正方形的判定方法的应用。
四、课时小结
师生共同总结，归纳得出正方形的判定方法，同时展示下图，通过直观感受进一步加深理解正方形判定方法的应用。
五、课后作业
习题19·2 14，15，16，17。
补例、如图，在正方形ABCD的BC、CD边上取E、F两点，使∠EAF=45°，AG⊥EF于G. 求证：AG=AB
解析：欲证 AG=AB，就图形直观来看，应证Rt△ABE与Rt△AGE全等，但条件不够.
∠EAF=45°怎么用呢？显然∠1＋∠2=45°，若把它们拼在一起，问题就解决了.
证明：把 △AFD绕A点旋转90°至△AHB.
∵∠EAF=45°，∴∠1＋∠2=45°.
∵∠2=∠3，∴∠1＋∠3=45°.
又由旋转所得 AH=AF，AE=AE.
∴ △AEF≌△AEH.
19.3 梯形
梯形（一）
一、创设问题情境，引入新课
前面我们探讨的四边形都是平行四边形，请同学们回忆什么样的四边形是平行四边形？平行四边形有哪些性质？
两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
平行四边形的性质：边：两组对边分别平行且相等。
角：两组对角分别相等。
对角线：互相平分。
梯子、跳箱、堤坝的横截面都给人以梯形的印象。什么样的图形是梯形呢？能画出一个梯形吗？让学生动手画梯形，同时引入新课。
二、讲授新课
问题：请大家根据刚才的画图，给梯形下一个定义。（让学生在不断的探讨中完善梯形的定义。）
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。
问题：“一组对边平行且不等的四边形是梯形”，对吗？为什么？（让学生在思考中锻炼逻辑思考能力）
让学生直观认识梯形中的有关元素：上、下底，腰、高。
梯形中平行的两边叫梯形的底，上下底是以平行两边的长短来区分的，而不是指两边的位置，较短的底叫上底，较长的底叫下底。
不平行的两边叫梯形的腰。
夹在两底间的垂线段叫梯形的高。
如图，梯形中ABCD中，AD∥BC上底是AD，下底是BC，腰是AB。CD，线段AE是梯形ABCD的高。观察下列框架图，体会平行四边形与梯形的联系与区别。
问题：如图（1）、（2），在（1）中：四边形ABCD的AD∥BC，ABCD,且CD⊥BC；在（2）中，四边形ABCD的AD∥BC，且AB＝CD。请你给四边形命名。
学生答后，分析，图（1）中，CD⊥BC可以推出CD⊥AD，所以CD就是梯形的高。当CD⊥BC时，另一腰AB就不能和BC垂直了。因为若AB⊥BC，那么四边形ABCD就成为矩形了；图（2）中AB=CD，但AD≠BC，否则四边形ABCD就成为平行四边形了，而不是梯形，直角梯形和等腰梯形都是特殊的梯形。
问题：观察图（3）中的等腰梯形ABCD，猜猜看它有哪些特殊的性质？想办法证明你的猜想。
让学生通过自己的思考，探索、交流去发现它的角、边、对角线的关系、对称性，有困难的学生，教师给以及时的引导，同时鼓励学生证明多样化。
∠ABC=∠DCB ,∠BAD=∠CDA即等腰梯形的底角相等。
证法一：如下图把腰AB平移到DE位置，即AB平行且等于DE，所以，四边形ABCD是平行四边形，同时△DEC是等腰三角形。
于是有：AB=DE=CD,
AD=BE,
∠B=∠DEC=∠C=∠ADE
∠A=∠BED=∠CDA
也就是说等腰梯形的底角相等。
证法二：如下图过A、D分别作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，
∵AD∥BC
∴AE=DF
又AB=CD
Rt△AEB≌Rt△DFC
∠B=∠C, ∠BAE=∠CDF
∠BAE+90=∠CDF+90
即∠BAD=∠CDA
所以等腰梯形的底角相等。
总结：解决梯形问题时可以平移其中一腰转化为三角形问题或平行四边形问题求解，也可以作梯形的高，构造直角三角形求解。
AC=BD即等腰梯形的对角线相等。
证明：如下图
由AB=CD,BC=BC, ∠ABC=∠DCB可得出△ABC≌△DCB可以再推出AC=BD
用折纸的方法可以确认等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是过两底中点的连线所在的直线。
也可以借助等腰三角形的轴对称性加以证明。做法如下：
延长相交于点，易证都是等腰三角形，则，所在直线是两个等腰三角形，的对称轴，由轴对称图形可知，也是等腰梯形的对称轴，因此等腰梯形是轴对称图形。
应用举例：
如下图，延长等腰梯形ABCD的腰BA与CD，相交于点E，求证△EBC和△EAD是等腰三角形。
证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠B=∠C
∴△EBC是等腰三角形。
∵AD∥BC
∴∠1=∠B
∠2=∠C
∴∠1=∠2
∴△EAD是等腰三角形。
三、随堂练习
课本P119练习1、2
四、课时小结
1、梯形的定义及分类：
2、等腰梯形的性质
（1）具有一般梯形的性质：一组对边平行
（2）两腰相等
（3）同底上的两底角相等
（4）是轴对称图形，对称轴是通过上下底中点的直线
（5）两条对角线相等，两条对角线的交点在对称轴上，两腰延长线的交点也在对称轴上。
五、课后作业
1、习题19·3 1、2、6、9
2、预习梯形的判定及应用。
梯形（二）
创设问题情景,引入新课.
上节课,我们研究了梯形,并且研究了特殊的梯形—等腰梯形的概念及其性质,请同学们说出什么样的梯形是等腰梯形 两腰梯形有什么性质
（学生讨论）等腰梯形是特殊的梯形,所以它具有梯形的性质,它还具有下列一般梯形所不具备的性质.同一底上两个内角相等；对角线相等；是轴对称图形.
下面请同学们来做一做(老师播放课件,学生进行画、讨论、总结)
在下图中的每个三角形中画一条线段.
怎样画才能得到一个梯形
在哪些三角形中,能够得到一个等腰梯形呢
因为梯形的上、下两底平行且不相等，所以只要在三角形的两边上各找一点，使这两点的连线平行于第三边即可得到梯形。
第（2）（3）个三角形中能够得到一个等腰梯形。在等腰三角形的两腰上分别找一点，使这两点的连线平形于等腰三角形的底边即可得到一个等腰梯形。
说得太好了，这节课，我们就来探讨等腰梯形的判定。
二、讲授新课
受刚才做图的启发：只有等腰三角形才能得到等腰梯形。请同学们靠虑下面的问题。
议一议：
“在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形”这个命题成立吗？能否加以证明。
学生活动：
（通过想一想，试一试，议一议。做一做的小活动，初步懂得添加辅助线的一般方法，学会将梯形问题转化为平行四边形、矩形、等腰三角形来处理）
证法一:如图延长BA.CD相交于点E.
∵∠B＝∠C（三角形中等角对边等）
∴BE＝CE.
∵四边形ABCD是梯形,
∴AD∥BC.
∴∠EAD＝∠B,∠EDA＝∠C.
即AB＝CD,
∴梯形ABCD是等腰梯形.
证法二: 如图将CD平移到AE位置.
此时四边形AECD是平行四边形.
则AE∥CD且AE＝CD,
∴∠AEB＝∠C.
又∵∠B＝∠C,
∴∠B＝∠AEB.
∴AB＝AE.（三角形等角对边等）
∴AB＝CD.
因此梯形ABCD是等腰梯形.
证法三: 如图作梯形ABCD的高AE、DF分别交于BC于E、F.
∵梯形上、下底平行,即AD∥BC,
∴AE＝DF.（夹在平行线间的垂线段相等）
又∵∠AEB＝∠DFC＝90°,∠B＝∠C,
∴△ABE≌△DCF.
∴AB＝DC
∴梯形ABCD是等腰梯形.
通过活动，同学的说理能力以有了很大提高。由此我们也得到等腰梯形的两种判定方法。
两腰相等的梯形是等腰梯形。
同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。
应用举例：
【列2】如下图,梯形ABCD中,BC∥AD,DC∥AB.DE＝DC,∠A＝100°,求梯形其他三个内角的度数.
师生共析：
梯形上、下底平行,可以由同旁内角互补求得∠B=80°
可想办法证明梯形ABCD是等腰梯形,从而解决∠C和∠ADC的问题.
解:∵BC∥AD,DE∥AB,
∴四边形ABED是平行四边形.
∴AB=DE.
又DE=DC
∴AB=DC.
梯形ABCD是等腰梯形,
∴∠C=∠B=180°-∠A=80°,
∠D=∠A=100°.
补充题:画一个等腰梯形,使它的上.下底分别为4cm和10cm,高为3cm.
分析:假设等腰梯形ABCD已画出,如下图,作出高AE和DF,可证得Rt△ABE Rt△DCF,所以EF=AD=4cm,BE=CF==3cm.于是可先画出Rt△ABE,进而确定点C,过A作AD∥BC,使AD=4cm,可确定D,连接DC,即可确定等腰梯形ABCD.
画法：（1）画Rt△ABE使∠AEB=90°,AE=3cm,BE=3cm.
（2）延长BE到C使BC=10cm.
（3）过A作AM∥BC,且使BC、AM在AB的同旁,在AM上截取AD=10cm.
（4）连接DC,则梯形ABCD就是所要画的等腰梯形.（如图）
（还可以启发学生思考、讨论,得多种画法）
如左下图,平行移动一腰AB到DF,可在Rt△CDF中算出腰CD的长,CD=（cm）,因此可先画出等腰△DCE,从而画出等腰梯形ABCD；又如右下图利用等腰梯形轴对称图形,且对称轴是连结上、下两底中点的线段所在的直线.因此可以先画梯形ABEF使EF=3cm,EF⊥BE,BE=6cm,AF∥BE.然后利用轴对称性画出等腰梯形ABCD.
三、随堂练习
1;课本P119练习3,4.
2,参看列1:证法三.
2,画法:参看补充题.
腰长=
周长=2
面积=
2、补充练习.
(1)等腰梯形与等腰三角形有哪些联系
有两各内角是70得梯形一定是等腰梯形 为什么
四、课时小结
（与学生共同梳理、总结梯形的判定方法及添加辅助线的解决有关梯形问题的常用方法）
等腰梯形的判定方法:
(1)两腰相等
(2)同底上的两个角相等
梯形的画法：画出符合条件的梯形,通常先要“分析”,借助铺线找出可以画出的部分图形(等腰三角形,直角三角形等).
梯形中常用的四种辅助线的添法(如下图):
五、课后作业
习题19.3 3、4、5、7、8、10.
19.4 课题学习 重心
一、操作感知，寻求方法
【引入概念】
教师操作：拿出一块准备好的木板（四边形）找到一点，用一个手指顶住这一点，木板会保持平衡，告诉学生这一点就是这个几何图形的重心．
教师活动：提出一些常见的几何图形，如：线段、三角形、四边形等的重心在哪个位置上呢？大家一起来探讨．
教师教具：均匀的木条、规则四边形：正方形、长方形、菱形、一般平行四边形等硬纸片；三角形、五边形硬纸片；钉子，细绳，小重物，刻度尺等．
【活动方略】
问题1：寻找线段的重心．
学生活动：出示学具：一根均匀的木条，去找这条木条的平衡点．（分四人小组讨论）．
小组活动：
（1）用刻度尺量出平衡点的位置，相互比较．
（2）从相互比较中得出线段的重心：线段的重心就是线段的中点．
教师活动：巡视，并和学生共同试验，发现问题，最后归纳．
问题2：寻找平行四边形的重心．
学生活动：分四人小组，拿出各自的学具探索，相互比较．
小组活动：
（1）用一个手指顶住一块均匀的正方形硬纸片，寻找平衡点；
（2）互相交流后，找到平行四边形重心是对角线的交点O．（如图）
（3）由于矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，可以发现它们的重心也都在它们对角线的交点上．
归纳小结：平行四边形的重心是它的两条对轴线的交点．
问题3：寻找三角形的重心．
学生活动：分四人小组，拿出各自的学具探索、发现问题．
小组活动：
（1）在一块质地均匀的三角形硬纸板的每一个顶点处钉一个小钉作为悬挂点．
（2）用下端系有小锤的细线缠绕在一个小钉上，然后吊起硬纸片，记录垂线的“痕迹”；
（3）在另一个小钉上重复（2）的活动，找到两条铅垂线的交点（记为O）
（4）在第三个小钉上重复（2）的活动，观察第三条铅垂线经过点O，三条铅垂线和对边的交点D、E、F分别在对边中点，点O就是三角形的重心．（如图）．
归纳小结：三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心．
问题4：寻找任意多边形的重心．
学生活动：拓展，应用上面的问题3的方法去找任意五边形的重心．
教师活动：对本节课寻找重心的问题进行归纳．
二、课堂总结，发展潜能
通过本节课内容的学习，得到下面的结论：
1．线段的重心点在这条线段的中点上；
2．平行四边形、矩形、菱形、正方形的重心是在它们对角线交点上；
3．三角形的重心是在这个三角形三条中线的交点上．
三、拓展思维，继续发现
问题1：请你画出下面三角形的重心，然后用刻度尺量一量这个重心到顶点与这个顶点对边的中点的关系，与同伴交流．
学生活动：分四人小组进行探索、得到规律是它们的关系是2：1，（可多画几块三角形探究）．
四、布置作业，丰富思维
1．课本P126 “数学活动” P126～P127 活动题 P131 复习题 1，2，3，4，5，12
2．选用课时作业优化设计
五、课后反思
课时作业优化设计
【驻足“双基”】
1．ABCD的周长为60cm，对角线交于O，△AOB的周长比△BOC的周长长8cm，则AB、BC的长是_______．
2．矩形两条对角线的夹角为60°，较短的边长3.6cm，则对角线长为_______．
3．菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠ABC=120°，如果AB=26cm，则DO=_____cm．
4．如果M是ABCD中BC边的中点，且MA=MD，那么ABCD是（ ）．
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．一般的平行四边形
5．梯形ABCD中，AD∥BC，AE∥DC交BC于点E，如果△ABE的周长为20cm，AD=4cm，那么梯形ABCD的周长为（ ）．
A．24cm B．28cm C．32cm D．36cm
【提升“学力”】
6．如图，在四边形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，BD=AC，BD和AC相交于点O，MN分别与AC、BD相交于E、F，求证：OE=OF．
7．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于O，∠BAC的平分线交BD于F，交BC于E，求证：CE=2OF．
【聚焦“中考”】
8．如图，平行四边形ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠CDA的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，在不添加其他条件的情况下，试写出一个由上述条件推出的结论，并给出证明过程（要求：推理过程中用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件）．
9．已知四边形ABCD中，AB=DC，AC=BD，试探索四边形ABCD可能是什么形状的四边形，并证明你的结论．
答案：
1．19cm，11cm 2．7.2cm 3．13 4．B 5．B
6．提示：分别取AB中点G，连结MG、NG，利用三角形中位线性质可证
7．提示：取AE中点G，得△AEC的中位线OG，再通过角的关系证∠OGF=∠OFG
8.提示：解答本题要看清题目的“在不添加其他条件的情况下，试写出一个由上述条件推出的结论，并给出证明过程”，以及“（要求）”，由题设条件可以得出诸如△APB是直角三角形，△ABP≌△DMC，△ADQ≌△CBN，以及四边形PQMN是矩形等，读者只要写出一个即可．
9.如增加AD=BC．可得出四边形是矩形；增加AD≠BC，四边形是等腰梯形，增加AC垂直平分BD，则这个四边形是正方形．
菱 形
正方形
矩 形
19.1 平行四边形
第一课时 平行四边形的性质（一）
学法解析
1．认知起点：对几何中的平行线、三角形以及小学中的四边形有关知识的积累，以此为起点来认识平行四边形．
2．知识线索：
3．学习方式：观察形象、突出概念，合作交流．
教学过程
一、创设情境，导入新知
【活动方略】
教师提问：上一节布置大家收集有关平行四边形的图片（相片），现在你们将自己所收集的图片与同伴交流．
学生活动：分四人小组，拿出收集的图片进行交流，观察其特征．
教师活动：请各组派代表将你们组收集、讨论的情况向全班进行交流．
媒体使用：学生上讲台利用实物投影或直接展示，来汇报自己的材料．
学生活动：通过观察图片、交流心得，丰富联想，得到平行四边形的特征：是有两组对边分别平行的四边形．
教师归纳：定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，记作“”，如下图a、b，记作“ABCD”．（板书）
【设计意图】采用让学生课前收集现实生活中的平行四边形并通过合作交流来引入平行四边形定义自然流畅，激发了学生兴趣．
二、情理推导，认识性质
【问题牵引】
操作探究：请同学们用两块三角板画出一个平行四边形，观察下面问题．
1．平行四边形边之间有何关系？请证明．
2．平行四边形角之间有何关系？请证明．
【活动方略】
学生活动：分四人小组进行探讨，在探讨中采用观察、度量的方法，很快发现平行四边形具有以下性质：
性质一：平行四边形的对边相等；
性质二：平行四边形的对角相等．
教师活动：在学生通过观察、度量的体验，发现了平行四边形性质之后，引导学生进行证明．
学生活动：证明平行四边形性质一、二，并踊跃上台演示．
思路点拨：对于四边形的问题通常可以转化为三角形来解决，如性质一、二，可通过连结对角线AC或BD（如下图c、d）的方法将平行四边形切割成两块三角形，然后利用三角形全等证明．
【设计意图】采用学生动手画图感知得到平行四边形的两个性质，然后再应用“化归”的数学思想解决性质的严格证明，并渗透一题多解的发散思维．
三、范例点击，提高认知
例1（投影显示）如图，小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中一条边AB长为8m，其他三条边各长多少？
思路点拨：这个实际问题首先通过周长36m的平行四边形这个条件，利用已知一条边AB=8m，很容易求出AB=DC=8m，AD=BC=10m，这是平行四边形性质中的对边相等的应用．
【活动方略】
教师活动：操作投影仪，分析例1，引导学生正确应用平行四边形的性质一，并板书，教会学生如何书写几何语言．（见课本P93）
学生活动：参与教师分析，弄清解题思路．
【课堂探究】（投影显示）
探究题：如图，已知ABCD中，∠A：∠B=2：3，求∠C，∠D的度数．
思路点拨：本题首先应明确ABCD中，由于AD∥BC，因此∠A+∠B=180°，根据已知条件∠A：∠B=2：3，可以求出∠A=72°，∠B=108°，然后再用平行四边形性质过渡得到∠D=∠B=108°，∠C=∠A=72°．
【活动方略】
教师活动：操作投影仪，提出问题后，组织学生训练，关注“学困生”的学习，在巡视中发现解题中的问题，可通过让这样的学生（代表性）上台演示，发动学生纠正．
学生活动：先独立思考，从已知条件中分析出思路：要求∠C，∠D，只要能求出∠A，∠B，这样就把问题转化成熟悉的思路上来，通过两个式子：∠A+∠B=180 ①，∠A：∠B=2：3 ②用代数的代入法求得结果．
【设计意图】补充这道探究题的目的是让学生有一个独立思考问题的素材．同时也是对课本例题的充实．
四、随堂练习，巩固深化
1．课本P93 “练习” 1、2、3．
2．【探研时空】
（1）如图，从ABCD的顶点D和C，分别引对边AB的垂线DE和CF，交AB和它的延长线于E、F，求证：△AED≌△BFC．
（2）求证：平行四边形ABCD中，顶点B、D与对角线AC的距离相等．
（提示：证出Rt△AED≌Rt△BFC）
五、课堂总结，发展潜能
本节课主要通过情境引入平行四边形定义：两驵对边分别平行的四边形叫做平行四边形，同时引入表达符号“”；接着利用观察和度量以及证明得到平行四边形两个性质：（1）平行四边形对边相等；（2）平行四边形对角相等．
本节课除了弄清上述概念之外还应该学会严谨的书写表达，注意其完整性，同时应领悟平行四边形化归成三角形的思想，这是添加辅助线的方向．
六、布置作业，专题突破
1．课本P99 习题19．1 1，2，6，11．
2．选用课时作业优化设计
七、课后反思
第一课时作业优化设计
【驻足“双基”】
1．已知ABCD的周长为20cm，且AD-AB=1cm，则AD=______，CD=______．
2．平行四边形内角和等于________．
3．平行四边形周长为50cm，两邻边之比为2：3，则两邻边分别为_____．
4．如图，在ABCD中，∠ADB=40°，∠ABD=85°，则∠C=_____，∠ABC=_______．
5．已知一个平行四边形的两对角和为214°，则这个平行四边形相邻的两内角的度数分别为_________．
6．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AB=5cm，D为BC边上任意一点，DF∥AC，DE∥AB，求ABCD的周长．
【提升“学力”】
7．连结平行四边形对边中点的线段是否能将对角线二等分？与同伴交流．
8．如图，已知ABCD，AD、BC的距离AE=15cm，AB、DC的距离AF=30cm，且∠EAF=30°，求AB、BC、ABCD面积．
【聚焦“中考”】
9．（2003年安徽省中考题）如图，在ABCD中，AC=4，BD=6，P点BD上的任一点，过P作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E、F．设BP=x，EF=y，则能反映y与x之间关系的图象为（ ）
10．（2003年北京市中考题）如图所示，在ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE=CF，请你以下为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的第一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．
（1）连结：__________．
（2）猜想：________=________．
（3）证明．
答案：
1．5.5cm，4.5cm 2．360° 3．10cm，15cm 4．55°，125° 5．107°，73° 6．10cm 7．EF能将AC二等分 8．30cm，60cm，900cm2 9．A
10．（1）BF，（2）BF=DE，（3）提示：证△BCF≌△DAE．
第二课时 平行四边形的性质（二）
学法解析
1．认知起点：已学习了三角形全等证明，平行四边形定义，性质一、二的基础上，在积累了一定的经验的情况下学习本节课内容．
2．知识线索：
3．学习方式：采用观察、操作、交流的方式解决重点突破难点．
教学过程
一、动手操作，感知轻重
【活动方略】
教师活动：操作投影仪，显示“探究”中的问题（课本P94）组织学生分四人小组进行讨论，从操作中发现ABCD的边、角关系：“对边相等，对角相等”，然后进一步启发学生去发现对角线交点O到平行四边形四个顶点的距离的关系．
学生活动：分四人小组，画图、操作、交流，从中领悟并验证平行四边形ABCD绕点O（两个对角线的交点）旋转180°仍和EFGH重合，从中观察出平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分的三个性质．
教师活动：操作投影仪，提出下面问题：
已知ABCD中，AC、BD交于O，图中有哪些三角形全等？哪些线段是相等的？请同学们用多种方法加以验证．
学生活动：合作学习，相互讨论自己的思维，并交流不同的验证思路．
思路点拨：图中有四对三角形全等，分别是：△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，△ABD≌△BCD，△ADC≌△CBA．有如下线段相等：OA=OC，OB=OD，AD=BC，AB=DC，证明中应用到“AAS”，“ASA”证明．
师生归纳：平行四边形性质三：平行四边形对角线互相平分．
【设计意图】采用动手操作感知，辅以三角形全等知识的应用，发现、验证了所要学习的内容，解决了重点突破了难点．
二、范例点击，应用所学
例2（投影显示）
如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及ABCD面积．
思路点拨：可以利用平行四边形对边相等求出BC=AD=8，CD=AB=10，在求AC长度时，因为∠ACB=90°，可以在Rt△ACB中应用勾股定理求出AC= =6，由于OA=OC，因此AO=3，求ABCD面积是48．
【活动方略】
教师活动：分析讲例2，教会学生分析思路是本例的重点．渗透“综合分析法”．
学生活动：参与教师分析，学会几何分析的基本思路．学会“综合分析法”．
【设计意图】对于几何计算或证明，分析思路和方法是根本，通过本例，让学生学会如何分析，学会如何严格的书写突破用几何语言书写表达的难点．
【课堂演练】
演练题1 已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=12cm，BD=18cm，AD=13cm，求△BOC的周长．（答案：28cm）
演练题2 已知ABCD的周长为48cm，AB比AC长4cm，那么这个四边形的各边长为多少？
（答案：AB=CD=14cm，BC=AD=10cm）
演练题3 在ABCD中，已知∠B+∠D=140°，求∠C度数．（答案：110°）
教师活动：操作投影仪，显示“课堂演练题”，巡视、启发，关注“学困生”，可以请部分学生上讲台“板演”，然后与学生一起共同纠正存在的问题．
学生活动：独立完成课堂演练题．学会应用平行四边形性质．
思路点拨：演练题1应用平行四边形的对边相等求得BC=13cm，再应用平行四边形对角线互相平分求出BO=BD=9cm，OC=AC=6cm；演练题2主要应用平行四边形对边相等可知AB+BC=×48=24cm，再利用AB=BC+4这两个等式，以代数的手法求之；演练题3，应用平行四边形对角相等，得∠B=∠D=70°，再通过∠C+∠B=180°求出∠C度数．
三、随堂练习，巩固深化
1．课本P95 “练习”1、2．
2．【探研时空】
如图，ABCD中，DE垂直平分AB，ABCD的周长为5cm，△ABD的周长比ABCD的周长少1.5cm，求平行四边形各边长．
（提示：△ABC的周长比ABCD的周长少1.5cm，实际上说，BD比BC+DC少1.5cm，∴DA=DB=（BC+DC）-1.5=1）[答案：1cm，1.5cm，1cm，1.5cm]．
四、课堂总结，发展潜能
平行四边形
定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
性质：（1）边的性质：对边平行且相等．
（2）角的性质：对角相等，邻角互补．
（3）对角线的性质：对角线互相平分．
备注：小结中应直观应用图形帮助记忆．
五、布置作业，专题突破
1．课本P100 习题19．1 3，8，9
2．选用课时作业优化设计
六、课后反思
第二课时作业优化设计
【驻足“双基”】
1．ABCD中，∠A的余角与∠B的和是120°，则∠A=_____，∠B=______．
2．平行四边形的周长等于56cm，两邻边的长的比为3：1，那么这个平行四边形较长的边长为_________．
3．ABCD的周长为60cm，对角线交于O，△AOB的周长比△BOC的周长大8cm，则AB、BC的长分别是_________．
4．ABCD中，周长为50cm，AB=15cm，∠A=30°，则此平行四边形的面积为______．
5．如图，EF为ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若AB=4，BC=5，OE=1.5，那么四边形EFCD的周长是（ ）．
A．12 B．13 C．14 D．16
6．一个平行四边形的两条邻边的长分别是4cm和5cm，它们的夹角是30°，这个平行四边形的面积是（ ）．
A．10cm2 B．10cm2 C．5cm2 D．5cm2
【提升“学力”】
7．如图，ABCD中，∠ABC=3∠A，F是CB的延长线上一点，EF⊥DC于E，CF=CD，若EF=3cm，求DE长．
8．如图，ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF=30°，AE=4cm，AF=3cm，求ABCD周长．
【聚焦“中考”】
9．（2004年江苏省南京市中考题）如图，E、F是ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．
求证：（1）△ABE≌△CDF；
（2）BE∥DF．
10．（2002年福州市中考题）如图，已知ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O，且与BC、AD分别相交于点E、F，求证：OE=OF．
答案:
1．75°，105° 2．21cm 3．19cm，11cm 4．75cm2 5．A 6．A 7．3-3 8．28cm 9．（1）提示：证∠DCA=∠CAB，用“SAS”解决，（2）提示：证∠FEB=∠DFE
10．提示：证△BEO≌△DFO（ASA）
平行四边形的判定（1）
学法解析
1．认知题后：学习了三角形全等、平行四边形定义、性质以后学习本节课内容．
2．知识线索：
3．学习方式：采用动手操作来发现新的知识，通过交流形成知识体系．
教学过程
一、回顾交流，逆向思索
教师提问：
1．平行四边形定义是什么？如何表示？
2．平行四边形性质是什么？如何概括？
学生活动：思考后举手回答：
回答：1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（教师在黑板上画出下图：帮助学生直观理解）
回答：2．平行四边形性质从边考虑：（1）对边平行，（2）对边相等，（3）对边平行且相等（“”）；从角考虑：对角相等；从对角线考虑：两条对角线互相平分．（借助上图直观理解）．
教师归纳：（投影显示）
平行四边形
【活动方略】
教师活动：操作投影仪，显示课本P96和P97“探究”的问题．用问题牵引学生动手操作、思考、发现、归纳、论证，可以让学生分成4人小组讨论，然后再进行小组汇报，教师同时也拿出教具同学在一起探索．
学生活动：分四人小组，拿出准备好的学具探究．在活动中发现：（1）将两长两短的四根细木条（或用硬纸片），用小钉铰合在一起，做成四边形，如果等长的木条成对边，那么无论如何转动这四边形，它的形状都是平行四边形；（2）若将两根细木条中点用钉子钉合在一起，用像皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形，转动两根木条，这个四边形是平行四边形．（3）将两条等长的木条平行放置，另外用两根木条（不一定等长）用钉子予以加固，得到的四边形一定是平行四边形．（如下图）
教师活动：归纳学生的发言，将问题引入到平行四边形判定方法上来．
教师归纳：（借助上面的性质归纳）
平行四边形判定与性质：
备注：具体内容见课本P96～P97，教师此时可引导学生对定理进行证明．
提出问题：同学们能否证明出上面所提出的判定呢？
学生活动：开始证明上面提出的判定方法．主要是通过辅助线将四边形切割成一对三角形，再证明这对三角形全等把问题归结到定义上去．
评析：在教师的指导下，学生学会添加辅助线，并学会数学的化归思想，这是几何学的重要环节，应予以突破．
【设计意图】将两个“探究”应用操作感知的方法来发现，再应用数学化归思想，借助辅助线予以推理论证，达到解决重点，突破难点的目的．
二、范例点击，应用所学
例3（投影显示）
如图，ABCD的对角线AC，BD交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF．求证四边形BFDE是平行四边形．
思路点拨：例3的证明方法有多种，思路1：用课本的证法，依据平行四边形的对角线性质为方向，用AE=CF，可得OE=OF，OB=OD，从而得证．思路2：连接BE、DF，利用三角形全等来证明四边形BFDE的两组对边分别相等．思路3：证明△ADE≌△BCF得到DE=BF，∠DEO=∠BFO．从而推出DE∥BF，也就是说用一组对边平行且相等的方法来证．但课本的证法最简单．
教师活动：操作投影仪，分析例3，引导学生从不同的思路来证明例3．拓宽学生的思维，请部分学生上讲台演示．
学生活动：分四人小组，合作交流，对例3提出不同的证明思路．踊跃上台“板演”．
【设计意图】以例3为素材，发展学生一题多证的发散性思维，同时将上面的三种平行四边形的判定方法进行应用、归纳，形成切入点，但要注意采用最优证法．
【课堂演练】（投影显示）
演练题：在ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，四边形AECF是平行四边形吗？证明你的结论．
思路点拨：本道题有多种证法，如：可以从一组对边平行且相等的角度切入去证AEFC；也可以从两组对边分别相等的切入点予以证明，去证AE=FC，AF=EC．
【活动方略】
教师活动：操作投影仪，组织学生训练，巡视、关注“学困生”的思维，发现好的证明方法．
学生活动：独立思考，应用所学知识切入进行证明，形成分析思路，注意问题转化．踊跃上台演示．
教师活动：在学生充分思考的基础上，请几位不同证明方法的学生上讲台演示，同时纠正书写表达方法．
评析：应用一组对边平行且相等的方法较为简捷，在分析中要善于将未知问题逆推转化成能够解决的熟悉问题．
【设计意图】让学生反复认识，学会分析．
三、随堂练习，巩固深化
1．课本P97“练习” 1，2．
2．【探研时空】
如图，ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足为E、F、G、H分别为AD、BC的中点，求证：EF和GH互相平分．（请用两种不同的证法）．
评析：课本P97“练习2”可以做为平行四边形的又一判定方法．
四、课堂总结，发展潜能
平行四边形判定：
1．边的关系：
2．角的关系：证明两组对角分别相等．
3．对角线的关系：证明两条对角线互相平分．
备注：借助图形来理解，总结．
五、布置作业，专题突破
1．课本P100 习题19．1 4，5，10，12
2．选用课时作业优化设计
六、课后反思
第三课时作业优化设计
【驻足“双基”】
1．在ABCD中，若∠B-∠A=60°，则∠D=________．
2．平行四边形的长边是短边的2倍，一条对角线与短边垂直，则这个平行四边形的各角是__________．
3．如果一个平行四边形的一边长是8，一条对角线长为6，那么它的另一条对角线的长x的取值范围是________．
4．由两个全等三角形用各种不同的方法拼成四边形，在这些拼成的四边形中是平行四边形的个数是（ ）．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．以长为3cm、4cm、6cm的三条线段中的两条为边，另一条为对角线画平行四边形，可以画出不同形状的平行四边形（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．已知：如图ABCD中，DM=BN，BE=DF，求证：四边形MENF是平行四边形．
【提升“学力”】
7．已知：如图，△ABD、△BCE、△ACF都是等边三角形，求证：四边形ADEF是平行四边形．
【聚焦“中考”】
8．（2004年黑龙江省哈尔滨市中考题）如图，已知E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上一点，且CE=DC，连结AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连结OF．求证：AB=2OF．
答案:
1．120° 2．60°，120°，60°，120° 3．10
7．提示：△CEF≌△CBA，∴EF=BA=AD，同理△BDE≌△BAC，DE=AC=AF，∴ADEF
8．连结BE，∵ABCD，∴ABCD，AO=OC，
∵CE=CD，∴ABCE，∴ABEC，
∴BF=FC，∴OFAB，∴AB=2OF．
平行四边形的判定(2)
学法解析
1．认知起点：三角形、平行四边形有关知识．
2．知识线索：
3．学习方式：采用“讲授法”教学，学生以观察、分析、探讨的方式学习．
教学过程
一、回顾交流，归纳提升
【课堂温习】
教师提问：1．平行四边形的定义是什么？
2．平行四边形具有哪些性质？
3．平行四边形是如何判定的？
教师板书：画出一个平行四边形，如下图．（帮助理解）
学生活动：踊跃发言，相互讨论，归纳出平行四边形的性质与判定．
【课堂演练】（教师板书）
演练题：如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，E、F分别为BO、DO的中点．求证：AF∥CE．（请你用两种方法证明）
思路点拨：方法1：证明△AOF≌△COE，推出∠AFE=∠CEF，从而得证AF∥CE．方法2：连结AE，CF，去证明四边形AECF为平行四边形．
教师活动：组织学生完成“演练题”，巡视、关注“学困生”，对于思路较好的学生，请他们完成后再上台演示．教师注意纠正他们的书写．
学生活动：独立完成“演练题”，结合本道题，回顾和应用平行四边形性质，判定．
【师生共识】
构图:
【设计意图】采用先回顾（提问式）平行四边形性质、判定，再通过“演练题”进行实际应用，这样不空洞，且能调动积极性，有利于归纳、提升．
二、问题牵引，导入新知
例4 如图，点D，E分别是△ABC的边AB、AC的中点，求证DE∥BC，且DE=BC．
思路点拨：对于证明某条线段是某条线段的一半，常用的几何方法是“加倍法”，“折半法”，通过三角形全等把问题化归到平行四边形问题中去，然后再利用平行四边形的有关概念、性质来解决．本题可以延长DE到F，使EF=DE，通过连结AF、FC、CD把问题转化到ADCF中去，再根据平行四边形性质证明DBCF．
【活动方略】
教师活动：板书例4，分析并引导学生积极参与．教会学生如何添加辅助线，如何书写辅助线的添加法，然后板书出例4的证明．
学生活动：参与教师分析例4，学会“加倍法”的几何分析思路．
教师板书例4证法：（见课本P98）
教师问题：还有没有不同于课本的证法呢？
学生活动：相互讨论，踊跃发言，想出不同的证法．上讲台演示．
参考证法：
证法：延长DE到F使得EF=DE，连结FC，证△ADE≌△FEC，得到AD=FC（割补法），再利用BDCF证出DBCF，从而得到DF=BC，推出DE=BC，DE∥BC．
能用折半法吗？试一试！
教师活动：归纳学生的不同证法，然后应用例4的结论导入新知：（口述后让学生翻开课本画一画）．
三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．
教师提问：一个三角形有几条中位线？中位线和三角形的中线一样吗？
学生回答：有三条中位线，中位线是两边中点连线段；而中线是顶点和对边中点的连线段，因此它们不同．
【设计意图】采用引例导入，丰富学生的联想，又能从中学会几何不同的证明方法．
三、随堂练习，巩固深化
1．课本P99 “练习”1，2，3．
2．【探研时空】
如图，已知BE、CF分别为△ABC中∠B、∠C的平分线，AM⊥BE于M，AN⊥CF于N，求证：MN∥BC．
（提示：延长AN，AM，证AN=NR，AM=MQ．利用三角形中位线定理可证）．
四、课堂总结，发展潜能
1．三角形中位线定理：三角形两边中点的连线是三角形的中位线；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．三角形的中位线是三角形中一条重要的线段，三角形中位线定理在许多计算及证明中都要用到．
2．把握三角形中位线定理的应用时机：
（1）题目的条件中出现两个或两个以上的线段中点；
（2）题目的条件中虽然只有一个（线段的）中点，但过这点有直线平行于过中点所属线段端点的直线．
3．利用三角形中位线定理，添加辅助线的方法有：
五、布置作业，专题突破
1．课本P100～102 习题19．1 7，8，13，14
2．选用课时作业优化设计
六、课后反思
第四课时作业优化设计
【驻足“双基”】
1．已知△ABC中，AB：BC：CA=3：2：4且AB=9cm，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，则△DEF的周长是________．
2．已知△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F为BC上一点，EF=BC，∠EFC=35°，则∠EDF=________．
3．顺次连结四边形各边中点所得到的四边形是___________．
4．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，CE⊥AD于E，M为BC的中点，AB=14cm，AC=10cm，求ME的长．
【提升“学力”】
5．已知△ABC中，AD⊥BC于D，E、F、G分别是AB、BD、AC的中点，EG＝EF，AD+EF=9cm，求△ABC面积．
6．已知：在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，∠AEB=∠CED．F为BC的中点．求证：AF=DF=（BF+CE）．
【聚焦“中考”】
7．如图，在ABCD中，E、F是对角线AC的两个三等分点，求证：四边形BFDE是平行四边形．
8．已知五边形ABCDE中，AC∥ED，交BE于点P，AD∥BC，交BE于点Q，BE∥CD，求证：△BCP≌△QDE．
答案:
1．13.5cm 2．72.5° 3．平行四边形 4．提示：延长CE交AB于T，2cm
5．提示：AD=2EF，EF=3，AD=6，EG=EF=，BC=9，S=27 5．27cm2
6．提示：延长BE、CD交于G，
如果只证AF=DF，那么过F作AD的垂线即可，
现在要使AF、DF与BE+CE建立起联系，就应进一步观察图形的特点了．
注意到∠AEB=∠CED，CD⊥AD，
因此可通过延长BE、CD交于G，过CE与BE之和成为线段BG，
接下来易见DF为△BCG的中位线，至此，DF与BE+CE的关系已清楚了，
同理可证AF=（BE+CE）．
7．提示：连结DB
8．由AC∥ED，BE∥CD可以推出PCDE，因此可得PC=ED，
再由AC∥ED，BC∥AD得到角∠BPC=∠QED，∠CBP=∠DQE，
根据三角形全等条件可证得．
19.2 特殊的平行四边形
（一）菱形
菱形（1）
学法解析
1．认知起点：已学过平行四边形概念、性质、判定，积累一定的推理方法和经验．
2．知识线索：
现实情境
3．学习方式：观察、分析、合作交流．
教学过程
一、创设情境，操作感知
【活动方略】
活动素材：现实生活中的菱形图片（相片），实物等．
活动方式：分四人小组先在组内交流学生自己收集的有关菱形的图片，实物等．然后进行全班性交流．
活动目标：在教师的引导下，认识菱形，感受菱形的生活价值．
引入定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
【操作感知】
活动教具：活动式木框，如下图:
活动过程：教师拿出平行四边形木框（可活动的），操作给学生看，让学生体会到：平移平行四边形的一条边，使它与相邻的一条边相等，可以得到一个菱形，说明菱形也是平行四边形的特例，因此，菱形也具有平行四边形的所有性质．
【设计意图】让学生收集并在课堂上交流生活中的菱形图片，调动学生的求知欲，激发学生的探究意识，再通过教师的教具操作感受菱形的定义．
二、应用学具，探究新知
【活动方略】
问题牵引：请同学们拿出矩形纸片，对折两次，然后沿课本图19．2-8中虚线剪下，再打开，看一看得到了什么图形？观察这个图形（菱形），它是轴对称图形吗？有几条对称轴？对称轴在什么位置上？你能找出图中相等的线段和角吗？
活动过程：教师使用投影仪，显示“问题牵引”后，和同学们一起进行实践操作，观察剪下来的图形是怎样的图形．实际上，学生很容易发现，剪下的一个图形是菱形．
学生活动：动手操作后发现：菱形是轴对称图形，对称轴就是它对角线所在的直线（两条）．从中利用轴对称图形的性质可和：
菱形性质：（1）菱形的四条边都相等；
（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
教师提问：菱形的面积是怎样求得的呢？能有几种求面积的方法？
学生活动：首先学生想到菱形也是平行四边形，因此，它可以利用菱形的底×菱形的高的方法求得面积，即S=BC·h．（右图）
引导观察：在教师的引导下，学生很快发现菱形的对角线将菱形切成4个全等的直角三角形，以此可推出菱形的面积S=4×Rt△BOA=BD·AC，即菱形面积也可以等于对角线乘积的一半．
【设计意图】充分地应用直观学具的制作，发现菱形所具有的性质，激发课堂学习的热情．
三、范例点击，应用所学
例2 （投影显示）如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（分别精确到0.01m和0.01m2）．
思路点拨：（1）由于花坛是菱形的，要求对角线AC和BD．只要求出BO，AO即可，而BO、AO又都在一个△ABO中，因此，可以通过求出∠ABO=30°，得到AO=AB=10m，即AC=20，再应用勾股定理求出BD值．（2）也可利用等边三角形来解决．
【活动方略】
教师活动：操作投影仪，分析例2，引导学生把问题归结到利用直角三角形ABO或等边三角形ABC中去解决；先分析课本的解题方法，然后再启发学生从等边三角形的知识来求解．
学生活动：参与教师讲例2，提出不同的思路（1）利用直角三角形有关知识．（2）利用等边三角形有关知识．（1）方法见课本；（2）方法：由于菱形ABCD，使得AB=AC，又因为∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，即AC=AB=20m，AO=10m，再应用勾股定理求BO．求得面积S=AC·BD≈346.4（m2）．
【设计意图】
采取启发式教学，发挥学生的潜能，培养一题多解的思想．
【合作交流】
已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，且AC=6，BD=8，求菱形的高.
菱形具有平行四边形的所有性质，S菱表ABCD=BCh．① 而菱形自身的特性使得S菱形ABCD=AC·BD，② 将①②联立可以求出h的值．
【活动方略】
教师活动：制作投影仪，组织学生讨论，请部分学生上台演示．
学生活动：先独立思考，再与同学交流；踊跃上台演示，从中理解两个菱形公式的应用．×6×8＝5×h，h=．
【设计意图】
补充这题题目的思想是对菱形的两个面积公式进行综合应用．
四、随堂练习，巩固深化
【课堂演练】
演练题1：如图，在菱形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，求证：AE=AF．（用两种证法）
思路点拨：本题证法有四种，证法1：利用菱形性质证得∠B=∠D，AB=AD，BE=DF，再运用△ABE≌△ADF（SAS）可以证出AE=AF，证法2：连线AC，证△AEC≌△AFC（SAS）．
【活动方略】
教师活动：板书“课堂演练题”，引导学生一题多证．请部分学生上台“演示”．
学生活动：课堂练习，然后上台演示自己的练习，同伴相互交流．
【课堂演练】
演练题2：课本P108 “练习”1
演练题3：求证：连结菱形四边中点所得的四边形是矩形（要求画出图形，写出已知、求证，并证明）
五、课堂总结，发展潜能
1．菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形．
2．菱形性质：（1）边的性质：对边平行，四条边都相等．
（2）角的性质：对角相等．
（3）对角线的性质：两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
（4）对称性：是轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线．
六、布置作业，专题突破
1．课本P113 习题19．2 5，12
2．选用课时作业优化设计
七、课后反思
第三课时作业优化设计
【驻足“双基”】
1．菱形的两条对角线长分别为16cm，12cm，那么这个菱形的高是_______．
2．已知菱形两邻角的比是1：2，周长是40cm，则较短对角线长是________．
3．菱形的面积为50cm2，一个内角为30°，则其边长为______．
4．菱形一边与两条对角线所构成两角之比为2：7，则它的各角为______．
5．菱形ABCD，若∠A：∠B=2：1，∠CAD的平分线AE和边CD之间的关系是（ ）．
A．相等 B．互相垂直且不平分
C．互相平分且不垂直 D．垂直且平分
6．在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，菱形ABCD面积等于24cm2，AE=6cm，则AB长为（ ）．
A．12cm B．8cm C．4cm D．2cm
【提升“学力”】
7．近几年，城市里流行一种新式的衣帽架，它是用木条构成的几个连续的菱形（如图），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且实用，你能根据形状，说出它的好处和固定方法吗？
【聚焦“中考”】
8．如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，作EF∥BC，交AC于点F，如果EF=4，那么CD的长为（ ）．
A．2 B．4 C．6 D．8
9．已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF．
（1）求证：△ABE≌△ADF．
（2）过点C作CG∥EA，交AF于H，交AD于G，若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC的度数．
答案:
1．9.6cm 2．10cm 3．略 4．40° 140°
5．D 6．C 7．略 8．D 9．（1）略，（2）∠AHC=100°
菱形(2)
学法解析
1．认知起点：已经学行四边形、矩形、菱形等有关知识的基础上，积累了一定的推理经验．
2．知识线索：
3．学习方式：以操作引入，迁移的方式展开学习，采用合作交流的学习方式来解决重点突破难点．
教学过程
一、回顾交流，操作导入
教师提问：
1．菱形的定义是什么？
（一组邻边相等的平行四边形是菱形）
2．菱形具有哪些性质呢？
性质：（1）边的性质：对边平行，四条边都相等；
（2）角的性质：对角相等；
（3）对角线的性质：两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；
（4）对称性：是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线．
学生活动：采用相互提示、回顾并回答的方法，结合图形直观理解．
【课堂演练】（投影显示）
填空
1．菱形的周长为12cm，一个内角等于150°，则它的面积是_____．
（答案：4.5cm2）
2．矩形的一条边长为4cm，面积为20cm2，则这个矩形的一条对角线长为______．
（答案：cm）
3．菱形中较大角是较小角的3倍，高为5cm，则这个菱形边长为______．
（答案：5cm）
【活动方略】
教师活动：操作投影仪，组织学生演练，然后提问个别学生．
学生活动：独立思考，完成填空题，通过训练，达到回忆的目的．
【设计意图】用合作交流的方式复习概念，再通过课堂训练，以练促思．
二、教具演示，观察发现
【问题牵引】
教具：两根一长一短的细木条，钉子、橡皮筋．
操作：教师在两根细木条的中点处固定一个小钉子，做成一个可转动的十字，再将四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形，问：这个四边形是怎样的四边形？（答：平行四边形）．教师继续操作教具，转动木条，问：将木条转成互相垂直的位置，这时这个平行四边形是怎样的平行四边形呢？为什么？
回答：学生观察后回答：因为将木条转成互相垂直后，这个平行四边形两条对角线互相垂直平分，根据线段垂直平分线性质定理，可以得到这个平行四边形一组邻边相等，根据菱形定义，它是菱形．
【形成定理】（教师板书）
菱形判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
【归纳方法】（学生归纳）
菱形的判定方法：
（1）边的关系：是平行四边形，并且有一组邻边相等．
（2）对角线的关系：是平行四边形，并且对角线互相垂直．
三、范例点击，应用所学
例2 如图，ABCD的对角线AC、BD交于O，AB=5，AO=4，BO=3，求证ABCD是菱形．（投影显示）
思路点拨：由于平行四边形对角线互相平分，构成了△ABO是一个三角形，而AB=5，AO=4，BO=3，由勾股定理可知∠AOB=90°，这样可利用菱形判定定理证得．
【活动方略】
教师活动：操作投影仪，分析例2．
讲明分析思路，是利用勾股定理求证∠AOB=90°（板书）
教师活动：补充课堂演练题．组织学生应用知识．
演练题1：如图，在矩形ABCD中，BC=2AB，E是AD上的点，∠BCE=75°，求证：BE=BC.
思路点拨：已知四边形ABCD是矩形，∠BCE=75°，所以∠DEC=75°，∠ECD=15°，以CD为边，在矩形外作∠DCF=60°，这样得到∠F=30°，得到CF=2CD=2AB=BC，∠FCE=∠FEC=75°，只要证四边形BCFE是菱形即可；本题还可以证△BCE≌△FCE来解决．
学生活动：分析、思考，完成演练题1，然后上台演示、交流．
证明：以CD为边在矩形ABCD的外面作∠DCF=60°交AD的延长线于F，
则∠F=30°，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DEC=∠BCE=75°，
∴CF=2CD=2AB=BC．∠DCE=∠DCB-∠ECB=90°-75°=15°，
∴∠ECF=∠ECD+∠DCF=15°+60°=75°．
∴∠ECF=∠FEC=75°，∴EF=CF，∴EF=BC．
又BC=CF．
∴四边形EBCF是菱形．
【设计意图】以例2分析帮助学生理解判定定理的应用，然后教师放手让学生演练，培养学生独立思考能力．
四、随堂练习，巩固深化
1．课本P110 “练习”1，2，3
2．【探研时空】
Rt△ABC，∠A=90°，∠B的平分线交AC于D，自A作BC的垂线交BD于E，自D作DF⊥BC，求证：AEFD为菱形．
（提示：欲证AEFD是菱形，首先证明AEFD是平行四边形，再证它有一组邻边相等）．
五、课堂总结，发展潜能
1．当平行四边形的一组邻边相等时，这个平行四边形是菱形，菱形也是平行四边形特例，它是轴对称图形，它的对称轴是它的对角线所在的直线，因此它有两条对称轴．
2．菱形也具有平行四边形的所有性质，而且由“一组邻边相等”可导出菱形的特殊性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
3．判定一个四边形是菱形的方法有：
（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
六、布置作业，专题突破
1．课本P114 习题19．2 6，7，10，14
2．选用课时作业优化设计
七、课后反思
第四课时作业优化设计
【驻足“双基”】
1．如图所示，四边形ABCD、DEBF都是矩形，AB=BF，AD、BE相交于M，BC、DF交于N，求证：四边形BMDN是菱形．
2．如图所示，菱形ABCD，E、F分别是BC、CD上的点，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=18°，求∠CEF的度数．
【提升“学力”】
3．如图所示，ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD于E，交BC于F，求证四边形AFCE是菱形．
4．求证：连接矩形四边中点的四边形是菱形（要求画出图形，写出已知、求证，证明）
【聚焦“中考”】
5．（2003年吉林省中考题）如图，菱形花坛ABCD的边长为6m，∠B=60°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分的图形的周长（粗线部分）为（ ）．
A．12m B．20m C．22m D．24m
6．（2003年广东省广州市中考题）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC=4，则BD的长为（ ）．
A．8 B．4 C．2 D．8
7．（2004年山西省中考题）如图，过ABCD的对角线交点O作互相垂直的两条直线EG、FH与平行四边形ABCD各边分别相交于E、F、G、H．求证：四边形EFGH是菱形．
8．（2004年贵州省贵阳市中考题）如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，求图中阴影部分面积．
答案:
1．提示：先证BNDM，再证△BFN≌△DCN，得BN=DN 2．∠CEF=18°
3．提示：FG AE，∴AECF，AF∥CE，同理：DE∥BF，∠FGE=90°
4．提示：连接矩形对角线
5．B 6．B
7．提示：证△OBG≌△ODE，推出OE=OG，
同理OF=OH，得平行四边形EFGH，
由EG⊥FH得菱形EFGH 8．2.5
（二）矩形
矩形(1)
学法解析
1．认知起点：已经学习了三角形、平行四边形，积累了一定的经验的基础上学习本节课内容．
2．知识线索：情境与操作→平行四边形→矩形→矩形性质．
3．学习方式：观察、操作、感知其演变，以合作交流的学习方式突破难点．
教学过程
一、联系生活，形象感知
【显示投影片】
教师活动：将收集来的有关长方形图片，播放出来，让学生进行感性认识，然后定义出矩形的概念．
矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．（也就是小学学习过的长方形）．
教师活动：介绍完矩形概念后，为了加深理解也为了继续研究矩形的性质，拿出教具．同学生一起探究下面问题：
问题1：改变平行四边形活动框架，将框架夹角∠α变为90°，平行四边形成为一个矩形，这说明平行四边形与矩形具有怎样的从属关系？（教师提问）
学生活动：观察教师的教具，研究其变化情况，可以发现：矩形是平行四边形的特例，是属于平行四边形，因此它具有平行四边形所有性质．
问题2：既然它具有平行四边形的所有性质，那么矩形是否具有它独特的性质呢？（教师提问）
学生活动：由平行四边形对边平行以及刚才变角∠α为90°可以得到∠α的补角也是90°，从而得到矩形四个角都是直角．
评析：实际上，在小学学生已经学过长方形四个角都是90°，这里学生不难理解．
教师活动：用橡皮筋做出两条对角线，让学生观察这两条对角线的关系，并要求学生证明（口述）．
学生活动：观察发现：矩形的两条对角线相等，口述证明过程是：充分利用（SAS）三角形全等来证明．
口述：∵四边形ABCD是矩形
∴∠ABC=∠DCB=90°，AB=DC
又∵BC为公共边
∴△ABC≌△DCB（SAS）
∴AC=BD
教师提问：AO=_____AC，BO=______BD呢？（，）BO是Rt△ABC的什么线？由此你可以得到什么结论？
学生活动：观察、思考后发现AO=AC，BO=BD，BO是Rt△ABC的中线．由此归纳直角三角形的一个性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半（师生回忆）．
【设计意图】采用观察、操作、交流、演绎的手法来解决重点突破难点．
二、范例点击，应用所学
例1 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长．（投影显示）
思路点拨：利用矩形对角线相等且平分得到OA=OB，由于∠AOB=60°，因此，可以发现△AOB为等边三角形，这样可求出OA=AB=4cm，∴AC=BD=2OA=8cm．
【活动方略】
教师活动：板书例1，分析例1的思路，教会学生解题分析法，然后板书解题过程（课本P104）
学生活动：参与教师讲例，总结几何分析思路．
【问题探究】（投影显示）
如图，△ABC中，∠A=2∠B，CD是△ABC的高，E是AB的中点，求证：DE=AC．
思路点拨：本题可从E是AB的中点切入，考虑应用三角形中位线定理．应用三角形中位线必需找到另一个中点．分析可知：可以取BC中点F，也可以取AC的中点G为尝试．
【活动方略】
教师活动：操作投影仪，引导、启发学生的分析思路，教会学生如何书写辅助线．
学生活动：分四人小组，合作探索，想出几种不同的证法．
证法一：取BC的中点F，连结EF、DF，如图（1）
∵E为AB中点，∴EFAC，∴∠FEB=∠A，
∵∠A=2∠B，∴∠FEB=2∠B．DF=BC=BF，
∴∠1=∠B，∴∠FEB=2∠B=2∠1=∠1+∠2，
∴∠1=∠2，∴DE=EF=AC．
证法二：取AC的中点G，连结DG、EG，∵CD是△ABC的高，
∴在Rt△ADC中，DG=AC=AG，
∵E是AB的中点，∴GE∥BC，∴∠1=∠B．
∴∠GDA=∠A=2∠B=2∠1，
又∠GDA=∠1+∠2，∴∠1+∠2=2∠1，
∴∠2=∠1，∴DE=DG=AC．
【设计意图】
补充这道演练题是训练学生的应用能力，提高一题多解的意识，形成几何思路．
三、随堂练习，巩固深化
1．课本P104 “练习”1，2，3．
2．【探研时空】
已知：如图，从矩形ABCD的顶点C作对角线BD的垂线与∠BAD的平分线相交于点E．求证：AC=CE．
思路点拨：要证AC=CE，可以考虑∠E=∠CAE，AE平分∠BAD，所以∠DAE=∠BAE，因此，从中发现∠CAE=∠DAE-∠DAC．
另外一个条件是CE⊥BD，这样过A作AF⊥BD于F，则AF∥CE，可以将∠E转化为∠FAE，∠FAE=∠BAE-∠FAE．现在只要证明∠BAF=∠DAC即可，而实际上，∠BAF=∠BDA=∠DAC，问题迎刃而解．
四、课堂总结，发展潜能
1．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，因此，矩形是平行四边形的特例，具有平行四边形所有性质．
2．性质归纳：
（1）边的性质：对边平行且相等．
（2）角的性质：四个角都是直角．
（3）对角线性质：对角线互相平分且相等．
（4）对称性：矩形是轴对称图形．
五、布置作业，专题突破
1．课本P112 习题19．2 1，4，9，16
2．选用课时作业优化设计
六、课后反思
第一课时作业优化设计
【驻足“双基”】
1．矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，对角线长是________，两边长分别等于________．
2．矩形周长为36cm，一边中点与对边两顶点的连线所夹的角是直角，则矩形各边长是______．
3．已知矩形ABCD中，O是AC、BD的交点，OC=BC，则∠CAB=_______．
4．如图，矩形ABCD中，E是BC中点，∠BAE=30°，AE=4，则AC=______．
5．如图，矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取上一点M，使AM=AB，则∠MBC=_______．
6．矩形具有一般平行四边形不具有的性质是（ ）．
A．对角相等 B．对角线相等 C．对边相等 D．对角线互相平分
7．如果E是矩形ABCD中AB的中点，那么△AED的面积：矩形ABCD的面积值为（ ）．
A． B． C． D．
8．已知：如图，矩形ABCD中，EF⊥CE，EF=CE，DE=2，矩形的周长为16，求AE的长．
【提升“学力”】
9．如图，矩形ABCD中，DF平分∠ADC交AC于E，交BC于F，∠BDF=15°，求∠DOC、∠COF的度数．
【聚焦“中考”】
10．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、DC上，BF∥DE，若AD=12cm，AB=7cm，且AE：EB=5：2，求阴影部分EBFD的面积．
11．小明爸爸的风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料生产一批形状如图所示的风筝，点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，其中阴影部分用甲布料，其余部分用乙布料，（裁剪两种布料时，均不计余料），若生产这批风筝需要甲布料30匹，那么需要乙布料多少匹呢？
答案:
1．10，5，5 2．6cm，12cm，6cm，12cm 3．30° 4．2 5．15°
6．B 7．C 8．3
9．60°，75°
提示：∠ODC=∠ODE+∠EDC=15°+45°=60°，
∴△ODC是等边三角形，∴∠DOC=60°，
∵OC=CD，CD=CF，∴OC=CF，
又∵∠OCF=90°-60°=30°，
∴∠COF==75°．
10．24cm2 11．30匹
矩形（2）
学法解析
1．认知起点：在学行四边形有关概念、矩形的有关定义性质，积累了一定的推理方法的基础上继续学习本节课内容．
2．知识线索：
3．学习方式：采用知识迁移的手法，通过学生合作交流，探究解决本节课重点，突破难点．
教学过程
一、回顾交流，拓展延伸
【实验观察】
教师活动：拿出教具进行操作，将平行四边形渐变为矩形，然后在渐变的过程中明确判定一个四边形是矩形的第一种方法是通过定义来判定．
判定1：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
教师解释：也就是说：证明一个四边形是矩形可先证这个四边形是平行四边形，然后再证这个平行四边形有一个角是直角．
学生活动：观察教具，回忆学过的矩形定义，深刻理解定义可作为矩形判定的方法之一，并归纳出通俗易记的构架：先证→再证一个Rt△→矩形．
教师活动：出示教具继续操作，探究，提问：当矩形一个角变成90°后，其余三个角同时都变成90°，两条对角线也成为相等的线段，那么这个变形中你们想到了什么呢？能从中得到怎样的启发？
学生活动：观察、联想后，提出各自的见解：
考虑到对角线，因为四边形的两条对角线在保持互相平分的前提条件下，无论怎么伸缩，它们的长度都是相等时，平行四边形将变为矩形．（如图）
判定2：对角线相等的平行四边形是矩形．
教师解释：也就是说，要证明一个四边形是矩形，先证它是平行四边形，再证两条对角线相等．
学生归纳：先证→再证对角线相等→矩形．
学生活动：归纳后，口述证明思路：如上图a，可应用“SSS”证明由△ABC≌△DCB，得∠ABC=∠DCB=90°，由定义知，平行四边形ABCD是矩形．（教师也可以请学生上台“板演”）．
教师活动：组织学生阅读P105第十二行～第十五行的问题，联系生活实际，加深理解矩形判定定理的实际应用．
学生活动：观察课本图形，阅读问题，并与同伴交流，提出自己的看法：测量两组对边长是否分别相等的目的是看看它是否是平行四边形，再测量它们的两条对角线是否相等，目的是看看这个平行四边形是否是矩形．
【动手操作】
教师提问：请同学们按书本中李芳的画图步骤，画出一个四边形，感受一下李芳的判断，发表自己的见解．
学生活动：动手画图，发现李芳的判断是正确的，然后踊跃发表自己的看法，并上台“板演”自己的证明．
证明：如右图，∠BAD=∠ABC=90°，
∴∠BAD+∠ABC=180°，∴AD∥BC．
同理 ∠BAD+∠ADC=180°，∴AB∥DC
∴四边形ABCD是平行四边形，又∠ABC=90°，
∴得到四边形ABCD是矩形．
判定3：有三个角是直角的四边形是矩形．
归纳矩形的判定方法（学生进行）
【矩形判定】（投影显示）
（1）定义：是平行四边形，并且有一个是直角．
（2）角的定义：是平行四边形，并且有三个角是直角．
（3）对角线的关系：是平行四边形，并且两条对角线相等．
【设计意图】
采用直观教具进行观察，通过师生互动，解决重点问题，突破本节课难点．
二、范例点击，应用所学
例（补充材料）
如图，已知在四边形ABCD中，AC⊥DB，交于O、E、F、G、H分别是四边的中点，求证四边形EFGH是矩形．（教师用投影显示题目）．
【活动方略】
先让学生独立思考几分钟，然后教师再提问个别学生，让他讲出证明思路来，如果班上没有学生想的出证明思路，教师再进行启发、引导学生学会分析，找到切入点．
学生活动：独立分析，并拿出课堂笔记本练习．
教师活动：分析例子的证明思路，引导学生利用三角形中位线定理证明四边形EFGH是平行四边形，切入点：凡中点问题都可以考虑用中位线定理，然后再引导学生去证一个角是直角，如证∠HEF=90°．
学生活动：在教师引导下，很快找到△ADC，并知道EH是这个三角形中位线，从而证得EHAC，同理FGAC，∴EHFG．证出四边形EFGH是平行四边形．然后通过AC⊥DB，可证出∠FEH=90°，从而证出四边形EFGH是矩形．
【设计意图】
教师补充一个例题，帮助学生综合地应用几何知识，学会几何分析．
三、随堂练习，巩固深化
1．课本P106 “练习” 1，2
2．【探研时空】
如图，已知AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE，
求证：四边形BCED是矩形．（用两种证法）
（提示：证法1．连结DC，BE，利用先证平行四边形再证DC=BC可得，证法2．从定义出发）
四、课堂总结，发展潜能
判定一个四边形是矩形的方法与思路是：
五、布置作业，专题突破
1．课本P112 习题19．2 3
2．选用课时作业优化设计
六、课后反思
第二课时作业优化设计
【驻足“双基”】
1．矩形一条长边的中点与其对边的两端点的连线互相垂直，已知矩形的周长为24cm，则矩形的面积是_______．
2．如果矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O点，且∠BOC=120°，AB=3cm，那么矩形ABCD的面积为________．
3．下面命题正确的个数是（ ）．
（1）矩形是轴对称图形
（2）矩形的对角线大于夹在两对边间的任意线段
（3）两条对角线相等的四边形是矩形
（4）有两个角相等的平行四边形是矩形
（5）有两条对角线相等且互相平行的四边形是矩形
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
4．矩形的对角线所成的角之一是65°，则对角线与各边所成的角度是（ ）．
A．57.5° B．32.5°
C．57.5°、33.5° D．57.5°、32.5°
5．如图，矩形ABCD中，AF=CE，求证：AECF是平行四边形．
【提升“学力”】
6．如图，在△ABC中，AB=AC，PE⊥AB，PF⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E、D、F，求证：PE-PF=CD．
【聚焦“中考”】
7．已知：如图，矩形ABCD中，AE=DE，BE的延长线与CD的延长线相交于点F，求证：S矩形ABCD=S△BCF．
8．若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，请你求出这个平行四边形的一个最小内角的值等于多少？
9．如图，四边形ABCD中，AC=6，BD=8，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2……如此进行下去得到四边形AnBnCnDn．
（1）证明：四边形A1B1C1D1是矩形；
（2）写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积；
（3）写出四边形AnBnCnDn的面积；
（4）求四边形A5B5C5D5的周长．
答案:
1．32cm2 2．9cm2 3．D 4．D
5．提示：用AF=CE，FC=AE，证AECF，只要证，△ADF≌△CEB，推出DF=BE
6．提示：过C作CM⊥EP，证矩形CMED，得ME=CD，证△CMP≌△CFP，得PM=PF
7．
证法一：在Rt△BAE和Rt△FDE中，
∵∠BAE=∠FDE=90°，AE=DE，∠AEB=∠DEF，
∴△BAE≌△FDE，∴AB=DF，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∴FC=2AB．
∴S=×BC×FC=BC·AB．
∵S矩形ABCD=BC·AB，∴S矩形ABCD=S△FBC；
证法二：∵∠BAE=∠FDE=90°，AE=DE．∠AEB=∠DEF，
∴△BAE≌△FDE．∴S△BAE = S△FDE，
∵S△FBC = S△FDE +S四边形BCDE，
∵S矩形ABCD=S△BAE+S四边形BCDE，
∴S矩形ABCD= S△BCF．
8．30°
9．（1）提示：用三角形中位线；（2）12，6；（3）24×；（4）
（三）正方形
正方形(1)
教学过程：
创设问题情境，搭建研究平台
在小学学过的平行四边形、矩形、菱形、正方形这些特殊的四边形中，我们已学了平行四边形、矩形、菱形的定义、性质和判定，而正方形还没有研究过，根据小学学过的正方形的知识，同学们能说出它的哪些性质？
正方形四条边相等；正方形四个角是直角；正方形的面积等于边长的平方；正方形是轴对称图形，也是中心称图形。
生活中有很多地方用到正方形，我们感到正方形很熟悉，但对已学过的平行四边形，矩形、菱形比较，对正方形还没有深入地研究，同学们不想知道它其中的奥妙吗？
讲授新课
把平行四边形的一个角变成直角，再移动一条短边，让一组邻边相等，此时平行四边形变成一个正方形的变化的全过程；同时再展现先移动一条短边，截成一组邻边相等的平行四边形，而把一个角变成直角，此时平行四边形变成正方形。
请同学们给出正方形的定义：
一组邻边相等的矩形叫做正方形；一个角为直角的菱形叫做正方形；一组邻边相等且有一个角为直角的平行四边形叫正方形。
我们从它的定义可以发现，正方形是特殊的矩形，即邻边相等的矩形；也是特殊的菱形，即有一个角是直角的菱形；而矩形、菱形又是特殊的平行四边形，所以正方形也是特殊的平行四边形，即一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形。
做一做：把一个长方形纸片如图那样折一下，即可折出一个正方形纸片。请你说明其中的道理。
学生活动：通过折叠裁剪，得出正方形，并观察其图形特征，明白制作原理：邻边相等的矩形是正方形。
类比平行四边形、矩形、菱形、的性质我们来研究正方形的性质，可以从正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形入手，分别从边、角、对角线三个方面进行归纳总结。
学生活动：（讨论后发现）
边：正方形四条边都相等；对边平行；
角：正方形四个角都是直角；
对角线：正方形两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
由此发现正方形的性质概括了平行四边形、矩形、菱形关于边、角、对角线的全部性质。在利用这些性质解决问题时，要根据需要选择相应的结论，做到“对症下药”。
应用举例：
【例4】求证正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形。
师生共析：因为是正方形，所以两条对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角。平分可以产生线段等量关系和角的等量关系，垂直可以产生直角，于是可以得到四个全等的等腰直角三角形。
已知：如图四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相互交于点O。
求证：△ABO.△BCO.△CDO.△DAO是全等的等腰直角三角形.
证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AC﹦BD,AC⊥BD
∴AO＝BO＝CO＝DO.
∴△ABO.△BCO.△CDO.△DAO都是等腰直角三角形.
并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO 。
拓展讨论：
图中有多少个等腰直角三角形。
正方形ABCD有多少条对称轴？请分别写出这些对称轴。
解析：图中共有八个等腰直角三角形，它们分别是△ABO、△BCO、△CDO、△DAO、△ABD、△BCD、△ABC、△ADC。且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO；△ABD≌△BCD≌△ABC≌△ADC。
连接正方形对边中点的连线是对称轴，这样的对称轴有两条；两条对角线也分别是正方形的对称轴，所以正方形共有四条对称轴。这进一步体现了它既有矩形的性质，同时也具有菱形的性质。
补充题：已知如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是E、F。
求证：DECF是正方形。
证明：DE⊥AC ∠DEC=90°
DF⊥BC ∠DFC=90° 四边形DECF是矩形
∠ACB=90°
CD平分∠ACB
DE⊥AC DE=DF
DF⊥BC
四边形DECF是正方形
随堂练习
课本 P112练习2
课时小结
图 形性 质 平行四边形 矩形 菱形 正方形
对边平行且相等
四条边都相等
对角相等
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线互相垂直
对角线相等
每条对角线平分一组对角
五、课后作业 习题19·2 7、8、13。
正方形(2)
教学过程：
创设问题情景，引入新课
我们学行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？请填入下图中。
通过填写让学生形象地看到正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，还是特殊的平行四边形；而正方形、矩形、菱形都是平行四边形；矩形、菱形都是特殊的平行四边形。
1、怎样判断一个四边形是矩形？
2、怎样判断一个四边形是菱形？
3、怎样判断一个四边形是平行四边形？
4、怎样判断一个平行四边形是矩形、菱形？
议一议：你有什么方法判定一个四边形是正方形？
二、讲授新课
1、探索正方形的判定条件：
学生活动：四人一组进行讨论研究，老师巡回其间，进行引导、质疑、解惑，通过分析与讨论，师生共同总结出判定一个四边形是正方形的基本方法。
（1）直接用正方形的定义判，即先判定一个四边形是平行四边形，若这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，那么临就可以判定这个平行四边形是正方形；
（2）先判定一个四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形，那么这个四边形是正方形；
（3）先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形，那么这个四边形是正方形。
后两种判定均要用到矩形和菱形的判定定理。矩形和菱形的判定定理是判定正方形的基础。这三个方法还可写成：有一个角是直角，且有一组邻边相等的四边形是正方形；有一组邻边想的相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形。
上述三种判定条件是判定四边形是正方形的一般方法，可当作判定定理用，但由于判定平行四边形、矩形、菱形的方法各异，所给出的条件各不相同，所以判定一个四边形是不是正方形的具体条件也相应可作变化，在应用时要仔细辨别后才可以作出判断。
2、正方形判定条件的应用
【例1】判断下列命题是真命题还是假命题？并说明理由。
四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；
四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；
对角线互相垂直平分的四边形是正方形；
对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。
师生共析：
是真命题。因为四条边相等的四边形是菱形，又四个角相等，根据四边形内角和定理知每个角为90°，所以由有一个角是直角的菱形是正方形可以判定此命题是真命题。
真命题。四个角相等可知每个角都是直角，是矩形，由对角线互相垂直可判定这个矩形是菱形，所以根据是矩形又是菱形的四边形是正方形，可判定其为真。
假命题。对角线平分的四边形是平行四边形，对角线垂直的四边形是菱形，所以它不一定是正方形。如下图，满足AO=CO，BO=DO且AC⊥BD但四边形ABCD不是正方形。
假命题。它可能是任意四边形。如上图，AC⊥BD且AC=BD，但四边形ABCD不是正方形。
真命题。
方法一，对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线垂直的平行四边形是菱形，所以是矩形又是菱形的四边形是正方形。可判定其为真。
方法二，对角线平分 平行四边形
对角线垂直
平行四边形
对角线相等
方法三，由对角线互相垂直平分可知是菱形，由对角线平分且相等可知是矩形，而既是菱形又是矩形的四边形就是正方形。
总结：通过辨析，掌握判定正方形的各种方法和思路，从题中所给各种不同条件出发寻找命题成立的判定依据，以便灵活应用。
【例2】如下图E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF=45°，试说明EF=BE+DF。
师生共析：要证EF=BE+DF，如果能将DF移到EB延长线或将BE移到FD延长线上，然后证明两线段长度相等。此时可依靠全等三角形来解决。
像这种在EB上补上DF或在FD补上BE的方法叫做补短法。
解：将△ADF旋转到△ABC，∠∠∠∠∠△
则△ADF≌△ABG
∴AF=AG，∠ADF=∠BAG，DF=BG
∵∠EAF=45°且四边形是正方形，
∴∠ADF﹢∠BAE=45°
∴∠GAB﹢∠BAE=45°
即∠GAE=45°
∴△AEF≌△AEG（SAS）
∴EF=EG=EB﹢BG=EB﹢DF
【例3】画一个正方形，使它的对角线长为30，并说明画法的依据。
画法：1、画线段=30cm，取AC的中点O。
2、过点O画AC的垂线，并分别在AC的两侧取OB=OD=15cm。
3、连结AB﹑BC﹑CD﹑DA.
则四边形ABCD就是所要画的正方形.
证明：∵AO=CO,BO=DO
四边形ABCD是平行四边形。
又∵AC=BD, ∴平行四边形ABCD是矩形。
∵AC⊥BD
∴平行四边形ABCD是菱形。
∴四边形ABCD是正方形（四边形既是矩形又是菱形，则四边形是正方形）。
说明:由学生分析画法,在证明过程中让学生逐一说出判断理由,以加深对正方形的判定方法的认识.
三、随堂练习 课本P112练习3。
通过练习进一步巩固正方形的判定方法的应用。
四、课时小结
师生共同总结，归纳得出正方形的判定方法，同时展示下图，通过直观感受进一步加深理解正方形判定方法的应用。
五、课后作业
习题19·2 14，15，16，17。
补例、如图，在正方形ABCD的BC、CD边上取E、F两点，使∠EAF=45°，AG⊥EF于G. 求证：AG=AB
解析：欲证 AG=AB，就图形直观来看，应证Rt△ABE与Rt△AGE全等，但条件不够.
∠EAF=45°怎么用呢？显然∠1＋∠2=45°，若把它们拼在一起，问题就解决了.
证明：把 △AFD绕A点旋转90°至△AHB.
∵∠EAF=45°，∴∠1＋∠2=45°.
∵∠2=∠3，∴∠1＋∠3=45°.
又由旋转所得 AH=AF，AE=AE.
∴ △AEF≌△AEH.
19.3 梯形
梯形（一）
一、创设问题情境，引入新课
前面我们探讨的四边形都是平行四边形，请同学们回忆什么样的四边形是平行四边形？平行四边形有哪些性质？
两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
平行四边形的性质：边：两组对边分别平行且相等。
角：两组对角分别相等。
对角线：互相平分。
梯子、跳箱、堤坝的横截面都给人以梯形的印象。什么样的图形是梯形呢？能画出一个梯形吗？让学生动手画梯形，同时引入新课。
二、讲授新课
问题：请大家根据刚才的画图，给梯形下一个定义。（让学生在不断的探讨中完善梯形的定义。）
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。
问题：“一组对边平行且不等的四边形是梯形”，对吗？为什么？（让学生在思考中锻炼逻辑思考能力）
让学生直观认识梯形中的有关元素：上、下底，腰、高。
梯形中平行的两边叫梯形的底，上下底是以平行两边的长短来区分的，而不是指两边的位置，较短的底叫上底，较长的底叫下底。
不平行的两边叫梯形的腰。
夹在两底间的垂线段叫梯形的高。
如图，梯形中ABCD中，AD∥BC上底是AD，下底是BC，腰是AB。CD，线段AE是梯形ABCD的高。观察下列框架图，体会平行四边形与梯形的联系与区别。
问题：如图（1）、（2），在（1）中：四边形ABCD的AD∥BC，ABCD,且CD⊥BC；在（2）中，四边形ABCD的AD∥BC，且AB＝CD。请你给四边形命名。
学生答后，分析，图（1）中，CD⊥BC可以推出CD⊥AD，所以CD就是梯形的高。当CD⊥BC时，另一腰AB就不能和BC垂直了。因为若AB⊥BC，那么四边形ABCD就成为矩形了；图（2）中AB=CD，但AD≠BC，否则四边形ABCD就成为平行四边形了，而不是梯形，直角梯形和等腰梯形都是特殊的梯形。
问题：观察图（3）中的等腰梯形ABCD，猜猜看它有哪些特殊的性质？想办法证明你的猜想。
让学生通过自己的思考，探索、交流去发现它的角、边、对角线的关系、对称性，有困难的学生，教师给以及时的引导，同时鼓励学生证明多样化。
∠ABC=∠DCB ,∠BAD=∠CDA即等腰梯形的底角相等。
证法一：如下图把腰AB平移到DE位置，即AB平行且等于DE，所以，四边形ABCD是平行四边形，同时△DEC是等腰三角形。
于是有：AB=DE=CD,
AD=BE,
∠B=∠DEC=∠C=∠ADE
∠A=∠BED=∠CDA
也就是说等腰梯形的底角相等。
证法二：如下图过A、D分别作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，
∵AD∥BC
∴AE=DF
又AB=CD
Rt△AEB≌Rt△DFC
∠B=∠C, ∠BAE=∠CDF
∠BAE+90=∠CDF+90
即∠BAD=∠CDA
所以等腰梯形的底角相等。
总结：解决梯形问题时可以平移其中一腰转化为三角形问题或平行四边形问题求解，也可以作梯形的高，构造直角三角形求解。
AC=BD即等腰梯形的对角线相等。
证明：如下图
由AB=CD,BC=BC, ∠ABC=∠DCB可得出△ABC≌△DCB可以再推出AC=BD
用折纸的方法可以确认等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是过两底中点的连线所在的直线。
也可以借助等腰三角形的轴对称性加以证明。做法如下：
延长相交于点，易证都是等腰三角形，则，所在直线是两个等腰三角形，的对称轴，由轴对称图形可知，也是等腰梯形的对称轴，因此等腰梯形是轴对称图形。
应用举例：
如下图，延长等腰梯形ABCD的腰BA与CD，相交于点E，求证△EBC和△EAD是等腰三角形。
证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠B=∠C
∴△EBC是等腰三角形。
∵AD∥BC
∴∠1=∠B
∠2=∠C
∴∠1=∠2
∴△EAD是等腰三角形。
三、随堂练习
课本P119练习1、2
四、课时小结
1、梯形的定义及分类：
2、等腰梯形的性质
（1）具有一般梯形的性质：一组对边平行
（2）两腰相等
（3）同底上的两底角相等
（4）是轴对称图形，对称轴是通过上下底中点的直线
（5）两条对角线相等，两条对角线的交点在对称轴上，两腰延长线的交点也在对称轴上。
五、课后作业
1、习题19·3 1、2、6、9
2、预习梯形的判定及应用。
梯形（二）
创设问题情景,引入新课.
上节课,我们研究了梯形,并且研究了特殊的梯形—等腰梯形的概念及其性质,请同学们说出什么样的梯形是等腰梯形 两腰梯形有什么性质
（学生讨论）等腰梯形是特殊的梯形,所以它具有梯形的性质,它还具有下列一般梯形所不具备的性质.同一底上两个内角相等；对角线相等；是轴对称图形.
下面请同学们来做一做(老师播放课件,学生进行画、讨论、总结)
在下图中的每个三角形中画一条线段.
怎样画才能得到一个梯形
在哪些三角形中,能够得到一个等腰梯形呢
因为梯形的上、下两底平行且不相等，所以只要在三角形的两边上各找一点，使这两点的连线平行于第三边即可得到梯形。
第（2）（3）个三角形中能够得到一个等腰梯形。在等腰三角形的两腰上分别找一点，使这两点的连线平形于等腰三角形的底边即可得到一个等腰梯形。
说得太好了，这节课，我们就来探讨等腰梯形的判定。
二、讲授新课
受刚才做图的启发：只有等腰三角形才能得到等腰梯形。请同学们靠虑下面的问题。
议一议：
“在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形”这个命题成立吗？能否加以证明。
学生活动：
（通过想一想，试一试，议一议。做一做的小活动，初步懂得添加辅助线的一般方法，学会将梯形问题转化为平行四边形、矩形、等腰三角形来处理）
证法一:如图延长BA.CD相交于点E.
∵∠B＝∠C（三角形中等角对边等）
∴BE＝CE.
∵四边形ABCD是梯形,
∴AD∥BC.
∴∠EAD＝∠B,∠EDA＝∠C.
即AB＝CD,
∴梯形ABCD是等腰梯形.
证法二: 如图将CD平移到AE位置.
此时四边形AECD是平行四边形.
则AE∥CD且AE＝CD,
∴∠AEB＝∠C.
又∵∠B＝∠C,
∴∠B＝∠AEB.
∴AB＝AE.（三角形等角对边等）
∴AB＝CD.
因此梯形ABCD是等腰梯形.
证法三: 如图作梯形ABCD的高AE、DF分别交于BC于E、F.
∵梯形上、下底平行,即AD∥BC,
∴AE＝DF.（夹在平行线间的垂线段相等）
又∵∠AEB＝∠DFC＝90°,∠B＝∠C,
∴△ABE≌△DCF.
∴AB＝DC
∴梯形ABCD是等腰梯形.
通过活动，同学的说理能力以有了很大提高。由此我们也得到等腰梯形的两种判定方法。
两腰相等的梯形是等腰梯形。
同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。
应用举例：
【列2】如下图,梯形ABCD中,BC∥AD,DC∥AB.DE＝DC,∠A＝100°,求梯形其他三个内角的度数.
师生共析：
梯形上、下底平行,可以由同旁内角互补求得∠B=80°
可想办法证明梯形ABCD是等腰梯形,从而解决∠C和∠ADC的问题.
解:∵BC∥AD,DE∥AB,
∴四边形ABED是平行四边形.
∴AB=DE.
又DE=DC
∴AB=DC.
梯形ABCD是等腰梯形,
∴∠C=∠B=180°-∠A=80°,
∠D=∠A=100°.
补充题:画一个等腰梯形,使它的上.下底分别为4cm和10cm,高为3cm.
分析:假设等腰梯形ABCD已画出,如下图,作出高AE和DF,可证得Rt△ABE Rt△DCF,所以EF=AD=4cm,BE=CF==3cm.于是可先画出Rt△ABE,进而确定点C,过A作AD∥BC,使AD=4cm,可确定D,连接DC,即可确定等腰梯形ABCD.
画法：（1）画Rt△ABE使∠AEB=90°,AE=3cm,BE=3cm.
（2）延长BE到C使BC=10cm.
（3）过A作AM∥BC,且使BC、AM在AB的同旁,在AM上截取AD=10cm.
（4）连接DC,则梯形ABCD就是所要画的等腰梯形.（如图）
（还可以启发学生思考、讨论,得多种画法）
如左下图,平行移动一腰AB到DF,可在Rt△CDF中算出腰CD的长,CD=（cm）,因此可先画出等腰△DCE,从而画出等腰梯形ABCD；又如右下图利用等腰梯形轴对称图形,且对称轴是连结上、下两底中点的线段所在的直线.因此可以先画梯形ABEF使EF=3cm,EF⊥BE,BE=6cm,AF∥BE.然后利用轴对称性画出等腰梯形ABCD.
三、随堂练习
1;课本P119练习3,4.
2,参看列1:证法三.
2,画法:参看补充题.
腰长=
周长=2
面积=
2、补充练习.
(1)等腰梯形与等腰三角形有哪些联系
有两各内角是70得梯形一定是等腰梯形 为什么
四、课时小结
（与学生共同梳理、总结梯形的判定方法及添加辅助线的解决有关梯形问题的常用方法）
等腰梯形的判定方法:
(1)两腰相等
(2)同底上的两个角相等
梯形的画法：画出符合条件的梯形,通常先要“分析”,借助铺线找出可以画出的部分图形(等腰三角形,直角三角形等).
梯形中常用的四种辅助线的添法(如下图):
五、课后作业
习题19.3 3、4、5、7、8、10.
19.4 课题学习 重心
一、操作感知，寻求方法
【引入概念】
教师操作：拿出一块准备好的木板（四边形）找到一点，用一个手指顶住这一点，木板会保持平衡，告诉学生这一点就是这个几何图形的重心．
教师活动：提出一些常见的几何图形，如：线段、三角形、四边形等的重心在哪个位置上呢？大家一起来探讨．
教师教具：均匀的木条、规则四边形：正方形、长方形、菱形、一般平行四边形等硬纸片；三角形、五边形硬纸片；钉子，细绳，小重物，刻度尺等．
【活动方略】
问题1：寻找线段的重心．
学生活动：出示学具：一根均匀的木条，去找这条木条的平衡点．（分四人小组讨论）．
小组活动：
（1）用刻度尺量出平衡点的位置，相互比较．
（2）从相互比较中得出线段的重心：线段的重心就是线段的中点．
教师活动：巡视，并和学生共同试验，发现问题，最后归纳．
问题2：寻找平行四边形的重心．
学生活动：分四人小组，拿出各自的学具探索，相互比较．
小组活动：
（1）用一个手指顶住一块均匀的正方形硬纸片，寻找平衡点；
（2）互相交流后，找到平行四边形重心是对角线的交点O．（如图）
（3）由于矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，可以发现它们的重心也都在它们对角线的交点上．
归纳小结：平行四边形的重心是它的两条对轴线的交点．
问题3：寻找三角形的重心．
学生活动：分四人小组，拿出各自的学具探索、发现问题．
小组活动：
（1）在一块质地均匀的三角形硬纸板的每一个顶点处钉一个小钉作为悬挂点．
（2）用下端系有小锤的细线缠绕在一个小钉上，然后吊起硬纸片，记录垂线的“痕迹”；
（3）在另一个小钉上重复（2）的活动，找到两条铅垂线的交点（记为O）
（4）在第三个小钉上重复（2）的活动，观察第三条铅垂线经过点O，三条铅垂线和对边的交点D、E、F分别在对边中点，点O就是三角形的重心．（如图）．
归纳小结：三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心．
问题4：寻找任意多边形的重心．
学生活动：拓展，应用上面的问题3的方法去找任意五边形的重心．
教师活动：对本节课寻找重心的问题进行归纳．
二、课堂总结，发展潜能
通过本节课内容的学习，得到下面的结论：
1．线段的重心点在这条线段的中点上；
2．平行四边形、矩形、菱形、正方形的重心是在它们对角线交点上；
3．三角形的重心是在这个三角形三条中线的交点上．
三、拓展思维，继续发现
问题1：请你画出下面三角形的重心，然后用刻度尺量一量这个重心到顶点与这个顶点对边的中点的关系，与同伴交流．
学生活动：分四人小组进行探索、得到规律是它们的关系是2：1，（可多画几块三角形探究）．
四、布置作业，丰富思维
1．课本P126 “数学活动” P126～P127 活动题 P131 复习题 1，2，3，4，5，12
2．选用课时作业优化设计
五、课后反思
课时作业优化设计
【驻足“双基”】
1．ABCD的周长为60cm，对角线交于O，△AOB的周长比△BOC的周长长8cm，则AB、BC的长是_______．
2．矩形两条对角线的夹角为60°，较短的边长3.6cm，则对角线长为_______．
3．菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠ABC=120°，如果AB=26cm，则DO=_____cm．
4．如果M是ABCD中BC边的中点，且MA=MD，那么ABCD是（ ）．
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．一般的平行四边形
5．梯形ABCD中，AD∥BC，AE∥DC交BC于点E，如果△ABE的周长为20cm，AD=4cm，那么梯形ABCD的周长为（ ）．
A．24cm B．28cm C．32cm D．36cm
【提升“学力”】
6．如图，在四边形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，BD=AC，BD和AC相交于点O，MN分别与AC、BD相交于E、F，求证：OE=OF．
7．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于O，∠BAC的平分线交BD于F，交BC于E，求证：CE=2OF．
【聚焦“中考”】
8．如图，平行四边形ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠CDA的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，在不添加其他条件的情况下，试写出一个由上述条件推出的结论，并给出证明过程（要求：推理过程中用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件）．
9．已知四边形ABCD中，AB=DC，AC=BD，试探索四边形ABCD可能是什么形状的四边形，并证明你的结论．
答案：
1．19cm，11cm 2．7.2cm 3．13 4．B 5．B
6．提示：分别取AB中点G，连结MG、NG，利用三角形中位线性质可证
7．提示：取AE中点G，得△AEC的中位线OG，再通过角的关系证∠OGF=∠OFG
8.提示：解答本题要看清题目的“在不添加其他条件的情况下，试写出一个由上述条件推出的结论，并给出证明过程”，以及“（要求）”，由题设条件可以得出诸如△APB是直角三角形，△ABP≌△DMC，△ADQ≌△CBN，以及四边形PQMN是矩形等，读者只要写出一个即可．
9.如增加AD=BC．可得出四边形是矩形；增加AD≠BC，四边形是等腰梯形，增加AC垂直平分BD，则这个四边形是正方形．
菱 形
正方形
矩 形