北师大版九年级上册数学第二章　一元二次方程素养拓展+中考真题课件（63张PPT)

第二章　一元二次方程
数学·九年级上册·北师
专题1 利用一元二次方程的根求代数式的值
专项素养拓训
1.若x=-1是关于x的一元二次方程ax2+bx-2=0(a≠0)的一个根,则代数式2 020+b-a的值为 (　 　)　　　　　　　　　　　 　　　　　
A.2 017 B.2 018
C.2 019 D.2 020
答案
1.B　【解析】　把x=-1代入一元二次方程ax2+bx-2=0,得a-b-2=0,所以b-a=-2,所以2 020+b-a=2 020-2=2 018.故选B.
2.若α是方程x2-5x+1=0的一个根,求α2+1????2的值.
?
答案
2.【解析】　由题意得,α2-5α+1=0,则α≠0.
α2-5α+1=0两边同除以α,得α-5+1????=0,
所以α+1????=5,两边同时平方,得(α+1????)2=25,
所以α2+1????2+2=25,所以α2+1????2=23.
?
3.已知m是方程x2+x-1=0的一个根,求代数式(m+1)2+(m+1)(m-1)的值.
答案
3.【解析】　把x=m代入方程,得m2+m-1=0,
∴m2+m=1,
∴(m+1)2+(m+1)(m-1)
=m2+2m+1+m2-1
=2(m2+m)
=2,
即代数式(m+1)2+(m+1)(m-1)的值为2.
专题2 根的判别式的应用
专项素养拓训
4.关于x的一元二次方程x2=(a+1)x的根的情况是 (　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A.一定有两个实数根
B.一定有两个不相等的实数根
C.一定没有实数根
D.不能确定
答案
4.A　【解析】　∵方程可变形为x2-(a+1)x=0,∴Δ=(a+1)2≥0,∴方程一定有两个实数根.故选A.
类型1　利用根的判别式判断一元二次方程根的情况
5.[2019江苏镇江市江南学校段测]已知:关于x的方程x2+2mx+m2-1=0.
(1)不解方程,判断方程根的情况;
(2)若方程有一个根为3,求m的值.
答案
5.【解析】　(1)∵Δ=(2m)2-4(m2-1)=4>0,
∴无论m为何值,方程总有两个不相等的实数根.
(2)将x=3代入原方程,得9+6m+m2-1=0,
整理,得(m+2)(m+4)=0,
解得m1=-2,m2=-4,
∴m的值为-2或-4.
类型1　利用根的判别式判断一元二次方程根的情况
6.[2019湖北黄冈黄州区模拟]某超市销售一种饮料,平均每天可售出100箱,每箱利润为120元.为了扩大销量,尽快减少库存,超市准备适当降价.据测算,若每箱降价2元,则每天可多售出4箱.
(1)如果要使每天销售该饮料获利14 000元,那么每箱应降价多少元.
(2)每天销售该饮料的获利能达到14 500元吗?若能,则每箱应降价多少,若不能,请说明理由.
类型2　根的判别式的实际应用
答案
6.【解析】　(1)设每箱应降价x元,
依据题意列方程,得(120-x)(100+2x)=14 000,
解得x1=20,x2=50.
∵为了扩大销量,尽快减少库存,∴x=50.
答:每箱应降价50元,可使每天销售该饮料获利14 000元.
(2)每天销售该饮料的获利不能达到14 500元.理由如下:
由题意得(120-x)(100+2x)=14 500,
整理得x2-70x+1 250=0,
∵Δ=702-4×1 250<0,∴此方程无实数根,
故该超市每天销售这种饮料的获利不能达到14 500元.
类型2　根的判别式的实际应用
专题3 一元二次方程与其他知识的综合
专项素养拓训
7.已知a,b,c是△ABC的三边长,且关于x的方程x2+2(a-b)x-(a2+b2-c2)2=0有两个相等的实数根,则△ABC是 (　 　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.锐角三角形
答案
7.C　【解析】　根据题意,得Δ=4(a-b)2+4(a2+b2-c2)2=0,∴(a-b)2+(a2+b2-c2)2=0,∴a-b=0且a2+b2-c2=0,即a=b且a2+b2= c2, ∴△ABC为等腰直角三角形.故选C.
类型1　一元二次方程与三角形的综合
8.已知a,b,c分别是三角形的三边长,则关于x的一元二次方程(a+b)x2+2cx+(a+b)=0的根的情况是 (　 　)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.可能有且只有一个实数根
D.没有实数根
答案
8.D　【解析】　方程的根的判别式Δ=(2c)2-4(a+b)(a+b)=4c2-4(a+b)2=4(c+a+b)(c-a-b).∵a,b,c分别是三角形的三边长,∴a+b>c,c+a+b>0,∴c-a-b<0,∴Δ<0,∴方程没有实数根.故选D.
类型1　一元二次方程与三角形的综合
9.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两实数根.等腰三角形ABC的一边长为7,若x1,x2恰好是△ABC另外两边的长,求△ABC的周长.
答案
9.【解析】　①当7为底边长时,方程x2-2(m+1)x+m2+5=0有两个相等的实数根,
∴Δ=4(m+1)2-4(m2+5)=0,解得m=2,
∴方程为x2-6x+9=0,解得x1=x2=3.
∵3+3<7,∴不能构成三角形.
②当7为腰长时,设x1=7,代入方程得49-14(m+1)+m2+5=0,解得m1=10,m2=4,
当m=10时,方程为x2-22x+105=0,解得x1=7,x2=15,
∵7+7<15,∴不能构成三角形;
当m=4时,方程为x2-10x+21=0,解得x1=3,x2=7,
此时能构成三角形,△ABC的周长为7+7+3=17.
综上,△ABC的周长为17.
类型1　一元二次方程与三角形的综合
10.若关于x的一元二次方程x2-2x+kb+1=0有两个不相等的实数根,则一次函数y=kx+b的大致图象可能是 (　 　 )
答案
10.B　【解析】　由x2-2x+kb+1=0有两个不相等的实数根,可得Δ=4-4(kb+1)>0,解得kb<0,则k,b异号,结合选项可知符合条件的图象只有B项.故选B.
类型2　一元二次方程与一次函数的综合
11.[2019贵州安顺中考]安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果,计划以每千克60元的价格销售.为了让顾客得到更大的实惠,现决定降价销售,已知这种干果销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)商贸公司要想获利2 090元,则这种干果每千克应降价多少元?
类型2　一元二次方程与一次函数的综合
答案
11.【解析】　(1)设一次函数关系式为y=kx+b,
当x=2时,y=120;当x=4时,y=140,
∴2????+????=120,4????+????=140,解得????=10,????=100,
∴y与x之间的函数关系式为y=10x+100.
(2)由题意得,(60-40-x)(10x+100)=2 090,
整理得x2-10x+9=0,
解得x1=1,x2=9.
为让顾客得到更大的实惠,∴x=9.
答:商贸公司要想获利2 090元,这种干果每千克应降价9元.
?
类型2　一元二次方程与一次函数的综合
12.如图1,为美化校园环境,某校计划在一块长为60 m、宽为40 m的长方形空地上修建一个长方形花圃,并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道,设通道的宽为a m.
(1)花圃的面积为　 　m2;(用含a的式子表示)?
(2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的38,求此时通道的宽;
(3)已知某园林公司修建通道、花圃的造价y1(元)、y2(元)与修建面积x(m2)之间的函数关系如图2所示,如果学校决定由该公司承建此项目,并要求修建的通道的宽度不少于2 m且不超过10 m,那么通道的宽为多少时,修建通道和花圃的总造价为105 920元?
?
类型2　一元二次方程与一次函数的综合
答案
12.【解析】　(1)(4a2-200a+2 400)
由题意,得花圃的面积为(60-2a)(40-2a)=(2 400-200a+4a2)(m2).
(2)根据题意,得4a2-200a+2 400=60×40×58,
解得a1=5,a2=45(不符合题意,舍去).
答:此时通道的宽为5 m.
(3)当a=10时,花圃的面积为(60-2×10)×(40-2×10)=800(m2),
∴花圃的面积最少为800 m2.
根据题中图象可设y1=mx,y2=kx+b(x≥800),
将(1 200,48 000)代入y1=mx,
得1 200m=48 000,解得m=40,∴y1=40x.
将(800,48 000),(1 200,62 000)代入y2=kx+b,
?
类型2　一元二次方程与一次函数的综合
答案
得800????+????=48?000,???1?200????+????=62?000,解得????=35,??????????????=20?000,
∴y2=35x+20 000(x≥800).
∵花圃的面积为(4a2-200a+2 400)m2,
∴通道的面积为2 400-(4a2-200a+2 400)=(-4a2+200a)(m2),∴35(4a2-200a+2 400)+20 000+40(200a-4a2)=105 920,
解得a1=2,a2=48(不符合题意,舍去).
答:通道的宽为2 m时,修建通道和花圃的总造价为105 920元.
?
类型2　一元二次方程与一次函数的综合
综合素养拓训
　　方程的学习就是一个建模的过程,从一元一次方程到二元一次方程,再到本章学习的一元二次方程,都是先从实际问题引入,从中抽象出数学问题,经过逻辑推理,转化为方程问题,进而形成方程知识体系,完成建模.例如第2题,利用方程建立模型,再通过解方程找出符合条件的方案,强化逻辑推理、数学抽象等核心素养.
1.[整体法求代数式的值]已知实数x满足x2+1????2+x+1????=0,则x+1????的值是　 　.?
?
答案
1.-2　【解析】　因为x2+1????2+x+1????=0,所以(x+1????)2+(x+1????)-2=0,解得x+1????=1或-2.当x+1????=1时,x2-x+1=0,Δ=1-4<0,方程无解,所以x+1????=-2.
?
2.[一元二次方程与方案设计]要在一块长16 m、宽12 m的矩形荒地上建造一个花园,要求花园面积是荒地面积的一半,下面分别是小华与小芳的设计方案.
(1)同学们都认为小华的方案是正确的,但对小芳的方案是否符合条件有不同意见,你认为小芳的方案符合条件吗?若不符合,请用方程的方法说明理由.
(2)你还有其他的设计方案吗?请在图3中画出你所设计的草图,并将花园部分涂上阴影.
答案
2.【解析】　(1)不符合.理由如下:
设小路的宽度均为x m,
根据题意,得(16-2x)(12-2x)=12×16×12,
解得x1=2,x2=12(不符合题意,舍去).
∴小路的宽度均为2 m,∴小芳的方案不符合条件.
(2)答案不唯一.
例如:
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3.[读诗解题]根据下面文字,你能猜出周瑜去世时的年龄吗?
大江东去浪淘尽,千古风流人物.
而立之年督东吴,英年早逝两位数.
十位恰小个位三,个位平方与寿符.
哪位学子算得快,多少年华属周瑜?
(“而立之年”为30岁)
答案
3.【解析】　设周瑜去世时的年龄的个位数字为x,则十位数字为x-3.
根据题意,得x2=10(x-3)+x,
即x2-11x+30=0,解得x1=5,x2=6.
当x=5时,年龄为25岁,不符合题意,舍去;
当x=6时,年龄为36岁,符合题意.
答:周瑜去世时的年龄为36岁.
4.[一元二次方程中的新定义问题]若x1,x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根,且|x1|+|x2|=2|k|(k是整数),则称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”.如:方程x2-6x-27=0,x2-2x-8=0,x2+3x-274=0,x2+6x-27=0,x2+4x+4=0都是“偶系二次方程”.
(1)判断方程x2+x-12=0是否是“偶系二次方程”,并说明理由;
(2)对于任意整数b,是否存在实数c,使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”?请说明理由.
?
答案
4.【解析】　(1)不是.理由如下:
解方程x2+x-12=0,得x1=3,x2=-4,
∴|x1|+|x2|=3+4=7=2×3.5,
∵3.5不是整数, ∴x2+x-12=0不是“偶系二次方程”.
(2)存在.理由如下:
∵x2-6x-27=0和x2+6x-27=0都是“偶系二次方程”,
∴假设c=mb2+n,
当b=-6,c=-27时,-27=36m+n.
答案
∵x2=0是“偶系二次方程”,
∴当n=0时,m=-34,∴c=-34b2.
∵x2+3x-274=0是“偶系二次方程”,
当b=3时,c=-34×32,
∴可设c=-34b2,
对于任意整数b,当c=-34b2时,Δ=b2-4ac=4b2,
∴x=?????±2????2,即x1=-32b,x2=12b,
∴|x1|+|x2|=2|b|.
∵b是整数,
∴对于任意整数b,存在实数c=-34b2,使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”.
?
答案
1.B　【解析】　原方程整理得x2-mx+1=0,∵一次项的系数为-1,∴-m=-1,解得m=1.故选B.
一、选择题
1.关于x的一元二次方程2x2-(m+1)x+1=x(x-1)化成一般形式后,二次项的系数为1,一次项的系数为-1,则m的值为 (　 　)
A.-1 B.1 C.-2 D.2
答案
2.D　【解析】　x2-4x+1=0,移项得x2-4x=-1,两边配方得x2-4x+4=-1+4,即(x-2)2=3.故选D.
2.[2019山东滨州中考]用配方法解一元二次方程x2-4x+1=0时,下列变形正确的是 (　 　)
A.(x-2)2=1
B.(x-2)2=5
C.(x+2)2=3
D.(x-2)2=3
答案
3.C　【解析】　当一元二次方程根的判别式小于0时,该方程没有实数根.对于A中的一元二次方程,Δ=4>0,对于B中的一元二次方程,Δ=20>0,对于C中的一元二次方程,Δ=-8<0,对于D中的一元二次方程,Δ=1>0,故C中的一元二次方程没有实数根.故选C.
3.[2018山西中考]下列一元二次方程中,没有实数根的是 (　 　)
A.x2-2x=0 B.x2+4x-1=0
C.2x2-4x+3=0 D.3x2=5x-2
答案
4.C　【解析】　∵一元二次方程ax2-bx+4=0的解是x=2,∴a×22-2b+4=0.∴2a-b=-2,∴2 021+2a-b=2 021+(2a-b)=
2 021+(-2)=2 019.故选C.
4.若关于x的一元二次方程ax2-bx+4=0的解是x=2,则2 021+2a-b的值是 (　 　)
A.2 016 B.2 018
C.2 019 D.2 022
答案
5.D　【解析】　∵关于x的一元二次方程(a+1)x2-2x+2=0没有实数根,∴????+1≠0,?????????????????????????????????????????????=(?2)2?4×(????+1)×2<0,解得a>-12. ∵a为整数,∴a的最小值为0.故选D.
?
5.易错题若关于x的一元二次方程(a+1)x2-2x+2=0没有实数根,则整数a的最小值为 (　 　)
A.-12 B.-1 C.-2 D.0
?
答案
6.C　【解析】　将x=2代入x2-(k+1)x-6=0,得22-2(k+1)-6=0,∴k=-2.原方程为x2+x-6=0,解得x1=-3,x2=2.故选C.
6.已知关于x的一元二次方程x2-(k+1)x-6=0的一个根是2,则此方程的另一个根和k的值分别是 (　 　)
A.3和2 B.3和-2
C.-3和-2 D.-2和3
答案
7.B　【解析】　设大正方形的边长x m,则小正方形的边长为(x-1)m,根据题意,得x(2x-1)=15,解得x1=3,x2=-52(不合题意,舍去),所以小正方形的边长为x-1=3-1=2(m),所以裁剪后剩下的阴影部分的面积为15-22-32=2(m2).故选B.
?
7.如图,某工厂师傅要在一个面积为15 m2的矩形钢板上裁剪下两个相邻的正方形钢板当工作台的桌面,且要使大正方形的边长比小正方形的边长大1 m,则裁剪后剩下的阴影部分的面积为 (　 　)
A.1 m2
B.2 m2
C.3 m2
D.4 m2
答案
8.D　【解析】　∵关于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0有两个相等的实数根,∴(2b)2-4(a+1)2=0,即b2-(a+1)2=0, ∴1+b+a=0或b-a-1=0,∴1或-1是方程x2+bx+a=0的根,也就是说1和-1至少有一个是方程x2+bx+a=0的根.当1和-1都是方程x2+bx+a=0的根时,1+????+????=0,1?????+????=0,解得????=?1,????=0,这与(a+1)x2+2bx+(a+1)=0是一元二次方程矛盾,∴1和-1不都是方程x2+bx+a=0的根,即选项A和C中的判断均错误,选项D中的判断正确.当a=0时,0是方程x2+bx+a=0的根,故选项B中的判断错误.故选D.
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8.[2018福建中考A卷]已知关于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0有两个相等的实数根,下列判断正确的是 (　 　)
A.1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根
B.0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根
C.1和-1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根
D.1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根
答案
9.x1=1+2,x2=1-2　【解析】　将方程(x-1)2-2=0移项得,(x-1)2=2,开方得,x-1=±2,解得x1=1+2,x2=1-2.
10.2 019　【解析】　∵a,b是方程x2+x-2 020=0的两个不相等的实根,∴a2+a-2 020=0,a+b=-1,∴a2+a=2 020,∴a2+2a+ b=(a2+a)+(a+b)=2 020-1=2 019.
?
二、填空题
9.方程(x-1)2-2=0的根为　 　 .?
10.设a,b是方程x2+x-2 020=0的两个不相等的实根,则a2+2a+b的值是　 　.?
答案
11.2　【解析】　设降价x元,则每天可售出(2x+20)件,依题意,得(10-x)(2x+20)=192,解得x1=2,x2=-2(不合题意,舍去).故降件2元时,出售该商品每天可获利192元.
12.4+22　【解析】　解一元二次方程x2+2x-3=0,得x=1或-3.∵a是一元二次方程x2+2x-3=0的根,AE=EB=EC=a,∴a= 1. 在Rt△ABE中,AB=12+12=2,∴?ABCD的周长为4+22.
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11.商店出售一件某商品可获利10元,每天可销售20件,若每降价1元可多卖2件,则降价　 　元时,出售该商品每天可获利192元.?
12.[2019山东菏泽模拟]如图,在?ABCD中,AE⊥BC于点E,AE=EB=EC=a,若a是一元二次方程x2+2x-3=0的根,则?ABCD的周长是　 　 .?
答案
13.【解析】　(1)配方,得x2-4x+4=1,
即(x-2)2=1,
∴x-2=1或x-2=-1,
∴x1=3,x2=1.
三、解答题
13.解下列一元二次方程:
(1)x2-4x+3=0;
(2)(x+3)2=(1-2x)2;
(3)(x-2)(x+1)=1.
答案
(2)移项,得(x+3)2-(1-2x)2=0,
即(x+3+1-2x)(x+3-1+2x)=0,
化简,得(-x+4)(3x+2)=0,
∴-x+4=0或3x+2=0,
∴x1=4,x2=-23.
(3)将原方程化为一般形式,得x2-x-3=0,
这里a=1,b=-1,c=-3.
∵Δ=b2-4ac=(-1)2-4×1×(-3)=13>0,
∴x=?(?1)±132×1=1±132,
即x1=1+132,x2=1?132.
?
14.[2020浙江杭州萧山区模拟]已知△ABC的边BC的长为5,另两边AB,AC的长分别为关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根.
(1)求证:无论k为何值,方程总有两个不相等的实数根.
(2)k为何值时,△ABC是等腰三角形?并求出此时△ABC的周长.
答案
14.【解析】　(1)Δ=(2k+3)2-4(k2+3k+2)=1>0,
∴无论k为何值,方程总有两个不相等的实数根.
(2)当BC是等腰三角形的腰时,
则x=5是方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的根,
∴25-5(2k+3)+k2+3k+2=0,
化简,得k2-7k+12=0,
∴k=3或4.
若k=3,则方程为x2-9x+20=0,∴x1=4,x2=5,满足三角形三边关系,此时△ABC的周长为14;
若k=4,则方程为x2-11x+30=0,∴x1=5,x2=6,满足三角形三边关系,此时△ABC的周长为16.
当BC是等腰三角形的底边时,
则方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0应有两个相等的根,
由(1)可知,无论k为何值,方程总有两个不相等的实数根,故不满足题意.
综上所述,△ABC的周长为14或16.
答案
15.【解析】　设降价后的销售单价为x元,
则降价后每天可售出[300+5(200-x)]个,
依题意,得(x-100)[300+5(200-x)]=32 000,
整理,得x2-360x+32 400=0,解得x1=x2=180.
180<200,符合题意.
答:这种电子产品降价后的销售单价为180元时,公司每天可获利32 000元.
15.[2019山东东营中考]为加快新旧动能转换,提高公司经济效益,某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销,使生产的电子产品能够及时售出.根据市场调查,这种电子产品销售单价定为200元时,每天可售出300个,若销售单价每降低1元,每天可多售出5个.已知每个电子产品的固定成本为100元,问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时,公司每天可获利32 000元?
答案
16.【解析】　(1)设该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x,
依题意,得150(1+x)2=216,
解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(舍去).
答:该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为20%.
(2)2月份的销售量为150×(1+20%)=180(辆),
(58 000-52 000)×(150+180+216)=3 276 000(元).
答:该经销商1月份至3月份共盈利3 276 000元.
16.随着新能源汽车推广力度加大,产业快速发展,越来越多的消费者接受并购买新能源汽车.我市某品牌新能源汽车经销商1月份至3月份统计,该品牌汽车1月份销售150辆,3月份销售216辆.
(1)求该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率;
(2)若该品牌新能源汽车的进价为52 000元,售价为58 000元,则该经销商1月份至3月份共盈利多少元?
17.[2019四川成都期中]如图,在长方形ABCD中,AB=5 cm,BC=6 cm,点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动,与此同时,点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动.当点Q运动到点C时,两点停止运动.设运动时间为t s.
(1)填空:BQ=　 　cm,PB=　 　cm.(用含t的代数式表示)?
(2)当t为何值时,PQ的长度等于5 cm?
(3)是否存在t的值,使得五边形APQCD的面积等于26 cm2?若存在,请求出此时t的值;若不存在,请说明理由.
答案
17.【分析】　(1)根据P,Q两点的运动速度可得BQ、PB的长度;(2)根据勾股定理可得PB2+BQ2=QP2,代入相应数据解方程即可;(3)根据题意可得△PBQ的面积为长方形ABCD的面积减去五边形APQCD的面积,再根据三角形的面积公式代入相应线段的长即可得到方程,最后解方程即可.
【解析】　(1)2t　(5-t)
(2)由题意,得(5-t)2+(2t)2=52,
解得t1=0,t2=2.
故当t=0或2时,PQ的长度等于5 cm.
(3)存在t的值,使得五边形APQCD的面积等于26 cm2,此时t=1.理由如下:
长方形ABCD的面积是5×6=30(cm2),
五边形APQCD的面积等于26 cm2,
则△PBQ的面积为30-26=4(cm2),
则(5-t)×2t×12=4,
解得t1=4(不合题意,舍去),t2=1.
所以当t=1时,五边形APQCD的面积等于26 cm2.
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第二章　一元二次方程中考真题
数学·九年级上册·北师
答案
1.C　【解析】　原方程可化为x2+x-7=0,∴a=1,b=1,c=-7,∴Δ=b2-4ac=12-4×1×(-7)=29>0,∴方程有两个不相等的实数根.故选C.
1.[2020河南洛阳六校联考]一元二次方程(x-1)(x+5)=3x+2的根的情况是 (　 　)
A.方程没有实数根
B.方程有两个相等的实数根
C.方程有两个不相等的实数根
D.方程的根是1,-5和23
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答案
2.A　【解析】　设每件商品的售价定为x元,根据题意,列方程得(x-8)(200-?????100.5×10)=640,整理得x2-28x+192=0,解得x1=12,x2=16.故将每件商品的售价定为12元或16元时,才能使每天的利润为640元.根据题意要求,采取提高商品售价,减少进货量的办法增加利润,故应将每件商品的售价定为16元.故选A.
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2.[2019山东枣庄二模]某商店将进价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售200件.现商家采用提高售价,减少进货量的方法增加利润,如果每件商品的售价提高0.5元,其销量就会减少10件,那么要使每天的利润为640元,需将每件商品的售价定为 (　 　)
A.16元 B.12元
C.16元或12元 D.14元
答案
3.2 018　【解析】　∵a是方程x2-2 019x+1=0的一个根,∴a2-2 019a+1=0,∴a2=2 019a-1,a2+1=2 019a,∴a2-2 018a+ 2?019????2+1=2 019a-1-2 018a+2?0192?019????=a+1????-1=????2+1????-1=2?019????????-1=2 019-1=2 018.
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3.[2019山东济南历下区模拟]已知a是方程x2-2 019x+1=0的一个根,则a2-2 018a+2?019????2+1的值为　 　.?
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答案
4.【解析】　(1)判别式Δ=[2(m-1)]2-4(m2-3)=-8m+16.
∵方程有两个不相等的实数根,
∴Δ>0,即-8m+16>0,
解得m<2.
(2)∵m<2,且m为非负整数,
∴m=0或m=1.
当m=0时,原方程为x2-2x-3=0,
解得x1=3,x2=-1,不符合题意,舍去;
当m=1时,原方程为x2-2=0,
解得x1=2,x2=-2,符合题意.
综上所述,m的值是1.
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4.[2020江苏扬州一模] 已知关于x的一元二次方程x2+2(m-1)x+m2-3=0有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)若m为非负整数,且该方程的根都是无理数,求m的值.
答案
5.【解析】　(1)设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x,
根据题意,得100(1+x)2=225,
解得x1=0.5=50%,x2=-2.5(不合题意,舍去).
答:该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为50%.
(2)设每千克售价应降低y元,则每天可售出(200+50y)千克,
根据题意,得(20-12-y)(200+50y)=1 800,
整理,得y2-4y+4=0,
解得y1=y2=2.
答:若使销售“早黑宝”每天获利1 800元,则每千克售价应降低2元.
5.[2019山西太原期中]“早黑宝”是我省农科院研制的优质新品种,在我省被广泛种植.清徐县某葡萄种植基地2016年种植“早黑宝”100亩,到2018年“早黑宝”的种植面积达到225亩.
(1)求该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率;
(2)市场调查发现,当“早黑宝”每千克售价为20元时,每天能售出200千克,每千克售价每降低1元,每天可多售出50千克.为了推广宣传,基地决定降价促销,已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克,若使销售“早黑宝”每天获利1 800元,则每千克售价应降低多少元?
6.[2019重庆巴蜀中学三模]阅读下列材料:已知实数m,n满足(2m2+n2+1)(2m2+n2-1)=80,试求2m2+n2的值.
解:设2m2+n2=t,则原方程变为(t+1)(t-1)=80,
整理得t2-1=80,即t2=81,∴t=±9.
∵2m2+n2≥0,∴2m2+n2=9.
上面这种方法称为“换元法”,换元法是数学学习中最常用的一种思想方法,在结构较复杂的数和式的运算中,若把其中某些部分看成一个整体,并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化.
根据以上阅读材料内容,解决下列问题,并写出解答过程.
(1)已知实数x,y满足(2x2+2y2+3)(2x2+2y2-3)=27,求x2+y2的值.
(2)若四个连续正整数的积为11 880,求这四个连续正整数.
答案
6.【解析】　(1)设2x2+2y2=a,则原方程变为(a+3)(a-3)=27,
整理得a2-9=27,即a2=36,∴a=±6.
∵2x2+2y2≥0,∴2x2+2y2=6,
∴x2+y2=3.
(2)设最小的正整数为x,则另三个正整数分别为x+1,x+2,x+3,
根据题意得x(x+1)(x+2)(x+3)=11 880,
∴[x(x+3)][(x+1)(x+2)]=11 880,即(x2+3x)(x2+3x+2)=11 880,
设x2+3x=a,则原方程变为a(a+2)=11 880,
整理得a2+2a=11 880,
配方得a2+2a+1=11 881,即(a+1)2=11 881,
∴a+1=±109,∴a=108或-110.
∵x为正整数,∴a=x2+3x是正整数,∴a=108,
∴x2+3x=108,解得x=9或-12(舍),
∴这四个连续正整数分别是9,10,11,12.
答案
1.A　 【解析】　将x=1代入方程x2+ax+2b=0,得a+2b=-1,则2a+4b=2(a+2b)=2×(-1)=-2.故选A.
1.[2019甘肃兰州中考]x=1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的解,则2a+4b= (　 　)
A.-2 B.-3 C.4 D.-6
答案
2.A　【解析】　原方程可化为x2-2x-4=0,∴a=1,b=-2,c=-4,∴Δ=(-2)2-4×1×(-4)=20>0,∴方程有两个不相等的实数根.故选A.
2.[2019河南中考]一元二次方程(x+1)(x-1)=2x+3的根的情况是 (　 　)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
答案
3.A　【解析】　分两种情况讨论,①若4为等腰三角形的底边长,则方程x2-12x+m+2=0有两个相等的实数根,∴Δ= (-12)2-4×1×(m+2)=136-4m=0,∴m=34,此时方程为x2-12x+36=0,解得x1=x2=6,4+6>6,满足三角形三边关系,故三边长为6,6,4.②若4为等腰三角形的腰长,则方程x2-12x+m+2=0有一根为4,∴42-12×4+m+2=0,解得m=30,此时方程为x2-12x+32=0,解得x1=4,x2=8,4+4=8,不满足三角形三边关系,故舍去.综上,m的值为34.故选A.
3.[2019内蒙古包头中考]已知等腰三角形的三边长分别为a,b,4,且a,b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根,则m的值是 (　 　)
A.34 B.30 C.30或34 D.30或36
答案
4.四　【解析】　∵关于x的一元二次方程ax2-x-14=0(a≠0)有两个不相等的实数根,∴????≠0,?????????????????????????????????????????????????=(?1)2?4×????×(?14)>0,解得a>-1且a≠0,∴a+1>0,-a-3<0,∴点P(a+1,-a-3)在第四象限.
5.-3或4　【解析】　根据新定义得[(m+2)+(m-3)]2-[(m+2)-(m-3)]2=24,整理得(2m-1)2-49=0,所以(2m-1+7)(2m-1-7)=0,所以2m-1+7=0或2m-1-7=0,所以m1=-3,m2=4.
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4.[2019四川广元中考]若关于x的一元二次方程ax2-x-14=0(a≠0)有两个不相等的实数根,则点P(a+1,-a-3)在第
　 　象限.?
5.[2019湖北十堰中考]对于实数a,b,定义运算“◎”如下:a◎b=(a+b)2-(a-b)2.若(m+2)◎(m-3)=24,则m=　 　.?
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答案
6.【解析】　(1)两边直接开平方得x-1=±2,
∴x-1=2或x-1=-2,
解得x1=3,x2=-1.
(2)原方程化为一般形式为2x2-9x-34=0,
即x2-92x=17,
配方得,x2-92x+8116=17+8116,即(x-94)2=35316,
开平方得,x-94=±3534,
所以x1=9+3534,x2=9?3534.
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6.解下列方程:
(1)[2019安徽中考](x-1)2=4;
(2)[2019内蒙古呼和浩特中考](2x+3)(x-6)=16(配方法).
答案
7.【解析】　∵关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根,
∴Δ=(-2)2-4(2m-1)≥0,
解得m≤1.
∵m为正整数,∴m=1,
则原方程为x2-2x+1=0,解得x1=x2=1.
7.[2019北京中考]关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根,且m为正整数,求m的值及此时方程的根.
8.[2019重庆中考A卷]某文明小区有50 m2和80 m2两种户型的住宅,50 m2住宅套数是80 m2住宅套数的2倍.物管公司每月底按2元/m2收取当月物管费,该小区全部住宅都入住且每户均按时全额缴纳物管费.
(1)该小区每月可收取物管费90 000元,问该小区共有多少套80 m2的住宅;
(2)为建设“资源节约型社会”,该小区物管公司5月初推出活动一:“垃圾分类送礼物”,50 m2和80 m2的住户分别有40%和20%参加了此次活动,为提高大家的积极性,6月份准备把活动一升级为活动二:“垃圾分类抵扣物管费”,同时终止活动一.经调查与测算,参加活动一的住户会全部参加活动二,参加活动二的住户会大幅增加,这样,6月份参加活动的50 m2的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加2a%,每户物管费将会减少310a%;6月份参加活动的 80 m2的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加6a%,每户物管费将会减少14a%.这样,参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少518a%,求a的值.
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答案
8.【解析】　(1)设该小区有x套80 m2的住宅,则50 m2的住宅有2x套.
由题意知,2×(50×2x+80x)=90 000,
解得x=250.
答:该小区有250套80 m2的住宅.
(2)由(1)可知,该小区有250套80 m2的住宅,则50 m2的住宅有500套.
参加活动一:
50 m2的住宅每户所交物管费为100元,500×40%=200(户),故有200户参加活动一;
80 m2的住宅每户所交物管费为160元,250×20%=50(户),故有50户参加活动一,
参加活动二:
50 m2的住宅每户所交物管费为100×(1-310a%)元,有200×(1+2a%)户参加活动二;
80 m2的住宅每户所交物管费为160×(1-14a%)元,有50×(1+6a%)户参加活动二.
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答案
由题意得,200×(1+2a%)×100×(1-310a%)+50×(1+6a%)×160×(1-14a%)=[200×(1+2a%)×100+50×(1+6a%)×160]×(1-518a%).
令t=a%,
则上面的方程可化为t(2t-1)=0,
解得t1=0(不合题意,舍去),t2=12,
∴a=50.
答:a的值为50.