北师大版九年级上册数学第三章概率的进一步认识整章同步课件（85张PPT)

第三章　概率的进一步认识
数学·九年级上册·北师
1　用树状图或表格
求概率
课时1　用树状图或表格求概率
课时1
1.[2019辽宁锦州期末]有3张纸牌,分别是红桃2、红桃3、黑桃A,把纸牌洗匀后甲先抽取一张,记下花色和数字后将牌放回,洗匀后乙再抽取一张,则两人抽到的纸牌均为红桃的概率是 (　 　)
A.49 B.59 C.13 D.23
?
答案
1.A　【解析】　列表如下:
由表格可知,共有9种等可能的结果,其中两人抽到的纸牌均为红桃的有4种结果,所以两人抽到的纸牌均为红桃的概率为49.故选A.
?
知识点1 用列表法求概率
?
红桃2
红桃3
黑桃A
红桃2
(红桃2,红桃2)
(红桃2,红桃3)
(红桃2,黑桃A)
红桃3
(红桃3,红桃2)
(红桃3,红桃3)
(红桃3,黑桃A)
黑桃A
(黑桃A,红桃2)
(黑桃A,红桃3)
(黑桃A,黑桃A)
2.[2018浙江湖州中考]某居委会组织两个检查组,分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查.各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查,则两个组恰好抽到同一个小区的概率是 (　 　)
A.19 B.16 C.13 D.23
?
答案
2.C　【解析】　将三个小区分别记为A,B,C,列表如下:
由表格可知,共有9种等可能的结果,其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有3种,所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为39=13.故选C.
?
知识点1 用列表法求概率
3.易错题[2019湖北武汉中考]从1,2,3,4四个数中随机选取两个不同的数,分别记为a,c,则关于x的一元二次方程ax2+4x+c=0有实数解的概率是 (　 　)
A.14 B.13 C.12 D.23
?
答案
3.C　【解析】　由题意可知Δ=16-4ac≥0,即ac≤4.根据题意列表如下:
由表格可知共有12种等可能的情况,两数之积小于等于4的情况有6种,故所求概率为612=12.故选C.
?
知识点1 用列表法求概率
1
2
3
4
1

(1,2)
(1,3)
(1,4)
2
(2,1)

(2,3)
(2,4)
3
(3,1)
(3,2)

(3,4)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
?
知识点1 用列表法求概率
　　本题将概率与一元二次方程的有关知识结合起来进行考查,解题时先用列表法列举出所有等可能的结果,再利用一元二次方程根的判别式判断哪些结果满足条件,最后将相应的结果数代入概率公式求解即可.
4.[2020安徽宿州期末]一个仅装有球的不透明布袋里共有四个球(只有颜色不同),其中三个是红球,一个是白球,从中任意摸出一个球,记下颜色后不放回,搅匀,再任意摸出一个球,则两次摸出的球都是红球的概率是?　 .?
答案
4.12　【解析】　将三个红球分别记为红1,红2,红3,白球记为白1.列表如下:
由表格可知,共有12种等可能的结果,两次摸出的球都是红球的结果有6种,故两次摸出的球都是红球的概率是612=12.
?
知识点1 用列表法求概率
?
红1
红2
红3
白1
红1
?
(红1,红2)
(红1,红3)
(红1,白1)
红2
(红2,红1)
?
(红2,红3)
(红2,白1)
红3
(红3,红1)
(红3,红2)
?
(红3,白1)
白1
(白1,红1)
(白1,红2)
(白1,红3)
?
5.[2019甘肃兰州中考]2019年5月,以“寻根国学,传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强——国学知识挑战赛”总决赛拉开帷幕,小明晋级了总决赛.比赛过程分两个环节,参赛选手需在每个环节中各选择一道题目.
第一环节:写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙(分别用A1,A2,A3,A4表示);
第二环节:成语听写、诗词对句、经典诵读(分别用B1,B2,B3表示).
(1)请用列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果;
(2)求小明参加总决赛抽取题目都是成语题目(成语故事、成语接龙、成语听写)的概率.
知识点1 用列表法求概率
答案
5.【解析】　(1)根据题意,列表如下.
(2)由表格可知,小明参加总决赛抽取的题目共有12种可能的结果,每种结果出现的可能性相同,其中抽取题目都是成语题目的结果有2种,故所求概率为212=16.
?
知识点1 用列表法求概率
6.[2018山西中考]在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球,它们除颜色外都相同,随机从中摸出一个球,记下颜色后放回袋子中,充分揺匀后,再随机摸出一个球.两次都摸到黄球的概率是 (　 　)
A.49 B.13 C.29 D.19
?
答案
6.A　【解析】　根据题意,将两个黄球分别记为黄1,黄2,白球记为白1,画树状图如下.
?
由树状图可知,一共有9种等可能的结果,两次都摸到黄球的结果有4种,所以所求概率为49.故选A.
?
知识点2 用画树状图法求概率
7.[2020河北保定一模]一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4,从中随机摸出一个小球后不放回,再随机摸出一个小球,则两次摸出的小球的标号之和为奇数的概率是 (　 　)
A.13 B.23 C.14 D.15
?
答案
7.B　【解析】　画树状图如下:
?
由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中两次摸出的小球的标号之和为奇数的结果有8种,所以两次摸出的小球的标号之和为奇数的概率为812=23.故选B.
?
知识点2 用画树状图法求概率
8.易错题将一副扑克牌中的两张牌红桃A和黑桃2都从中间剪开,分成四块,这四块背面完全一样,将它们背面朝上,洗匀后,任取两块,恰好能拼成一张完整的牌的概率是?　 .?
答案
8.13　【解析】　将剪开的红桃A记为A,A',剪开的黑桃2记为2,2',画树状图如下:
?
由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中恰好能拼成一张完整的牌的结果有4种,所以恰好能拼成一张完整的牌的概率为412=13.
?
知识点2 用画树状图法求概率
9.[2019甘肃陇南中考]2019年中国北京世界园艺博览会(以下简称“世园会”)于4月29日至10月7日在北京延庆区举行.世园会为满足大家的游览需求,倾情打造了4条各具特色的趣玩路线,分别是:A.“解密世园会”;B.“爱我家,爱园艺”;C.“园艺小清新之旅”和D.“快速车览之旅”.李欣和张帆都计划暑假去世园会,他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览,每条线路被选择的可能性相同.
(1)李欣选择线路C.“园艺小清新之旅”的概率是多少?
(2)用画树状图或列表的方法,求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率.
知识点2 用画树状图法求概率
答案
9.【解析】　(1)因为在这4条线路中任选一条,每条被选中的机会相等,
所以在这4条线路中,李欣选择线路C.“园艺小清新之旅”的概率是14.
(2)画树状图如下:
?
由树状图可知,共有16种等可能的结果,李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种,所以李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为416=14.
?
知识点2 用画树状图法求概率
1.[2019山东临沂中考]经过某十字路口的汽车,可能直行,也可能向左转或向右转,如果这三种可能性大小相同,则两辆汽车经过这个十字路口时,一辆向右转,一辆向左转的概率是 (　 　)
A.23 B.29 C.13 D.19
?
答案
1.B　【解析】　画树状图如下:
?
由树状图可知,共有9种等可能的结果,其中一辆向右转,一辆向左转的情况有2种,所以一辆向右转,一辆向左转的概率为29.故选B.
?
2.[2018广西梧州中考]小燕一家三口在商场参加抽奖活动,每人只有一次抽奖机会:在一个不透明的箱子中装有红、黄、白三种球各1个,这些球除颜色外无其他差别,从箱子中随机摸出1个球,然后放回箱子中,轮到下一个人摸球,三人摸到球的颜色都不相同的概率是 (　 　)　　　　　　　　　　　 　　　　　
A.127 B.13 C.19 D.29
?
答案
2.D　【解析】　将红球、黄球、白球分别记为A,B,C,画树状图如下:
?
由树状图可知,共有27种等可能的结果,其中三人摸到球的颜色都不相同的结果有6种,所以三人摸到球的颜色都不相同的概率为627=29.故选D.
?
3.[2019湖北襄阳中考]从2,3,4,6中随机选取两个数记作a和b(a答案
3.13　【解析】　根据题意,画树状图如下:
?
由树状图可知,共有6种等可能的结果,其中点(a,b)在直线y=2x上的结果有2种,故所求概率为26=13.
?
4.[2019山东聊城中考]在阳光中学举行的春季运动会上,小亮和大刚报名参加100米比赛,预赛分A,B,C,D四组进行,运动员通过抽签来确定要参加的预赛小组,小亮和大刚恰好抽到同一个组的概率是?　 .?
答案
4.14　【解析】　画树状图如下:
?
由树状图知,共有16种等可能的结果,小亮和大刚恰好抽到同一组的结果有4种,所以小亮和大刚恰好抽到同一组的概率是416=14.
?
5.[2018湖南娄底中考]从2018年高中一年级学生开始,湖南省全面启动高考综合改革,学生学习完必修课程后,可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势,从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中,自主选择3个科目参加等级考试.学生A已选物理,还从思想政治、历史、地理3个文科科目中选1科,再从化学、生物2个理科科目中选1科.若他选思想政治、历史、地理的可能性相等,选化学、生物的可能性相等,则选修地理和生物的概率为　 .?
答案
5.16　【解析】　画树状图如下:
?
由树状图可知,共有6种等可能的结果,其中选修地理和生物的结果只有1种,所以选修地理和生物的概率为16.
?
　　(1)画树状图法适用于试验涉及两个或两个以上因素,且结果数目不是很大的求概率的问题.(2)用画树状图法求概率时,首先需确定完成一件事情分连续的几步,然后由开始起画树状图,最后在步骤下写出事件的等可能结果.(3)树状图中,从左到右(或从上往下),每一条路径都表示一种可能的结果,并且每种结果出现的可能性相同.
6.已知电路AB由如图所示的开关控制,闭合a,b,c,d,e五个开关中的任意两个,使电路形成通路的概率是?　 .?
答案
6.35　【解析】　列表如下:
由表可知共有20种等可能的结果,使电路形成通路的结果有12种,所以使电路形成通路的概率P=1220=35.
?
?
a
b
c
d
e
a
?
(a,b)
(a,c)
(a,d)
(a,e)
b
(b,a)
?
(b,c)
(b,d)
(b,e)
c
(c,a)
(c,b)
?
(c,d)
(c,e)
d
(d,a)
(d,b)
(d,c)
?
(d,e)
e
(e,a)
(e,b)
(e,c)
(e,d)
?
7.如图,管中放置着三根同样的绳子AA1,BB1,CC1.小明在左侧选两个绳头打一个结,小红在右侧选两个绳头打一个结,则这三根绳子能连成一根长绳的概率为?　 .?
答案
7.23　【解析】　小明在左侧选两个绳头打一个结有3种可能:AB,AC,BC,小红在右侧选两个绳头打一个结有3种可能:A1B1,A1C1,B1C1.画树状图如下:
?
由树状图可知,共有9种等可能的结果,其中这三根绳子能连成一根长绳的结果有6种,所以这三根绳子能连成一根长绳的概率为69=23.
?
8.在学习“轴对称现象”内容时,老师让同学们寻找身边的轴对称图形,小明利用手中的一副三角尺和一个量角器(如图所示)进行探究.
(1)小明在这三个文具中任取一个,结果是轴对称图形的概率是?　 ;?
(2)小明发现在两把三角尺中各选一个角拼在一起(无重叠无缝隙)会得到一个更大的角,若每个角选取的可能性相同,请用画树状图或列表的方法求拼成的角是钝角的概率.
答案
8.【解析】　(1)23
(2)90°的角分别记为A1,A2,60°的角记为B,45°的角分别记为C1,C2,30°的角记为D.
画树状图如下:
?
由树状图可知,一共有18种结果,每种结果出现的可能性相同,其中可以拼成钝角的结果有14种,
所以拼成的角是钝角的概率是1418=79.
?
9.易错题骰子六个面上的点数分别是1,2,3,4,5,6.如图,正六边形ABCDEF顶点处各有一个圈,跳圈游戏的规则为:游戏者掷一次骰子,骰子向上一面的点数是几,就沿正六边形的边顺时针方向连续跳几个边长.
如:若从圈A起跳,第一次掷得的点数为3,就顺时针连续跳3个边长,落到圈D;若第二次掷得的点数为2,就从D开始顺时针连续跳2个边长,落到圈F??设游戏者从圈A起跳.
(1)小明随机掷一次骰子,求落回到圈A的概率P1;
(2)小亮随机掷两次骰子,用列表法或画树状图法求最后落回到圈A的概率P2,并指出他与小明落回到圈A的可能性一样吗?
答案
9.【解析】　(1)因为共有6种等可能的结果,其中落回到圈A的结果只有1种,
所以落回到圈A的概率P1=16.
(2)列表如下:
由表格可知,共有36种等可能的结果,其中落回到圈A的有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,6),共6种结果,
所以最后落回到圈A的概率P2=636=16.
所以小亮与小明落回到圈A的可能性一样.
?
?
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
课时2　利用概率判断游戏的公平性
课时2
1.[2019广西柳州中考]小李与小陈做猜拳游戏,规定每人每次至少要出一个手指,两人出拳的手指数之和为偶数时小李获胜,那么小李获胜的概率为 (　 　)
A.1325 B.1225
C.425 D.12
?
答案
1.A　【解析】　根据题意画树状图如下:
?
由树状图可知,共有25种等可能的结果,两人出拳的手指数之和为偶数的结果有13种,所以小李获胜的概率为1325.故选A.
?
2.[2019山东德州中考]甲、乙是两个不透明的纸箱,甲中有三张标有数字14,12,1的卡片,乙中有三张标有数字1,2,3的卡片,卡片除所标数字外无其他差别.现制定一个游戏规则:从甲中任取一张卡片,将其数字记为a,从乙中任取一张卡片,将其数字记为b,若a,b能使关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根,则甲获胜;否则乙获胜.则乙获胜的概率为 (　 　)
A.23 B.59 C.49 D.13
?
答案
2.C　【解析】　要使一元二次方程ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根,则b2-4a>0,∴要使乙获胜,则b2-4a≤0.画树状图如下:
?
由树状图可知,共有9种等可能的结果,其中能使乙获胜的结果数有4种,∴乙获胜的概率为49.故选C.
?
3.[2019云南中考]甲、乙两名同学玩一个游戏:在一个不透明的口袋中装有标号分别为1,2,3,4的四个小球(除标号外无其他差异).从口袋中随机摸出一个小球,记下标号后放回口袋中,充分摇匀后,再从口袋中随机摸出一个小球,记下该小球的标号,两次记下的标号分别用x,y表示.若x+y为奇数,则甲获胜;若x+y为偶数,则乙获胜.
(1)用列表法或画树状图法(树状图也称树形图)中的一种方法,求(x,y)所有可能出现的结果总数;
(2)你认为这个游戏对双方公平吗?请说明理由.
答案
3.【解析】　(1)列表如下:
答:(x,y)所有可能出现的结果总数为16种.
(2)公平.理由如下:
由上表可知,共有16种等可能的结果,其中x+y为奇数的结果有8种,x+y为偶数的结果有8种,故P(甲获胜)=P(乙获胜).所以这个游戏对双方公平.
4.如图,有四张背面完全相同的纸牌A,B,C,D,其正面分别画有四个不同的几何图形,将这四张纸牌背面朝上洗匀.
?
(1)从中随机摸出一张,求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率;
(2)小明和小亮约定做一个游戏,其规则为:先由小明随机摸出一张纸牌,不放回,再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张,若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形,小明获胜,否则小亮获胜.这个游戏公平吗?请用列表法(或画树状图法)说明理由(纸牌用A,B,C,D表示).
答案
4.【解析】　(1)因为正方形、平行四边形、矩形是中心对称图形,
所以牌面图形是中心对称图形的有3张,
所以摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是34.
?
答案
(2)这个游戏公平.理由如下:
正三角形、正方形、矩形是轴对称图形.
列表如下:
由表格可知,共有12种等可能的结果,其中两张牌面图形都是轴对称图形的有6种,
所以P(摸出的两张牌面图形都是轴对称图形)=12,
所以这个游戏公平.
?
?
A
B
C
D
A
?
(A,B)
(A,C)
(A,D)
B
(B,A)
?
(B,C)
(B,D)
C
(C,A)
(C,B)
?
(C,D)
D
(D,A)
(D,B)
(D,C)
?
5.[2019吉林长春南关区二模]在“植树节”期间,小王、小李两人想通过摸球的方式来决定谁去参加学校植树活动,规则如下:在两个盒子内分别装入标有数字1,2,3,4的四个和标有数字1,2,3的三个完全相同的小球,从两个盒子中各摸出一个球,如果所摸出的球上的数字之和小于6,那么小王去,否则就是小李去.
(1)用画树状图法或列表法求出小王去的概率;
(2)小李说:“这种规则不公平.”你认同他的说法吗?请说明理由.
答案
5.【解析】　(1)画树状图如下:
?
由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中摸出的球上的数字之和小于6的结果有9种,
∴P(小王去)=34.
(2)认同.理由如下:
∵P(小王去)=34,P(小李去)=14,34≠14,
∴这种规则不公平.
?
6.四张背面、质地均相同的卡片如图所示,将卡片洗匀后,背面朝上放置在桌面上.
(1)随机抽取一张卡片,求恰好抽到数字2的概率;
(2)小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏,游戏规则如下:随机抽取一张卡片,记下数字放回,洗匀后再抽一张,将抽取的第一张、第二张卡片上的数字分别作为一个两位数的十位数和个位数,若组成的两位数不超过32,则小贝胜,反之小晶胜.你认为这个游戏公平吗?请用列表法或画树状图法说明理由,若认为不公平,请修改游戏规则,使游戏公平.
答案
6.【解析】　(1)P(抽到数字2)=24=12. (2)列表如下:
由表格可知,可能出现的结果共有16种,它们出现的可能性相同,
所有的结果中,满足两位数不超过32的结果有10种,
所以P(小贝胜)=58,P(小晶胜)=38,58≠38,
所以这个游戏不公平.
修改规则:
①将游戏规则中的32换成26~31(包括26和31)之间的任何一个数.
或②将游戏规则改为“组成的两位数中,若个位数字是2,则小贝胜,反之小晶胜”.(答案不唯一,合理即可.)
?
?
2
2
3
6
2
22
22
23
26
2
22
22
23
26
3
32
32
33
36
6
62
62
63
66
课时3　利用概率玩转盘游戏
课时3
1.[2019山西太原期中]小明要用如图所示的两个转盘做“配紫色(红色和蓝色在一起能配成紫色)”游戏,每个转盘均被等分成若干个扇形,他同时转动两个转盘,停止时指针所指的颜色恰好能配成紫色的概率为 (　 　)
A.16 B.14
C.13 D.12
?
答案
1.C　【解析】　列表如下:
由表格可知,共有6种等可能的结果,有2种结果可以配成紫色,所以配成紫色的概率是26=13.故选C.
?
?
白
蓝
红
红
(红,白)
(红,蓝)
(红,红)
蓝
(蓝,白)
(蓝,蓝)
(蓝,红)
2.易错题用如图所示的两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏,分别转动两个转盘,若其中一个转出红色,另一个转出蓝色即可配成紫色,则可配成紫色的概率是 (　 　)
A.12 B.14
C.512 D.712
?
答案
2.C　【解析】　把题图左边转盘中的蓝色区域等分成3份,分别记为蓝1、蓝2、蓝3,红色区域记为红1;把题图右边转盘中的蓝色区域等分成2份,分别记为蓝4、蓝5,红色区域记为红2.列表如下:
由表格可知,共有12种等可能的结果,其中可配成紫色的结果有5种,所以可配成紫色的概率是512.故选C.
?
?
红2
蓝4
蓝5
红1
(红1,红2)
(红1,蓝4)
(红1,蓝5)
蓝1
(蓝1,红2)
(蓝1,蓝4)
(蓝1,蓝5)
蓝2
(蓝2,红2)
(蓝2,蓝4)
(蓝2,蓝5)
蓝3
(蓝3,红2)
(蓝3,蓝4)
(蓝3,蓝5)
3.某超市计划在“十周年”庆典当天开展购物抽奖活动,凡当天在该超市购物的顾客,均有一次抽奖的机会,抽奖规则如下:将如图所示的圆形转盘平均分成四个扇形,分别标上1,2,3,4四个数字,抽奖者连续转动转盘两次,每次转盘停止后指针所指扇形内的数字为每次所得的数字(指针指在分界线时重转),当两次所得数字之和为8时,返现金20元;当两次所得数字之和为7时,返现金15元;当两次所得数字之和为6时,返现金10元.某顾客参加一次抽奖,能获得返还现金的概率是多少?
答案
3.【解析】　画树状图如下:
?
由树状图知,共有16种等可能的结果,能获得返还现金的结果有6种,所以该顾客参加一次抽奖,能获得返还现金的概率P=616=38.
?
4.[2019山东青岛市北区期中]小明和小亮用如图所示的两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏,同时随机转动两个转盘,若配成紫色,则小明胜,否则小亮胜,这个游戏对双方公平吗?请用列表法或画树状图法说明理由.
答案
4.【解析】　不公平.理由如下:
将A盘中蓝色部分等分为2份,分别记为蓝a、蓝b,红色部分记为红c,B盘中红色部分等分为2份,分别记为红1、红2,蓝色部分记为蓝3.
画树状图如下:
?
?
?
?
由树状图可知,共有9种等可能的结果,其中能配成紫色的结果有5种,∴小明获胜的概率为59,小亮获胜的概率为49.
∵59≠49,∴这个游戏对双方不公平.
?
5.如图,三个可以自由转动的转盘,每个转盘被分成面积相等的几个扇形,并涂上图中所示的颜色.小强和小亮用转盘A和转盘B做一个转盘游戏:同时转动两个转盘,若其中一个转出红色,另一个转出蓝色即可配成紫色,则小强获胜;若两个转盘转出的颜色相同,则小亮获胜;在其他情况下,小强和小亮不分胜负.
?
(1)用画树状图或列表的方法表示此游戏所有可能出现的结果;
(2)小强认为此游戏不公平,请你帮他说明理由;
(3)请你在转盘C的空白处,涂上适当颜色,使得用转盘C替换转盘B后,游戏对小强和小亮是公平的(在空白处填写表示颜色的文字即可,不要求说明理由,只需给出一种结果即可).
答案
5.【解析】　(1)列表如下:
(2)由(1)中表格可知,共有15种等可能的结果,能配成紫色的结果有3种,两个转盘转出的颜色相同的结果有4种,
∴P(小强获胜)=315=15,P(小亮获胜)=415.
∵P(小强获胜)≠P(小亮获胜),
∴此游戏不公平.
(3)如图,此时P(小强获胜)=P(小亮获胜)=15,
则游戏对小强和小亮是公平的.(答案不唯一,正确即可)
?
?
红
蓝
白
蓝
黄
红
(红,红)
(红,蓝)
(红,白)
(红,蓝)
(红,黄)
蓝
(蓝,红)
(蓝,蓝)
(蓝,白)
(蓝,蓝)
(蓝,黄)
黄
(黄,红)
(黄,蓝)
(黄,白)
(黄,蓝)
(黄,黄)
2　用频率估计概率
1.[2019山东济南历下区期末]做“用频率估计概率”的试验时,根据某一结果出现的频率绘制成统计图(如图所示),则该试验最有可能的是 (　 　)
?
A.在玩“剪刀、石头、布”的游戏中,小莉随机出的是“剪刀”
B.掷一个质地均匀的正六面体骰子,结果向上一面的点数是3
C.某学校初中部三个年级的学生数相同,从中任选一名学生,结果是九年级学生
D.从只有颜色不同且仅有一个红球和两个黄球的袋中任取一球是黄球
知识点 用频率估计概率
答案
1.B　【解析】　A项,在“石头、剪刀、布”的游戏中,小莉随机出的是“剪刀”的概率为13,故A项不符合题中的频率统计图;B项,掷一个质地均匀的正六面体骰子,结果向上一面的点数是3的概率为16≈0.17,故B项试验的概率符合题中的频率统计图;C项,某学校初中部三个年级的学生数相同,从中任选一名学生,结果是九年级学生的概率为13,故C项不符合题中的频率统计图;D项,从只有颜色不同且仅有一个红球和两个黄球的袋中任取一球是黄球的概率为23,故D项不符合题中的频率统计图.故选B.
?
知识点 用频率估计概率
2.易错题抛掷同一枚啤酒瓶盖1 000次,经过统计得“凸面朝上”的频率为0.44,则可由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面朝上”的概率约为 (　 　)
A.0.22 B.0.44 C.0.50 D.0.56
答案
2.D　【解析】　抛掷同一枚啤酒瓶盖可能出现“凸面朝上”或“凹面朝上”两种可能,随着试验次数的增加,试验频率趋近于理论概率.因为出现“凸面朝上”或“凹面朝上”两种结果的频率之和为1,所以可估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面朝上”的概率约为0.56.故选D.
知识点 用频率估计概率
3.[2019山东烟台期中]在一个不透明的布袋中装有60个白球和若干个黑球,除颜色外其他都相同,小红每次摸出一个球并放回,通过多次试验后发现,摸到黑球的频率稳定在0.6左右,则布袋中黑球的个数可能为 (　 　)
A.24 B.36 C.40 D.90
答案
3.D　【解析】　设袋中有黑球x个,由题意得????60+????=0.6,∴x=90,则布袋中黑球的个数可能为90.故选D.
?
知识点 用频率估计概率
4.[2019浙江绍兴中考]为了解某地区九年级男生的身高情况,随机抽取了该地区100名九年级男生,他们的身高x(cm)统计如下:
根据以上结果,抽查该地区一名九年级男生,估计他的身高不低于180 cm的概率是 (　 　)
A.0.85 B.0.57 C.0.42 D.0.15
答案
4.D　【解析】　从该地区随机抽取的100名九年级男生中,身高不低于180 cm的男生有15人,因此抽查该地区一名九年级男生,估计他的身高不低于180 cm的概率为15100=0.15.
?
知识点 用频率估计概率
组别(cm)
x<160
160≤x<170
170≤x<180
x≥180
人数
5
38
42
15
5.[2018四川甘孜州中考]在不透明的口袋中有若干个完全一样的红色小球,现放入10个仅颜色不同的白色小球,均匀混合后,有放回地随机摸取30次,有10次摸到白色小球,据此估计该口袋中原有红色小球的个数为　 　.?
答案
5.20　【解析】　设该口袋中原有红色小球的个数为x,根据题意,得10????+10=1030,所以x=20,故估计该口袋中原有红色小球的个数为20.
?
知识点 用频率估计概率
6.小颖和小红两位同学在学习“概率”时,做掷骰子(质地均匀的正方体)试验.
(1)她们在一次试验中共掷骰子60次,试验的结果如下:
①填空:此次试验中“5点朝上”的频率为? 　 ;?
②小红说:“根据试验得,出现5点朝上的概率最大.”她的说法正确吗?为什么?
(2)小颖和小红在试验中如果各掷一枚骰子,那么两枚骰子朝上的点数之和为多少时的概率最大?试用列表或画树状图的方法加以说明,并求出其最大概率.
知识点 用频率估计概率
朝上的点数
1
2
3
4
5
6
出现的次数
7
9
6
8
20
10
答案
6.【解析】　(1)①13
此次试验中“5点朝上”的频率为20÷60=13.
②小红的说法不正确.理由如下:
在这次试验中,“5点朝上”的频率最大并不能说明“5点朝上”这一事件发生的概率最大.因为本次的试验次数不大,且当试验的次数较大时,频率接近概率,但并不完全等于概率.
?
知识点 用频率估计概率
答案
(2)列表如下:
由表格可以看出,共有36种等可能的结果,其中点数之和为7的结果最多,有6种,
所以两枚骰子朝上的点数之和为7时,概率最大,最大概率P=636=16.
?
知识点 用频率估计概率
1.下图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果.

?
下面有三个推断:
①当投掷次数是500时,计算机记录“钉尖向上”的次数是308,所以“钉尖向上”的概率是0.616;
②随着试验次数的增加,“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动,显示出一定的稳定性,可以估计“钉尖向上”的概率是0.618;
③若再次用计算机模拟试验,则当投掷次数为1 000时,“钉尖向上”的频率一定是0.620.
其中合理的是 (　 　)
A.① B.② C.①② D.①③
答案
1.B　【解析】　用频率估计概率时,频数越大,频率越稳定,越趋向于概率,所以“钉尖向上”的概率是0.618,而不是0.616;由于投掷图钉事件是随机事件,所以投掷次数为1 000时,“钉尖向上”的结果数不一定是620次,故频率不一定是0.620.综上所述,推断①③不合理,推断②合理.故选B.
2.某地区林业局要考察一种树苗移植的成活率,对该地区这种树苗移植成活情况进行调查统计,并绘制了如图所示的统计图,根据统计图提供的信息解决下列问题:
(1)这种树苗成活的频率稳定在　 　,成活的概率估计值为　 　;?
(2)该地区已经移植这种树苗5万棵.
①估计该地区已经移植的这种树苗能成活　 　万棵;?
②如果该地区计划成活18万棵这种树苗,那么还需移植这种树苗约多少万棵?
答案
2.【解析】　(1)0.9　0.9
(2)① 4.5
估计该地区已经移植的这种树苗能成活5×0.9=4.5(万棵).
②18÷0.9-5=15(万棵).
答:该地区还需移植这种树苗约15万棵.
3.李老师将一个黑球和若干个白球(球除颜色外其他均相同)放入一个不透明的口袋并搅匀,让学生进行摸球试验,每次从中随机摸出一个球,记下颜色后放回,如表所示是试验得到的一组统计数据.
(1)补全表中的有关数据,根据表中数据估计从袋中摸出一个黑球的概率是　 　.?
(2)估算袋中白球的个数为　 　.?
(3)在(2)的条件下,若小强同学有放回地连续两次摸球,用画树状图或列表的方法计算出两次都摸出白球的概率.
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1 000
摸到黑球的次数m
23
31
60
130
203
251
0.23
0.21
0.30
?
?
?
答案
3.【解析】　(1)补全表格如下:
0.25
(2)3
设口袋中白球有x个,根据从袋中摸出一个黑球的概率大约是0.25,可得11+????=0.25,解得x=3,经检验,x=3是原分式方程的解,且符合题意.所以估算袋中白球的个数为3.
?
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1 000
摸到黑球的次数m
23
31
60
130
203
251
0.23
0.21
0.30
0.26
0.25
0.25
答案
(3)画树状图如下:
?
由树状图可知,共有16种等可能的结果,两次都摸到白球的有9种结果,所以两次都摸出白球的概率为916.
?
易错疑难集训
集训
1.不透明纸箱里有两双拖鞋,除颜色不同外,其他都相同,从中随机取一只不放回,再取一只,则两次取出的鞋颜色恰好相同的概率为?　 .?
答案
1.13 　【解析】　设两双拖鞋的颜色分别为红色,黑色,根据题意,列表如下:
由表格可知,所有等可能的情况有12种,其中两次取出的鞋颜色恰好相同的情况有4种,则两次取出的鞋颜色恰好相同的概率为412=13.
?
易错点1 计算概率时列举不全
?
红左
红右
黑左
黑右
红左
?
(红左,红右)
(红左,黑左)
(红左,黑右)
红右
(红右,红左)
?
(红右,黑左)
(红右,黑右)
黑左
(黑左,红左)
(黑左,红右)
?
(黑左,黑右)
黑右
(黑右,红左)
(黑右,红右)
(黑右,黑左)
?
2.一个不透明的袋子中装有两个黄球、一个红球和一个白球,这些球除颜色外其余均相同.
(1)搅匀后,从袋中随机摸出一个球,恰好是黄球的概率是?　 ;?
(2)搅匀后,从袋中随机摸出两个球,求摸到一个红球和一个黄球的概率.
答案
2.【解析】　(1)12
因为袋子中共有四个小球,其中黄球有两个,所以从袋中随机摸出一个球,恰好是黄球的概率是24=12.
?
易错点1 计算概率时列举不全
答案
(2)画树状图如下:
?
由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中摸到一个红球和一个黄球的结果有4种,
所以摸到一个红球和一个黄球的概率为412=13.
?
易错点1 计算概率时列举不全
　　本题的易错之处是在求解第(2)问时,误认为随机摸出两个球,共可能出现“两黄”“一黄一红”“一黄一白”“一红一白”四种可能的结果,所以随机摸出两个球,摸到一个红球和一个黄球的概率为14.
?
3.为决定谁获得仅有的一张电影票,甲和乙设计了如下的游戏:在三张完全相同的卡片上分别写上字母A,B,B,背面朝上,每次抽取之前先洗匀.
甲说:“我随机抽取一张,抽到字母B,电影票归我”;
乙说:“我随机抽取一张后放回,再随机抽取一张,若两次抽取的字母相同,电影票归我”.
试问:此游戏对谁更有利?
易错点2 “放回”与“不放回”
答案
3.【解析】　对甲更有利.理由如下:
易知甲获得电影票的概率为23.
利用列表法求乙获得电影票的概率,列表如下:
由表格可知,总共有9种等可能的结果,其中两次抽取的字母相同的有5种结果,
所以乙获得电影票的概率为59.
因为23>59,所以此游戏对甲更有利.
?
易错点2 “放回”与“不放回”
4.一个不透明的袋中装有三个球,分别标有数字1,2,3,且这三个球除数字外其他完全相同.
(1)如果一次摸出两个球,用画树状图或列表的方法求摸到的两个球标有的数字的积为奇数的概率;
(2)小明和小亮玩摸球游戏,游戏规则如下:先由小明随机摸出一个球,记下数字后放回,搅匀后再由小亮随机摸出一个球,记下数字.谁摸出的球的数字大,谁获胜.请你用画树状图或列表的方法分析游戏规则对双方是否公平,并说明理由.
答案
4.【解析】　(1)列表如下:
由表格可知,共有6种等可能的结果,其中摸到的两个球标有的数字的积为奇数的结果数为2,∴P(数字的积为奇数)=26=13.
?
易错点2 “放回”与“不放回”
答案
(2)游戏规则对双方公平.理由如下:
列表如下:
由表格可知,P(小明获胜)=13,P(小亮获胜)=13,
∵P(小明获胜)=P(小亮获胜),
∴游戏规则对双方公平.
?
易错点2 “放回”与“不放回”
5.如图是两个可以自由转动的转盘,转盘一被等分成了三个扇形,转盘二被分成不等的两个扇形,并分别标上1,2,3和6,7这五个数字.如果同时转动两个转盘各一次,转盘停止后(指针指在分界线时重转),指针指向的数字之和为偶数的概率是 (　 　)
A.12
B.29
C.512
D.13
?
易错点3 忽视等可能性对概率的影响
答案
5.C　【解析】　将题图中转盘二标6的部分平均分成三部分,分别记为6,6,6,即将转盘二平均分成四份,画树状图如下:
?
由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中指针指向的数字之和为偶数的结果有5种,所以指针指向的数字之和为偶数的概率P=512.故选C.
?
易错点3 忽视等可能性对概率的影响
易错点3 忽视等可能性对概率的影响
　　错解:A
分析:计算此类概率问题的关键是注意事件发生的可能性是否相等,转动转盘一共有三种情形,其中每种发生的可能性各占13,而转盘二发生6和7的两种情形的可能性并不相等,容易画出错误的树状图如下:
忽视事件发生的等可能性,错误得到指针指向的数字之和为偶数的概率P=36=12,导致错选A.
?
6.用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏:分别旋转两个转盘,若其中一个转出红色,另一个转出蓝色即可配成紫色,则可配成紫色的概率是 (　 　)
A.14 B.512
C.38 D.58
?
答案
6.B　【解析】　将转盘一标“蓝”的部分平均分成两部分,分别记为蓝、蓝,即转盘一平均分成三等份,列表如下:
由表格可知,共有12种等可能的结果,其中能配成紫色的结果有5种,所以可配成紫色的概率是512.故选B.
?
易错点3 忽视等可能性对概率的影响
?
红
红
蓝
黄
红
(红,红)
(红,红)
(红,蓝)
(红,黄)
蓝
(蓝,红)
(蓝,红)
(蓝,蓝)
(蓝,黄)
蓝
(蓝,红)
(蓝,红)
(蓝,蓝)
(蓝,黄)
易错点3 忽视等可能性对概率的影响
　　错解:C.
分析:计算此类概率问题的关键是注意事件发生的可能性是否相等,转动转盘二共有4种情形,其中每种发生的可能性各占14,而转盘一发生红和蓝的两种情形的可能性并不相等,容易列出如下错误的表格:
忽视事件发生的等可能性,错误得到可配成紫色的概率为38,导致错选C.
?
?
红
红
蓝
黄
红
(红,红)
(红,红)
(红,蓝)
(红,黄)
蓝
(蓝,红)
(蓝,红)
(蓝,蓝)
(蓝,黄)
1.[2019宁夏中考改编]为了创建文明城市,增强学生的环保意识.随机抽取8名学生,对他们的垃圾分类投放情况进行调查,这8名学生分别标记为A,B,C,D,E,F,G,H,其中“√”表示投放正确,“×”表示投放错误,统计情况如下表.
(1)求8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率;
(2)为进一步了解垃圾分类投放情况,现从8名学生里“有害垃圾”投放错误的学生中随机抽取两名接受采访,求同学A和同学G被抽到的概率.
重点1 利用树状图或表格解决概率问题
答案
1.【解析】　(1)8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率为58.
(2)列表如下:
由表可知,共有12种等可能的结果,其中同学A和同学G被抽到的结果有2种,
所以同学A和同学G被抽到的概率为212=16.
?
重点1 利用树状图或表格解决概率问题
?
A
C
F
G
A
?
AC
AF
AG
C
CA
?
CF
CG
F
FA
FC
?
FG
G
GA
GC
GF
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2.[2018山东青岛中考]小明和小亮计划暑期结伴参加志愿者活动.小明想参加敬老服务活动,小亮想参加文明礼仪宣传活动.他们想通过做游戏来决定参加哪个活动,于是小明设计了一个游戏,游戏规则是:在三张完全相同的卡片上分别标记4,5,6三个数字,一人先从三张卡片中随机抽出一张,记下数字后放回,另一人再从中随机抽出一张,记下数字,若抽出的两张卡片标记的数字之和为偶数,则按照小明的想法参加敬老服务活动,若抽出的两张卡片标记的数字之和为奇数,则按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动.你认为这个游戏公平吗?请说明理由.
重点1 利用树状图或表格解决概率问题
答案
2.【解析】　不公平.理由如下:
根据题意画树状图如下:
?
?
?
由树状图可知,共有9种等可能的结果,其中和为偶数的结果有5种,和为奇数的结果有4种,
故按照小明的想法参加敬老服务活动的概率为59,按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动的概率为49.
因为59≠49,所以这个游戏不公平.
?
重点1 利用树状图或表格解决概率问题
3.[2020北京海淀区模拟]小夏同学从家到学校有A,B两条不同的公交线路.为了解早高峰期间这两条线路上的公交车从家到学校的用时情况,在每条线路上随机选取了500个班次的公交车,收集了这些班次的公交车用时(单位:分)的数据,统计如下:
(1)据此估计,早高峰期间,乘坐B线路用时不超过35分钟的概率为?　 ;?
(2)若要在40分钟内到达学校,应尽量选择乘坐　 　(填A或B)线路. ?
答案
3.(1)15;(2)A　【解析】　(1)∵乘坐B线路用时不超过35分钟的有43+57=100(个),∴乘坐B线路用时不超过35分钟的概率为100500=15.(2)∵A线路不超过40分钟的有59+151+166=376(个),B线路不超过40分钟的有43+57+149=249(个),∴选择A线路.
?
重点2 用频率估计概率
公交车用时/分
25≤t≤30
303540A线路
59
151
166
124
B线路
43
57
149
251
4.小张承包了一片荒山,他想把这片荒山改造成一个苹果园,现在有一种苹果树苗,它的成活率如下表所示:
下面有四个推断:
①随着移植棵数的增加,树苗成活的频率总在0.900附近摆动,显示出一定的稳定性,可以估计树苗成活的概率是0.900;
②当移植的树苗棵数是1 500时,表格记录成活数是1 335,所以这种树苗成活的概率是0.890;
重点2 用频率估计概率
移植棵数(n)
成活数(m)
50
47
0.940
270
235
0.870
400
369
0.923
750
662
0.883
1 500
1 335
0.890
3 500
3 203
0.915
7 000
6 335
0.905
14 000
12 628
0.902
③若小张移植10 000棵这种树苗,则可能成活9 000棵;
④若小张移植20 000棵这种树苗,则一定成活18 000棵.
其中合理的是 (　 　)
A.①③ B.①④
C.②③ D.②④
重点2 用频率估计概率
答案
4.A　【解析】　随着移植棵数的增加,树苗成活的频率总在0.900附近摆动,显示出一定的稳定性,可以估计树苗成活的概率是0.900,故①正确;当移植的树苗棵数是1 500时,移植的棵数较少不能说明此时树苗成活率就是这种树苗成活的概率,故②错误;若小张移植10 000棵这种树苗,由①知树苗成活的概率约是0.900,则可能成活9 000棵,故③正确;若小张移植20 000棵这种树苗,则不一定成活18 000棵,故④错误.故选A.