北师大版九年级上册数学第二章　一元二次方程整章同步练习课件（171张PPT)

第二章　一元二次方程
数学·九年级上册·北师
1　认识一元二次方程
课时1　一元二次方程
课时1
1.[2019天津二十五中月考]下列方程中,是一元二次方程的有 (　 　)
①8x2+x=20;②2x2-3xy+4=0;③x2-1????=4;④x2=0;⑤x2-3x-4=0.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
?
答案
1.B　【解析】　②2x2-3xy+4=0含有两个未知数,不是一元二次方程;③x2-1????=4不是整式方程,不是一元二次方程.故选B.
?
知识点1 一元二次方程的定义
要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,其次看未知数的最高次数是否为2.若是,再对它进行整理.如果能整理为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)的形式,那么这个方程就是一元二次方程.
2.[2019河北唐山路南区期中]若方程(a+1)x2+ax-1=0是关于x的一元二次方程,则a的取值范围是(　 　)
A.a≥1 B.a≠0
C.a≠1 D.a≠-1
答案
2.D　【解析】　依题意得,a+1≠0,解得a≠-1.故选D.
知识点1 一元二次方程的定义
3.易错题[2019广东汕头潮阳区一模]方程(n-3)x|n|-1+3x+3n=0是关于x的一元二次方程,则n=　 　.?
答案
3.-3　【解析】　因为方程(n-3)x|n|-1+3x+3n=0是关于x的一元二次方程,所以|n|-1=2,且n-3≠0,所以n=-3.
知识点1 一元二次方程的定义
利用一元二次方程的定义求解时,注意二次项系数不为0.
4.[2019天津蓟州区期中]一元二次方程4x2-1=5x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为 (　 　)
A.4,-1,5 B.4,-5,-1
C.4,5,-1 D.4,-1,-5
答案
4.B　【解析】　一元二次方程4x2-1=5x可化为4x2-5x-1=0,所以二次项系数、一次项系数、常数项分别为4,-5,-1.故选B.
知识点2 一元二次方程的一般形式
5.若关于x的一元二次方程(m-2)x2+2x+m2-4=0的常数项为0,则m的值是 (　 　)
A.±2 B.2 C.-2 D.无法确定
答案
5.C　【解析】　由题意,得 ????2?4=0,?????2≠0, 解得m=-2.故选C.
?
知识点2 一元二次方程的一般形式
6.一元二次方程(2+x)(3x-4)=5的二次项系数是　 　,一次项系数是　 　,常数项是　 　.?
7.若关于x的一元二次方程x2-2mx-m+2=0的二次项系数、一次项系数和常数项的和为0,则m的值是　 　.?
答案
6.3　2　-13　【解析】　一元二次方程(2+x)(3x-4)=5整理为一般形式得3x2+2x-13=0,所以二次项系数是3,一次项系数是2,常数项是-13.
7.1　【解析】　由题意可得1-2m-m+2=0,解得m=1.
知识点2 一元二次方程的一般形式
8.九年级举行篮球赛,初赛采用单循环制(每两个班之间都进行一场比赛).据统计,比赛共进行了28场,求九年级共有多少个班.若设九年级共有x个班,根据题意列出的方程是 (　 　)
A.x(x-1)=28 B.12x(x-1)=28
C.2x(x-1)=28 D.12x(x+1)=28
?
答案
8.B　【解析】　九年级共有x个班,每个班都要比赛(x-1)场,但两班之间只有一场比赛,故12x(x-1)=28.故选B.
?
知识点3 建立一元二次方程模型
9.[2019广西北部湾经济区中考]扬帆中学有一块长30 m,宽20 m的矩形空地,计划在这块空地上划出四分之一的区域种花,小禹同学设计方案如图所示,求花带的宽度.设花带的宽度为x m,则可列方程为 (　 　)
A.(30-x)(20-x)=34×20×30
B.(30-2x)(20-x)=14×20×30
C.30x+2×20x=14×20×30
D.(30-2x)(20-x)=34×20×30
?
答案
9.D　【解析】　因为花带的宽度为x m,所以剩余的空地的长为(30-2x)m,宽为(20-x)m,根据题意得,(30-2x)(20-x)=34×20×30.故选D.
?
知识点3 建立一元二次方程模型
10.根据下列问题,列出关于x的一元二次方程,并将其化成一般形式.
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x;
(2)一个矩形的长比宽多2,面积是100,求矩形的长x;
(3)一个直角三角形的斜边长为10,两条直角边长相差2,求较长的直角边长x.
答案
10.【解析】　(1)依题意,得4x2=25,
化为一般形式,得4x2-25=0.
(2)依题意,得x(x-2)=100,
化为一般形式,得x2-2x-100=0.
(3)依题意,得x2+(x-2)2=102,
化为一般形式,得x2-2x-48=0.
知识点3 建立一元二次方程模型
课时2　一元二次方程的解
课时2
1.下列方程中有一个解为-1的是 (　 　)
A.2x2-x=0
B.3x2+2x-5=0
C.x2-5x+4=0
D.2x2-3x-5=0
答案
1.D　【解析】　当x=-1时,2x2-x=2+1=3,3x2+2x-5=3-2-5=-4,x2-5x+4=1+5+4=10,2x2-3x-5=2+3-5=0,所以x=-1是方程2x2-3x-5=0的解.故选D.
知识点1 一元二次方程的解
2.已知2是关于x的方程3x2-2a=0的一个解,则a的值是 (　 　)
A.3 B.4 C.5 D.6
3.[2019天津宝坻区期中]已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根-b,则a-b的值为 (　 　)
A.1 B.-1 C.0 D.-2
答案
2.D　【解析】　把x=2代入方程3x2-2a=0,得3×4-2a=0,解得a=6.故选D.
3.A　【解析】　将x=-b代入方程,得b2-ab+b=0,所以-b(a-b-1)=0,因为-b≠0,所以a-b-1=0,即a-b=1.故选A.
知识点1 一元二次方程的解
4.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为1,则a+b+c=　 　;若有一个根为-1,则b与a,c之间的关系为　 　;若有一个根为0,则c=　 　.?
5.[2019四川资阳中考]a是方程2x2=x+4的一个根,则代数式4a2-2a的值是　 　.?
答案
4.0　b=a+c　0　【解析】　将x=1代入ax2+bx+c=0,得a+b+c=0;将x=-1代入ax2+bx+c=0,得a-b+c=0,所以b=a+c;将x=0代入ax2+bx+c=0,得c=0.
5.8　【解析】　∵a是方程2x2=x+4的一个根,∴2a2-a=4,∴4a2-2a=2(2a2-a)=2×4=8.
知识点1 一元二次方程的解
整体代入思想的巧运用
　　遇到系数特别大或者特别小的一元二次方程求解相关代数式的值时,最常用的就是整体代入,这里要注意两点:(1)运用方程解的意义,适当进行变形;(2)观察所求代数式的特征,选取合适的部分当作“整体”,然后进行代入计算.
6.已知m是方程x2-x-2=0的一个实数解,求代数式(m2-m)(m-2????+1)的值.
?
答案
6.【解析】　∵m是方程x2-x-2=0的一个实数解,
∴m2-m-2=0,∴m2-m=2,m-2????=1,
∴(m2-m)(m-2????+1)=2×(1+1)=2×2=4.
?
知识点1 一元二次方程的解
7.[2019四川达州一中月考]观察下列表格,一元二次方程x2-x=1.1的一个近似解是 (　 　)
A.0.11 B.1.19 C.1.73 D.1.67
答案
7.D　【解析】　因为x=1.6时,x2-x=0.96,x=1.7时,x2-x=1.19,所以方程解的范围为1.6知识点2 一元二次方程的近似解
x
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
x2-x
0.11
0.24
0.39
0.56
0.75
0.96
1.19
1.44
1.71
8.输入一组数据,按下列程序进行计算,输出结果如下表:
分析表格中的数据,估计方程(x+8)2-826=0的一个正数解x的大致范围为 (　 　)
A.20.5B.20.6C.20.7D.20.8答案
8.C
知识点2 一元二次方程的近似解
x
20.5
20.6
20.7
20.8
20.9
输出
-13.75
-8.04
-2.31
3.44
9.21
9.要剪一块面积为150 cm2的长方形铁片,使它的长比宽多5 cm,这块铁片应该怎样剪?
设长为x cm,则宽为(x-5)cm,列方程为x(x-5)=150,即x2-5x-150=0.
请根据所列方程回答以下问题:
(1)x可能小于5吗?可能等于10吗?说说你的理由.
(2)完成下表:
(3)你知道铁片的长是多少吗?
知识点2 一元二次方程的近似解
x
10
11
12
13
14
15
16
17
?
x2-5x-150
?
?
?
?
?
?
?
?
?
答案
9.【解析】　(1)x不可能小于5.
理由:若x<5,则x-5<0,不合题意.
x不可能等于10.
理由:若x=10,则x2-5x-150=-100,不合题意.
(2)填表如下:
(3)铁片的长是15 cm.
知识点2 一元二次方程的近似解
x
10
11
12
13
14
15
16
17
?
x2-5x-150
-100
-84
-66
-46
-24
0
26
54
?
求一元二次方程近似解的“三步法”
　　(1)定范围:根据实际问题确定解的大致范围;(2)细计算:在确定取值范围内均匀地取一些x的值,计算出对应的代数式ax2+bx+c的值,进一步缩小解的范围;(3)比较:比较计算的结果,确定方程的近似解.
2　用配方法求解
一元二次方程
课时1　直接开平方法和配方法
课时1
1.易错题方程5x2-20=0的根是 (　 　)
A.x=2 B.x=-2
C.x1=2,x2=-2 D.x=4
答案
1.C　【解析】　原方程可化为x2=4,直接开平方得x=±2,所以x1=2,x2=-2.故选C.
知识点1 用直接开平方法解形如x2=p(p≥0)的方程
用直接开平方法解一元二次方程,一定要注意方程一般有两个解,不要遗漏.
2.方程13(x2+2)=2的解是 (　 　)
A.2 B.-2 C.2或-2 D.4或-4
3.[2019内蒙古包头东河区二模]若关于x的一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是m-1和2m+4,则????????的值为 (　 　)
A.4 B.3 C.2 D.1
?
答案
2.C　【解析】　方程两边同乘以3,得x2+2=6,移项,得x2=4,解得x1=2,x2=-2.故选C.
3.A　【解析】　由直接开方法可知m-1与2m+4互为相反数,∴m-1+2m+4=0,∴m=-1,∴m-1=-2,2m+4=2,∴x2=????????=4.故选A.
?
知识点1 用直接开平方法解形如x2=p(p≥0)的方程
4.一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程,若其中一个一元一次方程是x+6=4,则另一个一元一次方程是 (　 　)
A.x-6=-4 B.x-6=4
C.x+6=4 D.x+6=-4
答案
4.D　【解析】　两边开平方,得x+6=±4,所以另一个一元一次方程是x+6=-4.故选D.
知识点2 用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程
5.[2019吉林中考]若关于x的一元二次方程(x+3)2=c有实数根,则c的值可以为　 　(写出一个即可).?
6.一元二次方程(2x+1)2-81=0的解是　 　.?
答案
5.5(答案不唯一,只要c≥0即可).
6.x1=4,x2=-5　【解析】　(2x+1)2-81=0,2x+1=±9,所以x1=4,x2=-5.
知识点2 用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程
直接开平方法解一元二次方程的步骤
　　(1)将方程化为x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的形式;(2)直接开平方化为两个一元一次方程;(3)解两个一元一次方程得到原方程的解.
7.如果(2a+1+2b)(2a-1+2b)=63,那么a+b的值为　 　.?
8.[2019山东青岛模拟]在实数范围内定义一种运算“*”,其规则为a*b=a2-2ab+b2,根据这个规则求方程(x-4)*1=0的解为　 　.?
答案
7.±4　 【解析】　由题意得(2a+2b)2-1=63,所以2a+2b=±8,所以a+b=±4.
8.x1=x2=5　【解析】　(x-4)*1=(x-4)2-2(x-4)+1=x2-10x+25=0,即(x-5)2=0,解得x1=x2=5.
知识点2 用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程
9.用直接开平方法解下列方程:
(1)x2-6x+9=16;
(2)9x2+24x+16=4(x-1)2.
答案
9.【解析】　(1)原方程可化为(x-3)2=16,
两边开平方,得x-3=±4,
所以x-3=4或x-3=-4,
所以x1=7,x2=-1.
(2)原方程可化为(3x+4)2=4(x-1)2,
两边开平方,得3x+4=±2(x-1),
所以3x+4=2(x-1)或3x+4=-2(x-1),
所以3x+4=2x-2或3x+4=-2x+2,
所以x1=-6,x2=-25.
?
知识点2 用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程
10.[2019山西中考]一元二次方程x2-4x-1=0配方后可化为 (　 　)
A.(x+2)2=3 B.(x+2)2=5
C.(x-2)2=3 D.(x-2)2=5
11.已知方程x2-6x+q=0可以配方成(x-p)2=7的形式,那么p+q的值为 (　 　)
A.5 B.-1 C.2 D.1
答案
10.D　【解析】　x2-4x-1=0,移项得x2-4x=1,配方得x2-4x+4=1+4,即(x-2)2=5.故选D.
11.A　【解析】　由x2-6x+q=0,可得x2-6x=-q,则x2-6x+9=9-q,即(x-3)2=9-q,所以p=3,9-q=7,所以q=2,所以p+q=3+2=5.故选A.
知识点3 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
12.用配方法解下列方程:
(1)2x2-2x=x2-5;
(2)x(x+7)=4x-1.
知识点3 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
答案
12.【解析】　(1)移项、合并同类项,得x2-2x=-5,
配方,得x2-2x+1=-5+1,
所以(x-1)2=-4<0,
所以原方程没有实数根.
(2)去括号,得x2+7x=4x-1,
移项、合并同类项,得x2+3x=-1,
配方,得x2+3x+94=-1+94,即(x+32)2=54,
两边开平方,得x+32=±52,
即x+32=52或x+32=-52,
所以x1=52?32,x2=-52?32.
?
知识点3 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
13.易错题用配方法解一元二次方程x2+8x-5=0.
解:移项,得x2+8x=5.
配方,得x2+8x+16=5,
即(x+4)2=5,
∴x1=-4+5,x2=-4-5.
上面的解题过程正确吗?如不正确,请写出正确的解题过程.
?
答案
13.【解析】　不正确.
移项,得x2+8x=5.
配方,得x2+8x+16=5+16,
即(x+4)2=21,
∴x1=-4+21,x2=-4-21.
?
知识点3 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
课时2　用配方法求解二次项系数
不为1的一元二次方程
课时2
1.下列用配方法解方程2x2-x-6=0的步骤中,开始出现错误的步骤是 (　 　)
2x2-x=6,①
x2-12x=3,②
x2-12x+14=3+14,③
(x-12)2=134.④
A.① B.② C.③ D.④
?
答案
1.C　【解析】　步骤③,配方时,方程的左、右两边应同时加上一次项系数一半的平方,即方程的左、右两边应同时加上116.故选C.
?
知识点1 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
2.[2020广东深圳期中]用配方法解一元二次方程2x2-4x-2=1的过程中,变形正确的是 (　 　)
A.2(x-1)2=1 B.2(x-1)2=5
C.(x-1)2=52 D.(x-2)2=52
?
答案
2.C　【解析】　原方程可化为2x2-4x=3,所以x2-2x=32,配方,得x2-2x+1=1+32,即(x-1)2=52.故选C.
?
知识点1 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
3.易错题若一元二次方程-x2+bx-5=0配方后为(x-3)2=k,则b,k的值分别是 (　 　)
A.6,4 B.6,5 C.-6,5 D.-6,4
答案
3.A　【解析】　因为(x-3)2=k,所以x2-6x+9-k=0,因为一元二次方程-x2+bx-5=0即x2-bx+5=0配方后为(x-3)2=k,所以-b=
-6,9-k=5,所以b=6,k=4.故选A.
知识点1 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
4.当x=　 　时,代数式4x2-8x的值为15.?
5.[2019河北唐山路北区模拟]小华设计了一个魔术盒,将任意实数对(a,b)放入其中,会得到一个新的实数a2-2b-3,若将实数对(2x,-x)放入其中可得到实数-1,则x的值为? 　.?
答案
4.1±192　【解析】　由题意,得4x2-8x=15,二次项系数化为1,得x2-2x=154,配方,得x2-2x+1=154+1,即(x-1)2=194,所以x-1=±192,所以x=1±192.
5.12或-1　【解析】　由题意可得4x2+2x-3=-1,整理、配方得(x+14)2=916,解得x1=-1,x2=12.
?
知识点1 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
6.用配方法解下列方程:
(1)3x2-12x+9=0;
(2)2x2+1=3x.
答案
6.【解析】　(1)方程两边同除以3,得x2-4x+3=0,
移项,得x2-4x=-3,
配方,得x2-4x+4=-3+4,即(x-2)2=1,
两边开平方,得x-2=±1,
即x-2=1或x-2=-1,
所以x1=3,x2=1.
知识点1 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
答案
(2)移项,得2x2-3x=-1,
方程两边同除以2,得x2-32x=-12,
配方,得x2-32x+916=-12+916,
即(x-34)2=116,
两边开平方,得x-34=±14,
即x-34=14或x-34=-14,
所以x1=1,x2=12.
?
知识点1 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
7.已知P=m2-m,Q=m-2,其中m为任意实数,则P与Q的大小关系为 (　 　)
A.P>Q B.P=Q
C.P答案
7.A　【解析】　因为P=m2-m,Q=m-2,所以P-Q=m2-m-(m-2)=m2-2m+2=(m-1)2+1>0,所以P>Q.故选A.
知识点2 配方法的应用
8.[2019四川巴中巴州区期末]已知x2+5y2-4xy=6y-9,则x+y=　 　.?
答案
8.9　【解析】　x2+5y2-4xy=6y-9,配方得x2-4xy+4y2+y2-6y+9=0,即(x-2y)2+(y-3)2=0,∴x-2y=0,y-3=0,解得y=3,x=6,∴x+y=6+3=9.
知识点2 配方法的应用
拆分“双字母”的配方法
　　遇到“双字母”的整式时,可以观察所给两个字母的特征,判断是不是有二次项,是不是有常数项,然后按照完全平方式将常数项进行拆分,得到两个新数的和,然后用配方法分别配方,从而将原式变成两个完全平方式的和的形式.
9.不论x取什么实数,x2+2x+5的值一定是一个正数,你能说明理由吗?
答案
9.【分析】　要说明x2+2x+5一定是一个正数,只要把它化为“a2+正数”的形式即可.
【解析】　x2+2x+5=(x2+2x+1)+4=(x+1)2+4,
∵(x+1)2≥0,∴(x+1)2+4>0.
故不论x取什么实数,x2+2x+5的值一定是一个正数.
知识点2 配方法的应用
代数式的配方与方程的配方的区别
　　(1)将二次项系数化为1时,代数式是提出二次项系数,而方程是直接除以二次项系数;(2)配方时,代数式是先加上一次项系数一半的平方,再减去一次项系数一半的平方,而方程是两边同时加上一次项系数一半的平方.
10.用长为32米的篱笆围建一个矩形养鸡场,设围成的矩形一边长为x米.
(1)当x为何值时,围成的养鸡场面积为60平方米?
(2)能否围成面积为70平方米的养鸡场?如果能,请求出其各边长;如果不能,请说明理由.
答案
10.【解析】　(1)因为矩形的一边长为x米,
所以另一边长为(16-x)米,
根据题意,得x(16-x)=60,
化简,得x2-16x=-60,
配方,得(x-8)2=4,
解得 x1=6,x2=10.
所以当x为6或10时,围成的养鸡场面积为60平方米.
知识点2 配方法的应用
答案
(2)不能.理由如下:
由题意,得x(16-x)=70,
化简,得x2-16x=-70,
配方,得(x-8)2=-6.
因为(x-8)2≥0,-6<0,
所以此方程无实数解,
所以不能围成面积为70平方米的养鸡场.
知识点2 配方法的应用
1.在解方程2x2+4x+1=0时,对方程进行配方,文本框①中是嘉嘉的方法,文本框②中是琪琪的方法,则 (　 　)
A.两人都正确
B.嘉嘉正确,琪琪不正确
C.嘉嘉不正确,琪琪正确
D.两人都不正确
答案
1.A
2.用配方法解下列方程时,配方错误的是 (　 　)
A.x2+2x-99=0化为(x+1)2=100
B.2x2-7x-4=0化为(x-74)2=8116
C.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25
D.3x2-4x-2=0化为(x-23)2=109
?
答案
2.C　【解析】　在A中,方程x2+2x-99=0,移项得x2+2x=99,两边同时加1得x2+2x+1=100,即(x+1)2=100,所以A不符合题意;在B中,方程2x2-7x-4=0可化为 x2-72x=2,配方得(x-74)2=8116,所以B不符合题意;在C中,方程x2+8x+9=0,移项得x2+8x=-9,配方得(x+4)2=7,所以C符合题意;在D中,方程3x2-4x-2=0可化为x2-43x=23,配方得(x-23)2=109,所以D不符合题意.故选C.
?
3.我们已经学习了利用配方法解一元二次方程,其实配方法还有其他重要应用.
例:已知x可取任何实数,试求二次三项式2x2-12x+14的值的范围.
解:2x2-12x+14=2(x2-6x)+14
=2(x2-6x+32-32)+14
=2[(x-3)2-9]+14
=2(x-3)2-18+14
=2(x-3)2-4.
∵无论x取何实数,总有(x-3)2≥0,
∴2(x-3)2-4≥-4,
即无论x取何实数,2x2-12x+14的值总是不小于-4的实数.
问题:已知x可取任何实数,则二次三项式-3x2+12x+11的最值情况是 (　 　)　　　　　　　　　　　 　　　　　
A.有最小值-23 B.有最大值-23
C.有最小值23 D.有最大值23
答案
3.D　【解析】　-3x2+12x+11=-3(x2-4x)+11=-3(x2-4x+4-4)+11=-3(x-2)2+12+11=-3(x-2)2+23,∵无论x取何实数,总有(x-2)2≥0,∴-3(x-2)2≤0,∴-3(x-2)2+23≤23,即无论x取何实数,二次三项式-3x2+12x+11有最大值23.故选D.
求二次三项式最值的策略
　　(1)将二次三项式的二次项系数化为1,即用提公因式法提出二次项系数;(2)采用配方法进行配方,凑完全平方式;(3)对于一个二次三项式,若二次项系数为正,则该式有最小值,若二次项系数为负,则该式有最大值.
4.用配方法解下列方程:
(1)-2x2+6x+3=0;
(2)12x2-6x-7=0.
?
答案
4.【解析】　(1)原方程可化为x2-3x-32=0,
移项,得x2-3x=32,
配方,得x2-3x+94=32+94,
即(x-32)2=154,
两边开平方,得x-32=±152,
解得x1=3+152,x2=3?152.
?
答案
(2)原方程可化为x2-12x-14=0,
移项,得x2-12x=14,
配方,得x2-12x+36=14+36,
即(x-6)2=50,
两边开平方,得x-6=±52,
解得x1=6+52,x2=6-52.
?
5.利用配方法解决下列问题:
(1)已知x2+y2-6x+10y+34=0,求3x-2y的值;
(2)已知多项式2x2-4x+k的最小值为5,求k的值.
答案
5.【解析】　(1)∵x2+y2-6x+10y+34=0,
∴x2-6x+9+y2+10y+25=0,
∴(x-3)2+(y+5)2=0,∴x=3,y=-5,
∴3x-2y=3×3-2×(-5)=19.
(2)2x2-4x+k=2(x2-2x+????2)=2(x2-2x+1-1+????2)=2[(x-1)2-1+????2]=2(x-1)2-2+k≥-2+k.
∴-2+k=5,∴k=7.
?
6.已知直角三角形的三边长分别为a,b,c,且两直角边长a,b满足等式(a2+b2)2-2(a2+b2)-15=0,求斜边长c的值.
答案
6.【解析】　(a2+b2)2-2(a2+b2)-15=0可变形为(a2+b2)2-2(a2+b2)+1-1-15=0,即(a2+b2-1)2=16,
两边开平方,得a2+b2-1=±4,
所以a2+b2=5(负值舍去),
所以c=????2+????2=5.
?
3　用公式法求解
一元二次方程
课时1　公式法与根的判别式
课时1
1.用公式法解一元二次方程x2-4x=3时,下列计算b2-4ac的结果中,正确的是 (　 　)　　　　　　　　　　　 　　　　　
A.4 B.28 C.20 D.-4
2.将方程(3x-1)(x+2)=6化成一般形式为　 　,b2-4ac=　 　,用求根公式求得x1=　 　,x2=　 　.?
答案
1.B　【解析】　原方程可变形为x2-4x-3=0,可知a=1,b=-4,c=-3,所以b2-4ac=(-4)2-4×1×(-3)=16+12=28.故选B.
2.3x2+5x-8=0　121　1　-83　【解析】　化简方程(3x-1)(x+2)=6,得3x2+5x-8=0,∴b2-4ac=52-4×3×(-8)=121>0, ∴x=?5±1216,∴x1=1,x2=-83.
?
知识点1 一元二次方程的求根公式
3.[2019山东烟台期末]以x=3±9+4????2(-94≤c≤94)为根的一元二次方程可能是 (　 　)
A.x2-3x-c=0 B.x2+3x-c=0
C.x2-3x+c=0 D.x2+3x+c=0
?
答案
3.A　【解析】　A项,x2-3x-c=0的根为x=3±9+4????2,符合题意;B项,x2+3x-c=0的根为x=?3±9+4????2,不符合题意;C项,x2-3x+ c=0的根为x=3±9?4????2,不符合题意;D项,x2+3x+c=0的根为x=?3±9?4????2,不符合题意.故选A.
?
知识点2 用公式法解一元二次方程
4.[2019山东威海中考]一元二次方程3x2=4-2x的解是　 　 .?
答案
4.x1=?1+133,x2=?1?133　【解析】　将3x2=4-2x化为一般式为3x2+2x-4=0,所以b2-4ac=4-4×3×(-4)=52>0,所以x=?2±526,即x1=?1+133,x2=?1?133.
?
知识点2 用公式法解一元二次方程
5.用公式法解下列方程:
(1)3x2+x-1=0;
(2)12x2+18=12x;
(3)x2+25x-2=0;
(4)(3x+2)(x+3)=x+14.
?
答案
5.【解析】　(1)这里a=3,b=1,c=-1,
∵b2-4ac=12-4×3×(-1)=13>0,
∴x=?1±136,
即x1=?1+136,x2=?1?136.
?
知识点2 用公式法解一元二次方程
答案
(2)将原方程化为一般形式,得4x2-4x+1=0,
这里a=4,b=-4,c=1,
∵b2-4ac=(-4)2-4×4×1=0,
∴x=?(?4)±02×4=12,
即x1=x2=12.
(3)这里a=1,b=25,c=-2,
∵b2-4ac=(25)2-4×1×(-2)=28>0,
∴x=?25±282=-5±7,
即x1=-5+7,x2=-5?7.
?
知识点2 用公式法解一元二次方程
答案
(4)将原方程化为一般形式,得3x2+10x-8=0,
这里a=3,b=10,c=-8,
∵b2-4ac=102-4×3×(-8)=196>0,
∴x=?10±1966=?5±73,
即x1=23,x2=-4.
?
知识点2 用公式法解一元二次方程
6.[2020福建龙岩期中]一元二次方程2x2-5x-2=0的根的情况是 (　 　)
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
答案
6.B　【解析】　在一元二次方程2x2-5x-2=0中,a=2,b=-5,c=-2,∴Δ=b2-4ac=(-5)2-4×2×(-2)=41>0,∴该方程有两个不相等的实数根.故选B.
知识点3 一元二次方程的根的判别式
7.易错题若关于x的一元二次方程kx2-2kx+4=0有两个相等的实数根,则k的值为 (　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A.0或4 B.4或8
C.0 D.4
答案
7.D　【解析】　因为关于x的一元二次方程kx2-2kx+4=0有两个相等的实数根,所以k≠0,Δ=(-2k)2-4×k×4=0,所以k=4.故选D.
知识点3 一元二次方程的根的判别式
本题容易忽视二次项系数不为0的条件,从而出现错解A.
8.[2019浙江宁波中考]能说明命题“关于x的方程x2-4x+m=0一定有实数根”是假命题的反例为 (　 　)
A.m=-1 B.m=0 C.m=4 D.m=5
答案
8.D　【解析】　关于x的方程x2-4x+m=0一定有实数根,则Δ=(-4)2-4×m≥0,即m≤4,所以m=5可作为说明命题“关于x的方程x2-4x+m=0一定有实数根”是假命题的反例.故选D.
知识点3 一元二次方程的根的判别式
9.不解方程,直接判断下列一元二次方程的根的情况.
(1)x2-3x-7=0;
(2)9x2+6x+1=0;
(3)2x2-5x+4=0.
答案
9.【解析】　(1)a=1,b=-3,c=-7,Δ=b2-4ac=9+28=37>0,所以方程有两个不相等的实数根.
(2)a=9,b=6,c=1,Δ=b2-4ac=36-36=0,
所以方程有两个相等的实数根.
(3)a=2,b=-5,c=4,Δ=b2-4ac=25-32=-7<0,
所以方程无实数根.
知识点3 一元二次方程的根的判别式
知识点3 一元二次方程的根的判别式
判断方程根的情况的两种方法
　　(1)关于一元二次方程根的情况的问题一般都与b2-4ac有关,抓住b2-4ac与0的大小关系推出一元二次方程根的三种不同情况是解决这类问题的关键;(2)也可以通过以下方式进行判断:①若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中左边是一个完全平方式,则该方程有两个相等的实数根;②若方程中a,c异号,或b≠0且c=0时,该方程有两个不相等的实数根;③当方程中a,c同号时,必须通过Δ的符号来判断根的情况.
10.[2018北京中考]关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0.
(1)当b=a+2时,利用根的判别式判断方程根的情况;
(2)若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的a,b的值,并求此时方程的根.
知识点3 一元二次方程的根的判别式
答案
10.【分析】　(1)将b=a+2代入原方程,根据一元二次方程根的判别式判断即可.(2)先根据方程有两个相等的实数根得到a,b之间的数量关系,再选择一组合适的a,b的值代入,求解即可.
【解析】　(1)当b=a+2时,原方程可变形为ax2+(a+2)x+1=0,
Δ=(a+2)2-4a=a2+4>0,
故当b=a+2时,关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根.
(2)若方程有两个相等的实数根,
则Δ=b2-4a=0.
当a=1,b=2时,满足b2-4a=0,
此时方程为x2+2x+1=0,
所以方程的根为x1=x2=-1.
(第(2)问中a,b的值及方程的根均不唯一,符合题意,解答正确即可得分)
知识点3 一元二次方程的根的判别式
1.易错题[2019江苏南通二模]关于x的一元二次方程(m-2)x2-2x+1=0有实数解,那么m的取值范围是 (　 　)
A.m<3 B.m≤3
C.m≥3 D.m≤3且m≠2
答案
1.D　【解析】　根据题意得,m≠2,Δ=4-4(m-2)≥0,所以m≤3且m≠2.故选D.
2.定义:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a-b+c=0,那么我们称这个方程为“美丽”方程.已知ax2+bx+c=0(a≠0) 是“美丽”方程,且有两个相等的实数根,则下列结论正确的是 (　 　)　　　　　　　　　　　 　　　　　
A.a=b=c B.a=b
C.b=c D.a=c
答案
2.D　【解析】　由题意得b2-4ac=0,因为a-b+c=0,所以b=a+c,所以(a+c)2-4ac=0,即(a-c)2=0,所以a=c.故选D.
3.[2019河北中考]小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x=-1.他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2,则原方程的根的情况是 (　 　)
A.不存在实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有一个根是x=-1
D.有两个相等的实数根
答案
3.A　【解析】　∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x=-1,∴(-1)2-4+c=0,解得c=3,故原方程中c=5,则b2-4ac=16-4×1×5=-4<0,则原方程的根的情况是不存在实数根.故选A.
4.[2019辽宁丹东中考]等腰三角形一边长为2,它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2-6x+k=0的两个实数根,则k的值是 (　 　)
A.8 B.9 C.8或9 D.12
答案
4.B　【解析】　当等腰三角形的底边长为2时,关于x的一元二次方程x2-6x+k=0有两个相等的实数根,∴Δ=36-4k=
0,∴k=9,此时两腰长均为3,能构成三角形,∴k=9符合题意;当等腰三角形的腰长为2时,x=2是方程x2-6x+k=0的一根,
∴4-12+k=0,∴k=8,此时另外一根为x=4,∵2+2=4,∴不能组成三角形.综上所述,k=9.故选B.
5. 若|b-1|+?????4=0,且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根,则k的取值范围是　 　.?
?
答案
5.k≤4且k≠0　【解析】　因为|b-1|+?????4=0,所以b=1,a=4,所以原方程为kx2+4x+1=0.因为一元二次方程kx2+4x+1=0有两个实数根,所以42?4????≥0,????≠0,??????????? 解得k≤4且k≠0.
?
6.[2019湖南衡阳中考]关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)如果k是符合条件的最大整数,且一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0与方程x2-3x+k=0有一个相同的根,求此时m的值.
答案
6.【解析】　(1)根据题意,得Δ=(-3)2-4k≥0,解得k≤94.
(2)由题意知,k=2,m-1≠0,则m≠1,方程为x2-3x+2=0,解得x1=1,x2=2,
∵一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0与方程x2-3x+k=0有一个相同的根,
∴当相同的根为x=1时,m-1+1+m-3=0,解得m=32;
当相同的根为x=2时,4(m-1)+2+m-3=0,解得m=1(舍去).
∴m的值为32.
?
7.[2019吉林长春绿园区期末]小明说他发现了判断一类方程有无实数根的一种简易方法:若一元二次方程ax2+bx+ c= 0(a≠0)的系数a,c异号(即两数为一正一负),那么这个方程一定有两个不相等的实数根.
他的发现正确吗?请你先举实例验证一下是否正确,若你认为他的发现是一般规律,请加以证明.
答案
7.【解析】　小明的发现正确,如x2+x-2=0,这里a=1,c=-2,
解方程得,x1=-2,x2=1.
若a,c异号,则Δ=b2-4ac>0,
故这个方程一定有两个不相等的实数根.
8.[2020江苏扬州江都区期中]已知关于x的一元二次方程mx2-(m+2)x+2=0.
(1)证明:不论m为何值,方程总有实数根.
(2)m为何整数时,方程有两个不相等的正整数根?
答案
8.【解析】　(1)∵a=m,b=-(m+2),c=2,
∴Δ=b2-4ac=(m+2)2-8m=m2+4m+4-8m=m2-4m+4=(m-2)2≥0,
∴不论m为何值,方程总有实数根.
(2)由题意知x=????+2±(?????2)22????=????+2±(?????2)2????,
∴x1=????+2+?????22????=1,x2=????+2?????+22????=2????.
∵m是整数,方程有两个不相等的正整数根,
∴2????=2,解得m=1,
∴当m=1时,方程有两个不相等的正整数根.
?
一元二次方程的根为整数需满足的条件
　　对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),若方程的根为整数,则:(1)Δ=b2-4ac必须是一个完全平方数;(2)-b±????2?4????????必须是2a的整数倍.二者缺一不可.
?
9.[2020山东枣庄山亭区期中]已知?ABCD的两边AB,AD的长是关于x的方程x2-mx+????2?14=0的两个根.
(1)当m为何值时,四边形ABCD是菱形?求出此时菱形的边长.
(2)若AB的长为2,则?ABCD的周长是多少?
?
答案
9.【解析】　(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,
即方程x2-mx+????2?14=0有两个相等的实数根,
∴Δ=m2-4(????2?14)=m2-2m+1=(m-1)2=0,
∴m=1.
故当m=1时,四边形ABCD是菱形.
把m=1代入方程,得x2-x+14=0,解得x1=x2=12,
∴此时菱形ABCD的边长是12.
?
答案
(2)把x=2代入原方程得4-2m+????2?14=0,
解得m=52,
把m=52代入原方程得x2-52x+1=0,
解得x1=2,x2=12,∴AD=12,
∴?ABCD的周长是2×(2+12)=5.
?
课时2　公式法的实际应用
课时2
1.如图,六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成,其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和,若丙的直角边长为2,且丁的面积比丙的面积小,则丁的直角边长是 (　 　)　　　　　　　 　　　　　
A.12
B.4±23
C.4+23
D.4-23
?
答案
1.D　【解析】　设丁的直角边长为x,根据题意得,2x+2x=12×22+12x2,整理得x2-8x+4=0,解得x=4±23,∵4+23>2,不合题意,舍去,∴x=4-23.故选D.
?
知识点　公式法在实际生活中的应用
2.如图,某小区在宽20 m,长32 m的矩形场地上修同样宽的三条人行道(阴影部分),余下的部分种花草.若种植花草的面积为589 m2,求道路的宽度.
答案
2.【解析】　设道路的宽度为x m,
根据题意,得(20-x)(32-x)=589,
整理得,x2-52x+51=0,
解得x1=51(不合题意,舍去),x2=1.
答:道路的宽度为1 m.
知识点　公式法在实际生活中的应用
列一元二次方程解决面积问题,常用的方法是通过平移变换,化不规则图形为规则图形,再利用图形面积公式列一元二次方程解决.
3.如图,张大叔从市场上买回一张矩形铁皮,他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后,剩下的部分刚好能围成一个容积为15米3的无盖长方体箱子,且此长方体箱子底面的长比宽多2米.现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱,问张大叔购买这张矩形铁皮共花了多少钱?
答案
3.【解析】　设长方体箱子底面的宽为x米,则长为(x+2)米,
根据题意,得1×x×(x+2)=15,
解得x1=3,x2=-5(不合题意,舍去),
所以(x+2)×(x+4)×20=5×7×20=700(元).
答:张大叔购买这张矩形铁皮共花了700元钱.
知识点　公式法在实际生活中的应用
4.[2019河南洛阳期末]如图,学校准备在教学楼后面搭建一简易矩形自行车车棚,一边利用教学楼的后墙(可利用的墙长为18 m),另外三边利用学校现有的总长38 m的铁栏围成.
(1)若围成的面积为180 m2,试求出自行车车棚的长和宽;
(2)能围成面积为200 m2的自行车车棚吗?如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由.
知识点　公式法在实际生活中的应用
答案
4.【解析】　(1)设车棚的宽为x m,则长为(38-2x)m,
根据题意得,x(38-2x)=180,
解得x1=10,x2=9.
当x=10时,38-2x=18,
当x=9时,38-2x=20>18,不合题意,舍去,
所以若围成的面积为180 m2,自行车车棚的长和宽分别为18 m,10 m.
(2)不能围成面积为200 m2的自行车车棚.理由如下:
设车棚的宽为y m,则长为(38-2y)m,
根据题意得,y(38-2y)=200,
整理,得y2-19y+100=0,
Δ=b2-4ac=361-400=-39<0,
所以此方程没有实数根,
所以不能围成面积为200 m2的自行车车棚.
知识点　公式法在实际生活中的应用
5.汽车在行驶过程中,由于惯性作用,刹车后还要向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为刹车距离.在一段限速为35 km/h的弯道上,甲、乙两车相向而行,发现情况不对时,同时刹车,但还是相撞了,事故现场测得甲车的刹车距离为12 m,乙车的刹车距离为10 m,已知甲车的刹车距离s甲(m)与车速x(km/h)之间的关系是s甲=0.1x+0.01x2,乙车的刹车距离s乙(m)与车速y(km/h)之间的关系是s乙=0.05y+0.005y2,请你从两车的速度方面分析事故原因.
知识点　公式法在实际生活中的应用
答案
5.【解析】　∵甲车的刹车距离为12 m,
∴0.1x+0.01x2=12,
解得x1=30,x2=-40(舍去),
∴甲车的车速为30 km/h,而30<35,
∴甲车没有超过限速.
∵乙车的刹车距离为10 m,
∴0.05y+0.005y2=10,
解得y1=40,y2=-50(舍去),
∴乙车的车速为40 km/h,而40>35,
∴乙车超过限速.
∴从两车的速度方面分析,两车相撞的原因是乙车超速行驶.
知识点　公式法在实际生活中的应用
4　用因式分解法求解
一元二次方程
1.我们解一元二次方程3x2-6x=0时,可以运用因式分解法,将此方程化为3x(x-2)=0,从而得到两个一元一次方程:3x=0或x-2=0,进而得到原方程的解为x1=0,x2=2.这种解法体现的数学思想是 (　 　)
A.转化思想　　　　　 B.函数思想
C.数形结合思想 D.以上都不正确
2.一元二次方程(x+3)(x-7)=0的两个根是 (　 　)
A.x1=3,x2=-7 B.x1=3,x2=7
C.x1=-3,x2=7 D.x1=-3,x2=-7
答案
1.A
2.C　【解析】　由题意可得,x+3=0或x-7=0,所以x1=-3,x2=7.故选C.
知识点1 因式分解法的依据
3.用因式分解法解方程,下列运算过程正确的是 (　 　)
A.(2x-2)(3x-4)=0,则2-2x=0或3x-4=0
B.(x+3)(x-1)=1,则x+3=0或x-1=1
C.(x-2)(x-3)=2×3,则x-2=2或x-3=3
D.x(x+2)=0,则x+2=0
答案
3.A　【解析】　用因式分解法时,方程的右边为0,才可以达到化为两个一元一次方程的目的.因此B,C错误,D中漏了一个一元一次方程,应该是x=0或x+2=0.故选A.
知识点2 用因式分解法解一元二次方程
4.易错题[2019天津西青区二模]方程3x(x-1)-x+1=0的根为 (　 　)
A.x=13 B.x=1
C.x1=-1,x2=-13 D.x1=1,x2=13
?
答案
4.D　【解析】　∵3x(x-1)-x+1=0,∴3x(x-1)-(x-1)=0,∴(x-1)(3x-1)=0,∴x1=1,x2=13.故选D.
?
知识点2 用因式分解法解一元二次方程
5.若用因式分解法解一元二次方程4(x+2)2-9(2x-1)2=0,首先将左端的式子用　 　公式分解为[2(x+2)+3(2x-1)][2(x+ 2)-3(2x-1)]=0,然后转化为两个一元一次方程　 　,从而求得方程的根为　 　 .?
6.小华在解一元二次方程x2-4x=0时,只得出一个根是x=4,则被他漏掉的一个根是　 　.?
答案
5.平方差　2(x+2)+3(2x-1)=0或2(x+2)-3(2x-1)=0　x1=-18,x2=74
6.x=0　【解析】　将方程分解因式,得x(x-4)=0,解得x1=0,x2=4.故被他漏掉的一个根是x=0.
?
知识点2 用因式分解法解一元二次方程
7.解下列方程:
(1)(3x-2)2+2-3x=0;
(2)4x(2x+1)=3(2x+1);
(3)(3x+1)2+4(3x+1)+4=0;
(4)2(x-2)2=x2-4.
答案
7.【解析】　(1)原方程可变形为(3x-2)2-(3x-2)=0,
(3x-2)(3x-2-1)=0,
(3x-2)(3x-3)=0,
3x-2=0或3x-3=0,
∴x1=23,x2=1.
?
知识点2 用因式分解法解一元二次方程
答案
(2)原方程可变形为4x(2x+1)-3(2x+1)=0,
(2x+1)(4x-3)=0,
2x+1=0或4x-3=0,
∴x1=-12,x2=34.
(3)原方程可变形为(3x+1+2)2=0,即(3x+3)2=0,
∴x1=x2=-1.
(4)原方程可变形为2(x-2)2-(x+2)(x-2)=0,
(x-2)[2(x-2)-(x+2)]=0,
即(x-2)(x-6)=0,
∴x1=2,x2=6.
?
知识点2 用因式分解法解一元二次方程
8.已知下列方程,请把它们的序号填在最适当的解法后的横线上.
① 2(x-1)2=6;②(x-2)2+x2=4;③(x-2)(x-3)=3;④ x2-2x-1=0;⑤ x2-2x-99=0.
(1)直接开平方法:　 　.?
(2)配方法:　 　.?
(3)公式法:　 　.?
(4)因式分解法:　 　.?
答案
8.(1)①;(2)④⑤;(3)③;(4)②
知识点3 选择合适的方法解一元二次方程
9.用合适的方法解下列方程:
(1)x2-8x-6=0;
(2)2(x-3)2=8;
(3)4x2-6x-3=0;
(4)(2x-3)2=5(2x-3).
答案
9.【解析】　(1)配方,得x2-8x+16-16-6=0,
(x-4)2=22,
两边开平方,得x-4=±22,
即x-4=22或x-4=-22,
∴x1=22+4,x2=-22+4.
?
知识点3 选择合适的方法解一元二次方程
答案
(2)方程两边同除以2,得(x-3)2=4,
两边开平方,得x-3=±2,
∴x1=5,x2=1.
(3)这里a=4,b=-6,c=-3,
∵b2-4ac=(-6)2-4×4×(-3)=84>0,
∴x=6±842×4=6±2218=3±214,
即x1=3+214,x2=3?214.
(4)原方程可变形为(2x-3)2-5(2x-3)=0,
(2x-3)[(2x-3)-5]=0,
2x-3=0或2x-8=0,
∴x1=32,x2=4.
?
知识点3 选择合适的方法解一元二次方程
1.关于x的一元二次方程(m-2)x2+5x+m2-2m=0的常数项为0,则m的值为 (　 　)　　　　　 　　　　　
A.1 B.2
C.1或2 D.0
答案
1.D　【解析】　∵关于x的一元二次方程(m-2)x2+5x+m2-2m=0的常数项为0,∴m-2≠0且m2-2m=0,∴m=0.故选D.
2.已知三角形两边的长分别是4和6,第三边的长是一元二次方程x2-16x+60=0的一个实数根,则该三角形的周长是(　 　)
A.20 B.20或16
C.16 D.18或21
答案
2.C　【解析】　解方程x2-16x+60=0得x1=6,x2=10.当x=6时,三角形的三边长分别为6,4,6,所以此时该三角形的周长是16;当x=10时,以10,4,6为边长不能构成三角形.故该三角形的周长为16.故选C.
3.[2020辽宁沈阳模拟]如图,将一块正方形空地划出部分区域进行绿化,原空地一边减少了2 m,另一边减少了3 m,剩余一块面积为20 m2的矩形空地,则原正方形空地的边长是 (　 　)
A.10 m
B.9 m
C.8 m
D.7 m
答案
3.D　【解析】　设原正方形的边长为x m,依题意得(x-3)(x-2)=20,解得x1=7,x2=-2(不合题意,舍去),所以原正方形的边长为7 m.故选D.
4.方程x2-2=|x|的根的个数是 (　 　)
A.4 B.2
C.1 D.0
答案
4.B　【解析】　当x≥0时,原方程可化为x2-x-2=0,解得x1=2,x2=-1(舍去);当x<0时,原方程可化为x2+x-2=0,解得x1=-2,
x2=1(舍去).∴原方程有2个根.故选B.
5.设一元二次方程x2+5x=0的较大的根为m,x2-3x-4=0的较小的根为n,则m+n的值为　 　.?
6.已知非零的实数x满足(x2-x)2-4(x2-x)=0,则代数式x2-x+1的值为　 　.?
答案
5.-1　【解析】　∵x2+5x=0,∴x(x+5)=0,∴x1=0,x2=-5,∴m=0.∵x2-3x-4=0,得x1=-1,x2=4,∴n=-1,∴m+n=0-1=-1.
6.1或5　【解析】　原方程可变形为(x2-x)(x2-x-4)=0,则 x2-x=0或x2-x=4,所以x2-x+1的值为1或5.
7.对于实数a,b,定义运算:a※b=a2-ab,例如,5※3=52-5×3=10.若(x+1)※(3x-2)=0,求x的值.
答案
7.【解析】　由题意知,(x+1)2-(x+1)(3x-2)=0,则(x+1)[(x+1)-(3x-2)]=0,
整理,得(x+1)(-2x+3)=0,
∴x+1=0或-2x+3=0,
解得x1=-1,x2=32,
∴x的值为-1或32.
?
8.先阅读下列材料,然后解决后面的问题.
材料:因为二次三项式x2+(a+b)x+ab=(x+a)·(x+b),
所以方程x2+(a+b)x+ab=0可以这样解:
(x+a)(x+b)=0,x+a=0或x+b=0,
所以x1=-a,x2=-b.
利用上述原理,解决下列问题:
(1)如果三角形的两边长分别是方程x2-8x+15=0的两个根,那么连接这个三角形三边的中点,得到的三角形的周长可能是 (　 　)
A.5.5 B.5 C.4.5 D.4
(2)求方程x2-3x+2=0的根.
答案
8.【解析】　(1)A　
根据题意,原方程可变形为(x-3)(x-5)=0,解得x1=3,x2=5,所以第三边长在2到8之间,所以这个三角形的周长在10到16之间,因此连接这个三角形三边的中点,得到的三角形的周长在5到8之间,可能是5.5.故选A.
(2)根据题意,原方程可化为(x-1)(x-2)=0,
解得x1=1,x2=2.
9.为解方程x4-5x2+4=0,我们可以将x2视为一个整体,然后设x2=y,则x4=y2,将原方程化为y2-5y+4=0,解这个方程得y1=1,y2=4,所以原方程的解为x1=1,x2=-1,x3=2,x4=-2.
利用上述方法解方程:(x2-2x)2+x2-2x-6=0.
答案
9.【解析】　设x2-2x=t,原方程可化为t2+t-6=0,
解得t1=-3,t2=2.
当t=-3时,x2-2x=-3,
即x2-2x+3=0,此方程无实数根;
当t=2时,x2-2x=2,方程可化为x2-2x+1-3=0,
即(x-1)2-(3)2=0,
因式分解得(x-1+3)(x-1-3)=0,
解得x1=1+3,x2=1-3.
所以原方程的解为x1=1+3,x2=1-3.
?
*5　一元二次方程的根与
系数的关系
1.[2019江苏泰州中考]方程2x2+6x-1=0的两根为x1,x2,则x1+x2等于 (　 　)
A.-6 B.6
C.-3 D.3
答案
1.C　【解析】　x1+x2=-????????=-3.故选C.
?
知识点1 一元二次方程的根与系数的关系
2.[2019江苏泰州姜堰区月考]已知一元二次方程的两根分别是3和-2,则这个一元二次方程是 (　 　)
A.x2-x+6=0
B.x2+5x-6=0
C.x2-x-6=0
D.x2+x-6=0
答案
2.C
知识点1 一元二次方程的根与系数的关系
3.[2019湖北天门中考]若方程x2-2x-4=0的两个实数根为α,β,则α2+β2的值为 (　 　)
A.12 B.10
C.4 D.-4
答案
3.A　【解析】　∵方程x2-2x-4=0的两个实数根为α,β,∴α+β=2,αβ=-4,∴α2+β2=(α+β)2-2αβ=4+8=12.故选A.
知识点1 一元二次方程的根与系数的关系
4.下列一元二次方程中,两根均为负数的是 (　 　)
A.7x2-12x+5=0
B.6x2-13x-5=0
C.4x2+21x+5=0
D.x2+15x-8=0
答案
4.C　【解析】　两根均为负数时,根据根与系数的关系,可得两根之和小于0,两根之积大于0,并且b2-4ac≥0,由此可知选C.
知识点1 一元二次方程的根与系数的关系
5.已知x1,x2是一元二次方程x2+x+m=0的两个根,且x1+x2=2+x1x2,则m=　 　.?
答案
5.-3　【解析】　∵x1,x2是一元二次方程x2+x+m=0的两个根,∴x1+x2=-1,x1x2=m.∵x1+x2=2+x1x2,即-1=2+m,∴m=-3.
知识点1 一元二次方程的根与系数的关系
6.[2020湖北黄石模拟]已知m,n是方程x2+2x-2 019=0的两根.
求:(1)????????+????????的值;
(2)m2+m-n的值.
?
答案
6.【解析】　由题意知,m,n是方程x2+2x-2 019=0的两根,则m2+2m=2 019,根据根与系数的关系,得m+n=-2,mn=-2 019.
(1)????????+????????=????2+????2????????=(????+????)2?2????????????????=(?2)2?2×(?2?019)?2?019=-4?0422?019.
(2)m2+m-n=m2+2m-(m+n)=2 019-(-2)=2 021.
?
知识点1 一元二次方程的根与系数的关系
7.[2019天津蓟州区期中]若关于x的一元二次方程x2-4x+2m=0有一个根为-1,则另一个根为 (　 　)
A.5 B.-3
C.-5 D.4
答案
7.A　【解析】　设方程的另一个根为α,则-1+α=4,解得α=5.故选A.
知识点2 一元二次方程的根与系数的关系的应用
8.[2019江苏宿迁三模]若一元二次方程x2-7x+5=0的两个实数根分别是a,b,则一次函数y=abx+a+b的图象一定不经过 (　 　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案
8.D　【解析】　∵方程x2-7x+5=0的两个实数根分别是a,b,∴a+b=7,ab=5,则一次函数的表达式为y=5x+7,∴该一次函数图象经过第一、二、三象限,不经过第四象限.故选D.
知识点2 一元二次方程的根与系数的关系的应用
9.若x1,x2是关于x的一元二次方程x2-mx+m-2=0的两个实数根,则关于是否存在实数m使1????1+1????2=0成立,下列结论正确的是 (　 　)
A.存在,m=0
B.存在,m=2
C.存在,m=0或2
D.不存在
?
答案
9. A　【解析】　因为x1,x2是关于x的一元二次方程x2-mx+m-2=0的两个实数根,所以x1+x2=m,x1x2=m-2.假设存在实数m使1????1+1????2=0成立,则????1+????2????1????2=0,所以?????????2=0,所以存在满足条件的实数m,m=0.故选A.
?
知识点2 一元二次方程的根与系数的关系的应用
10.[2019山东淄博中考]若x1+x2=3,????12+????22=5,则以x1,x2为根的一元二次方程是 (　 　)
A.x2-3x+2=0
B.x2+3x-2=0
C.x2+3x+2=0
D.x2-3x-2=0
?
答案
10.A　【解析】　∵????12+????22=5,∴(x1+x2)2-2x1x2=5,又∵x1+x2=3,∴9-2x1x2=5,∴x1x2=2,∴以x1,x2为根的一元二次方程为x2-3x+2=0.故选A.
?
知识点2 一元二次方程的根与系数的关系的应用
11.定义新运算:a★b=a(1-b),若a,b是方程x2-x+14m=0(m<1)的两根,则b★b-a★a的值为 (　 　)
A.0 B.1
C.2 D.与m有关
?
答案
11.A　【解析】　由一元二次方程的根与系数的关系,得a+b=1,所以b★b-a★a=b(1-b)-a(1-a)=b-b2-a+a2=-(a-b)+ (a+b)(a-b)=(a-b)(a+b-1)=(a-b)(1-1)=0.故选A.
知识点2 一元二次方程的根与系数的关系的应用
12.易错题[2019四川成都武侯区期中]已知一个三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2+kx+7=0的两个根,且这个直角三角形的斜边长是3,则k的值是 (　 　)
A.8 B.-8
C.8或-8 D.4或-4
答案
12.B　【解析】　设直角三角形的两直角边长分别为a,b.∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2+kx+7=0的两个根,∴a+b=-????2,ab=3.5,根据勾股定理可得,a2+b2=(a+b)2-2ab=????24-7=32=9,∴k=±8.∵a+b=-????2>0,∴k<0,∴k=-8.故选B.
?
知识点2 一元二次方程的根与系数的关系的应用
13.若关于x的方程x2+2mx+m2+3m-2=0有两个实数根x1,x2,则x1(x2+x1)+????22的最小值为?　 .?
?
答案
13.54　【解析】　x1(x2+x1)+????22=x1x2+????12+????22=(x1+x2)2-x1x2,由根与系数的关系得x1+x2=-2m,x1x2=m2+3m-2,所以(x1+x2)2-x1x2=(-2m)2-(m2+3m-2)=3m2-3m+2=3(m-12)2+54.因为方程有实数根,所以Δ=4m2-4(m2+3m-2)≥0,解得m≤23,所以当m=12时,
x1(x2+x1)+????22取得最小值,且最小值为54.
?
知识点2 一元二次方程的根与系数的关系的应用
易错疑难集训
集训
1.解下列方程:
(1)(x+3)2=2x+6;
(2)3x(x-1)=4(x-1).
答案
1.【解析】　(1)将原方程移项,得(x+3)2-2(x+3)=0,
因式分解,得(x+3)(x+3-2)=0,
所以x+3=0或x+1=0,
所以x1=-3,x2=-1.
(2)将原方程移项,得3x(x-1)-4(x-1)=0,
因式分解,得(x-1)(3x-4)=0,
所以x-1=0或3x-4=0,
所以x1=1,x2=43.
?
易错点1 解一元二次方程时出错
易错点1 解一元二次方程时出错
求解这类题时,移项后常采取提取公因式的方法求解,切勿采取将方程的两边同时除以含有未知数的同一个因式的方法.
2.解方程:2x2+43x=22.
有一位同学解答如下:
这里a=2,b=43,c=22,
∵b2-4ac=(43)2-4×2×22=32>0,
∴x=?43±3222=-6±2,
∴x1=-6+2,x2=-6-2.
请你分析以上解答有无错误,如有错误,找出错误的地方,并写出正确的解答过程.
?
易错点1 解一元二次方程时出错
答案
2.【解析】　这位同学的解答有错误,错误的地方在c=-22,而不是c=22,并且导致以后的计算都发生相应的错误.
正确的解答过程如下:
将方程化为一般形式,得2x2+43x-22=0,
这里a=2,b=43,c=-22,
∵b2-4ac=(43)2-4×2×(-22)=64>0,
∴x=?43±6422=-6±22,
∴x1=-6+22,x2=-6-22.
?
易错点1 解一元二次方程时出错
用公式法解一元二次方程时,应先把方程化成一般形式,确定a,b,c的值,再代入求根公式求解.
3.[2019四川遂宁中考]已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+a2-1=0有一个根为x=0,则a的值为 (　 　)
A.0 B.±1
C.1 D.-1
答案
3.D　【解析】　∵关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+a2-1=0有一个根为x=0,∴a2-1=0,a-1≠0,∴a=-1.故选D.
易错点2 有关二次项系数的问题
4.若关于x的一元二次方程(k-1)x 2+2x-2=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 (　 　)
A.k>12 B.k≥12 C.k>12且k≠1 D.k≥12且k≠1
?
答案
4.C　【解析】　由关于x的一元二次方程(k-1)x2+2x-2=0有两个不相等的实数根,得Δ>0,即22-4(k-1)×(-2)>0,解得k>12,因为k-1≠0,所以k≠1,所以k的取值范围是k>12且k≠1.故选C.
?
易错点2 有关二次项系数的问题
　　本题的易错之处是忽视一元二次方程二次项系数不为0的条件,而误选A.一元二次方程根的情况与Δ的关系:
(1)Δ>0,方程有两个不相等的实数根;(2)Δ=0,方程有两个相等的实数根;(3)Δ<0,方程没有实数根.特别要注意此关系只有一元二次方程才有,即它的前提条件是方程ax2+bx+c=0中的二次项系数a≠0.
5.[2019江苏苏州姑苏区期中]关于x的方程(a-6)x2-2x+6=0有实数根,求整数a的最大值.
答案
5.【解析】　当a-6=0,即a=6时,
原方程为-2x+6=0,解得x=3,
∴a=6符合题意;
当a-6≠0,即a≠6时,原方程为一元二次方程,
∵Δ=(-2)2-4×6×(a-6)≥0,
∴a≤376且a≠6.
综上所述,a≤376,
∴整数a的最大值为6.
?
易错点2 有关二次项系数的问题
　　题目中说的是关于x的方程,并没有说是关于x的一元二次方程,所以解题时要分一元一次方程和一元二次方程两种情况.这是题目的隐含条件,一般很容易被忽略,所以一定要仔细审题,并将各种情况考虑到位.
6.[2020江苏无锡期中]下列一元二次方程中,两根之和为1的是 (　 　)
A.x2+x+1=0
B.x2-x+3=0
C.2x2-x-1=0
D.x2-x-5=0
答案
6.D　【解析】　由根与系数的关系可得x2-x+3=0与x2-x-5=0的两根之和为1.但x2-x+3=0中,Δ<0,方程无实根,所以选项中只有x2-x-5=0的两根之和为1.故选D.
易错点3 忽略b2-4ac≥0的条件
7.[2019山东潍坊中考]关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0的两个实数根的平方和为12,则m的值为 (　 　)
A.m=-2
B.m=3
C.m=3或m=-2
D.m=-3或m=2
答案
7.A　【解析】　设x1,x2是x2+2mx+m2+m=0的两个实数根,则Δ=-4m≥0,x1+x2=-2m,x1·x2=m2+m,∴m≤0,????12+????22=(x1+x2)2-2x1·x2=4m2-2m2-2m=2m2-2m=12,∴m=3(舍去)或m=-2.故选A.
?
易错点3 忽略b2-4ac≥0的条件
　　本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系,解答的关键是熟练掌握根与系数的关系,并能将两根的平方和转化为两根之和与两根之积的关系式,易错的地方是在求出m为3或-2之后,没有检验方程是否有解.要注意根与系数的关系存在的前提是方程有解,因此运用根与系数的关系时一定要结合一元二次方程的根的判别式进行检验.
1.已知m,n是方程x2-2x-1=0的两根,且(7m2-14m+a)(3n2-6n-7)=8,则a的值等于 (　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-5 B.5
C.-9 D.9
答案
1.C　【解析】　因为m,n是方程x2-2x-1=0的两根,所以m2-2m-1=0,n2-2n-1=0,即m2-2m=1,n2-2n=1,所以7m2-14m=7,3n2-6n=3,因此(7+a)(3-7)=8,解得a=-9.故选C.
疑难点1 利用方程的根的定义整体代入
2.已知a是方程x2+x-1=0的一个根,则2????2?1?1????2?????的值为　 　.?
3.[2018四川达州中考]已知m2-2m-1=0,n2+2n-1=0且mn≠1,则????????+????+1????的值为　 　.?
?
答案
2.1 　【解析】　2????2?1?1????2?????=2?????(????+1)????(????+1)(?????1)=1????(????+1),∵a是方程x2+x-1=0的一个根,∴a2+a-1=0,即a2+a=1,∴原式= 1????(????+1)=1.
3.3　【解析】　由n2+2n-1=0可知n≠0,∴1+2?????1????2=0,∴1????2?2????-1=0,结合m2-2m-1=0,且mn≠1,即m≠1????,∴m,1????是方程x2-2x-1=0的两根,∴m+1????=2,∴????????+????+1????=m+1+1????=2+1=3.
?
疑难点1 利用方程的根的定义整体代入
4.若y2+x2-2x+6y+10=0,求x,y的值.
答案
4.【解析】　y2+x2-2x+6y+10=0,
∴y2+6y+9+x2-2x+1=0,
即(y+3)2+(x-1)2=0,
∴y+3=0,x-1=0,
∴x=1,y=-3.
疑难点2 配方法的应用
5.已知a2-3a+b2-????2+3716=0,求a-4????的值.
?
答案
5.【解析】　将原式进行配方,得
(a2-3a+94)+(b2-????2+116)=0,
即(a-32)2+(b-14)2=0,
∴a-32=0且b-14=0,∴a=32,b=14,
∴a-4????=32-414=32-2=-12.
?
疑难点2 配方法的应用
6.[2020广东佛山外国语学校月考]已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中a,b,c分别为△ABC三边的长.
(1)如果x=-1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由;
(3)如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.
答案
6.【解析】　(1)△ABC是等腰三角形.理由如下:
∵x=-1是方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0的根,
∴(a+c)×(-1)2-2b+(a-c)=0,
∴a+c-2b+a-c=0,∴a=b,
∴△ABC是等腰三角形.
疑难点3 一元二次方程的根的判别式与其他知识的综合
答案
(2)△ABC是直角三角形.理由如下:
∵方程有两个相等的实数根,
∴Δ=(2b)2-4(a+c)(a-c)=0,
∴4b2-4a2+4c2=0,∴a2=b2+c2,
∴△ABC是直角三角形.
(3)∵△ABC是等边三角形,∴a=b=c,
∴(a+c)x2+2bx+(a-c)=0可化为2ax2+2ax=0,
∴x2+x=0,
解得x1=0,x2=-1.
疑难点3 一元二次方程的根的判别式与其他知识的综合
6　应用一元二次方程
课时1　应用一元二次方程(一)
课时1
1.如图,在菱形ABCD中,AC,BD交于点O,AC=8 cm,BD=6 cm,动点M从点A出发沿AC以2 cm/s的速度匀速运动到点C,动点N从点B出发沿BO以1 cm/s的速度匀速运动到点O,当其中一点停止运动时,另一点也随即停止运动.若点M,N同时出发,问出发后几秒时,△MCN的面积为2 cm2?
答案
1.【解析】　设出发后x s时,△MCN的面积为2 cm2,则x<3.
根据题意,得(8?2????)(3?????)2=2,
解得x1=2,x2=5(舍去).
答:出发后2 s时,△MCN的面积为2 cm2.
?
知识点1 动态几何问题
2.[2020江苏南京建邺区期中]如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,点P从点A出发沿AC边向点C以1 cm/s的速度移动,同时点Q从点C出发沿CB边向点B以2 cm/s的速度移动.当点Q运动到B点时,P,Q停止运动.
(1)出发几秒后,可使△PCQ的面积为8 cm2?
(2)在点P,Q的移动过程中,是否存在某个时刻,使得△PCQ的面积等于△ABC面积的一半?若存在,求出运动的时间;若不存在,请说明理由.
答案
2.【解析】　(1)设出发x s后,可使△PCQ的面积为8 cm2,则0根据题意,得12(6-x)×2x=8,
解得x1=2,x2=4.
答:出发2 s或4 s后,可使△PCQ的面积为8 cm2.
?
知识点1 动态几何问题
答案
(2)不存在.理由如下:
设出发y s后,△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.
根据题意,得 12(6-y)×2y=12×12×6×8,
整理,得y2-6y+12=0.
∵Δ=36-4×12<0,∴方程无解,
∴不存在某个时刻,使得△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.
?
知识点1 动态几何问题
在几何动点问题中列一元二次方程的方法
　　①利用几何图形的面积公式列一元二次方程;②利用勾股定理列一元二次方程.注意,解决这类问题的关键是找到因点的运动变化引起的条件或结论的变化,表示出点在静止状态时相应线段的长度.
3.某校九年级(1)班在举行元旦联欢会时,班长觉得快要毕业了,决定临时增加一个节目:班里面任意两名同学都要握手一次.小张同学统计了一下,全班同学共握手了465次.你知道九年级(1)班有多少名学生吗?设九年级(1)班有x名学生,根据题意列出的方程是(　 　)　　　　　　　　　　 　　　　　
A.????(?????1)2=465 B.????(????+1)2=465
C.x(x-1)=465 D.x(x+1)=465
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答案
3.A
知识点2 计数问题
4.[2019黑龙江鸡西中考]某校“研学”活动小组在一次野外实践时,发现一种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是43,则这种植物每个支干长出的小分支个数是 (　 　)
A.4 B.5 C.6 D.7
答案
4.C　【解析】　设这种植物每个主干长出x个支干,依题意,得1+x+x2=43,解得x1=-7(舍去),x2=6,所以每个支干长出的小分支个数是6.故选C.
知识点2 计数问题
5.易错题[2019湖北黄石期中]元旦期间,九(2)班每名同学都与其他同学交换一件自制的小礼物,结果全班交换小礼物共1 560件,求九(2)班有多少名同学.
答案
5.【解析】　设九(2)班有x名同学,则每名同学交换出(x-1)件小礼物,
根据题意得,x(x-1)=1 560,
解得x1=40,x2=-39(不合题意,舍去).
答:九(2)班有40名同学.
知识点2 计数问题
注意理解此类问题与握手问题的区别.解答时,往往容易忽略每两名同学都要互换一件礼物,而得出错误的方程12x(x-1)=1 560.
?
6.有一个两位数,它的个位数字比十位数字大3,个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大18,则这个两位数为　 　.?
答案
6. 47　【解析】　设个位数字为x,则十位数字为x-3.根据题意,得x2+(x-3)2=10(x-3)+x+18,解得x1=7,x2=1.5(不合题意,舍去),∴10(x-3)+x=47.故这个两位数为47.
知识点3 数字问题
(1)用各数位上的数字表示出两位数,两位数=十位数字×10+个位数字.
(2)把已知条件和所求的未知量都填在如下表格中,易于寻找各量之间的关系.
?
十位数字
个位数字
两位数
原来
?
?
?
现在
?
?
?
7.三个连续整数两两相乘,再求和,其结果为242,则这三个整数分别为　 　.?
答案
7.8,9,10或-10,-9,-8　【解析】　设第一个数为x,则第二个数为x+1,第三个数为x+2,根据题意得x(x+1)+x(x+2)+(x+ 1)(x+2)=242,整理,得x2+2x-80=0,解得x1=8,x2=-10.当x=8时,x+1=9,x+2=10;当x=-10时,x+1=-9,x+2=-8.
知识点3 数字问题
8.如图是某月的月历表,在此月历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的数(如6,7,8,13,14,15,20,21,22).若圈出的9个数中,最大数与最小数的积为192,则这9个数的和为　 　.?
答案
8.144　【解析】　由题中月历表可知,圈出的9个数中,最大数与最小数的差为16,∴设最大数为x,则最小数为x-16.
∵最大数与最小数的积为192,∴x(x-16)=192,解得x1=24,x2=-8(不符合题意,舍去),∴最大数为24,最小数为8,∴圈出的
9个数为8,9,10,15,16,17,22,23,24,和为144.
知识点3 数字问题
1.[2020福建泉州一模]有这么一道题:“直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长多阔几何?”意思是:一块矩形田地的面积为864平方步,只知道它的长与宽共60步,问它的长比宽多多少步?经过计算,你的结论是:长比宽多 (　 　)　　　　　　　　　　 　　　　　
A.12步 B.24步 C.36步 D.48步
答案
1.A　【解析】　设矩形田地的长为x步(x>30),则宽为(60-x)步,根据题意得,x(60-x)=864,整理得,x2-60x+864=0,解得x=36或x=24(舍去),所以x-(60-x)=12.故选A.
2.某航空公司有若干个飞机场,每两个飞机场之间都开辟一条航线,一共开辟了15条航线,则这个航空公司共有飞机场 (　 　)
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
答案
2.B　【解析】　设这个航空公司共有x个飞机场,依题意得12x(x-1)=15,解得x1=6,x2=-5(不符合题意,舍去),所以这个航空公司共有6个飞机场.故选B.
?
3.[2020江苏无锡期中]如图,矩形ABCD中,AB=6 cm,AD=2 cm,点P以2 cm/s的速度从点A出发沿折线A-B-C向点C运动,同时点Q以1 cm/s的速度从点C出发向点D运动,当其中一个动点到达末端停止运动时,另一点也停止运动.
(1)求两动点运动几秒时,四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的49;
(2)问两动点在运动过程中是否存在某一时刻,使得点P与点Q之间的距离为5 cm?若存在,求运动所需的时间;若不存在,请说明理由.
?
答案
3.【解析】　(1)设两动点运动x s时,四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的49,则0由题意,得BP=(6-2x)cm,CQ=x cm,矩形ABCD的面积是12 cm2.
则有12(x+6-2x)×2=12×49,解得x=23.
故所求运动时间为23 s.
(2)存在.
设两动点运动t s时,点P与点Q之间的距离为5 cm.
①当0则有(6-2t-t)2+4=5,解得t=53或73.
②当3Δ=(-32)2-4×5×59=-156<0,此时方程无解.
综上,当两动点运动53 s或73 s时,点P与点Q之间的距离为5 cm.
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4.在一次象棋比赛中,实行单循环制(即每个选手都与其他选手比赛一局),每局赢者记2分,输者记0分,如果平局,两个选手各记1分.今有4个同学统计了比赛中全部选手的得分总和,结果分别为2 005分、2 004分、2 070分、2 008分,经核实只有一位同学统计无误,试计算这次比赛中共有多少名选手参赛.
答案
4.【解析】　设共有x名选手参赛,则共有12x(x-1)局比赛,全部选手的得分总和为x(x-1)分,
由于相邻两个整数之积是偶数,且其个位数字只能是0,2,6,
所以总分不可能为2 005分、2 004分、2 008分,
故可列方程为x(x-1)=2 070,
解得x1=46,x2=-45(不符合题意,舍去).
答:这次比赛中共有46名选手参赛.
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5.某校为培养青少年科技创新能力,举办了动漫制作活动,小明设计了点做圆周运动的一个雏形.如图所示,甲、乙两点分别从直径的两端点A,B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程l(cm)与时间t(s)满足关系:l=12t2+ 32t(t≥0),乙以4 cm/s的速度匀速运动,半圆的长度为 21 cm.
(1)甲运动 4 s后的路程是多少?
(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了多长时间?
(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了多长时间?
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答案
5.【解析】　(1)当t=4时,l=12×42+32×4=14.
答:甲运动 4 s后的路程是14 cm.
(2)设它们运动了m s后第一次相遇,
根据题意,得(12m2+32m)+4m=21,
解得m1=3,m2=-14 (不合题意,舍去).
答:甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了3 s.
(3)设它们运动了n s后第二次相遇,
根据题意,得(12n2+32n)+4n=21×3,
解得n1=7,n2=-18(不合题意,舍去).
答:甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了7 s.
?
课时2　应用一元二次方程(二)
课时2
1.[2019四川达州中考]某公司今年4月的营业额为2 500万元,按计划第二季度的总营业额要达到9 100万元,设该公司5,6两月的营业额的月平均增长率为x.根据题意列方程,则下列方程正确的是 (　 　)
A.2 500(1+x)2=9 100
B.2 500(1+x%)2=9 100
C.2 500(1+x)+2 500(1+x)2=9 100
D.2 500+2 500(1+x)+2 500(1+x)2=9 100
答案
1.D　【解析】　根据题意可知,该公司5月、6月的营业额分别为2 500(1+x),2 500(1+x)2,则列方程,得2 500+2 500(1+ x)+2 500(1+x)2=9 100.故选D.
知识点1 平均变化率问题
2.[2019甘肃天水中考]中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益,沿线某地区居民2016年人均年收入
20 000元,到2018年人均年收入达到39 200元.则该地区居民人均年收入平均增长率为　 　.(用百分数表示)?
答案
2.40%　【解析】　设该地区居民人均年收入平均增长率为x,根据题意,得20 000(1+x)2=39 200,解得x1=0.4,x2=-2.4(舍去),∴该地区居民人均年收入平均增长率为40%.
知识点1 平均变化率问题
3.[2019河南南阳一模]今年,我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召,开设了“足球大课间”活动.现需要购进100个某品牌的足球供学生使用.经调查,该品牌足球2017年单价为200元,2019年单价为162元.
(1)求2017年到2019年该品牌足球单价平均每年降低的百分率;
(2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案:
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试问去哪个商场购买足球更优惠?
知识点1 平均变化率问题
答案
3.【解析】　(1)设2017年到2019年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x,
根据题意,得200×(1-x)2=162,
解得x1=0.1=10%,x2=1.9(舍去).
答:2017年到2019年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%.
(2)100×1011=1?00011≈91(个),
在A商城需要的费用为162×91=14 742(元),
在B商城需要的费用为162×100×910=14 580(元).
∵14 742>14 580,
∴去B商场购买足球更优惠.
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知识点1 平均变化率问题
4.某水果批发商场经销一种水果,如果每千克盈利5元,每天可售出200千克.经市场调查发现,在进价不变的情况下,若每千克涨价1元,销售量将减少10千克.现该商场要保证每天盈利1 500元,同时又要顾客得到实惠,那么每千克应涨价
　 　元.?
答案
4.5　【解析】　设每千克应涨价x元,由题意列方程得,(5+x)(200-10x)=1 500,解得x=5或x=10,因为要使顾客得到实惠,所以每千克应涨价5元.
知识点2 销售问题
5.[2019山东济南长清区期中]某电商销售一款时装,进价40元/件,售价110元/件,每天销售20件,每销售一件需缴纳平台推广费5元.该电商计划开展降价促销活动,通过市场调研发现,该时装售价每降1元,每天销量增加4件.为保证市场稳定,供货商规定售价不得低于80元/件.问该电商对这款时装的每件售价定为多少元,才能使每天扣除平台推广费之后的利润达到4 500元?
答案
5.【解析】　设降价x元后每天扣除平台推广费之后的利润达到4 500元,
由题意得,(110-40-5-x)(20+4x)=4 500,
解得x1=20,x2=40.
∵售价不得低于80元/件,∴x≤110-80=30,
∴x=20,∴售价为90元/件.
答:每件售价定为90元,才能使每天扣除平台推广费之后的利润达到4 500元.
知识点2 销售问题
6.某商店准备进一批季节性小家电,进价为40元/台,经市场预测,售价为52元/台时,可售出180台,售价每增加1元,销售量减少10台.
(1)若售价为55元/台,求所获的利润;
(2)因受库存的影响,每批次进货不得超过190台.若商店想获得2 000元利润,则应进货多少台?售价为多少?
答案
6.【解析】　(1)由题意,得(55-40)×[180-10×(55-52)]=2 250(元).
答:若售价为55元/台,则该商店每天获利2 250元.
知识点2 销售问题
答案
(2)设售价是x元/台,
由题意,得(x-40)[180-10(x-52)]=2 000,
整理,得x2-110x+3 000=0,
解得x1=50,x2=60.
∵180-10(x-52)≤190,∴x≥51,
∴x=50不合题意,舍去.
当x=60时,进货台数为180-10×(60-52)=100<190,符合题意.
答:若商店想获得2 000元利润,则应进货100台,售价为60元/台.
知识点2 销售问题
商品销售问题中的等量关系
　　销售利润=单件利润×销售数量=(起始售价±变化价格-成本价)×(起始数量±变化数量).注意“±”中的“+”或“-”应视具体情况而定.
1.[2019江苏扬州江都区四校联考]某市正大力发展绿色农产品,有一种有机水果A特别受欢迎,某超市以市场价格
10元/千克在该市收购了6 000千克A水果,立即将其冷藏,请根据下列信息解决问题:
①水果A的市场价格每天每千克上涨0.1元;
②平均每天有10千克的该水果损坏,不能出售;
③每天的冷藏费用为300元;
④该水果最多保存110天.
(1)若将这批A水果存放x天后一次性出售,则x天后这批水果的销售单价为　 　元;可以出售的完好水果还有　 　千克;?
(2)将这批A水果存放多少天后一次性出售所得利润为9 600元?
答案
1.【解析】　(1)(10+0.1x)　(6 000-10x)
(2)设存放x天后一次性出售所得利润为9 600元,
根据题意得,(10+0.1x)(6 000-10x)-10×6 000-300x=9 600,
解得x=80或x=120.
∵x≤110,∴这批A水果存放80天后一次性出售所得利润为9 600元.
2.某单位准备组织员工到武夷山风景区旅游,旅行社给出了如下收费标准(如图所示).
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设参加旅游的员工为x人.
(1)当25(2)该单位共支付给旅行社旅游费用27 000元,请问这次参加旅游的员工共有多少人?
答案
2.【解析】　(1)[1 000-20(x-25)]　700
∵25+(1 000-700)÷20=40(人),∴当25(2)∵25×1 000<27 000<40×700,
∴25由题意,得x[1 000-20(x-25)]=27 000,
整理,得x2-75x+1 350=0,
解得x1=30,x2=45(不合题意,舍去).
答:该单位这次参加旅游的员工共有30人.
3.[2019山东德州中考]习近平总书记说:“读书可以让人保持思想活力,让人得到智慧启发,让人滋养浩然之气”.某校为响应我市全民阅读活动,利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计,第一个月进馆128人次,进馆人次逐月增加,到第三个月末累计进馆608人次,若进馆人次的月平均增长率相同.
(1)求进馆人次的月平均增长率;
(2)因条件限制,学校图书馆每月接纳能力不超过500人次,在进馆人次的月平均增长率不变的条件下,校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次,并说明理由.
答案
3.【解析】　(1)设进馆人次的月平均增长率为x,
则由题意得128+128(1+x)+128(1+x)2=608,
化简得4x2+12x-7=0,
∴x1=0.5=50%,x2=-3.5(舍去).
答:进馆人次的月平均增长率为50%.
(2)校图书馆能接纳第四个月的进馆人次.理由如下:
∵进馆人次的月平均增长率为50%,
∴第四个月的进馆人次为128×(1+50%)3=128×278=432<500.
∴校图书馆能接纳第四个月的进馆人次.
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4.[2019浙江杭州西湖区月考]小可同学在去年暑假的社会调查实践活动中,对本市一果脯制品厂进行采访,获得了如下信息:①该厂一月份果脯的加工量为a吨;②该厂三月份的加工量比一月份增长了44%;③该厂从四月份开始设备整修更新,加工量每月按相同的百分率开始下降;④六月份设备整修更新完毕,此月加工量为一月份的2.1倍,与五月份相比增长了4.668吨;⑤该厂第一季度共加工果脯18.2吨.
利用以上信息,求:
(1)该厂第一季度加工量的月平均增长率;
(2)该厂一月份的加工量a的值;
(3)该厂第二季度的加工量.
答案
4.【解析】　(1)设该厂第一季度加工量的月平均增长率为x.
由题意可知,a(1+x)2=a(1+44%),
解得x1=20%,x2=-2.2(不符合题意,舍去).
答:该厂第一季度加工量的月平均增长率为20%.
答案
(2)根据题意得a+a(1+20%)+a(1+20%)2=18.2,
解得a=5.
(3)六月份的加工量为2.1×5=10.5(吨),
五月份的加工量为10.5-4.668=5.832(吨),
三月份的加工量为5×(1+20%)2=7.2(吨).
设四、五月份下降的平均百分率为y,
根据题意得7.2×(1-y)2=5.832,
解得y1=10%,y2=1.9(不符合题意,舍去),
∴四月份的加工量为7.2×(1-10%)=6.48(吨),
∴第二季度的加工量为6.48+5.832+10.5=22.812(吨).
答:该厂第二季度的加工量为22.812吨.