北师大版八年级上册数学第二章实数整章同步教学课件（161张PPT)

第二章·实数
数学·八年级上·北师
第一节　认识无理数
第一节
1.给出下列各数:-|-3|,π,3.14,(-3)2,其中属于有理数的有 (　 　)
A.1个　　　B.2个　　　C.3个　　　D.4个
1.C　【解析】　-|-3|=-3,-3是负整数,属于有理数;π是无限不循环小数,不属于有理数;3.14是分数,属于有理数;
(-3)2 =9,9是正整数,属于有理数.综上所述,属于有理数的有3个.故选C.
知识点 1　有理数的再认识
答案
答案
知识点 2　无理数的发现
2.一个长方形的长与宽分别是6,3,它的对角线的长可能是 (　 　)　　　　　　　　　　　　　
A.整数 B.分数 C.有理数 D.既不是整数,也不是分数
2.D　【解析】　 因为一个长方形的长与宽分别是6,3,所以它的对角线长的平方是45,所以对角线的长既不是整数,也不是分数.故选D.
3.在直角三角形ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.
(1)计算:①当a=1,c=2时,b2=　 　;?
②当a=3,c=5时,b2=　 　;?
③当a=0.6,c=1时,b2=　 　.?
(2)通过(1)中计算出的b2的值,可知b是整数的是　 　;b是分数的是　 　;b既不是整数,也不是分数的是　 　.(填序号)?
答案
3.(1)①3;②16;③ 0.64;(2)②　③　①
知识点 2　无理数的发现
4.如图,每个小正方形的边长均为1,四边形ABCD中AC,BD相交于点O,试说明边AB,BC,CD,AD的长度和对角线AC,BD的长度中,哪些是有理数?哪些不是有理数?
答案
4.【解析】　由题图,知AC=7,BD=5,AO=4,BO=3,CO=3,DO=2,
由勾股定理,得AB2=32+42=25,BC2=32+32=18,CD2=32+22=13,AD2=42+22=20,
因此AB,AC,BD的长度是有理数,BC,CD,AD的长度不是有理数.
知识点 2　无理数的发现
5.下列说法不正确的是 (　 　)
A.所有的整数和分数都是有理数
B.无理数一定是无限小数
C.无限小数一定是无理数
D.无理数不能写成分数的形式
答案
5.C　【解析】　根据有理数的定义,整数属于有理数,分数属于有理数,故A正确;无理数都是无限不循环小数,无限循环小数是有理数,故B正确,C错误;分数不是无理数,故D正确.故选C.
知识点3　识别无理数
6.[2020江苏泰州期中]在3.141 592 6,0,-π3,-0.·3,-227,-0.15,2.010 010 001 0…(相邻两个1之间0的个数逐次增加1)中,无理数有(　 　)
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
?
答案
6.A　【解析】　3.141 592 6是有限小数,属于有理数;0是整数,属于有理数;-0.·3是无限循环小数,属于有理数;-227是分数,属于有理数;-0.15是有限小数,属于有理数;无理数有-π3,2.010 010 001 0…(相邻两个1之间0的个数逐次增加1),共2个.故选A.
?
知识3　识别无理数
7.写出和为6的两个无理数:　 　.(只需写出一组)?
答案
7.π,6-π(答案不唯一)
8.有六个数:0.123,(-1.5)3,3.141 6,117,-2π,0.102 002 000 2.若其中无理数的个数为x,正数的个数为y,则x+y=　 　.?
?
答案
8.5　【解析】　-2π是无理数,0.123,3.141 6,117,0.102 002 000 2是正数,故x=1,y=4,所以x+y=1+4=5.
?
知识点 3　识别无理数
9.把下列各数填在相应的集合内.
5,π,-|-13|,225,1.131 331 333 1…(相邻两个1之间依次多一个3),1.6,0.
正分数集合{ …};
非负整数集合{　 　…};
无理数集合{ 　…}.
?
答案
9.【解析】　正分数集合{ 225,1.6,…};
非负整数集合{5,0,…};
无理数集合{π,1.131 331 333 1…(相邻两个1之间依次多一个3),…}.
?
10.无理数像一首读不完的长诗,既不循环,也不枯竭,无穷无尽,永葆常新,数学家称之为一种特殊的数.设面积为10π的圆的半径为x.
(1)x是有理数吗?说明理由.
(2)x的整数部分是多少?
(3)将x精确到十分位是多少?
答案
10.【解析】　(1)x不是有理数.理由如下:
由圆的面积公式可得πx2=10π,
所以x2=10.
因为没有一个整数或分数的平方等于10,所以x不是有理数.
知识点 4　估算无理数的近似值
答案
(2)由(1)知x2=10,
因为32=9<10,42=16>10,
所以3所以x的整数部分是3.
(3)因为3.12=9.61<10,3.22=10.24>10,
所以3.1又因为3.162=9.985 6<10,3.172=10.048 9>10,
所以3.16所以将x精确到十分位为3.2.
第二节　平方根
第二节
课时1　算术平方根
课时1
1.[2020江苏徐州期中]16的算术平方根是 (　 　)
A.8 B.-8 C.4 D.2
答案
1.C　【解析】　因为42=16,所以16的算术平方根是4.故选C.
知识点 1　算术平方根的概念
2.易错题 下列说法正确的是 (　 　)
A.4的算术平方根是2 B.-a2一定没有算术平方根
C.-5表示5的算术平方根的相反数 D.0.9的算术平方根是0.3
?
答案
2.C　【解析】　4的算术平方根是2,故A项错误;a=0时,-a2=0,此时-a2有算术平方根,为0,故B项错误;5的算术平方根为5,5的相反数为-5,故C项正确;0.09的算术平方根是0.3,故D项错误.故选C.
?
3.易错题 算术平方根等于它本身的数是　 　.?
答案
3.0和1
知识点 1　算术平方根的概念
4.求下列各数的算术平方根.
(1)169;(2)(-1)2;(3)179;(4)(-23)2 ;(5)6.
?
答案
4. 【解析】　(1)因为132=169,所以169的算术平方根是13,即169=13.
(2)因为12=(-1)2,所以(-1)2的算术平方根是1,即(?1)2=1.
(3)179=169,因为(43)2=169,所以179的算术平方根是43,即179=43.
(4)因为(23)2=(-23)2,所以(-23)2的算术平方根是23,即(?23)2=23.
(5)因为(6)2=6,所以6的算术平方根是6.
?
5.[2020河南郑州外国语中学月考]下列式子正确的是 (　 　)
A.?16=4 B.(?4)2=-4 C.16=4 D.-16=4
?
答案
5.C　【解析】　-16<0,所以没有算术平方根,故A选项错误;(?4)2=16=4,故B选项错误;16=4,故C选项正确;-16=-4,故D选项错误.故选C.
?
知识点 2　算术平方根的运算
6.计算下列各式:
(1)279; (2)0.81-0.04;(3)412?402.
?
答案
6.【解析】　(1)279=259=53.(2)0.81-0.04=0.9-0.2=0.7.(3)412?402=(41+40)×(41?40)=81×1=9.
?
7.若2x+1的算术平方根是2,求x+12的算术平方根.
?
答案
7.【解析】　根据题意,得2x+1=22=4,
所以x=32,x+12=2,
所以x+12的算术平方根为2.
?
知识点 2　算术平方根的运算
8.易错题 设m-3是一个数的算术平方根,则 (　 　)
A.m≥0 B.m>0 C.m>3 D.m≥3
答案
8.D　【解析】　算术平方根是一个非负数,所以m-3≥0,所以m≥3.故选D.
知识点 3　算术平方根的性质
9.[2020四川成都成华区期中]若?????1+(y+2)2=0,则(x+y)2 020等于(　 　)
A.-1 B.1 C.32 020 D.-32 020
?
答案
9.B　【解析】　因为?????1+(y+2)2=0,所以x-1=0,y+2=0,所以x=1,y=-2,所以(x+y)2 020=(1-2)2 020=1.故选B.
?
10.要使式子3?????5有意义,则x可以取的最小整数是　　.?
?
答案
10.2　【解析】　因为式子3?????5有意义,所以3x-5≥0,所以x≥53,所以x可以取的最小整数是2.
?
知识点 3　算术平方根的性质
11.[2020山西晋中榆次区期中]某小区计划在一块面积为196 m2的正方形空地上建一个面积为100 m2的长方形花坛(长方形花坛的边与正方形空地的边平行),要求长方形花坛的长是宽的2倍.请你通过计算说明该小区能否实现这个计划.
答案
11.【解析】　该小区不能实现这个计划.理由如下:
设长方形花坛的宽为x(x>0)m,则长为2x m,
由题意,得2x·x=100,所以x2=50,
因为x>0,所以x=50,2x=250,
因为正方形空地的面积为196 m2,所以正方形空地的边长为14 m,
因为250>249=14,所以当长方形花坛的边与正方形空地的边平行时,该小区不能实现这个计划.
?
知识点 4　算术平方根的实际应用
1.[2020黑龙江哈尔滨道里区期中]25的算术平方根是(　 　)　　　　　 　　　　　　　　　　
A.±5 B.5 C.±52 D.5
?
答案
1.B　【解析】　因为25=5,所以25的算术平方根是5.故选B.
?
2.如果a是2 020的算术平方根,那么2?020100的算术平方根是(　 　)
A.????100 B.????10 C.10a D.100a
?
答案
2.B　【解析】　因为a是2 020的算术平方根,所以a2=2 020,a>0,所以2?020100=????2100,所以2?020100的算术平方根是????10.故选B.
?
3.[2020山东枣庄四十一中月考]已知△ABC的三边长a,b,c满足?????3+|b-4|+(c-5)2=0,则△ABC一定是(　 　)
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰三角形
?
答案
3.C　【解析】　因为?????3+|b-4|+(c-5)2=0,所以a=3,b=4,c=5,因为a2+b2=32+42=25,c2=52=25,所以a2+b2=c2,所以△ABC是直角三角形.故选C.
?
4.高为2且底面为正方形的长方体的体积为32,则长方体的底面边长为 (　 　 )
A.1 B.2 C.4 D.8
答案
4.C　【解析】　设长方体的底面边长为x(x>0),根据长方体的体积公式,得2x2=32,所以x=4.故选C.
5.[2019江苏盐城期中]如图,一块形如“Z”字形的铁皮,每个角都是直角,且AB=BC=EF=GF=1,CD=DE=GH=AH=3,现将铁片裁剪并拼接成一个和它等面积的正方形,则正方形的边长为? 　.?
答案
5.10　【解析】　如图,延长BC交HG于点M,延长HG交DE于点N,则四边形ABMH、CDNM为长方形,
四边形GFEN为正方形.所以“Z”字形的铁皮的面积为S长方形ABMH+S长方形CDNM+S正方形GFEN=AH·AB+CD·DN+
GF·EF=3×1+3×2+1×1=10,所以正方形的边长为10.
?
6.计算下列各式并观察:
①8?100=　 ,②81=　 ,③0.81=　 ,④0.008?1=　 　.通过上述各式,你能发现什么规律,用自己的语言叙述出来:　 　.?
?
答案
6.①90;②9;③0.9;④0.09　一个数缩小为原来的1100,则它的算术平方根变为原来的110
?
7.已知y=?????3+3?????+8,求3x+2y的算术平方根.
?
答案
7.【解析】　由题意知x-3≥0且3-x≥0,所以x=3,
把x=3代入y=?????3+3?????+8,
得y=3?3+3?3+8=8,
当x=3,y=8时,3x+2y=3×3+2×8=25,
25的算术平方根是5,
所以3x+2y的算术平方根是5.
?
8.已知2a+1的算术平方根是0,b-a的算术平方根是12,求12ab的算术平方根.
?
答案
8.【解析】　因为0的算术平方根是0,
所以2a+1=0,解得a=-12.
因为(12)2=14,所以14=12,
所以b-a=14,所以b=-14,
所以12ab=12×(-12)×(-14)=116.
因为(14)2=116,所以116=14,
所以12ab的算术平方根是14.
?
9.湿地公园原有一块形状为正方形且面积为169 m2的草坪,根据实际需要,计划对这块草坪进行扩建,扩建后的正方形草坪的面积为原来的16倍,求扩建后的正方形草坪的边长.
答案
9.【解析】　因为132=169,
所以面积为169 m2的正方形草坪的边长是13 m,
因为扩建后的正方形草坪的面积为原来的16倍,
所以边长为原来的4倍,
所以扩建后的正方形草坪的边长为13×4=52(m).
答:扩建后的正方形草坪的边长为52 m.
10.【实践与探究】
(1)计算:32=　 　,0.52=　 　,02=　 　,(?6)2= 　,(?34)2= 　.?
【归纳与应用】
(2)观察(1)中的等式,发现其中的规律,并猜想????2与a有怎样的关系?请用数学式子描述出来.
(3)利用你得到的规律,计算:
①若x<2,则(?????2)2=　 　;? ②(3.14?π)2=　 　.?
?
答案
10.【解析】　(1)3　0.5　0　6　34
(2)????2=|a|.
(3)①2-x
因为x<2,所以x-2<0,所以(?????2)2=2-x.
②π-3.14
因为3.14-π<0,所以(3.14?π)2=π-3.14.
?
课时2　平方根
课时2
1.[2020河南开封期中]下列有关平方根的叙述,正确的个数为 (　 　)
①如果a存在平方根,那么a>0;
②如果a有两个不相等的平方根,那么a>0;
③如果a没有平方根,那么a<0;
④如果a>0,那么a的平方根也大于0.
A.1 B.2 C.3 D.4
答案
1.B　【解析】　如果a存在平方根,那么a≥0,①错误;如果a>0,那么a的平方根不一定大于0,④错误.故选B.
知识点 1　平方根
2.如果a(a>0)的平方根是±m,那么 (　 　)
A.a2=±m
B.a=±m2
C.????=±m
D.±????=±m
?
答案
2.D　【解析】　由题意,得(±m)2=a,所以±????=±m.故选D.
?
知识点 1　平方根
3.一个正数的两个平方根分别是2a-1与-a+2,则a的值为 (　 　)
A.-1 B.1 C.2 D.-2
答案
3.A　【解析】　由题意可知,2a-1-a+2=0,解得a=-1.故选A.
知识点 2　平方根的性质
4.若a-3有平方根,则数a的取值范围是　 　.?
答案
4.a≥3　【解析】　根据题意,得a-3≥0,所以a≥3.
5.[2019河南信阳模拟]若2m-4与3m-11是同一个数的平方根,则m的值是　 　.?
答案
5.3或7　【解析】　由题意知,2m-4+3m-11=0或2m-4=3m-11,解得m=3或m=7.
知识点 2　平方根的性质
6.1916的平方根是　 　,(-9)2的平方根是　 　.?
?
答案
6.±54　±9
?
知识点3　开平方
7.求下列各数的平方根:
(1)81;(2)0.000 9;(3)259;(4)7.
?
答案
7.【解析】　(1)因为(±9)2=81,所以81的平方根为±9,即±81=±9.
(2)因为(±0.03)2=0.000 9,所以0.000 9的平方根为±0.03,即±0.000?9=±0.03.
(3)因为(±53)2=259,所以259的平方根为±53,即±259=±53.
(4)因为(±7)2=7,所以7的平方根为±7.
?
知识点3　开平方
8.求下列各式中的x:
(1)(x+1)2=64;　　　　(2)(x-2)2=4.
答案
8.【分析】　(1)(2)小题都可以直接开平方,但要注意开平方后还不是最后的结果,因为平方的是式子不是数,要再接着继续计算,而且一定要注意一个正数有两个平方根.
【解析】　(1)两边开平方,得x+1=±8,
所以x=7或-9.
(2)两边开平方,得x-2=±2,
所以x=0或4.
知识点4　(????)2与????????
?
9.下列结论正确的是 (　 　)
A.-(?6)2=-6 B.(-3)2=9
C.(?16)2=±16 D.-(-1625)2=1625
?
答案
9.A　【解析】　(-3)2=3,(?16)2=16,-(-1625)2=-1625.故选A.
?
知识点4　(????)2与????????
?
10.已知????2=5,则x为(　 　)
A.5 B.-5 C.±5 D.以上都不对
?
答案
10.C　【解析】　因为????2=5,所以x2=25=(±5)2,所以x=±5.故选C.
?
11.[2020河北承德期末]若a<0,则|a-3|-????2的值为(　 　)
A.3 B.-3 C.3-2a D.2a-3
?
答案
11.A　【解析】　因为a<0,所以|a-3|-????2=-(a-3)-|a|=-a+3+a=3.故选A.
?
12.若m是169的算术平方根,n是121的负的平方根,则(m+n)2的平方根为 (　 　)
A.2 B.4 C.±2 D.±4
答案
12.C　【解析】　因为m是169的算术平方根,n是121的负的平方根,所以m=13,n=-11,所以m+n=2,所以(m+n)2的平方根是±22=±4=±2.故选C.
?
知识点 5　算术平方根与平方根
13.已知2a-1的平方根是±3,3a+b-1的算术平方根是4,求a+2b的平方根.
答案
13.【解析】　因为2a-1的平方根为±3,3a+b-1的算术平方根为4,所以2a-1=9,3a+b-1=16,
解得a=5,b=2,
所以a+2b=5+4=9,
所以a+2b的平方根为±3.
1.下列各式中正确的是 (　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.±9=±3
B.81的平方根是9
C.(-4)2 的平方根是4
D.-(-25)的平方根是-5
?
答案
1.A　【解析】　81的平方根是±9,故B错误;(-4)2 的平方根是±4,故C错误;-(-25)的平方根是±5,故D错误.故选A.
2.如果一个自然数的平方根是±a(a≥0),那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根为 (　 　)
A.±(a+1)
B.±a+1
C.±????2+1
D.±????+1
?
答案
2.C　【解析】　因为一个自然数的平方根是±a,所以这个自然数是a2,所以相邻的下一个自然数是a2+1,所以a2+1的平方根是±????2+1.故选C.
?
3.若????的平方根为±3,则a=　 　.?
?
答案
3.81　【解析】　因为????的平方根为±3,所以????=9,解得a=81.
?
4.[2019浙江杭州西湖区期中]已知数x,y满足(x2+y2)2-9=0,则x2+y2=　 　.?
答案
4.3　【解析】　因为(x2+y2)2-9=0,所以(x2+y2)2=9,因为x2+y2≥0,所以x2+y2=3.
5.已知-2xm-2y2与3x4y2m+n是同类项,则m-3n的平方根是　 　.?
答案
5.±6　【解析】　由题意可知,m-2=4,2=2m+n,解得m=6,n=-10,所以m-3n=6+30=36,所以m-3n的平方根是±6.
6.[2020江苏无锡惠山区期中]如图是一数值转换机,若输出的结果为-32,则输入的x的值为　 　.?
答案
6.±4　【解析】　由题意,得x2×(-2)=-32,所以x2=16,因为(±4)2=16,所以x=±4.
7.计算下列各式中x的值:
(1)16x2-49=0;　　　　(2)(x-1)2=100; (3)(3x-1)2-64=0; (4)2(x-1)2-18=0.
答案
7.【解析】　(1)由16x2-49=0可得,x2=4916,
因为(±74)2=4916,
所以x=±74.
(2)因为(±10)2=100,
所以x-1=10或x-1=-10,
所以x=11或x=-9.
(3)由(3x-1)2-64=0可得,(3x-1)2=64,
因为(±8)2=64,
所以3x-1=8或3x-1=-8,
所以x=3或x=-73.
(4)由2(x-1)2-18=0可得,(x-1)2=9,
因为(±3)2=9,
所以x-1=3或x-1=-3,
所以x=4或x=-2.
?
8.[2020江西崇仁一中月考]已知25=x,????=2,z是9的平方根,求2x+y-z的算术平方根.
?
答案
8.【解析】　因为25=x,????=2,z是9的平方根,
所以x=5,y=4,z=±3,
当z=3时,2????+?????????=2×5+4?3=11,
当z=-3时,2????+?????????=2×5+4+3=17.
综上所述,2x+y-z的算术平方根是11或17.
?
9.[2019北京海淀区期中]已知正数x的平方根是m和m+b(b≠0).
(1)若b=8,求m的值;
(2)若m2x+(m+b)2x=4,求x的值.
答案
9.【解析】　(1)因为正数x的平方根是m和m+b(b≠0),
所以m+m+b=0,
又因为b=8,
所以2m+8=0,
所以m=-4.
(2)因为正数x的平方根是m和m+b(b≠0),
所以(m+b)2=x,m2=x.
因为m2x+(m+b)2x=4,
所以x2+x2=4,
所以x2=2,
因为x>0,
所以x=2.
?
10.甲、乙二人计算a+1?2????+????2的值,当a=3时,得到下面不同的答案:
甲的解答:a+1?2????+????2=a+(1?????)2=a+1-a=1.
乙的解答:a+1?2????+????2=a+(?????1)2=a+a-1=2a-1=5.
哪一个解答是正确的?错误的解答错在哪里?为什么?
?
答案
10.【解析】　乙的解答是正确的,甲的解答错在(1?????)2=1-a.理由如下:
当a=3时,1-a<0,所以(1?????)2=a-1.
?
第三节　立方根
第三节
1.[2019山东枣庄山亭区期中]若-b是a的立方根,则下列结论正确的是 (　 　)
A.-b3=a
B.-b=a3
C.b=a3
D.b3=a
答案
1.A　【解析】　因为-b是a的立方根,所以(-b)3=a,即-b3=a.故选A.
知识点 1　立方根的概念及性质
2.下面说法正确的是 (　 　)
A.一个数的立方根有两个,且它们互为相反数
B.负数没有立方根
C.若一个数有立方根,则它一定有平方根
D.一个数的立方根与被开方数同号
答案
2.D　【解析】　根据立方根的概念可得,任何一个数都有立方根且只有一个,故A项、B项错误;负数有立方根,但没有平方根,故C项错误.故选D.
知识点 1　立方根的概念及性质
3.[2020湖北武汉期中]下列结论正确的是 (　 )
A.64的立方根是±4
B.-164没有立方根
C.立方根等于本身的数是0
D.3?27=-3
?
答案
3.D　【解析】　64的立方根是4,故A选项错误;-164的立方根为-14,故B选项错误;立方根等于本身的数是0和±1,故C选项错误.故选D.
?
知识点 1　立方根的概念及性质
4.求下列各数的立方根:
(1)-125;(2)127;(3)0;(4)-6.
?
答案
4.【解析】　(1)因为(-5)3=-125,所以-125的立方根是-5,即3?125=-5.
(2)因为(13)3=127,所以127的立方根是13,即3127=13.
(3)0的立方根是0.
(4)-6的立方根是3?6.
?
知识点 1　立方根的概念及性质
5.已知3m-9的立方根为3,求2m+3的立方根.
答案
5.【解析】　因为3m-9的立方根为3,所以3m-9=33,
解得m=12,
所以2m+3=2×12+3=27.
因为27=33,所以2m+3的立方根是3.
知识点 1　立方根的概念及性质
6.下列计算正确的是 (　 　)
A.30.012?5=0.5 B.3?2764=34
C.3338=112 D.-3?8125=-25
?
答案
6.C　【解析】　因为0.53=0.125,所以A错误;因为(-34)3=-2764,所以B错误;因为(112)3=(32)3=278=338,所以C正确;因为(-25)3=-8125,所以-3?8125=25,所以D错误.故选C.
?
知识点 2　开立方
7.求下列各式中x的值:
(1)(x-1)3-64=0; 　(2)-8(x-3)3=27.
答案
7.【解析】　(1)(x-1)3-64=0可化为(x-1)3=43,
所以x-1=4,所以x=5.
(2)-8(x-3)3=27可化为(x-3)3=(-32)3,
所以x-3=-32,所以x=32.
?
知识点 2　开立方
8.(34)3的算术平方根是(　 　)
A.2 B.8 C.±2 D.±8
?
答案
8.A　【解析】　因为(34)3=4,所以(34)3的算术平方根是2.故选A.
?
知识点 3　（????????）3与????????????
?
9.[2020上海长宁区期末]计算:3(?2?020)3=　 　.?
?
答案
9.-2 020
10.若x<0,则????2-3????3=　 　.?
?
答案
10.-2x　【解析】　????2-3????3=|x|-x,因为x<0,所以|x|-x=-x-x=-2x.
?
知识点 3　（????????）3与????????????
?
11.给出下列四种说法:①1的算术平方根是1;②18的立方根是±12;③-27没有立方根;④互为相反数的两个数的立方根互为相反数.其中正确的是(　 　)
A.①② B.①③
C.①④ D.②④
?
答案
11.C　【解析】　一个数的立方根只有一个,18的立方根是12,故②错误;任何一个数都有立方根,-27的立方根是-3,故③错误.故选C.
?
知识点4　算术平方根、平方根、立方根的综合
12.已知2b+1的平方根为±3,3a+2b-1的算术平方根为4,则2b-3a的立方根是　 　.?
答案
12.-1　【解析】　因为2b+1的平方根为±3,所以2b+1=9,解得b=4.因为3a+2b-1的算术平方根为4,所以3a+2b-1=16,解得a=3,则2b-3a=8-9=-1,其立方根是-1.
知识点4　算术平方根、平方根、立方根的综合
13.已知????3+64+|b3-27|=0,求(a-b)b的立方根.
?
答案
13.【解析】　由题意,得????3+64=0,|b3-27|=0,
所以a3+64=0,b3-27=0,
解得a=-4,b=3.
所以(a-b)b=(-4-3)3=-73.
故(a-b)b的立方根为3(a?b)????=3?73=-7.
?
知识点4　算术平方根、平方根、立方根的综合
14.某金属冶炼厂将27个大小相同的正方体钢锭在炉中熔化后浇铸成一个长方体钢锭,量得这个长方体钢锭的长、宽、高分别为160 cm、80 cm和40 cm,求原来正方体钢锭的棱长.
答案
14.【解析】　设原来正方体钢锭的棱长为x cm,
则27x3=160×80×40,
解得x=803.
答:原来正方体钢锭的棱长为803 cm.
?
知识点5　开立方在实际问题中的应用
1.[2020陕西西安碑林区月考]已知a是81的平方根,b=16,c是-64的立方根,则a+b-c的值为(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.15
B.15或-5
C.11
D.11或5
?
答案
1.D　【解析】　因为a是81的平方根,b=16,c是-64的立方根,所以a=±3,b=4,c=-4.当a=3时,a+b-c=3+4-(-4)=11;当a=-3时,a+b-c=-3+4-(-4)=5.综上所述,a+b-c=11或5.故选D.
?
2.易错题 如果a是b的立方根,那么ab　 　0.?
答案
2.≥
3.若a<0,则化简3????3+(?????1)2的结果为　 　.?
?
答案
3.1　【解析】　当a<0时,a-1<0,所以3????3+(?????1)2=a+1-a=1.
?
4.[2020河北石家庄栾城区期中]小明是一位电脑爱好者,他设计了一个程序如图所示,当输入的x值是64时,输出的y值为???????　.?
?
答案
4.2　【解析】　当输入的x值为64时,取算术平方根得8,8是有理数,取立方根得2,2是有理数,取算术平方根得2,2是无理数,所以输出的y值为2.
?
5.求下列各式中的x:
(1)125x3=8;　　　(2)(-2+x)3=-216;
(3)3x?2=-2; (4)27(x+1)3+64=0.
?
答案
5.【解析】　(1)因为125x3=8,所以x3=8125,所以x=25.
(2)因为(-2+x)3=-216,所以-2+x=-6,所以x=-4.
(3)因为3x?2=-2,所以x-2=-8,所以x=-6.
(4)因为27(x+1)3+64=0,所以(x+1)3=-6427,
所以x+1=-43,所以x=-73.
?
6.解答下列各题:
(1)已知31?????2=1-a2,求a的值;
(2)若31?2????与33?????5互为相反数,求1-????的值.
?
答案
6.【解析】　(1)立方根等于它本身的数有0,1,-1.
当1-a2=0时,a2=1,则a=±1;
当1-a2=1时,a2=0,则a=0;
当1-a2=-1时,a2=2,则a=±2.
所以a的值为0或±1或±2.
(2)因为31?2????与33?????5互为相反数,
所以1-2b+3b-5=0,所以b=4,
所以1-????=1-4=1-2=-1.
?
7.请根据如图所示的对话内容回答下列问题.
(1)求该魔方的棱长;
(2)求该长方体纸盒的长.
答案
7.【解析】　(1)设魔方的棱长为x(x>0)cm,
由题意可得,x3=216,所以x=6.
答:该魔方的棱长为6 cm.
(2)设该长方体纸盒的长为y(y>0)cm,
由题意可得,6y2=600,所以y=10.
答:该长方体纸盒的长为10 cm.
8.一个正方体的体积变为原来的8倍,它的棱长是原来的多少倍?体积变为原来的27倍呢?体积变为原来的1 000倍呢?
利用你发现的规律解决下列问题:
若30.000?005?26=0.017 39,3????=17.39,3?5.26=y,求x和y的值.
?
答案
8.【解析】　一个正方体的体积变为原来的8倍,它的棱长是原来的2倍;
体积变为原来的27倍,它的棱长是原来的3倍;
体积变为原来的1 000倍,它的棱长是原来的10倍.
由0.017 39到17.39小数点向右移动了3位,则被开方数的小数点向右移动9位,所以x=5 260.
由0.000 005 26到5.26小数点向右移动了6位,则对应的立方根的小数点向右移动2位,所以y=-1.739.
易错疑难集训
集训
易错点 1　对????的意义理解不清
?
1.下列式子中,正确的是 (　 　)　　　　 　　　　　　　　　　
A.?2=-2 B.0.36=-0.6
C.144=12 D.25=±5
?
答案
1.C　【解析】　?2没有意义,故选项A错误;0.36=0.6,25=5,故选项B,D错误;144表示144的算术平方根,所以144=12,选项C正确.故选C.
?
2.若正方形的边长是a,面积为S,则 (　 　)
A.S的平方根是a
B.a是S的算术平方根
C.a=±????
D.S=????
?
答案
2.B　【解析】　因为正方形的边长是a,所以a>0,又因为正方形的面积为S,所以a=????,所以a是S的算术平方根.故选B.
?
易错点 1　对????的意义理解不清
?
3.若式子?(4?????)2有意义,则满足条件的a的值是　 　.?
?
答案
3.4　【解析】　由题意得-(4-a)2为非负数,又因为(4-a)2不可能是负数,所以4-a=0,所以a=4.
易错点 2　对平方根、立方根的概念理解不清
4.若m<0,则m的立方根是 (　　)
A.3????
B.-3????
C.±3????
D.3?????
?
答案
4.A　【解析】　m的立方根是3????,虽然强调m<0,但立方根与m本身的符号一致.故选A.
?
易错点 2　对平方根、立方根的概念理解不清
5.若3a-1与-5-a是同一个数的平方根,则a的值为　 　.?
答案
5.-1或3　【解析】　当3a-1=-5-a时,a=-1;当3a-1-5-a=0时,a=3.综上,a的值为-1或3.
易错点 2　对平方根、立方根的概念理解不清
6.[2020江苏无锡锡山区期中](1)若x,y满足等式x=　?????3+3?????+4,求(x-y)2的平方根;
(2)已知x-2的平方根是±2,2x+y+7的立方根是3,求x2+y2的算术平方根.
?
答案
6.【解析】　(1)由题意,得y≥3且y≤3,
所以y=3,所以x=4,
所以(x-y)2=1,
所以(x-y)2的平方根是±1.
(2)由x-2的平方根是±2,2x+y+7的立方根是3,得x-2=4,
2x+y+7=27,
解得x=6,y=8.
所以x2+y2=100,
所以x2+y2的算术平方根是10.
1.下列式子中,正确的是 (　 　)　　　　 　　　　　　　　　　
A.±52=±5 B.(?5)2=±5
C.(-5)2=25 D.-(-25)2=25
?
答案
1.A　【解析】　选项B中,(?5)2=5,故选项B错误;选项C中,(-5)2=5,故选项C错误;选项D中,-(-25)2=-25,故选项D错误.故选A.
?
疑难点 1　(????)2与????????
?
2.给出下列运算:
①125144=1512;
②(?4)2=±4;
③(?22)2=(-22)2=(-2)2=4;
④116+125=14+15=920.
其中错误的有(　 　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
?
答案
2.D　【解析】　125144=169144=1312=1112,故①错误;(?4)2=4,故②错误;?22没有意义,故③错误;116+125=25+1616×25=4120,故④错误.所以运算错误的有4个.故选D.
?
疑难点 1　(????)2与????????
?
3.观察下列各等式:318=12,3827=23,32764=34,…,用自然数n表示一般规律为 　.?
?
疑难点 2　规律探究
答案
3.3(????????+1)3=????????+1
?
4.判断下列各式是否成立.
(1)3227=2·327;(2)33326=3·3326;
(3)34463=4·3463;(4)355124=5·35124.
判断完以后,你能否得到一般的结论?若能,请写出你的一般结论.
?
答案
4.【解析】　通过验证知每个式子都成立.
一般结论为3n+????????3?1=n·3????????3?1(n≥2).
?
第四节　估算
第四节
1.[2020辽宁大连期末]估计15的值应在(　 　)　　　　 　　　　　　　　　　　　
A.3与4之间 B.4与5之间
C.5与6之间 D.6与7之间
?
答案
1.A　【解析】　因为9<15<16,所以3<15<4.故选A.
?
知识点 1　用估算法估计一个无理数的范围
2.通过估算,估计319+1的值应在(　 　)
A.2与3之间 B.3与4之间
C.4与5之间 D.5与6之间
?
答案
2.B　【解析】　因为8<19<27,所以38<319<327,即2<319<3,所以3<319+1<4.故选B.
?
3.若n-1<45A.5 B.6 C.7 D.8
?
答案
3.C　【解析】　因为6<45<7,所以n=7.故选C.
?
知识点 1　用估算法估计一个无理数的范围
4.已知m,n为两个连续整数,且m<11-2A.1 B.2 C.3 D.4
?
答案
4.C　【解析】　因为3<11<4,所以1<11-2<2,因为m,n为两个连续整数,且m<11-2?
5.[2020河南洛阳期中]比10小且比3大的整数是　 　.?
?
答案
5.2,3　【解析】　因为3<10<4,1<3<2,所以比10小且比3大的整数是2,3.
?
知识点 1　用估算法估计一个无理数的范围
6.求3的近似值(精确到0.1).
?
答案
6.【解析】　因为1<3<4,所以1<3<2,
所以3的整数部分是1.
因为1.72=2.89,1.82=3.24,1.72<3<1.82,
所以1.7<3<1.8.
因为1.732=2.992 9,1.742=3.027 6,1.732<3<1.742,
所以1.73<3<1.74.
所以3≈1.7.
?
知识点 2　用估算法确定无理数的大小
7.[2019山东枣庄山亭区期中]若13的整数部分为a,小数部分为b,则a-b的值为(　　)
A.-13
B.6-13
C.8-13
D.13-6
?
答案
7.B　【解析】　因为3<13<4,所以a=3,b=13-3,所以a-b=3-(13-3)=6-13.故选B.
?
知识点 3　用估算法确定无理数的整数部分和小数部分
8.已知5+7的小数部分是a,整数部分是m,5-7的小数部分是b,整数部分是n,求(a+b)2 020-mn的值.
?
答案
8.【解析】　因为2<7<3,
所以7<5+7<8,2<5-7<3,
所以m=7,a=5+7-7=-2+7,
n=2,b=5-7-2=3-7,
所以(a+b)2 020-mn=(-2+7+3-7)2 020-7×2=1-14=-13.
?
知识点 3　用估算法确定无理数的整数部分和小数部分
9.比较下列各组数的大小,正确的是 (　 　)
A.1.73>3 B.π<3.14
C.-5>-6 D.2<1.41
?
答案
9.C　【解析】　因为3≈1.732,所以3>1.73,故A错误;因为π≈3.142,所以π>3.14,故B错误;因为5<6,所以5<6,所以-5>-6,故C正确;因为2≈1.414,所以2>1.41,故D错误.故选C.
?
知识点 4　比较两个无理数的大小
10.[2019天津滨海新区一模]若a=3,b=|-6|,c=365,则下列关系正确的是(　 　)
A.a>b>c
B.c>b>a
C.b>a>c
D.b>c>a
?
答案
10.D　【解析】　因为b=|-6|=6,c=365<3125=5,a=3<4=2,所以b>c>a.故选D.
?
知识点 4　比较两个无理数的大小
11.比较大小:6?13与2+12.
?
答案
11.【解析】　因为6?13=26?26,2+12=32+36,
6?13-2+12=26?32?56<0,
所以6?13<2+12.
?
知识点 4　比较两个无理数的大小
12.[2020河北秦皇岛海港区期中]一个正方体的体积是120 m3,则它的棱长在 (　 　)
A.4 m与5 m之间 B.5 m与6 m之间
C.6 m与7 m之间 D.7 m与8 m与之间
答案
12.A　【解析】　正方体的棱长为3120 m,因为364<3120<3125,所以4<3120<5,所以它的棱长在4 m与5 m之间.故选A.
?
知识点 5　估算的实际应用
13.如图,校园里的旗杆AC高11 m,小强和小军想要在旗杆顶部点A与地面一固定点B之间拉一根直的铁丝,小强已测量出固定点B到旗杆底部C的距离是8 m,小军已准备好一根长12.3 m的铁丝,你认为这根铁丝的长度够用吗?并说明理由.
答案
13.【解析】　不够用.理由如下:
由题意可知,AC=11 m,BC=8 m,
因为旗杆AC垂直地面,
所以△ABC是直角三角形.
由勾股定理,得AB2=AC2+BC2=112+82=185.
因为12.32=151.29<185,
所以185>151.29=12.3.
所以这根铁丝的长度不够用.
?
知识点 5　估算的实际应用
第五节　用计算器开方
第五节
1.任意给定一个负数,利用计算器不断进行开立方运算,随着开立方次数的增加,结果越来越趋向 (　 　)
A.0 B.1 C.-1 D.无法确定
答案
1.C
知识点 1　用计算器求平方根和立方根
2.[2019山东潍坊中考]利用教材中的计算器依次按键如下: ,则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是(　 　)
A.2.5 B.2.6 C.2.8 D.2.9
答案
2.B　【解析】　因为7≈2.646,所以与7最接近的是2.6.故选B.
?
3.将2,33,55用“<”连接起来为(　 　)
A.2<33<55 B.55<33<2
C.33<2<55 D.55<2<33
?
答案
3.D　【解析】　因为2≈1.414,33≈1.442,55≈1.380,1.380<1.414<1.442,所以55<2<33.故选D.
?
知识点 2　用计算器比较两个无理数的大小
4.利用计算器,比较下列各组数的大小:
(1)18　 ????335;(2)813　 ?6?12.?
?
答案
4.(1)>;(2)<
5.用计算器求下列各式的值(精确到0.01):
(1)3.62;
(2)-78;
(3)3?0.81;
(4)3327.8;
(5)-512.
?
知识点 3　利用计算器求值
答案
5.【解析】　(1)3.62≈1.90.(2)-78≈-0.94.(3)3?0.81≈-0.93.(4)3327.8≈6.90.(5)-512≈-22.63.
?
6.借助计算器探索:3332+4442=　 　,3?3332+4?4442=　 　,?
由此猜想 =? 　 .?
?
知识点 4　利用计算器探索规律
答案
6.555　5 555 555?5????个　
?
7.用计算器探索:
121(1+2+1)=　 　;?
12?321(1+2+3+2+1)=　 　;?
1?234?321(1+2+3+4+3+2+1)=　 　;?
…
由此猜想
1?234?567?654?321(1+2+…+7+…+2+1)=　 　.?
?
知识点 4　利用计算器探索规律
答案
7.22　333　4 444　7 777 777
8.(1)利用计算器,将下列各数用“<”排列起来:
1+12,2+11,3+10,4+9,5+8,6+7.
(2)上面各数有什么共同的特征?由此能得出什么结论?
(3)利用(2)中的结论,猜想????-?????1与????+1-????的大小,再选择一些具体的数代入验证这个猜想.
?
知识点 4　利用计算器探索规律
答案
8.【解析】　(1)1+12<2+11<3+10<4+9<5+8<6+7.
(2)共同特征:它们都是两个数的算术平方根的和的形式,而且两根号内数的和都是13.
结论:当根号内两数越来越接近时,和越来越大.
(3)猜想:????-?????1>????+1-????.
(????-?????1)-(????+1-????)=????-?????1-????+1+????=(????+????)-(?????1+????+1),
根据(2)中结论可知(????+????)-(?????1+????+1)>0,
所以????-?????1>????+1-????.
当a=3时,????-?????1=3-2≈0.32,????+1-????=4-3≈0.27,满足上述结论;
当a=5时,????-?????1=5-4≈0.24,????+1-????=6-5≈0.21,满足上述结论.
?
第六节　实数
第六节
1.在实数3.141 59,364,1.010 010 001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1),4.2·1·,π,176中,无理数有(　 　)　　 　　　　　　　　　　
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
?
答案
1.B　【解析】　无限不循环小数称为无理数,题中无理数共有两个,分别是1.010 010 001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1),π.故选B.
知识点 1　实数的概念及其分类
2.给出下列说法:①有限小数是有理数;②无限小数都是无理数;③带根号且开方开不尽的数是无理数;④一个数的算术平方根一定是正数.其中正确的有 (　 　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案
2.B　【解析】　有限小数可化为分数,所以是有理数,故①正确;无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数,而无限循环小数是有理数,故②错误;带根号且开方开不尽的数是无理数,故③正确;一个数的算术平方根是非负数,故④错误.故选B.
3.下列语句中,正确的是 (　 　)
A.正整数、负整数统称为整数
B.正数、0、负数统称为有理数
C.开方开不尽的数和π统称为无理数
D.有理数、无理数统称为实数
知识点 1　实数的概念及其分类
答案
3.D　【解析】　整数分为正整数、0、负整数,故A错误;有理数分为整数和分数或正有理数、0、负有理数,故B错误;无理数是无限不循环小数,并不只有开方开不尽的数和π,如0.121 121 112…(相邻两个2之间依次多一个1)也是无理数,故C错误.故选D.
4.[2019浙江宁波奉化区期中]把下列各数的序号填入相应的括号内.
①10,②-π,③3?1.331,④-3.14,⑤ 2,⑥ 0,
⑦113,⑧-1,⑨1.3,⑩1.808 008 000 8…(相邻两个8之间依次多一个0).
整数集合{　 　…};
负分数集合{　 　…};
正有理数集合{　 　…};
无理数集合{　 　…}.
?
知识点 1　实数的概念及其分类
答案
4.①⑥⑧　③④　①⑦⑨　②⑤⑩
5.[2020陕西西安碑林区月考]327的倒数是(　 　)
A.3 B.-2 C.13 D.-3
?
答案
5.C　【解析】　327=3,3的倒数为13.故选C.
?
知识点2　实数范围内的相反数、倒数与绝对值
6.已知a,b互为相反数,c,d互为倒数,m的倒数等于它本身,则????????????2+(a+b)m-m的立方根为　 　.?
?
答案
6.0或32　【解析】　因为a,b互为相反数,所以a+b=0.因为c,d互为倒数,所以cd=1,因为m的倒数等于它本身,所以m=±1.①当m=1时,????????????2+(a+b)m-m=1+0-1=0,所以????????????2+(a+b)m-m的立方根为0;②当m=-1时,????????????2+(a+b)m-m=1+0+1=2,所以????????????2+(a+b)m-m的立方根为32.综上所述,cdm2+(a+b)m-m的立方根是0或32.
?
知识点 2　实数范围内的相反数、倒数与绝对值
7.求下列各数的相反数和绝对值.
(1)3?64; (2)π-4.
?
答案
7.【分析】　在实数范围内,相反数、绝对值的意义与有理数范围内的意义完全相同,所以可以用在有理数范围内的方法来求.
【解析】　(1)因为3?64=-4,
所以3?64的相反数是4,绝对值是4.
(2)π-4的相反数是4-π,
因为π-4<0,所以|π-4|=4-π.
?
8.边长是a的正方形面积是7,在如图所示的数轴上,表示数a的点在 (　　)
A.C与D之间
B.A与B之间
C.A与C之间
D.B与C之间
知识点3　实数与数轴上的点的关系
答案
8.A　【解析】　正方形的边长为a,则a2=7,所以a=7,因为6.25<7<9,所以2.5<7<3,则表示数a的点在C和D之间.故选A.
?
9.在如图所示的数轴上,点B、点C到点A的距离相等,A,B两点对应的实数分别是1和-3,则点C对应的实数是(　 　)
A.2+3
B.2-3
C.-2+3
D.1+3
?
知识点3　实数与数轴上的点的关系
答案
9.A　【解析】　设点C对应的实数为x,因为点B、点C到点A的距离相等,所以AC=AB,即x-1=1+3,解得x=2+3.故选A.
?
10.比较2,5,37的大小,正确的是(　 　)
A.2<5<37 B.2<37<5
C.37<2<5 D.5<37<2
?
知识点4　两个实数的大小比较
答案
10.C　【解析】　因为22=4,(5)2=5,5>4,所以5>2;因为23=8,(37)3=7,8>7,所以2>37,所以37<2<5.故选C.
?
11.[2019内蒙古包头中考]实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示.下列结论正确的是 (　 　)
A.a>b B.a>-b C.-a>b D.-a答案
11.C　【解析】　由题中数轴可知,-3|b|,所以a+b<0,a<-b,-a>b.故选C.
知识点5　实数的运算
12.[2020四川遂宁期末]计算:
(1)(-1)3+|1-3|+38-(?2)2;
(2)|3-2|+(12)-1-(π-3.14)0-327.
?
答案
12.【解析】　(1)(-1)3+|1-3|+38-(?2)2
=-1+3-1+2-2
=3-2.
(2)|3-2|+(12)-1-(π-3.14)0-327
=2-3+2-1-3
=-3.
?
1. 下列各组数中,互为相反数的是 (　 　)
A.5和(?5)2 B.-|-2|和-(-2)
C.-38和3?8 D.-5和15
?
答案
1.B　【解析】　(?5)2=5,A项不合题意;-|-2|=-2,-(-2)=2,两数互为相反数,B项符合题意;-38=-2,3?8=-2,C项不合题意;易知-5和15不互为相反数,D项不合题意.故选B.
?
2.若|a|=-a,则实数a在数轴上的对应点一定在 (　 　)
A.原点左侧
B.原点或原点左侧
C.原点右侧
D.原点或原点右侧
答案
2.B　【解析】　因为|a|=-a,所以a一定是非正数,所以实数a在数轴上的对应点一定在原点或原点左侧.故选B.
3.[2019山东潍坊期中]如图,数轴上的点O表示的数是0,点A表示的数是1,OB⊥OA,垂足为O,且BO=1,以点A为圆心,AB长为半径画弧,交数轴于点C,则点C表示的数为 (　 　)
A.-0.4 B.-2
C.1-2 D.2-1
?
答案
3.C　【解析】　在Rt△AOB中,AB=????????2+????????2=2,所以AC=AB=2,所以OC=AC-OA=2-1,所以点C表示的数为1-2.故选C.
?
4.已知|x|=6,y是4的平方根,且|y-x|=x-y,则x+y的值为? 　.?
?
答案
4.6+2或6-2　【解析】　由|x|=6,y是4的平方根,得x=6或x=-6,y=2或y=-2.因为|y-x|=x-y,所以x>y,所以x=6,y=2或y=-2.当y=2时,x+y=6+2;当y=-2时,x+y=6-2.综上,x+y的值为6+2或6-2.
?
5.若将-3,7,15三个数表示在数轴上,则被如图所示的墨迹覆盖的数是? 　.?
?
答案
5.7　【解析】　因为1<3<4,所以1<3<2,所以-2<-3<-1,故-3不在此范围;因为4<7<9,所以2<7<3,故7在此范围;因为9<15<16,所以3<15<4,故15不在此范围.所以被墨迹覆盖的数是7.
?
6.[2020陕西西安雁塔区期中]定义:对于实数a,[a]表示不大于a的最大整数.例如[5.7]=5,[-π]=-4,则[1?π2]=　 　.?
?
答案
6.-2　【解析】　因为3<π<4,所以-3<1-π<-2,所以-32<1?π2<-1,所以[1?π2]=-2.
?
7.[2018湖南益阳中考]计算:|-5|-327+(-2)2+4÷(-23).
?
答案
7.【解析】　 |-5|-327+(-2)2+4÷(-23)
=5-3+4-6
=0.
?
8.有六个数:0.142 7,(-0.5)3,3.141 6,227,-2π,0.202 002 000 2…(相邻两个2之间0的个数逐次加1).若无理数的个数为x,整数的个数为y,非负数的个数为z,求x+y+z的值.
?
答案
8.【解析】　由题意,得无理数有2个,分别是-2π,0.202 002 000 2…(相邻两个2之间0的个数逐次加1),所以x=2;
整数有0个,所以y=0;
非负数有4个,分别是0.142 7,3.141 6,227,0.202 002 000 2…(相邻两个2之间0的个数逐次加1),所以z=4.
所以x+y+z=2+0+4=6.
?
9.[2019陕西西安莲湖区期中]如图,一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位到达点B,点A表示-2,设点B所表示的数为m.
(1)求m的值;
(2)求|m+1|+(m+22-2)的值.
?
答案
9.【解析】　(1)由题意可得,m=2-2.
(2)|m+1|+(m+2 2-2)
=|2-2+1|+(2-2+2 2-2)
=3-2+2
=3.
?
10.如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个顶点叫做格点.
(1)在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形;
(2)在图2中以格点为顶点画一个三角形,使三角形的三边长分别为2,5,13,并求这个三角形的面积.
?
答案
10.【解析】　(1)面积为10的正方形的边长为10,因为32+12=10,所以图1所示
的正方形即所求.(注:图形的位置不唯一)
(2)因为22+12=5,22+32=13,所以图2所示的三角形即所求.(注:图形的位置
不唯一)这个三角形的面积为12×2×2=2.
?
图1 图2
图1 图2
第七节　二次根式
第七节
课时1　二次根式及其性质
课时1
1.在式子32,-4,?????1,????2+????2,????2中,是二次根式的有(　 　)　　　　　　　　　　　　　　
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
?
答案
1.C　【解析】　是二次根式的有-4,????2+????2,????2,共3个.故选C.
?
知识点 1　二次根式的概念
2.[2019江苏苏州中考]若?????6在实数范围内有意义,则x的取值范围为　 　.?
?
答案
2.x≥6　【解析】　若?????6在实数范围内有意义,则x-6≥0,解得x≥6.
?
3.化简二次根式(?5)2×3得(　 　)
A.-5 3 B.5 3 C.±5 3 D.30
?
答案
3.B　【解析】　(?5)2×3=52×3=5 3.故选B.
?
知识点 2　积的算术平方根
4.化简:
(1)9×16; (2)16×81;
(3)81×100; (4)54.
?
答案
4.【解析】　(1)9×16=9×16=3×4=12.(2)16×81=16×81=4×9=36.
(3)81×100=81×100=9×10=90.(4)54=9×6=32×6=36.
?
5.设2=a,3=b,用含a,b的式子表示0.54.
?
答案
5.【解析】　0.54=0.09×6=0.09×6=0.3×2×3=0.3ab.
?
知识点 2　积的算术平方根
6.[2020上海浦东新区期中]下列化简错误的是 (　 　)
A.1625=45 B.1916=134
C.2764=38 3 D.-715=-65 5
?
答案
6.B　【解析】　A选项, 1625=1625=45,故A选项正确;B选项, 1916=2516=2516=54,故B选项错误;C选项, 2764=2764=38 3,故C选项正确;D选项, -715=-365=-365=-65 5,故D选项正确.故选B.
?
知识点 3　商的算术平方根
7.化简:
(1)364; (2)64????29????2;
(3)9????64????2; (4)5????169????2.
?
答案
7.【解析】　 (1)364=364=38.(2)64????29????2=64????29????2=8|????|3|????|.
(3)9????64????2=9????64????2=3????8|????|.(4)5????169????2=5????169????2=5????13|????|.
?
知识点 3　商的算术平方根
8.[2019山西中考]下列二次根式是最简二次根式的是 (　 　)
A.12 B.127 C.8 D.3
?
答案
8.D　【解析】　如果一个二次根式满足(1)被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,那么这个二次根式是最简二次根式.12,127的被开方数都是分数,故都不是最简二次根式.8=4×2=2 2,故8不是最简二次根式.只有3满足二次根式的两个条件,故3是最简二次根式.故选D.
?
知识点 4　最简二次根式
9.如果最简二次根式5????+2与154????+3的被开方数相同,那么x=　 　.?
?
答案
9.1　【解析】　由题意,得5x+2=4x+3,解得 x=1.
知识点 4　最简二次根式
10.把下列根式化成最简二次根式:
(1)12; (2)40; (3)1.5; (4)43.
?
答案
10.【解析】　(1)12=4×3=23.(2)40=4×10=210.
(3)1.5=32=32=3×22×2=62.(4)43=23=233.
?
1.下列各式化简正确的是 (　 　)　　　　 　　　　　　　　　　
A.53=315
B.12=±22
C.????3+????=x????+1
D.????4????=a2????
?
答案
1.D　【解析】　53=153,故A项错误;12=22,故B项错误;????3+????=????(????2+1)≠x????+1,故C项错误.故选D.
?
2.如果二次根式28????是整数,那么正整数n的最小值是(　 　)
A.1 B.4 C.7 D.28
?
答案
2.C　【解析】　28????=27????,而28????是整数,所以正整数n的最小值为7.故选C.
?
3.易错题 [2019山东聊城一模]已知二次根式23?????与8化成最简二次根式后,被开方数相同,若a是正整数,则a的最小值为(　 　)
A.23 B.21 C.15 D.5
?
答案
3.D　【解析】　因为8=2 2,所以23?????化为最简二次根式后,被开方数为2.当23-a=2时,a=21;当23-a=8时,a=15;当23-a=18时,a=5;当23-a=32时,a=-9(不符合题意,舍去).所以符合条件的正整数a的值为5,15,21,所以a的最小值为5.故选D.
?
4.[2020上海宝山实验学校月考]将式子-(m-n)?1?????????化为最简二次根式为 　.?
?
答案
4.?????????　【解析】　由题意可知,m-n<0,所以n-m>0,所以-(m-n)?1?????????=-(m-n)??????????????????=?????????.
?
5.化简:
(1)12????2+4????4(a≤0);　(2)549.
?
答案
5.【解析】　(1)12????2+4????4=4????2(3+????2)=-2a3+????2.
(2)549=499=499=73.
?
6. 已知0?
答案
6.【解析】　因为0所以????+1????+2-????+1?????2
=(????+1????)2-(?????1????)2
=????+1????-(1????-????)
=2 ????.
?
7.[2019河北保定期中]观察下列各式及验证过程:
12?13=1223,验证:12?13=12×3=222×3=12 23;
12(13?14)=1338,验证:12(13?14)=12×3×4=32×32×4=13 38;
13(14?15)=14415,验证:13(14?15)=13×4×5=43×42×5=14 415.
(1)按照上述三个等式及其验证过程的基本思路,猜想14(15?16)=? 　;?
(2)按照上述三个等式及其验证过程的基本思路,猜想18(19?110)的变形结果并进行验证;
(3)针对上述各式反映的规律,写出用自然数n(n≥1)表示的等式,并进行验证.
?
答案
7.【解析】　(1)15524
14(15?16)=14×5×6=54×52×6=15524.
?
答案
(2)猜想18(19?110)=19980.
验证:18(19?110)=18×9×10=98×92×10=19980.
(3)1????(1????+1?1????+2)=1????+1 ????+1????(????+2)(n≥1).
验证:1????(1????+1?1????+2)=1????×(????+1)×(????+2)=
????+1????×(????+1)2×(????+2)=1????+1 ????+1????(????+2)(n≥1).
?
课时2　二次根式的运算
课时2
1.[2020湖北孝感期末]计算24×16的结果是(　 　)
A.4 B.±4 C.2 D.2
?
答案
1.C　【解析】　24×16=24×16=2.故选C.
?
知识点 1　二次根式的乘法
2.计算2 5×3 10的结果是(　 　)
A.615 B.630 C.302 D.305
?
答案
2.C　【解析】　2 5×3 10=6 5×10=6 5×5×2=30 2.故选C.
?
3.一个直角三角形的两条直角边长分别为5和45,则这个直角三角形的面积是(　 　)
　　　　　 　　　　　　　　　　
A.52 B.5 C.152 D.15
?
答案
3.C　【解析】　这个直角三角形的面积S=12×5×45=12×5×45=12×52×32=152.故选C.
?
知识点 1　二次根式的乘法
4.(1)2与下列哪些数相乘,结果是有理数?
A.32　B.23　C.6　D.32　E.0
问题的答案是　 　.(只需填字母)?
(2)如果一个数与2相乘的结果是有理数,那么这个数的一般形式是什么?(用代数式表示)
?
答案
4.【解析】　(1)A,D,E
(2)这个数的一般形式是????2或a2(a为有理数).
?
5.下列计算正确的是 (　 　)
A.3÷5=35 B.3÷25=35 C.125÷5=5 D.????÷x=????
?
答案
5.B　【解析】　3÷5=35=155,3÷25=325=35,125÷5=1255=555=5,????÷x=????????,所以A,C,D错误,B正确.故选B.
?
知识点 2　二次根式的除法
6.已知长方形的面积是48 cm2,其中宽为32 cm,则该长方形的长为　 　cm.?
?
答案
6.62　【解析】　该长方形的长为4832=4842=122=62 (cm).
?
7.计算:
(1)14÷116; (2)648.
?
答案
7.【解析】　(1)14÷116=14÷116=14×16=4=2.
(2)648=648=8=22.
?
知识点 2　二次根式的除法
8.计算4 3-3的结果是(　 　)
A.3 3 B.4 C.3 D.3
?
答案
8.A　【解析】　4 3-3=(4-1)3=3 3.故选A.
?
知识点 3　二次根式的加减法
9.[2019上海松江区期中]下列根式中,能与3合并的二次根式为(　 　)
A.24 B.32 C.12 D.18
?
答案
9.C　【解析】　24=2 6,不能与3合并,不合题意;32=62,不能与3合并,不合题意;12=2 3,能与3合并,符合题意;18=3 2,不能与3合并,不合题意.故选C.
?
10.计算24-923的结果是(　 　)
A.6 B.-6 C.-43 6 D.43 6
?
答案
10.B　【解析】　24-923=2 6-9×63=2 6-3 6=-6.故选B.
?
知识点 3　二次根式的加减法
11.如果最简二次根式3?????8与17?2????能够合并,那么3?????8+17?2????的值为(　 　)
A.5 B.7 C.2 5 D.2 7
?
答案
11.D　【解析】　由题意可知最简二次根式3?????8与17?2????的被开方数相同,即3a-8=17-2a,解得a=5,所以3?????8+17?2????=7+7=27.故选D.
?
12.计算:
(1)8+18;　 (2)16????+64????;
(3)3 48-913+312;
(4)(48+20)+(12-5).
?
知识点 3　二次根式的加减法
答案
12.【解析】　(1)8+18=2 2+3 2=(2+3)×2=5 2.
(2)16????+64????=4 ????+8 ????=(4+8)????=12 ????.
(3)348-913+312=12 3-3 3+6 3=(12-3+6)×3=15 3.
(4)(48+20)+(12-5)=48+20+12-5=4 3+2 5+2 3-5=6 3+5.
?
1.[2020河南南阳期中]下列计算正确的是 (　 　)　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.2 3+3 2=5
B.6÷2=3
C.5 3×5 2=5 6
D.412=212
?
答案
1.B　【解析】　23与32不能合并,所以A选项错误;6÷2=6÷2=3,所以B选项正确;53×52=252×3=256,所以C选项错误;412=92=312,所以D选项错误.故选B.
?
2.[2019河北唐山丰南区期末]已知x是整数,3·6????是整数,则x的最小值为(　 　)
A.2 B.3 C.4 D.18
?
答案
2.A　【解析】　因为3·6????=18????是整数, x是整数,所以x=2或18,所以x的最小值为2.故选A.
?
3.如果ab>0,a+b<0,给出下列各式:①????????=????????;②????????·????????=1;③????????÷????????=-b.其中正确的个数为(　 　)
A.0 B.1 C.2 D.3
?
答案
3.B　【解析】　因为ab>0,a+b<0,所以a<0,b<0.①中的被开方数不全是非负数,故①错误;②中????????·????????=????????·????????=1,故②正确;③中????????÷????????=????????×????????=????2=-a,故③错误.故选B.
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4.生物老师想设计一个长方形的实验基地,便于同学们进行实地观察,最终他把此实验基地的长设计为8020 m、宽设计为345 m,则这块实验基地的面积为(　 　)
A.1 800 m2 B.3 600 m2
C.5 400 m2 D.7 200 m2
?
答案
4.D　【解析】　实验基地的面积为8020×345=80×3×20×45=240 900=240×30=7 200(m2).故选D
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5.计算5×123的结果是　 　.?
?
答案
5.2 5　【解析】　5×123=5×233=2 5.
?
6.计算:515+12 5-45=　 　.?
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答案
6.-32 5　【解析】　515+12 5-45=5+125-35=-32 5.
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7.对于任意不相等的两个正实数a,b,定义运算△如下:
a△b=????+?????????????,如3△2=3+23?2=5.那么8△12=　 　.?
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答案
7.-52 　【解析】　因为a△b =????+?????????????,所以8△12=8+128?12=-4×54= -52.
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1.[2020河南南阳期中]下列计算正确的是 (　 　)　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.2 3+3 2=5
B.6÷2=3
C.5 3×5 2=5 6
D.412=212
?
答案
1.B　【解析】　23与32不能合并,所以A选项错误;6÷2=6÷2=3,所以B选项正确;53×52=252×3=256,所以C选项错误;412=92=312,所以D选项错误.故选B.
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8.计算:
(1)(6127-2318)-(43-412);
(2) 12 6×412÷23 2.
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答案
8.【解析】　(1)(6127-2318)-(43-412)
=(6×39-23×3 2)-(233-4×22)
=233-2 2-233+2 2
=0.
(2)12 6×412÷23 2
=12×4×32×6×12÷2
=336
=18.
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9.有一长方形纸片,现将该长方形纸片的长增加3 2 cm,宽增加6 2 cm,就成为一个面积为128 cm2的正方形纸片,求原长方形纸片的面积.
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答案
9.【解析】　因为128=8 2,所以面积为128 cm2的正方形纸片的边长为8 2 cm,
所以原长方形的长为8 2-3 2=5 2(cm),
宽为8 2-6 2=2 2(cm),
所以原长方形纸片的面积为5 2×22=20(cm2).
?
10.观察下列各式:
12+1=1×(2?1)(2+1)(2?1)=2-1;13+2=1×(3?2)(3+2)(3?2)=3-2;15+2=1×(5?2)(5+2)(5?2)=5-2;…
(1)求17+6的值.
(2)请你将猜想到的规律用含有正整数n的代数式表示出来.
(3)计算:11+2+12+3+13+4+…+198+99+199+100.
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答案
10.【解析】　(1)17+6=1×(7?6)(7+6)(7?6)=7-6.
(2)1????+1+????=1×(????+1?????)(????+1+????)(????+1?????)=????+1-????(n≥1).
(3)11+2+12+3+13+4+…+198+99+199+100
=(2-1)+(3-2)+(4-3)+…+(99-98)+(100-99)
=-1+100
=-1+10
=9.
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课时3　二次根式的混合运算
课时3
1.计算27-8×23的结果是(　 　)
A.3 B.433 C.533 D.2 3
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答案
1.C　【解析】　27-8×23=33-433=533.故选C.
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知识点 1　二次根式的混合运算
2.(24-315+2223)×2的值是(　 　)
A.203 3-330 B.330-233??????????C.2 30-233 D.203 3-30
?
答案
2.A　【解析】　(24-315+2223)×2=48-330+2163=43-330+833=2033-330.故选A.
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3.[2019山东聊城二模]计算(515-245)÷(-5)的结果为(　 　)
A.5 B.-5 C.7 D.-7
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答案
3.A　【解析】　(515-245)÷(-5)=(5-65)÷(-5)=-55÷(-5)=5.故选A.
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知识点 1　二次根式的混合运算
4.[2019江苏南京中考]计算147-28的结果是　 　.?
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答案
4.0　【解析】　147-28=27-27=0.
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5.计算:3÷(13+316)=　.?
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答案
5.127　【解析】　3÷(13+316)=3÷(33+34)=3÷7312=3×1273=127.
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知识点 1　二次根式的混合运算
6.计算:
(1)(6+8)×3;　(2)(4 6-3 2)÷2 2; (3)(5+6)(3-5);(4)2(18-33)+42×32.
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答案
6.【解析】　(1)(6+8)×3=6×3+8×3=18+24=32+26.
(2)(4 6-3 2)÷2 2=4 6÷2 2-3 2÷2 2=2 3-32.
(3)(5+6)(3-5)=3 5-(5)2+18-6 5=13-3 5.
(4)2(18-33)+42×32
=2×18-32×3+22×3
=6-36+26
=6-6.
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7.一个直角三角形的两条直角边长分别是(3-2)cm,(3+2)cm,求这个三角形的面积和周长.
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答案
知识点 1　二次根式的混合运算
7.【解析】　三角形的面积为12×(3-2)×(3+2)=72(cm2).
由勾股定理,得三角形的斜边长为(3?2)2+(3+2)2=22(cm),
所以三角形的周长为(3-2)+(3+2)+22=(6+22)(cm).
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8.[2019江苏常州中考]下列各数中与2+3的积是有理数的是(　 　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2+3　　 B.2　　　 C.3　　　 D.2-3
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答案
知识点 2　乘法公式在二次根式运算中的应用
8.D　【解析】　A项,(2+3)(2+3)=4+3+43=7+43,结果是无理数;B项,2(2+3)=4+23,结果是无理数;C项,3(2+3)=23+3,结果是无理数;D项,(2+3)(2-3)=4-3=1,结果是有理数.故选D.
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9.[2020上海浦东新区月考]计算:(3-2)2(5+26)=　 　.?
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答案
9.1　【解析】　(3-2)2(5+26)=(3+2-26)(5+26)=(5-26)(5+26)=25-24=1.
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10.已知m=1+2,n=1-2,则代数式????2+????2?3????????的值为(　 　)
A.9 B.±3 C.3 D. 5
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答案
知识点 2　乘法公式在二次根式运算中的应用
10.C　【解析】　因为m2+n2=(m+n)2-2mn,所以????2+????2?3????????=(????+????)2?2?????????3????????=(????+????)2?5????????,由已知,得m+n=2,mn=(1+2)(1-2)=-1,所以原式=22+5=9=3.故选C.
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11.计算:
(1)(10+3)2(10-3);
(2)(2 5-3)2-(2 5+3)2.
?
答案
知识点 2　乘法公式在二次根式运算中的应用
11.【解析】　(1)(10+3)2(10-3)
=(10+3)(10+3)(10-3)
=(10+3)[(10)2-32]
=(10+3)(10-9)
=10+3.
(2)(2 5-3)2-(2 5+3)2
=[(2 5-3)+(2 5+3)][(2 5-3)-(2 5+3)]
=4 5×(-6)
=-24 5.
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12.已知x=7?52,y=7+52,求????????+????????的值.
?
答案
知识点 2　乘法公式在二次根式运算中的应用
12.【解析】　因为x=7?52,y=7+52,
所以x+y=7?52+7+52=7,
xy=7?52×7+52=12,
所以????????+????????=????2+????2????????=(????+????)2?2????????????????=12.
?
1.计算48-2 3+18×27的结果是(　 　)
A.2 3+364 B.2 3+32
C.6 3+364 D.2 3+6 6
?
答案
1.A　【解析】　48-23+18×27=43-23+24×33=2 3+364.故选A.
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2.计算(5-3)(5+3)-(2+6)2的结果是(　 　)
A.-6 B.-6-2 3
C.-6-4 3 D.-3-2
?
答案
2.C　【解析】　(5-3)(5+3)-(2+6)2=5-3-(2+4 3+6)=-6-4 3.故选C.
?
3.已知a=1+2,b=11?2,则a与b的关系是( 　)
A.互为相反数 B.互为倒数
C.相等 D.互为负倒数
?
答案
3.A　【解析】　b=11?2=1+2(1?2)(1+2)=-(1+2),而a=1+2,所以a,b互为相反数.故选A.
?
4.已知x=2-3,则代数式(7+43)x2+(2+3)x+3的值是(　 　)
A.0 B.3 C.2+3 D.2-3
?
答案
4.C　【解析】　当x=2-3时,(7+4 3)x2+(2+3)x+3=(7+4 3)(2-3)2+(2+3)(2-3)+3=(7+4 3)(7-4 3)+4-3+3=49-48+4-3+3=2+3.故选C.
?
5.计算:(1-2)2 019×(1+2)2 020=　 　.?
?
答案
6.对于任意的正数m,n,定义运算※如下:m※n=?????????(????≥????),????+????(?????
5.-2-1　 【解析】　(1-2)2 019×(1+2)2 020=[(1-2)×(1+2)]2 019×(1+2)=-2-1.
?
6.2　【解析】　因为3>2,所以3※2=3-2.因为8<12,所以8※12=8+12=2×(2+3),所以(3※2)×(8※12)=(3-2)×2×(2+3)=2.
?
答案
7.计算:
(1)-4318÷(2 8×1354)+(52+122)0;
(2)(10 48-6 27+4 12)÷6;
(3)(7+5)(28-20)-(3+3 2)2.
?
答案
7.【解析】　(1)-4318÷(2 8×1354)+(52+122)0=-42÷（42×6）+1=-16 +1= -66+1.
(2)(1048-627+412)÷6=(40 3-18 3+8 3)÷6=30 3÷6= 15 2.
(3)(7+5)(28-20)-(3+3 2)2=(7+5)(2 7-2 5)-(3+18+6 6)=2(7+5)(7-5)-(21+66)=2×2-21-6 6=
-17-66.
?
8.[2019四川达州通川区期中]已知x=13?22,y=13+22.
(1)求x2y-xy2的值;
(2)求x2-xy+y2的值.
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答案
8.【解析】　因为x=13?22=3+22(3?22)(3+22)=3+2 2,y=13+22=3?22(3+22)(3?22)=3-2 2,
所以xy=(3+2 2)(3-2 2)=1,x+y=3+2 2+3-2 2=6,
x-y=3+2 2-(3-2 2)=4 2.
(1)x2y-xy2=xy(x-y)=1×42=42.
(2)x2-xy+y2=(x+y)2-3xy=62-3×1=36-3=33.
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9.周末小颖高高兴兴地回到了家,妈妈问她这周学习了什么,小颖说:“我学习了二次根式.”妈妈高兴地说:“那好,我们来做个游戏,若x表示47的整数部分,y表示它的小数部分,我有一个钱包,里面的钱数是(47+x)y元,你能猜出这个钱包里面的钱数吗?若猜对了,钱包里的钱由你支配.”小颖陷入了沉思.同学们,请你帮小颖获得这些钱的支配权.
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答案
9.【解析】　因为x表示47的整数部分,y表示它的小数部分,
所以x=6,y=47-6,
所以(47+x)y=(47+6)(47-6)=47-36=11(元).
答:这个钱包里面的钱数为11元.