北师大版八年级上册数学第五章二元一次方程组整章同步教学课件（140张PPT)

第五章·二元一次方程组
数学·八年级上册·北师
第一节　认识二元一次方程组
第一节
1.下列方程是二元一次方程的是 (　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A.x-1????=2 B.x+2y=0 C.x2-x=5 D.3x-1=0
?
答案
1.B　【解析】　A项,1????不是整式,不符合二元一次方程的概念;B项,符合二元一次方程的概念;C项,x2项的次数是2,不符合二元一次方程的概念;D项,含有一个未知数,不符合二元一次方程的概念.故选B.
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知识点 1　二元一次方程的概念
2.若x3m-3-2yn-1=5是关于x,y的二元一次方程,则m=????　,n=　　.?
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答案
2.4/3　 2　【解析】　因为x3m-3-2yn-1=5是二元一次方程,所以3m-3=1且n-1=1,所以m=43,n=2.
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3.下列方程组中,是二元一次方程组的是 (　 　)
A.????+2????=1,????2=4 B.?????????=?12,3?????????=6
C.????+????=?2,2?????????=5 D.????????+2????=1,????=?3
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答案
3.C　【解析】　A项中的x2=4不是一次方程;B项中含有三个未知数;D项中的xy为二次项.故选C.
知识点 2　二元一次方程组的概念
4.下列各组值中,不是方程x-2y=1的解的是 (　 　)
A.????=0,????=?12 B.????=1,????=1
C.????=1,????=0 D.????=?1,????=?1
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答案
4.B　【解析】　A项,当x=0,y=-12时,x-2y=0-2×(-12)=1,所以????=0,????=?12是方程x-2y=1的解;B项,当x=1,y=1时,x-2y=1-2×1=-1,所以????=1,????=1不是方程x-2y=1的解;C项,当x=1,y=0时,x-2y=1-2×0=1,所以????=1,????=0是方程x-2y=1的解;D项,当x=-1,y=-1时,x-2y=-1-2×(-1)=1,所以????=?1,????=?1是方程x-2y=1的解.故选B.
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知识点 3　二元一次方程(组)的解
5.[2019湖北武汉武昌区期末]已知????=1,????=2是二元一次方程2x+ay=4的一组解,则a的值为(　 　)
A.2 B.-2
C.1 D.-1
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答案
5.C　【解析】　把????=1,????=2代入方程2x+ay=4,得2+2a=4,解得a=1.故选C.
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知识点 3　二元一次方程(组)的解
6.[2020湖南长沙期末]已知一个二元一次方程组的解是????=?1,????=?2, 则这个方程组可以是(　 　)
A.????+????=?3,????????=2 B.?????????=?3,?????2????=1
C.2????=????,?????????=?3 D.?????????=1,2????+????=?4
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答案
6.D　【解析】　A选项中的方程组不是二元一次方程组,不符合题意.把????=?1,????=?2分别代入B,C,D选项进行验证,只有D选项中的两个等式都成立.故选D.
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知识点 3　二元一次方程(组)的解
7.[2019四川南部中学期中]若x+4y=-15和3x-5y=6有相同的解,则相同的解是 (　 　)
A.????=?3,????=?3 B.????=3,????=?3
C.????=3,????=3 D.????=?3,????=3
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答案
7.A　【解析】　由题意得到二元一次方程组????+4????=?15,3?????5????=6,将各选项代入验证,可得相同的解是????=?3,????=?3.故选A.
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知识点 3　二元一次方程(组)的解
8.[2019山东威海八校联考]若关于x,y的方程组3?????????=????,????+????????=????的解是????=1,????=1,则|m-n|的值为　 　.?
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答案
8.1　【解析】　将????=1,????=1代入方程组3?????????=????,????+????????=????,可得2=????,1+????=????,所以????=2,????=3,所以|m-n|=|2-3|=1.
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9.甲、乙两人共同解关于x,y的二元一次方程组????????+5????=15,①4?????????????=?2,②由于甲看错了方程①中的a,得到方程组的解为????=?3,????=?1;乙看错了方程②中的b,得到方程组的解为????=5,????=4.试求出a,b的值,并计算a2 019+(-110b)2 020.
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答案
9.【解析】　将????=?3,????=?1代入方程②,得b=10,
将????=5,????=4代入方程①,得a=-1,
所以a2 019+(-110b)2 020=(-1)2 019+(-110×10)2 020=0.
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知识点 3　二元一次方程(组)的解
10.端午节时,王老师用72元钱买了荷包和五彩绳共20件,其中荷包每件4元,五彩绳每件3元.设王老师购买荷包x件,五彩绳y件,根据题意,下面列出的方程组正确的是 (　 　)
A.????+????=20,3????+4????=72 B.????+????=20,4????+3????=72
C.????+????=72,4????+3????=20 D.????+????=72,3????+4????=20
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答案
10.B　【解析】　根据题意可得等量关系:荷包的件数+五彩绳的件数=20,买荷包的钱数+买五彩绳的钱数=72,因此,列出的方程组为????+????=20,4????+3????=72.故选B.
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知识点 4　列二元一次方程组
11.[2019山东东营中考]篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜1场得2分,负1场得1分,某队在10场比赛中得到16分.若设该队胜的场数为x,负的场数为y,则可列方程组为 (　 　)
A.????+????=10,2????+????=16 B.????+????=10,2?????????=16
C.????+????=10,?????2????=16 D.????+????=10,????+2????=16
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答案
11.A
知识点 4　列二元一次方程组
第二节　求解二元一次方程组
第二节
课时1　代入消元法
课时1
1.[2020广东省实验中学期中]解二元一次方程组2?????3????=5,①????=????+3② 时,把②代入①,结果正确的是(　　)
A.2(x+3)-3y=5
B.2x-3x+3=5
C.2x-3(x+3)=5
D.2x-3(x-3)=5
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答案
1.C
知识点 1　用代入消元法解二元一次方程组
2.易错题 用代入法解方程组2????+3????=2,①4?????9????=?1②时,变形正确的是(　 　)
A.先将①变形为x=3?????22,再代入②
B.先将①变形为y=2?2????3,再代入②
C.先将②变形为x=94y-1,再代入①
D.先将②变形为y=9(4x+1),再代入①
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答案
2.B
知识点 1　用代入消元法解二元一次方程组
3.用代入消元法解方程组2?????????=5,3?????2????=8时,消去y后得到的方程是(　 　)
A.3x-4x-10=0 B.3x-4x+5=8
C.3x-2(5-2x)=8 D.3x-2(2x-5)=8
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答案
3.D　【解析】　2?????????=5,①3?????2????=8,②由①,得y=2x-5③,将③代入②,得3x-2(2x-5)=8.故选D.
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知识点 1　用代入消元法解二元一次方程组
4.用代入消元法解方程组7?????2????=3,①?????2????=?12,②有以下步骤:
(1)由①,得y=7?????32③;
(2)将③代入①,得7x-2×7?????32=3;
(3)整理,得3=3;
(4)所以x可取一切实数,原方程组有无数组解.
以上解法,造成错误的一步是(　 　)
A.(1) B.(2) C.(3) D.(4)
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答案
4.B　【解析】　造成错误的一步是(2).因为③是由①得到,所以应该将③代入②而不是①.故选B.
知识点 1　用代入消元法解二元一次方程组
5.已知????=2,????=1是二元一次方程组????????+????????=8,?????????????????=1的解,则2m-n的算术平方根为(　 　)
A.±2 B.2 C.2 D.4
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答案
5.C　【解析】　因为????=2,????=1是二元一次方程组????????+????????=8,?????????????????=1的解,所以2????+????=8,2?????????=1,利用代入消元法解得????=3,????=2,所以2m-n=2×3-2=4,又因为4的算术平方根为2,所以2m-n的算术平方根为2.故选C.
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知识点 1　用代入消元法解二元一次方程组
6.解二元一次方程组4????+5????=17,4????+7????=?19时,用代入消元法整体消去4x,得到的方程是　 　,方程组的解为　 　, 　
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答案
6.2y=-36　????=1074,????=?18　【解析】　4????+5????=17,①4????+7????=?19,②由①,得4x=17-5y③,把③代入②,得17-5y+7y=-19,即2y=-36,所以y=-18,把y=-18代入③,得x=1074,所以方程组的解为????=1074,????=?18.
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知识点 1　用代入消元法解二元一次方程组
7.用代入消元法解二元一次方程组:
(1)????=3?????5,2????+3????=8;???(2)2?????????=1,5?????3????=8;???(3)????3+1=????,2(????+1)?????=6.
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答案
7.【解析】　(1)????=3?????5,①2????+3????=8,②
把①代入②,得2(3y-5)+3y=8,
解得y=2.
把y=2代入①,得x=1.
所以原方程组的解为????=1,????=2.
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知识点 1　用代入消元法解二元一次方程组
答案
(2)2?????????=1,①5?????3????=8,②
由①,得y=2x-1,③
把③代入②,得5x-3(2x-1)=8,
解得x=-5.
把x=-5代入③,得y=-11.
所以原方程组的解为????=?5,????=?11.
(3)????3+1=????,①2(????+1)?????=6,②
由①,得x+3=3y,
即x=3y-3.③
由②,得2x-y=4,④
把③代入④,得2(3y-3)-y=4,
解得y=2.
把y=2代入③,得x=3.
所以原方程组的解为????=3,????=2.
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8.若????+????+5+|2a-b+1|=0,则(b-a)2 020等于(　 　)
A.-1　　　B.1　　　C.52 020　　　D.-52 020
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答案
8.B　【解析】　因为????+????+5+|2a-b+1|=0,所以????+????+5=0,①2?????????+1=0,②由②,得b=2a+1③,将③代入①,得a+2a+1+5=0,解得a=-2,把a=-2代入③中,得b=-3,所以(b-a)2 020=(-1)2 020=1.故选B.
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知识点2　用代入消元法解二元一次方程组的应用
9.若关于x,y的二元一次方程组2????+3????=4,????????+(?????1)????=?????2的解中x和y互为相反数,则k=　　.?
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答案
9.-2　【解析】　因为x和y互为相反数,所以x=-y,将其代入方程2x+3y=4中,得y=4,所以x=-4.把x=-4,y=4代入方程kx+(k-1)y=k-2,得-4k+4(k-1)=k-2,解得k=-2.
知识点2　用代入消元法解二元一次方程组的应用
1.已知x,y满足方程组????+????=4,?????5=????,则无论m取何值,x,y恒有的关系式是(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A.x+y=1 B.x+y=-1
C.x+y=9 D.x-y=-9
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答案
1.C　【解析】　将m=y-5代入x+m=4,得x+y-5=4,所以x+y=9.故选C.
2.[2019河北沧州期末]小明说????=?1,????=2为关于x,y的方程ax+by=10的解,小惠说????=2,????=?1为关于x,y的方程ax+by=10的解.两人谁也不能说服对方,如果你想让他们的解都正确,那么需要添加的条件是(　 　)
A.a=12,b=12 B.a=9,b=10
C.a=10,b=11 D.a=10,b=10
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答案
2.D　【解析】　由题意可知,?????+2????=10,①2?????????=10,② 由①,得a=2b-10,将a=2b-10代入②,得b=10,将b=10代入①,得a=10.故选D.
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3.[2019江苏苏州中考]若a+2b=8,3a+4b=18,则a+b的值为　 　.?
答案
3.5　【解析】　因为a+2b=8,所以a=8-2b,代入3a+4b=18,得b=3,所以a=2,所以a+b=5.
4.若-2amb4与5an+2b2m+n可以合并成一项,则mn的值是　 　.?
答案
4.0　【解析】　-2amb4与5an+2b2m+n可以合并成一项,则有????=????+2,2????+????=4,解得????=2,????=0,所以mn=0.
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5.定义一种新运算“※”,规定x※y=ax+by2,其中a,b为常数,且1※2=5,2※1=3,则2※3=　 　.?
答案
5.11　【解析】　根据题意,得????+4????=5,2????+????=3,解得????=1,????=1,所以x※y=x+y2,所以2※3=2+32=11.
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6.解下列方程组:
(1)????+3????=4,14????+12????=0;???(2)3(?????2)=????+1,2(?????1)=5?????8;???(3)????+13=2????,2(????+1)?????=11.
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答案
6.【解析】　(1)????+3????=4,①14????+12????=0,②
由②,得x+2y=0,所以x=-2y.③
把③代入①,得-2y+3y=4,解得y=4.
把y=4代入③,得x=-2×4=-8.
所以原方程组的解为????=?8,????=4.
(2)由原方程组,得3?????????=7,①2?????5????=?6,②
由①,得x=3y-7,③
把③代入②,得2(3y-7)-5y=-6,解得y=8.
把y=8代入③,得x=17.
所以原方程组的解为????=17,????=8.
(3)由原方程组,得????=6?????1,①2?????????=9,②
把①代入②,得2(6y-1)-y=9,解得y=1.
把y=1代入①,得x=5.
所以原方程组的解为????=5,????=1.
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7.先阅读,再解方程组.
解方程组??????????1=0,①4(?????????)?????=5②时,可由①得x-y=1③,然后再将③代入②,得4×1-y=5,解得y=-1,从而进一步得????=0,????=?1.这种方法被称为整体代入法.
请用上述方法解方程组2?????3?????2=0,2?????3????+57+2????=9.
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答案
7.【解析】　2?????3?????2=0,①2?????3????+57+2????=9,②
由①,得2x-3y=2,③
把③代入②,得2+57+2y=9,解得y=4.
把y=4代入③,得2x-3×4=2,解得x=7.
故原方程组的解为????=7,????=4.
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8.[2020江苏南通模拟]小明在解方程组????????+????????=2,?????????3????=?2时,得到的正确解是????=1,????=?1,小英解这个方程组时,由于把c抄错而得到的解是????=2,????=?6,求方程组中a,b,c的值.
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答案
8.【解析】　依题意,可知????=1,????=?1是原方程组的解,
所以?????????=2,①????+3=?2,②由②,得c=-5.
由题意,可知????=2,????=?6是方程ax+by=2的解,所以2a-6b=2.③
由①③得到关于a,b的二元一次方程组?????????=2,2?????6????=2,解得????=52,????=12.
综上可知,a=52,b=12,c=-5.
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课时2　加减消元法
课时2
1.[2019安徽淮南期末]小丽在用加减消元法解二元一次方程组5?????2????=4,①2????+3????=9②时,利用①×a+②×b消去x,则a,b的值可能是(　 　)
A.a=2,b=5 B.a=3,b=2
C.a=-3,b=2 D.a=2,b=-5
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答案
1.D
知识点 1　用加减消元法解二元一次方程组
2.利用加减消元法解方程组3????+2????=6,2????+3????=1时,要使方程组中同一个未知数的系数相等或互为相反数,必须进行适当变形,以下四种变形正确的是(　 　)
(1)9????+6????=6,4????+6????=2;　(2)9????+6????=18,4?????6????=2; (3)9????+6????=18,4????+6????=2; (4)6????+4????=12,6????+9????=3.
A.(1)(2) B.(2)(3)
C.(3)(4) D.(1)(4)
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答案
2.C
知识点 1　用加减消元法解二元一次方程组
3.用加减消元法解方程组2????+????=8,①?????????=1,②其解题步骤如下:(1)①+②,得3x=9,解得x=3;(2)①-②×2,得3y=6,解得y=2; 所以原方程组的解为????=3,????=2.
则下列说法正确的是(　 　)
A.步骤(1)(2)都不对
B.步骤(1)(2)都对
C.本题不适宜用加减消元法解
D.加减消元法不能用两次
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答案
3.B
知识点 1　用加减消元法解二元一次方程组
4.用加减消元法解下列方程组:
(1)3????+????=8,2?????????=7; (2)9????+2????=15,3????+4????=10.
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答案
4.【解析】　(1)3????+????=8,①2?????????=7,②
①+②,得5x=15,解得x=3.把x=3代入①,得3×3+y=8,解得y=-1.
所以原方程组的解为????=3,????=?1.
(2)9????+2????=15,①3????+4????=10,②
①×2,得18x+4y=30,③
③-②,得15x=20,解得x=43.把x=43代入②,得3×43+4y=10,解得y=32.
所以原方程组的解为????=43,????=32.
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知识点 1　用加减消元法解二元一次方程组
5.解下列方程组:
(1)?????2????=0,①3????+2????=16;②??(2)?????4????=10,①2????+????=11;②??(3)3????+2????=7,①2????+3????=8.②
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答案
5.【解析】　(1)①+②,得4x=16,解得x=4,
把x=4代入①,得4-2y=0,解得y=2.
所以原方程组的解为????=4,????=2.
(2)①+②×4,得9x=54,解得x=6,
把x=6代入②,得12+y=11,解得y=-1.
所以原方程组的解为????=6,????=?1.
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知识点 2　选用适当方法解二元一次方程组
答案
(3)解法一　①×2,得6x+4y=14,③
②×3,得6x+9y=24,④
④-③,得5y=10,解得y=2.
把y=2代入①,得3x+2×2=7,解得x=1.
所以原方程组的解为????=1,????=2.
解法二　①+②,得5x+5y=15,整理,得x+y=3,③
①-②,得x-y=-1,④
③+④,得2x=2,解得x=1,把x=1代入③,得y=2.
所以原方程组的解为????=1,????=2.
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6.[2020湖南长沙雨花区期末]已知x,y满足方程组????+6????=12,3?????2????=8,则x+y的值为(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.9 B.7 C.5 D.3
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答案
6.C　【解析】　????+6????=12,①3?????2????=8,②①+②,得4x+4y=20,所以x+y=5.故选C.
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知识点 3　用方程组求解有关字母或代数式的值
7.已知关于x,y的二元一次方程组????+2????=????,2????+????=4的解满足x-y=3,则m的值为　 　.?
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答案
7.1　【解析】　????+2????=????,①2????+????=4,②②-①,得x-y=4-m,因为x-y=3,所以4-m=3,解得m=1.
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8.已知关于x,y的二元一次方程组4????+????=5,3?????2????=1和????????+????????=3,?????????????????=1有相同的解,求a2-4ab+b2的值.
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答案
8.【解析】　解方程组4????+????=5,3?????2????=1,得????=1,????=1,
把????=1,????=1代入方程组????????+????????=3,?????????????????=1,得????+????=3,?????????=1,
解此方程组得????=2,????=1,
所以a2-4ab+b2=-3.
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知识点 3　用方程组求解有关字母或代数式的值
1.[2019北京昌平区期中]对于二元一次方程组2?????5????=1,????+????=3,我们把x,y的系数和方程右边的常数分离出来组成一个矩阵: 2?51113.用加减消元法解二元一次方程组的过程,就是对方程组中各方程中未知数的系数进行变换的过程.如解二元一次方程组4?????3????=3,3?????4????=7,我们用加减消元法消去x时,得到的矩阵为(　 　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.4?333?47 B.16?12129?1221
C.12?9312?167 D.12?9912?1628
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答案
1.D
2.[2019贵州黔东南州中考]已知????=????,????=????是方程组2????+????=6,????+2????=?3的解,则a+b的值为　 　.?
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答案
2.1　【解析】　把????=????,????=????代入方程组2????+????=6,????+2????=?3,得2????+????=6,①????+2????=?3,②,①+②,得3a+3b=3,所以a+b=1.
?
3.若????=1,????=?2是关于x,y的方程ax-by=1的一组解,且a+b=-3,则5a-2b的值为　 　.?
?
答案
3.-43　【解析】　将????=1,????=?2代入ax-by=1,得a+2b=1,因为a+b=-3,两式相减,得b=4,将b=4代入a+b=-3,得a=-7,所以5a-2b=-43.
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4.若|3a+2b+7|+(5a-2b+1)2=0,则a+b=　-3　.?
答案
4.-3　【解析】　由题意,得3????+2????+7=0,5?????2????+1=0,解方程组得????=?1,????=?2,所以a+b=-3.
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5.解下列方程组:
(1)3?????5????=6,????+4????=?15;??(2)3?????2????+4=0,3????+2?????19=0;??(3)3(?????1)=4(?????4),5(?????1)=3(????+5).
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答案
5.【解析】　(1)3?????5????=6,①????+4????=?15,②
②×3,得3x+12y=-45,③
③-①,得17y=-51,解得y=-3.
将y=-3代入①,得3x-5×(-3)=6,解得x=-3.
所以原方程组的解为????=?3,????=?3.
(2)原方程组变形为3?????2????=?4,①2????+3????=19,②
①×2,得6x-4y=-8,③
②×3,得6x+9y=57,④
③-④,得-13y=-65,解得y=5.
把y=5代入①,得3x-10=-4,解得x=2.
所以原方程组的解为????=2,????=5.
(3)将原方程组变形,得4?????3????=13,①5?????3????=20,②
②-①,得y=7.
把y=7代入①,得4×7-3x=13,解得x=5.
所以原方程组的解为????=5,????=7.
?
6.请你根据王老师所给的内容,如图所示,完成下列各小题:
(1)若x=-5,2 4=-18,求y的值;
(2)若1 1=8,4 2=20,求x,y的值.
答案
6.【解析】　(1)根据题意,得2 4=2x+4y=-18,
把x=-5代入2x+4y=-18中,得-10+4y=-18,
解得y=-2.
(2)根据题意得????+????=8,①4????+2????=20,②
②-①×2,得2x=4,所以x=2,
把x=2代入①,得y=6.
所以原方程组的解为????=2,????=6.
?
7.已知关于x,y的方程组????+2????=3????,?????????=9????的解满足方程3x+2y=17,求m的值.
?
答案
7.【解析】　????+2????=3????,①?????????=9????,②
①+②×2,得3x=21m,解得x=7m,
①-②,得3y=-6m,解得y=-2m,
将x=7m,y=-2m代入3x+2y=17中,
得3×7m+2×(-2m)=17,
解得m=1.
?
8.[2020广东深圳盐田区期中]已知关于x,y的方程组2????+5????=?6,?????????????????=?4与3?????5????=16,????????+????????=?8的解相同,求(2a+b)2 020的值.
?
答案
8.【解析】　因为关于x,y的方程组2????+5????=?6,?????????????????=?4与3?????5????=16,????????+????????=?8的解相同,
所以方程组2????+5????=?6,3?????5????=16与?????????????????=?4,????????+????????=?8的解相同.
解方程组2????+5????=?6,3?????5????=16,得????=2,????=?2,
把????=2,????=?2,代入?????????????????=?4,????????+????????=?8,
得2????+2????=?4,2?????2????=?8,解得????=1,????=?3.
所以(2a+b)2 020=(2×1-3)2 020=1.
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第三节　应用二元一次方程组—— 鸡兔同笼
第三节
1.《九章算术》是中国古代重要的数学著作,其中“盈不足术”记载:今有共买鸡,人出九,盈十一;人出六,不足十六.问人数、鸡价各几何?译文:今有人合伙买鸡,每人出9钱,会多出11钱;每人出6钱,又差16钱.问人数、买鸡的价钱各是多少?设人数为x,买鸡的价钱为y,可列方程组为 (　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.9????+11=????,6????+16=???? B.9?????11=????,6?????16=????
C.9?????11=????,6????+16=???? D.9????+11=????,6?????16=????
?
答案
1.C
知识点 1　列方程组解古算术问题
2.甲、乙隔河放羊,两人相互问数量,甲说:“得乙羊九只,我羊是你羊二倍.”乙说:“得甲羊八只,两人羊数正相当.”请你帮助算一算,甲、乙各放羊多少只?
答案
2.【解析】　设甲放羊x只,乙放羊y只.
根据题意,得????+9=2(?????9),?????8=????+8,解得????=59,????=43.
所以甲放羊59只,乙放羊43只.
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知识点 1　列方程组解古算术问题
3.《一千零一夜》中有这样一段文字:有一群鸽子,其中一部分在树上欢歌,另一部分在地上觅食,树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说:“若从你们中飞上来一只,则地上的鸽子就是整群鸽子的13;若从树上飞下去一只,则树上和地上的鸽子就一样多了.”你知道树上、地上各有多少只鸽子吗?
?
答案
3.【解析】　设树上有x只鸽子,地上有y只鸽子.
根据题意,得?????1=13(????+????),?????1=????+1,解得????=7,????=5.
所以树上有7只鸽子,地上有5只鸽子.
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知识点 1　列方程组解古算术问题
4.[2020山东潍坊模拟]小明打算购买气球装扮“毕业典礼”活动会场,气球的种类有笑脸和爱心两种,两种气球的价格不同,但同一种气球的价格相同.由于会场布置需要,购买时以一束(4个气球)为单位,已知第一、二束气球的价格如图所示,则第三束气球的价格为 (　 　)
A.16元 B.15元 C.14元 D.13元
答案
4.C　【解析】　设一个笑脸气球的价格为x元,一个爱心气球的价格为y元,根据题意,得3????+????=12,①????+3????=16,②(①+②)÷2,得2x+2y=14.故选C.
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知识点 2　列方程组解鸡兔同笼问题中的常见题型
5.[2020山东烟台期中]长方形ABCD中放置了6个形状、大小都相同的小长方形,所标尺寸如图所示,则图中阴影部分的面积是　　cm2. ?
答案
5.67　【解析】　设小长方形的长为x cm,宽为y cm,根据题意,得????+3????=19,????+?????2????=7,解得????=10,????=3,所以题图中阴影部分的面积为19×(7+2×3)-6×10×3=67(cm2).
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知识点 2　列方程组解鸡兔同笼问题中的常见题型
6.一批货物要运往某地,货主准备租用运输公司的甲、乙两种货车,已知过去两次租用这两种货车的情况如表所示.现用该公司3辆甲种货车和5辆乙种货车一次刚好运完这批货.
(1)甲、乙两种货车每辆一次分别可运货多少吨?
(2)如果按每吨付费30元计算,那么这次货主应付运费多少元?
答案
6.【解析】　(1)设甲种货车每辆一次可运货x吨,乙种货车每辆一次可运货y吨.
根据题意,得2????+3????=15.5,5????+6????=35,解得????=4,????=2.5.
答:甲种货车每辆一次可运货4吨,乙种货车每辆一次可运货2.5吨.
(2)依题意得,30×(3×4+5×2.5)=735(元).
答:这次货主应付运费735元.
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知识点 2　列方程组解鸡兔同笼问题中的常见题型
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}?
第一次
第二次
甲种货车辆数
2
5
乙种货车辆数
3
6
累计运货吨数
15.5
35
1.[2019安徽芜湖镜湖区期末]某种足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的(如图所示),黑皮可看作正五边形,白皮可以看作正六边形,设白皮有x块,黑皮有y块,则以下列出的方程正确的是 (　 )
A.????+????=32,3????=???? B.????+????=32,6????=????
C.????+????=32,3????=5???? D.????+????=32,6????=5????
?
答案
1.C　【解析】　根据题意知,白皮块数+黑皮块数=32,黑皮块数∶白皮块数=3∶5,列方程组,得????+????=32,3????=5????.故选C.
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2.[2019重庆八中月考]《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,其中有一段文字的大意是:甲、乙两人各有若干钱,如果甲得到乙所有钱的一半,那么甲共有钱48文;如果乙得到甲所有钱的23,那么乙也共有钱48文.甲、乙两人原来各有多少钱?
?
答案
2.【解析】　设甲原来有x文钱,乙原来有y文钱,
根据题意,得????+12????=48,23????+????=48,解得????=36,????=24.
答:甲原来有36文钱,乙原来有24文钱.
?
3.[2020云南一模]某工厂加工螺栓、螺母,已知每块金属原料可以加工成3个螺栓或4个螺母(每块金属原料无法同时既加工螺栓又加工螺母),已知1个螺栓和2个螺母组成一个零件.若把26块相同的金属原料全部加工完,则加工的螺栓和螺母是否存在恰好配套?若存在恰好配套,请求出加工螺栓和螺母各需要的金属原料的块数;若不存在恰好配套,请说明理由.
答案
3.【解析】　设把x块金属原料加工成螺栓,y块金属原料加工成螺母恰好配套,
依题意,得????+????=26,2×3????=4????,解得????=525,????=785.
因为每块金属原料无法同时既加工螺栓又加工螺母,
所以加工的螺栓和螺母不存在恰好配套.
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4.[2019吉林中考]问题解决
糖葫芦一般是用竹签串上山楂,再蘸以冰糖制作而成.现将一些山楂分别串在若干根竹签上,如果每根竹签串5个山楂,还剩余4个山楂;如果每根竹签串8个山楂,还剩余7根竹签.这些竹签有多少根?山楂有多少个?
反思归纳
现有a根竹签,b个山楂.若每根竹签串c个山楂,还剩余d个山楂,
则下列等式成立的是　 　.(填写序号)?
(1)bc+d=a; (2)ac+d=b; (3)ac-d=b.
答案
4.【解析】　问题解决
设竹签有x根,山楂有y个,
由题意可列方程5????+4=????,8(?????7)=????,解得????=20,????=104.
答:竹签有20根,山楂有104个.
反思归纳　(2)
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5.[2020河北石家庄栾城区期末]某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗:我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.诗中后两句的意思是:如果每一间客房住7人,那么有7人无房可住;如果每一间客房住9人,那么就空出一间客房.
(1)求该店有客房多少间,房客多少人;
(2)假设店主李三公将客房进行改造后,房间数大大增加.每间客房收费20钱,且每间客房最多入住4人,一次性定客房18间以上(含18间),房费按八折优惠.若诗中“众客”再次一起入住,他们如何定房更合算?
答案
5.【解析】　(1)设该店有客房x间,房客y人,
根据题意,得7????+7=????,9(?????1)=????,
解得????=8,????=63.
所以该店有客房8间,房客63人.
(2)若每间客房住4人, 则63人至少需要客房16间,需要付费20×16=320(钱);
若一次性定客房18间,则需付费20×18×0.8=288(钱).
因为288<320,所以选择一次性定客房18间更合算.
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第四节　应用二元一次方程组——增收节支
第四节
1.[2019重庆八中月考]甲、乙两仓库共存粮450吨,现从甲仓库运出存粮的60%,从乙仓库运出存粮的40%后,乙仓库剩余的粮食比甲仓库剩余的粮食多30吨.若设甲仓库原来存粮x吨,乙仓库原来存粮y吨,则可列方程组为 (　 　)
A.????+????=450,(1?60%)?????(1?40%)????=30
B.????+????=450,60%?????40%????=30
C.????+????=450,(1?40%)?????(1?60%)????=30
D.????+????=450,40%?????60%????=30
?
答案
1.C
知识点　列方程组解决增收节支问题
2.晓华家去年结余20 000元,今年可结余43 000元,并且今年收入比去年高15%,支出比去年低10%,则去年的收入与支出各是　 　元、　 　元.?
答案
2.100 000　80 000　【解析】　设去年的收入为x元,支出为y元,可列表如下(单位:元):
则?????????=10?000,(1+15%)?????(1?10%)????=43?000,解得????=100?000,????=80?000,所以去年的收入为100 000元,支出为80 000元.
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知识点　列方程组解决增收节支问题
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}?
收入
支出
结余
去年
x
y
20 000
今年
(1+15%)x
(1-10%)y
43 000
3.某体育用品商店开展“超级星期六”促销活动:运动服八折出售,运动鞋每双减20元.活动期间,标价为480元的某款运动套装(含一套运动服和一双运动鞋)现价为400元.问该款运动服和运动鞋的标价各是多少元?
答案
3.【解析】　设该款运动服和运动鞋的标价各是x元、y元,
根据题意,得????+????=480,0.8????+?????20=400,
解得????=300,????=180,
所以该款运动服和运动鞋的标价分别是300元、180元.
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知识点　列方程组解决增收节支问题
4.某市现有42万人口,估计一年后城镇人口增加0.8%,农村人口增加1.1%,这样全市人口将增加1%,求这个市现在的城镇人口数与农村人口数.
设该市现在的城镇人口是x万人,农村人口是y万人,根据题意填写下表,并列方程组求x,y的值.
答案
4.【解析】　0.8%x　1.1%y　42×1%　
由题意,得????+????=42,0.8%????+1.1%????=42×1%,解得????=14,????=28.
答:该市现在的城镇人口是14万人,农村人口是28万人.
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知识点　列方程组解决增收节支问题
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}?
城镇
农村
全市
现有人口数/万人
x
y
42
一年后增加的人口数/万人
5.甲、乙两件服装的成本共500元,商店老板为获取利润,决定将甲服装按50%的利润定价,乙服装按40%的利润定价.在实际出售时,应顾客要求,两件服装均按九折出售,这样商店共获利157元.问甲、乙两件服装的成本各是多少元?
答案
5.【解析】　设甲、乙两件服装的成本各是x元、y元.由题意列方程组,
得????+????=500,(1+50%)×90%????+(1+40%)×90%????=500+157,
解得????=300,????=200.
答:甲、乙两件服装的成本分别是300元、200元.
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知识点　列方程组解决增收节支问题
6.列方程组解应用题:在首届“一带一路”国际合作高峰论坛举办之后,某公司准备生产甲、乙两种商品销往“一带一路”沿线国家和地区,原计划生产甲商品和乙商品共210吨,采用新技术后,实际产量为230吨,其中甲商品超产5%,乙商品超产15%,求该公司实际生产甲、乙两种商品各多少吨?
答案
6.【解析】　设公司原计划生产甲商品x吨,乙商品y吨,
根据题意,得????+????=210,(1+5%)????+(1+15%)????=230,
解得????=115,????=95,
所以115×(1+5%)=120.75(吨),
230-120.75=109.25(吨).
答:该公司实际生产甲商品120.75吨,乙商品109.25吨.
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知识点　列方程组解决增收节支问题
1. [2020山东枣庄山亭区期中]2020年“五一”期间,某市外来与外出旅游的总人数为226万,分别比2019年同期增长30%和20%,2019年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万,则该市2020年“五一”期间外来旅游的人数是　 　万.?
答案
1.130　【解析】　设2019年“五一”期间外来旅游的人数是x万,外出旅游的人数是y万,根据题意,得?????????=20,(1+30%)????+(1+20%)????=226, 解得????=100,????=80. (1+30%)×100=130,即该市2020年“五一”期间外来旅游的人数是130万.
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2. [2020浙江绍兴柯桥区模拟]小明在某商店购买商品A,B共三次,只有一次购买时,商品A,B同时打折,其余两次均按商品的原价购买,三次购买商品A,B的数量及费用如表:
若商品A,B的折扣相同,则该商店的折扣是　 　折.?
答案
2.六　【解析】　设商品A的单价为x元,商品B的单价为y元,由题意知,第三次购买时,商品A,B同时打折,所以3????+7????=1?110,6????+5????=1?140, 解得????=90,????=120, 所以商品A的单价为90元,商品B的单价为120元.设商店打a折出售这两种商品,由题意得,(9×90+8×120)×????10=1 062,解得a=6,所以该商店是打六折出售这两种商品的.
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{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}?
商品A的
数量/个
商品B的
数量/个
总费用/元
第一次
6
5
1 140
第二次
3
7
1 110
第三次
9
8
1 062
3. [2019湖南邵阳期末]为了鼓励市民节约用水,某市居民生活用水按阶梯式水价计费,下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息:
(水费=每户月用水量费用+污水处理费用)
已知小王家2019年4月份用水20吨,交水费66元;5月份用水25吨,交水费91元.
(1)求a,b的值.
(2)小王家6月份交水费184元,则小王家6月份用水多少吨?
答案
3.【解析】　(1)根据题意,得17????+3????+20×0.8=66,17????+8????+25×0.8=91, 解得????=2.2,????=4.2.
(2)设小王家6月份用水x吨,
根据题意知,30吨的水费为17×2.2+13×4.2+30×0.8=116(元).
因为184>116,所以小王家6月份用水超过了30吨,
所以6(x-30)+116+0.8×(x-30)=184,解得x=40,
即小王家6月份用水40吨.
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{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}自来水销售价格
污水处理价格
每户月用水量
单价/元
单价/元
17吨及以下
a
0.8
超过17吨不超过30吨的部分
b
0.8
超过30吨的部分
6
0.8
4.商场为了促销商品,将55英寸和40英寸的彩电分别以九折和八五折出售.“五一”期间进一步加大了优惠促销的力度,在原来促销价格的基础上,55英寸彩电每台降价400元,40英寸彩电每台降价125元,这样与原价(非促销价)相比,正好每台都降价了20%,已知“五一”期间共销售这两种彩电96台,获得252 000元的销售额.试问“五一”期间商场销售55英寸和40英寸彩电各多少台?
答案
4.【解析】　设55英寸彩电每台原价为m元,40英寸彩电每台原价为n元.
根据题意,得0.9m-400=(1-20%)m,解得m=4 000.
0.85n-125=(1-20%)n,解得n=2 500.
所以55英寸彩电每台原价为4 000元,40英寸彩电每台原价为2 500元,
所以“五一”期间55英寸彩电的单价为3 200元,40英寸彩电的单价为2 000元.
设“五一”期间该商场销售55英寸彩电x台,40英寸彩电y台.
由题意,得????+????=96,3?200????+2?000????=252?000,解得????=50,????=46,
所以“五一”期间该商场销售55英寸彩电50台,40英寸彩电46台.
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5.我市为了解决农民工子女入学难的问题,建立了一套进城农民工子女就学的保障机制,其中一项就是免交“借读费”.据统计,2019年秋季有5 000名农民工子女进入主城区中小学学习.预测2020年秋季进入主城区中小学学习的农民工子女将比2019年有所增加,其中小学增加20%,中学增加30%,这样,2020年秋季将增加1 160名农民工子女在主城区中小学学习.
(1)如果按小学每人每年收“借读费”500元,中学每人每年收“借读费”1 000元计算,求2020年秋季新增的1 160名农民工子女一共免收多少万元“借读费”;
(2)若小学每40名学生配备2名教师,中学每40名学生配备3名教师,按2020年秋季入学后,农民工子女在主城区中小学就读的人数计算,一共需要配备多少名中小学教师?
答案
5.【解析】　(1)设2019年秋季在主城区小学学习的农民工子女有x人,在主城区中学学习的农民工子女有y人,
由题意可得????+????=5?000,20%????+30%????=1?160,
解得????=3?400,????=1?600,
所以20%x=20%×3 400=680(人),
30%y=30%×1 600=480(人),
所以500×680+1 000×480=820 000(元)=82(万元).
答:共免收82万元“借读费”.
(2)2020年秋季入学后,在主城区小学就读的农民工子女有3 400×(1+20%)=4 080(人),
在主城区中学就读的农民工子女有1 600×(1+30%)=2 080(人),
所以(4 080÷40)×2+(2 080÷40)×3=102×2+52×3=360(名).
答:一共需要配备360名中小学教师.
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第五节　应用二元一次方程组——里程碑上的数
第五节
1.一个两位数比它十位数字与个位数字的和大9,如果交换十位数字与个位数字,所得两位数比原两位数大27,求这个两位数.
答案
1.【解析】　设这个两位数的十位数字为x,个位数字为y,
根据题意,得10????+????=????+????+9,10????+????=10????+????+27,
解得????=1,????=4,
所以这个两位数是14.
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知识点1　数字问题
2.有一个两位数和一个一位数,若在这个一位数后面多写一个0,则它与这个两位数的和是146,若用这个两位数除以这个一位数,则商为6余2,求这两个数.
答案
2.【解析】　设这个两位数为x,这个一位数为y,
根据题意,得????+10????=146,????=6????+2,解得????=56,????=9.
答:这两个数分别为56和9.
?
知识点1　数字问题
3.聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反.同时,他还发现,过10年,妈妈岁数减1(岁)刚好是自己岁数加1(岁)的2倍;再过1年,他们两人的年龄又一次相反,且十位数字与个位数字的和为7,求聪聪和他妈妈现在的年龄.
答案
3.【解析】　设聪聪现在年龄的十位数字为x,个位数字为y,则聪聪的年龄为(10x+y)岁,妈妈的年龄为(10y+x)岁.
根据题意,得10????+????+10?1=2(10????+????+10+1),????+1+????+1=7,解得????=1,????=4.
答:聪聪现在的年龄为14岁,妈妈现在的年龄为41岁.
?
知识点1　数字问题
4.甲、乙二人赛跑,如果乙比甲先跑8 m,那么甲跑4 s就能追上乙;如果甲让乙先跑1 s,那么甲跑3 s就能追上乙.设甲、乙每秒分别跑x m,y m,则可列出的方程组是 (　　)
A.4????=4????+8,3????=3????+???? B.4????+8=4????,3?????3????=1
C.4????=4????+8,3?????1=3???? D.4?????4????=8,3?????????=????
?
答案
4.A　
知识点2　行程问题
5.甲、乙两地相距360千米,一轮船往返于甲、乙两地之间,顺水行船用18小时,逆水行船用24小时.若设船在静水中的速度为x千米/时,水流速度为y千米/时,则所列方程组为? 　.?
答案
5.18(????+????)=360,24(?????????)=360　【解析】　题中的两个等量关系:顺水行船时间×顺水行船速度=360;逆水行船时间×逆水行船速度=360.因为顺水行船速度=x+y,逆水行船速度=x-y,所以可列方程组为18(????+????)=360,24(?????????)=360.
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知识点2　行程问题
6.一辆汽车从A地驶往B地,前三分之一路段为普通公路,其余路段为高速公路.已知汽车在普通公路上行驶的速度为60 km/h,在高速公路上行驶的速度为100 km/h.汽车从A地到B地共行驶了2.2 h.则A地到B地的路程是　　km.?
答案
6.180　【解析】　设A地到B地的普通公路长x km,高速公路长y km,根据题意得,????=2????,????60+????100=2.2,解得????=60,????=120,所以x+y=180,所以A地到B地的路程是180 km.
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知识点2　行程问题
7.某人要在规定时间内由A城市开车到B城市,如果每小时行驶35 km,那么要比规定时间迟2 h到达;如果每小时行驶50 km,那么就能提前1 h到达.求A,B两城市间的距离和规定时间.
答案
7.【解析】　设A,B两城市间的距离为x km,规定时间为y h,
依题意,得35(????+2)=????,50(?????1)=????,解得????=350,????=8,
所以A,B两城市间的距离为350 km,规定时间为8 h.
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知识点2　行程问题
8.从小华家到姥姥家的路由一段上坡路和一段下坡路组成.星期天,小华骑自行车去姥姥家,如果保持上坡每小时行3 km,下坡每小时行5 km,他到姥姥家需要66分钟,从姥姥家回来时需要78分钟才能到家.那么从小华家到姥姥家的上坡路和下坡路各有多少千米?
答案
8.【解析】　设从小华家到姥姥家的上坡路有x km,下坡路有y km,则小华从姥姥家回来时,需要走上坡路y km,下坡路 x km.
根据题意得,????3+????5=6660,①????3+????5=7860,②
由①得,10x+6y=33,③
由②得,10y+6x=39,④
③×10,得100x+60y=330,⑤
④×6,得36x+60y=234,⑥
⑤-⑥整理得,x=1.5,将x=1.5代入③得,15+6y=33,所以y=3,
所以从小华家到姥姥家有1.5 km上坡路,3 km下坡路.
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知识点2　行程问题
1.A,B两地相距36千米.甲、乙两人骑行,甲从A地出发到B地,乙从B地出发到A地,两人同时出发,相向而行,4小时后相遇,若骑行6小时,此时甲剩下的路程为乙剩下路程的2倍,则甲、乙两人的骑行速度分别为 (　 　)
A.3千米/时和6千米/时
B.12千米/时和4千米/时
C.4千米/时和5千米/时
D.20千米/时和10千米/时
答案
1.C　【解析】　设甲的骑行速度是x千米/时,乙的骑行速度是y千米/时.由题意得4(????+????)=36,36?6????=2(36?6????),解得????=4,????=5,所以甲的骑行速度是4千米/时,乙的骑行速度是5千米/时.
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2.一辆汽车在公路上匀速行驶,司机在路边看到一个里程碑上的一个两位数,行驶1小时后,他看到的里程碑上的数恰好是第一个里程碑上的数颠倒顺序后的两位数;再过1小时,他看到的里程碑上的数,又恰好是第一次看到的两位数中间添上一个零得到的三位数.那么他第一次看到的两位数是 (　 　)
A.14　　　 B.15　　　 C.16　　　 D.17
答案
2.C　【解析】　设他第一次看到的两位数的个位数字为x,十位数字为y,汽车的行驶速度为v千米/时,根据题意得10????+?????(10????+????)=????×1,100????+?????(10????+????)=????×1,解得x=6y.因为x,y为1~9内的自然数,所以x=6,y=1,所以他第一次看到的两位数为16.故选C.
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3.小明新买了一辆“和谐”牌自行车,说明书中关于轮胎的使用说明如下.小明看了说明书后,和爸爸讨论,则小明经过计算,得出这对轮胎能行驶的最长路程是 (　 　)
A.9.5千公里 B.9.8千公里
C.9.9千公里 D.10千公里
答案
3.C　【解析】　设行驶x千公里后前后轮胎调换使用,行驶的最长路程为y千公里,依题意得????9+?????????11=1,①????11+?????????9=1,②①+②,得????11+????9=2,解得y=9.9,所以这对轮胎能行驶的最长路程为9.9千公里.故选C.
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4.一个三位数与一个两位数的差为85,在这个三位数的右边接着写这个两位数得到一个五位数,在这个两位数的右边接着写这个三位数,得到另一个五位数,已知前一个五位数的4倍比后一个五位数小12 651,求这个三位数与这个两位数.
答案
4.【解析】　设这个三位数为x,这个两位数为y,
根据题意,得?????????=85,(1?000????+????)?4(100????+????)=12?651,
解得????=163,????=78,
所以这个三位数是163,这个两位数是78.
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5.[2019浙江杭州西湖区模拟]在400米的环形跑道上,甲、乙两人从同一起点同时出发,若反向而行,40秒后两人第一次相遇;若同向而行,200秒后甲第一次追上乙.
(1)求甲、乙两人的速度;
(2)若甲、乙同向而行,丙也在跑道上匀速前行,且与甲、乙的方向一致,出发20秒后,甲追上丙,出发100秒后,乙追上丙,则出发时,丙在甲、乙前方多少米?丙的速度是多少?
答案
5.【解析】　(1)设甲、乙两人的速度分别为x米/秒,y米/秒.
根据题意,得40(????+????)=400,200(?????????)=400, 解得????=6,????=4.
答:甲、乙两人的速度分别为6米/秒,4米/秒.
(2)设丙在甲、乙前方a米,丙的速度是m米/秒,
根据题意,得20(6?????)=????,100(4?????)=????, 解得????=3.5,????=50.
答:丙在甲、乙前方50米,丙的速度是3.5米/秒.
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6.某中学为一栋老式的7层教学大楼进行了一次安检.安检结果显示:每层楼有8间教室,进出这栋大楼共有8道门,其中4道正门大小相同,4道侧门大小也相同.安检中,对8道门进行了测试:当同时开启一道正门和两道侧门时,2分钟内可通过560名学生;当同时开启一道正门和一道侧门时,4分钟内可通过800名学生.
(1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生;
(2)检查中发现,紧急情况时因学生拥挤,正门与侧门的通行效率将降低30%,安检规定:在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内安全撤离.假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生,则目前这栋教学大楼的8道门是否符合安检规定?
答案
6.【解析】　(1)设平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过x名、y名学生,
由题意得2????+4????=560,4????+4????=800,
解得????=120,????=80.
所以平均每分钟一道正门可以通过120名学生,平均每分钟一道侧门可以通过80名学生.
(2)这栋教学大楼最多有学生7×8×45=2 520(名),
拥挤时,5分钟内8道门可通过学生[5×4×(120+80)]×(1-30%)=2 800(名).
因为2 800>2 520,
所以目前这栋教学大楼的8道门符合安检规定.
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易错疑难集训
集训
1.下列方程组中,是二元一次方程组的有 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)2?????3????=1,????+2????=4;(2)2?????????=0,????=3;(3)2????+????=1,?????????=2;(4)????+2=3,????+1=2;(5)????+1=????,1????=3.
A.2个　　　B.3个　　　C.4个　　　D.5个
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答案
1.A　【解析】　 (1)(2)是二元一次方程组;(3)虽然由两个方程组成,但含有三个未知数,所以不是二元一次方程组;(4)中只含有一个未知数,所以不是二元一次方程组;(5)中的方程1????=3不是整式方程,所以不是二元一次方程组.故选A.
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易错点 1　对二元一次方程(组)的概念理解不透
2.已知关于x,y的方程(m-2)x|m|-1+(2n+1)y2n-3=9是二元一次方程,求m,n的值.
答案
2.【解析】　 由题意,得|????|?1=1,2?????3=1,且m-2≠0,2n+1≠0,
故m,n的值分别是-2,2.
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易错点 1　对二元一次方程(组)的概念理解不透
3.用加减法解方程组3?????4????=4,①3?????2????=8,②其解题过程如下:
①-②,得-4y-2y=4-8,
解得y=23.
把y=23代入①,得3x-83=4,解得x=209.
所以这个方程组的解为????=209,????=23.
上述解题过程是否正确?若不正确,请写出正确的解题过程.
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答案
3.【解析】　不正确.正确的解题过程如下:
①-②,得-4y-(-2y)=4-8,
解得y=2.
将y=2代入①,得3x-8=4,解得x=4.
所以原方程组的解为????=4,????=2.
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易错点 2　解方程组时出错
4.解方程组:4?????3????=1,①6?????4????=?2.②
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答案
4.【解析】　①×4,得16x-12y=4,③
②×3,得18x-12y=-6,④
③-④,得-2x=10,解得x=-5.
把x=-5代入①,得y=-7.
所以原方程组的解是????=?5,????=?7.
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易错点 2　解方程组时出错
5.解方程组:????3?????+16=3,2(?????????2)=3(?????????18).
?
答案
5.【解析】　 化简原方程组得2?????????=19,①5????+6????=0.②
由②得y=-56x,③
把③代入①,得2x-(-56x)=19,解得x=11417.
把x=11417代入③,得y=-56×11417=-9517.
所以原方程组的解为????=11417,????=?9517.
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易错点 2　解方程组时出错
6.[2019黑龙江哈尔滨期末]某种仪器由2个A部件和1个B部件构成.每名工人每天可以加工A部件100个或加工B部件60个,现有工人16名,应怎样安排人力,才能使每天生产的A部件和B部件配套?设安排x名工人生产A部件,y名工人生产B部件,则所列二元一次方程组正确的是 (　 　)
A.????+????=16,100????=2×60???? B.????+????=16,2×100????=60????
C.????+????=16,100????=60???? D.????+????=16,????=(100?60)????
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答案
6.A
易错点3　列方程时弄错等量关系
7.某化妆晚会上,男生脸上涂蓝色油彩,女生脸上涂红色油彩.游戏时,每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的2倍少1人;而每个女生都看见涂蓝色油彩的人数是涂红色油彩的人数的35,问晚会上男、女生各有多少人?
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答案
7.【解析】　 设晚会上男生有x人,女生有y人.
根据题意,得????=2(?????1)?1,①????=35(?????1),②
把①代入②,得x=35[2(x-1)-1-1],解得x=12.
把x=12代入①,得y=21,所以????=12,????=21.
答:晚会上男生有12人,女生有21人.
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易错点3　列方程时弄错等量关系
1.当m取何整数值时,方程组2????+????????=4,????+4????=1的解x和y都是整数?
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答案
1.【解析】　把m作为已知数,解方程组得????=1?8?????8,????=2?????8.
因为x是整数,所以m-8取8的约数±1,±2,±4,±8.
因为y是整数,所以m-8取2的约数±1,±2.
取它们的公共部分,所以m-8的值为±1,±2,
解得m的值为9,7,10,6.
经检验当m=9,7,10,6时,方程组的解都是整数.
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疑难点 1　确定方程组中字母的取值
2.[2019江苏南通期中]小明、小丽两名同学在学习过程中遇到这样一个问题:二元一次方程组2????+3????=2????+3,①3????+2????=?????2②的解满足x+y=2,求x,y,k的值.
（1）请你接着完成小明的求解过程；
（2）请你按照小丽的思路求解这个问题.
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答案
2.【解析】　(1)将k=3代入原方程组,得2????+3????=9,3????+2????=1,
解得????=?3,????=5, 所以x,y,k的值分别为-3,5,3.
(2)2×②-①,得4x+y=-7③,
由x+y=2,得y=2-x,
将y=2-x代入③,得x=-3.
将x=-3代入y=2-x,得y=5.
将????=?3,????=5 代入①中,得k=3,
所以x,y,k的值分别为-3,5,3.
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疑难点 1　确定方程组中字母的取值
3.如图,在长为10 m、宽为8 m的长方形空地上,沿平行于各边的方向分割出三个全等的小长方形花圃,则其中一个小长方形花圃的周长是　 　m.?
答案
3.12　【解析】　设小长方形花圃的长为x m,宽为y m,由题意得????+2????=8,2????+????=10,解得????=4,????=2,所以其中一个小长方形花圃的周长是2(x+y)=2×(4+2)=12(m).
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疑难点 2　二元一次方程组的实际应用
4.某服装店用6 000元购进A,B两种新式服装,按标价售出后可获得毛利润3 800元(毛利润=售价-进价),
这两种服装的进价、标价如下表所示:
(1)求这两种服装各购进的件数;
(2)如果A种服装按标价的八折出售,B种服装按标价的七折出售,
那么这批服装全部售完后,服装店比按标价售出少收入多少元?
答案
4.【解析】　(1)设A种服装购进x件,B种服装购进y件,
由题意,得60????+100????=6?000,(100?60)????+(160?100)????=3?800,
解得????=50,????=30.
答:A种服装购进50件,B种服装购进30件.
(2)由题意,得3 800-50×(100×0.8-60)-30×(160×0.7-100)=3 800-1 000-360=2 440(元).
答:服装店比按标价售出少收入2 440元.
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疑难点 2　二元一次方程组的实际应用
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
A种
B种
进价/(元/件)
60
100
标价/(元/件)
100
160
5.王欢家准备装修一套新住房,若甲、乙两个装修公司合作,需6 周完成,共需装修费5.2万元;若甲公司单独做4周后,剩下的由乙公司来做,还需9周才能完成,共需装修费4.8万元.王欢的爸爸、妈妈商量后决定只选一个公司单独完成.
(1)如果从节约时间的角度考虑,应选哪家公司?
(2)如果从节约开支的角度考虑呢? 请说明理由
答案
5.【解析】　(1)设甲公司的工作效率为m,乙公司的工作效率为n.
将整项工作看作整体1,
则6????+6????=1,4????+9????=1,解得????=110,????=115.
因为110>115,
所以从节约时间的角度考虑,应选择甲公司.
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疑难点 2　二元一次方程组的实际应用
答案
(2)由(1)知甲公司、乙公司单独完成这项工程分别需10周、15周.
设每周需付甲公司装修费x 万元,付乙公司装修费y 万元.
则6????+6????=5.2,4????+9????=4.8,解得????=35,????=415.
所以选甲公司共需35×10=6(万元),
选乙公司共需415×15=4(万元),
因为4<6,
所以从节约开支的角度考虑,应选择乙公司.
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第六节　二元一次方程与一次函数　
第六节
1.把方程x+1=4y+????3化为y=kx+b的形式,下列选项正确的是(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.y=13x+1 B.y=16x+14
C.y=16x+1 D.y=13x+14
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答案
1.B
知识点1　二元一次方程与一次函数的关系
2.[2020河南省实验中学月考]有以下四条直线,其中直线上每个点的坐标都适合二元一次方程x-2y=2的是 (　 　)
答案
2.C　【解析】　令x=0,得y=-1,令y=0,得x=2,所以直线与y轴的交点坐标为(0,-1),与x轴的交点坐标为(2,0),结合图象,知选C.
知识点1　二元一次方程与一次函数的关系
3.若二元一次方程3x-2y=1所对应的直线是l,则下列各点不在直线l上的是 (　 　)
A.(1,1) B.(-1,1)
C.(-3,-5) D.(2,52)
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答案
3.B　【解析】　由题意可知,以二元一次方程3x-2y=1的解为坐标的点组成的图象为直线l,因为????=?1,????=1不是二元一次方程3x-2y=1的解,所以点(-1,1)不在直线l上.故选B.
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知识点1　二元一次方程与一次函数的关系
4.[2019山东菏泽期末]如图,直线y=ax-b与直线y=mx+1交于点A(2,3),则方程组?????????????=????,?????????????=?1 的解为(　 　)
A.????=2,????=3 B.????=3,????=2
C.????=?3,????=?2 D.????=?2,????=?3
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答案
4.A　【解析】　解二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标.因为直线y=ax-b与直线y=mx+1交于点A(2,3),所以方程组?????????????=????,?????????????=?1 的解为????=2,????=3. 故选A.
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知识点2　二元一次方程组与一次函数的关系
5.用图象法解某二元一次方程组时,在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象(如图所示),则所解的二元一次方程组是 (　 　)
A.????+?????2=0,3?????2?????1=0 B.2??????????1=0,3?????2?????1=0
C.2??????????1=0,3????+2?????5=0 D.????+?????2=0,2??????????1=0
?
答案
5.D　【解析】　根据题中图象,可知直线l1过点(0,-1),(1,1),直线l2过点(1,1),(0,2),所以直线l1的函数表达式为y=2x-1,直线l2的函数表达式为y=-x+2,所以所解的二元一次方程组是????+?????2=0,2??????????1=0.故选D.
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知识点2　二元一次方程组与一次函数的关系
6.若二元一次方程组3?????????=5,3?????????=?1无解,则直线y=3x-5与y=3x+1的位置关系为(　 　)
A.平行
B.垂直
C.相交
D.重合
?
答案
6.A
知识点2　二元一次方程组与一次函数的关系
7.[2019河南郑州模拟]一次函数y=x+1与y=ax+3的图象交于点P,且点P的横坐标为1,则关于x,y的方程组????=????+1,????=????????+3的解是? 　.?
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答案
7.????=1,????=2　【解析】　把x=1代入y=x+1,得y=2,则函数y=x+1和y=ax+3的图象交于点P(1,2),所以关于x,y的方程组????=????+1,????=????????+3的解是????=1,????=2.
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知识点2　二元一次方程组与一次函数的关系
8.[2020广东佛山顺德区期末]如图,已知点A(0,4),C(-2,0)在直线l:y=kx+b上,l和函数y=-4x+a的图象交于点B.
(1)求直线l的表达式;
(2)若点B的横坐标是1,求关于x,y的方程组????=????????+????,????=?4????+???? 的解及a的值;
(3)若点A关于x轴的对称点为P,求△BPC的面积.
?
答案
8.【解析】　(1)因为点A,C在直线l上,
所以????=4,?2????+????=0, 所以????=2,????=4,
所以直线l的表达式为y=2x+4.
(2)因为点B在直线l上,点B的横坐标是1,所以点B的坐标为(1,6).
因为点B是直线l与直线y=-4x+a的交点,
所以关于x,y的方程组????=????????+????,????=?4????+???? 的解为????=1,????=6.
把x=1,y=6代入y=-4x+a,得a=10.
(3)如图,因为点A与点P关于x轴对称,所以点P(0,-4),所以AP=4+4=8,
所以S△BPC=S△PAB+S△PAC=12×8×1+12×8×2=4+8=12.
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知识点2　二元一次方程组与一次函数的关系
1.[2020内蒙古呼和浩特模拟]若以关于x,y的二元一次方程x+2y-b=0的解为坐标的点都在直线y=-12x+b-1上,则b=(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A.12 B.2 C.-1 D.1
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答案
1.B　【解析】　将y=-12x+b-1等号两边都乘2,得2y=-x+2b-2,变形为x+2y-2b+2=0.因为以关于x,y的二元一次方程x+2y-b=0的解为坐标的点都在直线y=-12x+b-1上,所以-b=-2b+2,解得b=2.故选B.
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2.若一次函数y=3x+7的图象与y轴的交点在直线-2x+by=18上,则b的值为 　.?
答案
2.187 　【解析】　在一次函数y=3x+7中,令x=0,则y=7,所以一次函数y=3x+7的图象与y轴的交点是(0,7).把x=0,y=7代入-2x+by=18中,得7b=18,解得b=187.
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3.已知正比例函数y=2x的图象与一次函数y=x+2的图象相交于点P,点A是x轴上一点,且S△POA=6,则点A的坐标是　 　.?
答案
3.(3,0)或(-3,0)　【解析】　由????=2????,????=????+2解得????=2,????=4,所以点P的坐标为(2,4),所以S△POA=12OA×4=6,解得OA=3,所以点A的坐标是(3,0)或(-3,0).
?
4.如图,已知直线l1:y=3x+1与直线l2:y=mx+n交于点P(-2,a).
(1)求a的值,判断直线l3:y=-12nx-2m是否也经过点P,并说明理由;
(2)不解关于x,y的方程组????=3????+1,????=????????+????,请你直接写出它的解.
?
答案
4.【解析】　(1)因为点P(-2,a)在直线y=3x+1上,
所以a=3×(-2)+1=-5.
直线l3也经过点P,理由如下:
因为点P(-2,-5)在直线y=mx+n上,
所以-2m+n=-5,
将x=-2代入y=-12nx-2m,
得y=-12n×(-2)-2m=-2m+n=-5,
所以直线l3也经过点P.
(2)方程组????=3????+1,????=????????+????的解为????=?2,????=?5.
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5.如图,直线l1:y1=2x+3与直线l2:y2=kx-1交于点A,点A的横坐标为-1,且直线l1与x轴交于点B,与y轴交于点D,直线l2与y轴交于点C,连接BC.
(1)求点A的坐标及直线l2的函数表达式;
(2)求△ABC的面积.
答案
5.【解析】　(1)因为点A在直线l1上,且横坐标为-1,
所以点A的纵坐标为2×(-1)+3=1,
所以点A的坐标为(-1,1).
因为直线l2过点A,所以将(-1,1)代入y2=kx-1,得1=-k-1,解得k=-2,
所以直线l2的函数表达式为y2=-2x-1.
(2)(补形法)由直线l1,l2的函数表达式,易得点B的坐标为(-32,0),点D的坐标为(0,3),点C的坐标为(0,-1),所以CD=4,
所以S△ABC=S△BCD-S△ACD=12×4×|-32|-12×4×|-1|=1.
(分割法)由直线l1,l2的函数表达式,易得点B的坐标为(-32,0),点C的坐标为(0,-1).设直线l2与x轴交于点E,易得点E的坐标为(-12,0),所以BE=1,所以S△ABC=S△ABE+S△BCE=12×1×1+12×1×1=1.
?
6.如图,已知直线AB:y=12x+1分别与x轴、y轴交于点A,B,直线CD:y=x+b分别与x轴、y轴交于点C,D,且直线AB与CD相交于点P,S△ABD=2.
(1)求b的值和点P的坐标;
(2)求△ADP的面积.
?
答案
6.【解析】　(1)在y=12x+1中,令y=0,则x=-2,令x=0,则y=1,
所以点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(0,1),所以OA=2,OB=1.
因为S△ABD=2,所以12BD·OA=2,所以BD=2,所以OD=BD-OB=1,
所以点D的坐标为(0,-1),所以b=-1.
由????=12????+1,????=?????1,解得????=4,????=3,
所以点P的坐标为(4,3).
(2)由(1)知BD=2,点P的坐标为(4,3),
所以S△ADP=S△ABD+S△BDP=2+12BD×4=6.
?
第七节　用二元一次方程组确定一次函数表达式
第七节
1.若一次函数y=kx+b的图象经过点(1,1),(2,-4),则k与b的值分别为 (　　)
A.3,-2 B.-3,4
C.-5,6 D.6,-5
答案
1.C　【解析】　把(1,1),(2,-4)分别代入y=kx+b,得????+????=1,2????+????=?4,解得????=?5,????=6.故选C.
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知识点1　用二元一次方程组确定一次函数表达式
2.已知????=3,????=?2和????=2,????=1是二元一次方程ax+by+3=0(a≠0,b≠0)的两组解,则一次函数y=ax+b的表达式为　 　.?
?
答案
2.y=-97x-37　【解析】　因为????=3,????=?2和????=2,????=1是二元一次方程ax+by+3=0的两组解,所以3?????2????+3=0,2????+????+3=0,解得????=?97,????=?37,因此所求函数的表达式为y=-97x-37.
?
3.[2019天津期末]已知在平面直角坐标系xOy中,一次函数的图象经过(3,2)与(-1,-6)两点.
(1)求这个一次函数的表达式;
(2)若此一次函数图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,求△AOB的面积.
答案
3.【解析】　(1)设这个一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0),
因为y=kx+b的图象过点(3,2)与(-1,-6),
所以3????+????=2,?????+????=?6, 解得????=2,????=?4,
所以这个一次函数的表达式为y=2x-4.
(2)令x=0,得y=-4,
所以点B的坐标为(0,-4).
令y=0,得2x-4=0,解得x=2,
所以点A的坐标为(2,0),所以S△AOB=12×2×4=4.
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知识点1　用二元一次方程组确定一次函数表达式
4.[2019湖南郴州中考]某商店今年6月初销售纯净水的数量如下表所示:
观察此表,利用所学函数知识预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为　 　瓶.?
答案
4.150　【解析】　由题意易知,这是一个一次函数模型,所以设该一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0),所以????+????=120,2????+????=125,解得????=5,????=115,所以该一次函数的表达式为y=5x+115.当x=7时,y=150,所以预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为150瓶.
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知识点2　综合利用二元一次方程组和一次函数图象解决实际问题
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}日期
1
2
3
4
数量/瓶
120
125
130
135
5.如图是某公司一销售人员的个人月收入y(元)与其每月的销售量x(千件)的函数关系图象,则当此销售人员的销售量为4千件时,月收入是　 　元.?
答案
5.11 000　【解析】　根据题中给出的图象,设射线所在的直线的表达式为y=kx+b.因为直线过点(1,5 000),(2,7 000),所以5?000=????+????,7?000=2????+????,解得????=2?000,????=3?000,所以y=2 000x+3 000.当x=4时,y=2 000×4+3 000=11 000.故当此销售人员的销售量为4千件时,月收入是11 000元.
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知识点2　综合利用二元一次方程组和一次函数图象解决实际问题
6.[2019广西梧州期中]随着地球上的水资源日益枯竭,各级政府越来越重视倡导节约用水.某市对居民用水按“阶梯水价”方式进行收费,人均月生活用水收费标准如图所示.图中x 表示人均月生活用水的吨数,y表示收取的人均月生活用水费,请根据图象信息,回答下列问题:
(1)该市人均月生活用水的收费标准是:
不超过5吨,每吨按　 　元收取;超过5吨的部分,每吨按　 　元收取.?
(2)请写出y与x之间的函数关系式.
(3)若某家庭有5人,五月份的生活用水费共76元,则
该家庭这个月用了多少吨生活用水?
知识点2　综合利用二元一次方程组和一次函数图象解决实际问题
6.【解析】　 (1)1.6　2.4
(2)当0≤x≤5时,设y与x之间的函数关系式为y=kx,
将(5,8)代入y=kx,得8=5k,解得k=85,
所以y=85x.
当x>5时,设y与x之间的函数关系式为y=k1x+b,
将(5,8),(10,20)代入y=k1x+b,得5????1+????=8,10????1+????=20,解得????1=125,????=?4,
所以y=125x-4.
综上,y与x之间的函数关系式为y=85????(0≤????≤5),125?????4(????>5).
(3)因为5个人五月份的生活用水费是76元,
所以五月份的人均生活用水费是765元,765>8,
令125x-4=765,解得x=8,5×8=40(吨),
所以该家庭这个月用了40吨生活用水.
?
答案
7.已知甲、乙两地相距90 km,A,B两人沿同一公路从甲地出发到乙地,A骑摩托车,B骑电动车.如图所示,DE表示A离开甲地的路程y1(km)与时间x(h)的函数关系图象,OC表示B离开甲地的路程y2(km)与时间x(h)的函数关系图象,根据图象解答下列问题:
(1)A比B晚出发几小时?B的速度是多少?
(2)在B出发几小时后,两人相遇?
答案
7.【解析】　(1)A比B晚出发1小时.
因为60÷3=20(km/h),所以B的速度是20 km/h.
知识点2　综合利用二元一次方程组和一次函数图象解决实际问题
答案
(2)设DE所在的直线对应的函数表达式为y1=k1x+b,
由DE经过点D(1,0),E(3,90),得????1+????=0,3????1+????=90,
解得????1=45,????=?45,
所以DE所在的直线对应的函数表达式为y1=45x-45.
设OC所在的直线对应的函数表达式为y2=k2x,
由OC经过点C(3,60),得60=3k2,解得k2=20,
所以OC所在的直线对应的函数表达式为y2=20x.
当两人相遇时,y1=y2,
所以20x=45x-45,解得x=95.
所以在B出发95小时后,两人相遇.
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1.若点A(2,-3),B(4,3),C(5,a)在同一条直线上,则a的值是 (　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.6或-6 B.6
C.-6 D.6或3
答案
1.B　【解析】　设该直线对应的函数表达式为y=kx+b(k≠0),把A(2,-3),B(4,3)代入y=kx+b,得?3=2????+????,3=4????+????,解得????=3,????=?9,所以y=3x-9,又因为点C(5,a)也在这条直线上,所以a=3×5-9=6.故选B.
?
2.某地某月旱情严重,该地该月人均日用水量的变化情况如图所示.若该地10号、15号的人均日用水量分别为18千克和15千克.当人均日用水量低于10千克时,政府将向当地居民送水.那么政府应开始送水的日期为 (　 　)
A.23号 B.24号 C.25号 D.26号
答案
2.B　【解析】　设日期为x号,人均日用水量为y千克,直线对应的函数表达式为y=kx+b(k≠0).根据题意得18=10????+????,15=15????+????,解得????=?35,????=24,所以直线对应的函数表达式为y=-35x+24.当y=10时,-35x+24=10,解得x=2313,结合实际情况,政府应在24号开始送水.故选B.
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3.[2019浙江绍兴中考]如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后,蓄电池剩余电量y(千瓦时)关于已行驶路程x(千米)的函数图象.
(1)根据图象,直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程.当0≤x≤150时,求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程;
(2)当150≤x≤200时,求y关于x的函数表达式,并计算当汽车已行驶180千米时,蓄电池的剩余电量.
答案
3.【解析】　(1)由图象可知,蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米,
当0≤x≤150时,1千瓦时的电量汽车能行驶15060?35=6(千米).
(2)设当150≤x≤200时,y=kx+b(k≠0),
把点(150,35),(200,10)分别代入,
得150????+????=35,200????+????=10,解得????=?0.5,????=110,
所以y=-0.5x+110.
当x=180时,y=-0.5×180+110=20.
答:当150≤x≤200时,y=-0.5x+110,当汽车已行驶180千米时,蓄电池的剩余电量为20千瓦时.
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4.[2019吉林中考]甲、乙两车分别从A,B两地同时出发,沿同一条公路相向行驶,相遇后,甲车继续以原速行驶到B地,乙车立即以原速原路返回到B地,甲、乙两车距B地的路程y(km)与各自行驶的时间x(h)之间的关系如图所示.
(1)m=　　,n=　　;?
(2)求乙车距B地的路程y关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围;
(3)当甲车到达B地时,求乙车距B地的路程.
答案
4.【解析】　(1)4　120
解法提示:由题意得,乙来回所用时间相同,所以m=4.
由图象得,
3.5?23.5=????280,解得n=120.
?
答案
(2)由(1)可知n=120,m=4.
当0≤x≤2时,设y乙=kx(k≠0).
将(2,120)代入y=kx,得120=2k,
所以k=60,
所以y乙=60x.
当2≤x≤4时,设y乙=k'x+b(k'≠0).
将(2,120),(4,0)代入y乙=k'x+b,
得120=2????′+????,0=4????′+????,解得????′=?60,????=240,
所以y乙=-60x+240.
综上,y乙=60????(0≤????≤2),?60????+240(2(3)将x=3.5代入y=-60x+240,
得y=-60×3.5+240=30.
答:当甲车到达B地时,乙车距B地30 km.
?
5.[2019河南商丘期末]甲、乙两家采摘园的圣女果品质相同,售价也相同,节日期间,两家均推出优惠活动,甲采摘园:游客进园需购买60元门票,采摘的圣女果打六折.乙采摘园:游客进园不需购买门票,采摘圣女果超过一定数量后,超过部分打折.设某游客打算采摘圣女果x千克,在甲、乙采摘园所需总费用分别为y1元,y2元,y1,y2与x之间的函数关系的图象如图所示.
(1)分别求出y1,y2与x之间的函数关系式;
(2)求出图中点A,B的坐标;
(3)若该游客打算采摘25 kg圣女果,根据函数图象,直接写出该游客选择哪个采摘园更合算.
答案
解:(1)由题图得圣女果的单价为300÷10=30(元).
由题意,得y1=30×0.6x+60=18x+60.
当0≤x<10时,y2=30x,
当x≥10时,设y2=kx+b,
将(10,300)和(20,450)分别代入y2=kx+b,
得10????+????=300,20????+????=450, 解得????=15,????=150,
故y2与x之间的函数关系式为y2=30????(0≤????<10),15????+150(????≥10).
(2)由????=18????+60,????=30????,得????=5,????=150,所以点A的坐标为(5,150).
由????=18????+60,????=15????+150,得????=30,????=600, 所以点B的坐标为(30,600).
(3)由(2)并结合题图得,采摘25 kg圣女果,选择甲采摘园更合算.
?
*第八节　三元一次方程组
*第八节
1.下列各方程中,是三元一次方程的是 (　 　)
A.????3-2????=y+5x B.3x+1=2xy
C.15x=y2+1 D.x+y=z
?
知识点1　三元一次方程(组)的有关概念
答案
1.D　【解析】　含有三个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程.????3-2????=y+5x含有两个未知数,故A项不符合题意;3x+1=2xy中,2xy的次数为2,故B项不符合题意;15x=y2+1中,y2的次数为2,故C项不符合题意.故选D.
?
2.下列方程组中,是三元一次方程组的是 (　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A.????2?????=1,????+????=0,????????=2 B.1????+????=1,1????+????=2,1????+????=6????????C.????+????+????+????=1,?????????=2,?????????=3 D.????+????=18,????+????=12,????+????=0
?
知识点1　三元一次方程(组)的有关概念
答案
2.D　【解析】　A项x2-y=1与xz=2中,x2,xz的次数为2,故A项不是三元一次方程组;B项中1????,1????,1????不是整式,故B项不是三元一次方程组;C项中有四个未知数,故C项不是三元一次方程组.故选D.
?
3.[2019四川巴中期末]下列四组数值中,为方程组????+2????+????=0,2??????????????=1,3??????????????=2的解是(　 　)
A.????=0,????=1,????=?2????????B.????=1,????=0,????=1 C.????=0,????=?1,????=0?????????D.????=1,????=?2,????=3
?
知识点1　三元一次方程(组)的有关概念
答案
3.D　【解析】　把四组数值分别代入????+2????+????=0,2??????????????=1,3??????????????=2验证,使得方程组中的三个等式都成立的一组数值为方程组的解,由此可得D选项符合题意.故选D.
?
4.已知方程组5????+4????+????=0,3????+?????4????=11,????+????+????=?2消去未知数z后,得到的二元一次方程组是(　 　)
A.4????+3????=2,5????+7????=3 B.4????+3????=2,23????+17????=11
C.3????+4????=2,7????+5????=3 D.3????+4????=2,23????+17????=11
?
知识点2　三元一次方程组的解法
答案
4.B　【解析】　第一个方程减去第三个方程得4x+3y=2,第一个方程乘以4加上第二个方程得23x+17y=11.故选B.
5.三元一次方程组????+????=1,????+????=2,????+????=3的解是 　.?
?
知识点2　三元一次方程组的解法
答案
5.????=1,????=0,????=2　【解析】　????+????=1,①????+????=2,②????+????=3,③①+②+③,得2(x+y+z)=6,所以x+y+z=3④.把①代入④,得z=2.把②代入④,得x=1. 把③代入④,得y=0.所以原方程组的解为????=1,????=0,????=2.
?
6.解方程组:3?????????+????=4,①2????+3?????????=12,②????+????+????=6.③
?
知识点2　三元一次方程组的解法
答案
6.【解析】　①+②,得5x+2y=16,④
③+②,得3x+4y=18,⑤
④×2-⑤,得7x=14,解得x=2.
把x=2代入④,得10+2y=16,解得y=3.
把x=2,y=3代入③,得2+3+z=6,解得z=1.
所以原方程组的解为????=2,????=3,????=1.
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7.若(2x-4)2+(x+y)2+|4z-y|=0,则x+y+z等于 (　 　)
A.-12 B.12 C.2 D.-2
?
知识点3　三元一次方程组的应用
答案
7.A　【解析】　由(2x-4)2+(x+y)2+|4z-y|=0,可得2?????4=0,????+????=0,4?????????=0,解得????=2,????=?2,????=?12,则x+y+z=2-2-12=-12.故选A.
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8.某农场300名职工耕种51公顷田地,计划种植水稻、棉花和蔬菜,已知种植植物每公顷所需的劳动力人数及设备资金如下表:
已知该农场计划投入67万元,应该怎样安排这三种作物的种植面积,才能使所有职工都有工作,而且投入的资金正好够用?
知识点3　三元一次方程组的应用
答案
8.【解析】　设种植水稻、棉花和蔬菜的面积分别为x公顷、y公顷和z公顷,
根据题意得????+????+????=51,4????+8????+5????=300,????+????+2????=67,解得????=15,????=20,????=16.
答:种植水稻、棉花和蔬菜的面积分别为15公顷、20公顷和16公顷.
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{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}农作物品种
每公顷需劳动力
每公顷需设备资金
水稻
4人
1万元
棉花
8人
1万元
蔬菜
5人
2万元