北师大版七年级上册数学：第五章·一元一次方程 同步习题课件（179张PPT)

第五章·一元一次方程
数学·七年级上册·北师
1　认识一元一次方程
课时1　一元一次方程
课时1
1.易错题下列各式中,是方程的有 (填序号).?
①2x2+x; ②3a+5=6a; ③y2-3y=2; ④?????23????=0; ⑤5-3=2; ⑥4x-6>7.
?
答案
1.②③④　【解析】　方程的定义是含有未知数的等式.强调两点:(1)含未知数,(2)是等式.①⑥不是等式,⑤不含未知数.符合条件的是②③④.
知识点1　方程的概念
2.[2019天津宝坻区期中]下面是小红所写的式子,其中是一元一次方程的有 (　 　)
①5x-2;②3+5=-1+9;③5-12x=2x-8;④x=0;⑤x+2y=9.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
?
答案
2.B　【解析】　根据一元一次方程的概念逐个判断,可知③④是一元一次方程,共2个.故选B.
知识点2 一元一次方程
3.若x2m+1=3是关于x的一元一次方程,则m= .?
答案
3.12　【解析】　由于方程是关于x的一元一次方程,所以2m=1,所以m=12.
?
知识点2 一元一次方程
4.[2017辽宁阜新中考]在“爱护环境,建我家乡”的活动中,七(1)班学生回收饮料瓶共10 kg,男生回收的质量是女生的
4倍,设女生回收饮料瓶x kg,根据题意可列方程为 (　 　)
A.4(10-x)=x
B.x+14x=10
C.4x=10+x
D.4x=10-x
?
答案
4.D　【解析】　因为女生回收饮料瓶x kg,所以男生回收饮料瓶4x kg,由题意得,4x=10-x.故选D.
知识点3 列一元一次方程
5.某村原有林地120公顷,旱地60公顷,为适应产业结构调整,需把一部分旱地改造为林地,改造后,旱地面积为林地面积的15,设把x公顷旱地改造为林地,则可列方程为 (　 　)
A.60-x=15(120+x)
B.60+x=15×120
C.180-x=15(60+x)
D.60-x=15×120
?
答案
5.A
知识点3 列一元一次方程
6.[2020湖北宜昌期末]把一些图书分给某班学生阅读,若每人分3本,则剩余20本;若每人分4本,则还缺25本.设这个班有x名学生,可列方程为 .?
答案
6.3x+20=4x-25
知识点3 列一元一次方程
7.校园足球联赛规则规定:胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.某队比赛8场保持不败,得18分,则该队共胜几场?若设该队胜了x场,则可列方程为 .?
答案
7.3x+(8-x)=18
知识点3 列一元一次方程
8.[2020河北石家庄期末]下列选项中,是方程-1+3x=x-5的解的是 (　 　)
A.x=2 B.x=1
C.x=-2 D.x=-1
答案
8.C
知识点4 方程的解
9.下列各方程后面括号里的数均是该方程的解的是 (　 　)
A.2x+5=9　{2,-2}
B.62????+3=2　{0,1}
C.x2-8=-2x　{2,4}
D.x(x+1)(x+2)=0　{0,-1,-2}
?
答案
9.D　【解析】　使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.A项,当x=-2时,方程左边≠右边;B项,当x=1时,方程左边≠右边;C项,当x=4时,方程左边≠右边.故选D.
知识点4 方程的解
10.关于x的方程-3(?-9)=5x-6,?处被墨水盖住了,已知方程的解为x=3,那么?处的数字是 (　 　)
A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.6
答案
10.D　【解析】　将x=3代入方程得,-3(?-9)=5×3-6,解得?=6.故选D.
知识点4 方程的解
课时2　等式的基本性质
课时2
1.易错题 已知a=b,下列等式不一定成立的是 (　 　)　　　　　 　　　　　　　　　　
A.a+c=b+c B.c-a=c-b
C.ac=bc D.????????=????????
?
答案
1.D　【解析】　D项,当c=0时,????????和????????无意义,所以D项中的等式不一定成立.故选D.
?
知识点1 等式的基本性质
2.[2019辽宁沈阳铁西区期末]下列变形中,错误的是 (　 　)
A.2x+6=0可变形为2x=-6
B.????+32=2+x可变形为x+3=4+2x
C.-2(x-4)=2可变形为x-4=1
D.-????+12=12可变形为-x-1=1
?
答案
2.C　【解析】　A项,2x+6=0两边同时减去6,即可得到2x=-6,所以A项不符合题意;B项,????+32=2+x两边同时乘以2,即可得到x+3=4+2x,所以B项不符合题意;C项,-2(x-4)=2两边都除以-2,得到x-4=-1,所以C项符合题意;D项,-????+12=12两边同时乘以2,即可得到-x-1=1,所以D项不符合题意.故选C.
?
知识点1 等式的基本性质
3.下列等式是由5x=4x+1变形得到的,其中正确的有 (　 　)
①5x-4x=1　②4x-5x=-1　③x=45x+15　④5x+4x=1　⑤5x+4x=-1
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
?
答案
3.C　【解析】　正确的是①②③,①是等式5x=4x+1两边同时减4x,②是等式5x=4x+1两边同时加-5x-1,再根据等式的对称性左右交换位置,③是等式5x=4x+1两边同时除以5.故选C.
知识点1 等式的基本性质
4.由2x-16=3x+5得2x-3x=5+16,在此变形中,原方程的两边同时加上了 .?
答案
4.16-3x
知识点1 等式的基本性质
5.(1)由等式3x=2x+5的两边都 ,得到等式x=5,这是根据 ;?
(2)由等式-13x=38的两边都 ,得到等式x= ,这是根据 .?
?
答案
5.(1)减去2x　等式两边同时加(或减)同一个代数式,所得结果仍是等式;
(2)乘以-3　-98　等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为0的数),所得结果仍是等式
?
知识点2 运用等式的性质解一元一次方程
6.如果代数式-2x+8的值为2,那么x的值是 .?
答案
6.3　【解析】　由题意可得,-2x+8=2,方程两边同时减8,得-2x=-6,方程两边同时除以-2,得x=3.
知识点2 运用等式的性质解一元一次方程
7.有一个密码系统,其原理如下面的框图所示.当输出的数为-10时,则输入的数x是 .?
答案
7.-4　【解析】　由题意,得3x+2=-10,方程两边同时减2,得3x=-12.方程两边同时除以3,得x=-4,所以输入的数x是-4.
知识点2 运用等式的性质解一元一次方程
8.利用等式的性质解下列方程:
(1)4+3x=11;
(2)5y-6=3y+2;
(3)49y-56=123;
(4)-8y=9-5y.
?
答案
8.【解析】　(1)方程两边同时减4,得4+3x-4=11-4,
化简,得3x=7,
方程两边同时除以3,得x=73.
(2)方程两边同时加6-3y,得5y-6+(6-3y)=3y+2+(6-3y),
化简,得2y=8,
方程两边同时除以2,得y=4.
?
知识点2 运用等式的性质解一元一次方程
(3)方程两边同时加56,得49y-56+56=123+56,
化简,得49y=52,
方程两边同时乘94,得y=458.
(4)方程两边同时加5y,得-8y+5y=9-5y+5y,
化简,得-3y=9,
方程两边同时除以-3,得y=-3.
?
知识点2 运用等式的性质解一元一次方程
答案
9.当x为何值时,43x-5与3x+1的和等于9?
?
答案
9.【解析】　由题意,得(43x-5)+(3x+1)=9,
整理,得133x=13,
方程两边同时除以133,得x=3.
?
知识点2 运用等式的性质解一元一次方程
10.已知x=-2是关于x的方程3x+4=????2+m的解,求式子2m2-4m+1的值.
?
答案
10.【解析】　把x=-2代入方程3x+4=????2+m,
得-6+4=-1+m,解得m=-1.
当m=-1时,
2m2-4m+1=2×(-1)2-4×(-1)+1=2+4+1=7.
?
知识点2 运用等式的性质解一元一次方程
1. [2020河北保定期末]如图,两个天平都平衡,则与2个球体质量相等的正方体的个数为 (　 　)
A.2 B.3
C.4 D.5
答案
1.D
2.若x=9是关于x的方程a(2x-5)=4x+a的解,则a的值为 (　 　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案
2.C　【解析】　把x=9代入方程,得a(18-5)=36+a,解得a=3.故选C.
3.关于y的方程3y+3k=1与3y+5=0的解相同,则k的值为 (　 　)
A.-2 B.34 C.2 D.-43
?
答案
3.C　【解析】　由方程3y+5=0得3y=-5,因为两方程的解相同,所以把3y=-5代入3y+3k=1,解得k=2.故选C.
4.[2019四川南充中考]关于x的一元一次方程2xa-2+m=4的解为x=1,则a+m的值为 (　 　)
A.9 B.8 C.5 D.4
答案
4.C　【解析】　由题意,得a-2=1,两边同时加2,得a=3,此时方程2xa-2+m=4为2x+m=4.已知该方程的解为x=1,代入方程,得2×1+m=4,两边同时减2,得m=2,故a+m=3+2=5.故选C.
5.如果ma=mb,那么下列等式一定成立的是 .?
①a=b; ②ma-6=mb-6; ③-12ma=-12mb; ④ma+8=mb+8; ⑤3ma-1=3mb-1; ⑥ma-3=mb+3.
?
答案
5.②③④⑤　【解析】　因为m可能为0,所以由ma=mb不能得到a=b,①错;等式两边应该同时加上或减去同一个数,⑥错;易知②③④⑤都正确.
6.对于任意有理数a,b,c,d,我们规定 =-2,则x的值为 .?
答案
6.2　【解析】　根据题意,得-4x+6=-2,方程两边同时减去6,得-4x+6-6=-2-6,即-4x=-8,方程两边同时除以-4,得x=2.
7.小明学习了“等式的基本性质”后对小亮说:“我发现4可以等于3,你看这里有一个方程4x-2=3x-2,等式的两边同时加上2,得4x=3x,然后等式的两边再同时除以x,得4=3.”
(1)请你想一想,小明的说法对吗?为什么?
(2)你能用等式的性质求出方程4x-2=3x-2的解吗?
答案
7.【解析】　(1)不对.理由如下:
因为在等式4x=3x的两边同时除以x时,没有注意到x刚好为0.
(2)方程两边同时加2,得4x=3x,
方程两边同时减3x,得x=0.
8.能否由等式(3a+4)x=2a-b得到x=2?????????3????+4?为什么?反过来,能否由等式 x=2?????????3????+4得到(3a+4)x=2a-b?为什么?
?
答案
8.【解析】　由等式(3a+4)x=2a-b不一定能得到x=2?????????3????+4.理由如下:
当a=-43时,3a+4=0,因为等式两边不能同时除以0,所以不能得到x=2?????????3????+4;
当a≠-43时,3a+4≠0,根据等式的基本性质,能得到x=2?????????3????+4.
反过来,能由等式x=2?????????3????+4得到(3a+4)x=2a-b.理由如下:
因为由等式x=2?????????3????+4,两边同时乘以3a+4,得(3a+4)x=2a-b.
?
9.已知等式2a-3=2b+1,请你猜想a与b之间的大小关系,并说明理由.
答案
9.【解析】　a大于b.理由如下:
等式两边同时加3,得2a=2b+4,
等式两边同时减去2b,得2a-2b=4,
等式两边同时除以2,得a-b=2,
因为a与b的差是正数,所以a大于b.
2　求解一元一次方程
课时1　“移项”解一元一次方程
课时1
1.下列变形属于移项的是 (　 　)
A.由5x-4=0,得-4+5x=0
B.由2x=-1,得x=-12
C.由4x+3=0,得4x=0-3
D.由54x-x=5,得14x=5
?
答案
1.C
知识点1　移项
2.[2020北京房山区期末]一元一次方程3x+6=2x-8移项后正确的是 (　 　)
A.3x-2x=6-8 B.3x+2x=-8+6
C.3x-2x=8-6 D.3x-2x=-6-8
答案
2.D
知识点1　移项
3.解一元一次方程1-2x=3-x,移项得 + =3- .?
答案
3.-2x　x　1
知识点1　移项
4.[2020湖南郴州期末]若代数式4x-5与3x-7的值相等,则x的值是 (　 　)
A.-127 B.-12 C.2 D.-2
?
答案
4.D　【解析】　根据题意,得4x-5=3x-7.移项,得4x-3x=-7+5.合并同类项,得x=-2.故选D.
知识点2 “移项”解一元一次方程
5.[2020河北石家庄期末]若代数式7-2x和5-x互为相反数,则x的值为 (　 　)
A.2 B.-4 C.4 D.0
答案
5.C　【解析】　根据题意,得7-2x+5-x=0.移项,得-2x-x=-12.合并同类项,得-3x=-12.系数化为1,得x=4.故选C.
知识点2 “移项”解一元一次方程
6.关于x的方程ax=1+2x有解的条件是 (　 　)
A.a≠0 B.a≠2
C.a≠-2 D.a≠12
?
答案
6.B　【解析】　移项、合并同类项得(a-2)x=1,欲使方程有解,则 a-2≠0,所以a≠2.故选B.
知识点2 “移项”解一元一次方程
7.解方程76x-4=56x,移项,得 ,合并同类项,得 ,系数化为1,得 .?
?
答案
7.76x-56x=4　13x=4　x=12
?
知识点2 “移项”解一元一次方程
8.某同学解方程5x-24=8x-6的过程如下,请你指出他开始出错的一步及错误的原因,并改正.
解:移项,得5x-8x=-6-24,　　　　①
合并同类项,得-3x=-30, ②
方程两边同时除以-3,得x=10. ③
答案
8.【解析】　开始出错的一步是第①步,移项时-24没有变号.
改正:移项,得5x-8x=-6+24,
合并同类项,得-3x=18,
方程两边同时除以-3,得x=-6.
知识点2 “移项”解一元一次方程
9.解下列方程:
(1)4y=203y+16;
(2)16x-40=9x-16;
(3)x+2=12x-3.
?
答案
9.【解析】　(1)移项,得4y-203y=16,
合并同类项,得-83y=16,
方程两边同时除以-83,得y=-6.
?
知识点2 “移项”解一元一次方程
答案
(2)移项,得16x-9x=-16+40,
合并同类项,得7x=24,
方程两边同时除以7,得x=247.
(3)移项,得x-12x=-3-2,
合并同类项,得12x=-5,
方程两边同时乘2,得x=-10.
?
知识点2 “移项”解一元一次方程
10.甲、乙两个水池共存水40吨,现甲池注进水4吨,乙池放出水8吨,此时甲池中水的吨数与乙池中水的吨数相等,则两个水池原来各有水多少吨?
答案
10.【解析】　设甲池原来有水x吨,则乙池原来有水(40-x)吨.
根据题意,得x+4=40-x-8,
解得x=14,
所以40-x=26.
答:甲池原来有水14吨,乙池原来有水26吨.
知识点3 利用一元一次方程解决实际问题
11.某班举办了一次集邮展览,展出的邮票若每人分3张,则多24张,若每人分4张,则少26张.这个班有多少名学生?一共展出了多少张邮票?
答案
11.【解析】　设这个班有x名学生,
根据题意,得3x+24=4x-26,
解得x=50,所以3x+24=3×50+24=174.
答:这个班有50名学生,一共展出了174张邮票.
知识点3 利用一元一次方程解决实际问题
1.下列移项正确的是 (　 　)
A.由12-2x=-6,得到12-6=2x
B.由-8x+4=-5x-2,得到8x+5x=-4-2
C.由5x+3=4x+2,得到5x-4x=2-3
D.由-3x-4=2x-8,得到8-4=2x-3x
答案
1.C　【解析】　A项,-6从方程右边移到左边要变号,A项错误;B项,-8x位置没有变,不能变号,B项错误;D项,-3x从方程左边移到右边要变号,D项错误.故选C.
2.某同学在解方程5x-1=■x+3时,把■处的数看错了,解得x=-43,则该同学把■处的数看成了 (　 　)
A.3 B.-1289 C.-8 D.8
?
答案
2.D　【解析】　将x=-43代入方程,得5×(-43)-1=■×(-43)+3,移项、整理,得■=8.故选D.
?
3.若-2x2m+1y6与13x3m-1y10+4n是同类项,则m,n的值分别为 (　 　)
A.2,-1 B.-2,1
C.-1,2 D.-2,-1
?
答案
3.A　【解析】　因为-2x2m+1y6与13x3m-1y10+4n是同类项,所以2m+1=3m-1,6=10+4n,解得m=2,n=-1.故选A.
?
4.已知关于x的方程ax+3=4x+1的解为正整数,则整数a的值可以为 (　 　)
A.1 B.3
C.1或2 D.2或3
答案
4.D　【解析】　移项,得ax-4x=1-3,合并同类项,得(a-4)x=-2,由题意知a≠4,系数化为1,得x=24?????.因为原方程的解是正整数,且a为整数,所以4-a是2的正因数.因为2的正因数为1,2,所以4-a=1或4-a=2,所以a=3或2.故选D.
?
5.[2020河北唐山期末]小亮在解方程3a-2x=15+3x时,误将-2x看作是+2x,得到方程的解为x=3,则原方程的解为 .?
答案
5.35　【解析】　根据题意得,3a+2×3=15+3×3,解得a=6,所以原方程为18-2x=15+3x,解得x=35.
?
6.已知x=12是关于x的方程 3m+8x=12+x 的解,求关于x的方程m+2x=2m-3x 的解.
?
答案
6.【解析】　把x=12代入方程3m+8x=12+x,得3m+4=1,解得m=-1,
把m=-1代入方程m+2x=2m-3x,
得-1+2x=-2-3x,
解得x=-15.
?
7.一个长方形的周长为26厘米,这个长方形的长减少1厘米,宽增加2 厘米,就可成为一个正方形,求这个长方形的长和宽.
答案
7.【解析】　设这个长方形的长是x厘米,则宽是(13-x)厘米.
根据题意得,x-1=13-x+2,
解得x=8,
则13-x=5.
答:这个长方形的长为8厘米、宽为5厘米.
8.[2020山东烟台莱山区期末]观察下列两个等式:2-13=2×13+1,5-23=5×23+1.我们称使等式a-b=ab+1成立的一对有理数a,b为“共生有理数对”,记为(a,b),如数对(2,13),(5,23)都是“共生有理数对”.
(1)数对(-2,1),(3,12)中是“共生有理数对”的是 ;?
(2)若(a,3)是“共生有理数对”,则a的值为 ;?
(3)若4是“共生有理数对”中的一个有理数,求这个“共生有理数对”.
?
答案
8.【解析】　(1)(3,12)
因为-2-1=-3,-2×1+1=-1,所以-2-1≠-2×1+1,
所以(-2,1)不是“共生有理数对”.
因为3-12=52,3×12+1=52,所以3-12=3×12+1,
所以(3,12)是“共生有理数对”.
?
答案
(2)-2
因为(a,3)是“共生有理数对”,所以a-3=3a+1,
移项、合并同类项,得-2a=4.
方程两边同时除以-2,得a=-2.
(3)设“共生有理数对”中的另一个有理数为x,分两种情况:
①当“共生有理数对”是(x,4)时,则有x-4=4x+1,
移项、合并同类项,得-3x=5,
方程两边同时除以-3,得x=-53,
所以“共生有理数对”是(-53,4);
②当“共生有理数对”是(4,x)时,则有4-x=4x+1,
移项、合并同类项,得-5x=-3,
方程两边同时除以-5,得x=35,
所以“共生有理数对”是(4,35).
综上,这个“共生有理数对”是(-53,4)或(4,35).
?
课时2　“去括号”解一元一次方程
课时2
1.解方程-2(x-1)-4(x-2)=1时,去括号正确的是 (　 　)
A.-2x+2-4x-8=1
B.-2x+1-4x+2=1
C.-2x-2-4x-8=1
D.-2x+2-4x+8=1
答案
1.D
知识点1 “去括号”解一元一次方程
在去括号时,注意不要漏乘某些项,还要特别注意括号去掉后是否需要变号.
2.解方程5(x-1)-3x=4-2(2x+3),步骤如下:
①去括号,得5x-5-3x=4-4x+6;
②移项,得5x-3x+4x=4+6+5;
③合并同类项,得6x=15;
④方程两边同时除以6,得x=52.
其中,开始出错的一步是 (　 　)
A.① B.② C.③ D.④
?
答案
2.A　【解析】　4-2(2x+3)去括号后应为4-4x-6.故选A.
知识点1 “去括号”解一元一次方程
3.方程2x-(x+10)=5x+2(x+1)的解是 (　 　)
A.x=43 B.x=-43
C.x=-2 D.x=2
?
答案
3.C　【解析】　去括号,得2x-x-10=5x+2x+2,移项、合并同类项,得-6x=12,方程两边同除以-6,得x=-2.故选C.
知识点1 “去括号”解一元一次方程
4.如果-2(x-1)与4-3(x-1)互为相反数,那么x的值为 (　 　)
A.15 B.-15 C.-95 D.95
?
答案
4.D　【解析】　根据题意,得-2(x-1)+4-3(x-1)=0,去括号,得-2x+2+4-3x+3=0,移项,得-2x-3x=-2-4-3,合并同类项,得-5x=
-9,所以x=95.故选D.
?
知识点1 “去括号”解一元一次方程
5.当x= 时,代数式4x的值比5+2x的值大4.?
答案
5.92　【解析】　根据题意,得4x-(5+2x)=4,去括号,得4x-5-2x=4,移项、合并同类项,得2x=9,方程两边同除以2,得x=92.
?
知识点1 “去括号”解一元一次方程
6.解下列方程:
(1)5(x+2)=-(2x-7);
(2)(2x-5)-3(x+3)=4;
(3)2(x-1)-3(x+2)=12;
(4)3-2(2x+1)=2(x-3).
答案
6.【解析】　(1)去括号,得5x+10=-2x+7,
移项、合并同类项,得7x=-3,
方程两边同除以7,得x=-37.
(2)去括号,得2x-5-3x-9=4,
移项,得2x-3x=4+5+9,
合并同类项,得-x=18,
方程两边同除以-1,得x=-18.
?
知识点1 “去括号”解一元一次方程
答案
(3)去括号,得2x-2-3x-6=12,
移项,得2x-3x=12+2+6,
合并同类项,得-x=20,
方程两边同除以-1,得x=-20.
(4)去括号,得3-4x-2=2x-6,
移项,得-4x-2x=-6+2-3,
合并同类项,得-6x=-7,
方程两边同除以-6,得x=76.
?
知识点1 “去括号”解一元一次方程
7.[2020河北唐山路北区期末]某书架第一层书的数量是第二层的2倍,现从第一层抽8本放到第二层,这时第一层剩下书的数量恰比第二层的一半多3本,则第二层原有图书 (　 　)
A.8本 B.10本 C.13本 D.16本
答案
7.B　【解析】　设第二层原有图书x本,则第一层原有图书2x本,由题意,得2x-8=12(x+8)+3,解得x=10,所以第二层原有图书10本.故选B.
?
知识点2 利用一元一次方程解决实际问题
8.一个两位数,个位上的数字是十位上的数字的3倍,如果把个位上的数字与十位上的数字对调,那么得到的新数比原数大54,求原来的两位数.
答案
8.【解析】　设原来的两位数的十位上的字数是x,则个位上的数是3x,
根据题意,得10×3x+x-(10x+3x)=54,
去括号,得30x+x-10x-3x=54,
合并同类项,得18x=54,
方程两边同除以18,得x=3,
所以10x+3x=39.
答:原来的两位数是39.
知识点2 利用一元一次方程解决实际问题
1.[2019浙江宁波期末]若x=-2是关于x的方程2x+m=3的解,则关于x的方程3(1-2x)=m-1的解为 (　 　)
A.-1 B.-12 C.12 D.1
?
答案
1.B　【解析】　将x=-2代入2x+m=3,得-4+m=3,解得m=7,将m=7代入3(1-2x)=m-1,得3(1-2x)=6,解得x=-12.故选B.
?
2.对于任意两个有理数a,b,规定a※b=3a-b,若(2x+3)※(3x-1)=4,则x的值为 (　 　)
A.1 B.-1 C.2 D.-2
答案
2.D　【解析】　根据题意,得3(2x+3)-(3x-1)=4,去括号,得6x+9-3x+1=4,移项、合并同类项,得3x=-6,所以x=-2.故选D.
3.已知当y=2时,代数式(2-m)y+m的值是8,则当y=-3时,代数式的值是 .?
答案
3.-22　【解析】　由题意,得2(2-m)+m=8,解得m=-4,所以代数式为6y-4,当y=-3时,代数式的值为-3×6-4=-22.
4.一个三位数,百位上的数字是1,若将它移至个位数字的右边,则所得的三位数比原数的3倍少19,则原来的三位数是 . ?
答案
4.140　【解析】　设原数百位数字1右边的两位数是x.根据题意,得10x+1=3(100+x)-19,解得x=40,所以原来的三位数是140.
5.解下列方程:
(1)4x-3(20-x)=6x-7(9-x);
(2)4(2y+3)=8(1-y)-5(y-2);
(3)-2(2-x)-3(1-2x)=7(1-x)+5(2-x);
(4)3(7x-5)-13(5-7x)+17(7x-5)=7(5-7x).
?
答案
5.【解析】　(1)去括号,得4x-60+3x=6x-63+7x,
移项,得4x+3x-6x-7x=-63+60,
合并同类项,得-6x=-3,
系数化为1,得x=12.
(2)去括号,得8y+12=8-8y-5y+10,
移项,得8y+8y+5y=8+10-12,
合并同类项,得21y=6,
系数化为1,得y=27.
?
答案
(3)去括号,得-4+2x-3+6x=7-7x+10-5x,
移项、合并同类项,得20x=24,
系数化为1,得x=65.
(4)把(7x-5)看成一个整体,将原方程变形为3(7x-5)+13(7x-5)+17(7x-5)=-7(7x-5),
整体移项、合并同类项,得(10+1021)(7x-5)=0,
可得7x-5=0,解得x=57.
?
第(4)题可以直接去括号求解,但比较麻烦,如果把(7x-5)看成一个整体,求解时就会较为方便.
6.[2017湖南湘潭中考]“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一.大约在1 500年前成书的《孙子算经》中,就有关于“鸡兔同笼”的记载:“今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?”这四句话的意思是:有若干只鸡兔关在一个笼子里,从上面数,有35个头;从下面数,有94条腿.问笼中各有几只鸡和兔?
答案
6.【解析】　设笼中有x只鸡,则有(35-x)只兔,
根据题意得,2x+4(35-x)=94,
解得x=23,所以35-x=12.
答:笼中有23只鸡和12只兔.
7.某次篮球联赛,其中两队的积分如表所示.
请回答下列问题:
(1)负一场积 分;?
(2)求胜一场积多少分;
(3)若某队在这次篮球联赛的14场比赛中胜场总积分比负场总积分的3倍多3分,则该队胜了多少场?
?
比赛场次
胜场场次
负场场次
积分
前进队
14
10
4
24
钢铁队
14
0
14
14
答案
7.【解析】　 (1)1
由题表知,钢铁队的负场场次为14,共积14分,故负一场积1分.
(2)设胜一场积x分,
依题意,得10x+4×1=24.
解得x=2.
答:胜一场积2分.
(3)设该队胜y场,则负(14-y)场,
依题意,得2y=3(14-y)+3.
解得y=9.
答:该队胜了9场.
课时3　“去分母”解一元一次方程
课时3
1.易错题解方程3?????12?2????+13=1,去分母正确的是 (　 　)
A.2(3x-1)-3(2x+1)=6
B.3(3x-1)-2(2x+1)=1
C.9x-3-4x+2=6
D.3(3x-1)-2(2x+1)=6
?
答案
1.D　【解析】　方程两边同时乘以6,得3(3x-1)-2(2x+1)=6.故选D.
知识点1 “去分母”解一元一次方程
2.解方程2?????35+????2=1,去分母得 .?
?
答案
2.2(2x-3)+5x=10
知识点1 “去分母”解一元一次方程
3.已知代数式4?????13的值与代数式-????2的值相等,则x的值为 .?
?
答案
3.211　【解析】　由题意,得4?????13=-????2.去分母,得2(4x-1)=-3x.去括号,得8x-2=-3x.移项、合并同类项,得11x=2.系数化为1,得x=211.
?
知识点1 “去分母”解一元一次方程
4.解方程45(54x-30)=7时,有A,B,C三位同学在“第一步”给出了不同的方法,你认为较简便的是哪一种?说说你的想法.
A同学:方程两边同乘以20,得4(5x-120)=140.
B同学:方程两边同除以45,得54x-30=354.
C同学:去括号,得x-24=7.
?
答案
4.【解析】　A同学直接去分母,化分数为整数;B同学的做法达不到去分母的作用;C同学既去掉了分母,又使方程变得较简单,所以C同学的方法较简便.
知识点1 “去分母”解一元一次方程
5.下面解题过程正确吗?如果正确,请指出每一步的依据;如果不正确,请指出错在哪里,并给出正确的解答.
(1)解方程????3=1+????4.
解:去分母,得4x=1+3x,
移项,得4x-3x=1,
合并同类项,得x=1.
(2)解方程52=????+34?2?3????8.
解:去分母,得20=2x+6-2-3x,
移项,得3x-2x=6-2-20,
合并同类项,得x=-16.
?
知识点1 “去分母”解一元一次方程
答案
5.【解析】　(1)不正确.错在去分母时漏乘了方程右边不含分母的项“1”.
正确解答如下:去分母,得4x=12+3x,
移项,得4x-3x=12,
合并同类项,得x=12.
(2)不正确.错在方程两边同乘以8后,-2?3????8应化为-(2-3x),即-2+3x,而不是-2-3x.
正确解答如下:去分母,得20=2(x+3)-(2-3x),
去括号,得20=2x+6-2+3x,
移项、合并同类项,得-5x=-16,
方程两边同除以-5,得x=165.
?
知识点1 “去分母”解一元一次方程
6.解下列方程:
(1)1-?????221=2????7-7;
(2)2????+15-1=2?????14?2????+12;
(3)x=1+????2+????4+????8+????16.
?
答案
6.【解析】　(1)去分母,得21-(x-2)=3×2x-7×21,
去括号,得21-x+2=6x-147,
移项,得-x-6x=-147-21-2,
合并同类项,得-7x=-170,
方程两边同时除以-7,得x=1707.
?
知识点1 “去分母”解一元一次方程
答案
(2)去分母,得4(2x+1)-20=5(2x-1)-10(2x+1),
去括号,得8x+4-20=10x-5-20x-10,
移项、合并同类项,得18x=1,
方程两边同时除以18,得x=118.
(3)去分母,得16x=16+8x+4x+2x+x,
移项、合并同类项,得x=16.
?
知识点1 “去分母”解一元一次方程
7.[2019北京房山区期末]登山是一种简单易行的健身运动,山中森林覆盖率高,负氧离子多,能使人身心愉悦地进行体育锻炼.张老师和李老师登一座山,张老师每分钟登高10米,并且先出发30分钟,李老师每分钟登高15米,两人同时登上山顶,求这座山的高度.
答案
7.【解析】　设这座山的高度为x米,
根据题意得,????10?????15=30,
去分母,得3x-2x=900,
合并同类项,得x=900.
答:这座山的高度为900米.
?
知识点2 利用一元一次方程解决实际问题
1.下列解方程去分母正确的是 (　 　)
A.由????3-1=1?????2,得2x-1=3-3x
B.由?????22?????4=-1,得 2x-2-x=-4
C.由????3-1=????5,得 2y-15=3y
D.由????+12=????3+1,得 3(y+1)=2y+6
?
答案
1.D　【解析】　A项,由????3-1=1?????2,得2x-6=3-3x,此选项错误;B项,由?????22?????4=-1,得 2x-4-x=-4,此选项错误;C项,由????3-1=????5,得 5y-15=3y,此选项错误.故选D.
?
2.某书中有一道解方程题“2+⊕????3+1=x”,⊕处印刷时被墨盖住了,小明查后面的答案知道这道题的解为x=-2.5,那么⊕处的数为 (　 　)
A.-2.5 B.2.5 C.3.5 D.5
?
答案
2.D　【解析】　设⊕=a,把方程去分母,得2+ax+3=3x,移项,得ax-3x=-5,把x=-2.5代入方程ax-3x=-5,得(-2.5)a-3×(-2.5)=
-5,解得a=5.故选D.
3.解下列方程:
(1)?????74?5????+83=1;　　
(2)y-?????12=2-????+26;
(3)0.1????0.2?0.01?????0.010.06=x-13.
?
答案
3.【解析】　(1)去分母,得3(x-7)-4(5x+8)=12,
去括号,得3x-21-20x-32=12,
移项、合并同类项,得-17x=65,
系数化为1,得x=-6517.
?
答案
(2)去分母,得6y-3(y-1)=12-(y+2),
去括号,得6y-3y+3=12-y-2,
移项、合并同类项,得4y=7,
系数化为1,得y=74.
(3)化简,得????2??????16=x-13,
去分母,得3x-(x-1)=6x-2,
去括号,得3x-x+1=6x-2,
移项、合并同类项,得-4x=-3,
系数化为1,得x=34.
?
4.已知关于x的方程1-????+????2=?????23.
(1)当a=1时,求出方程的解;
(2)当a=2时,求出方程的解.
?
答案
4.【解析】　(1)将a=1代入方程,得1-????+12=?????23,
去分母,得6-3(x+1)=2(x-2),
去括号,得6-3x-3=2x-4,
移项、合并同类项,得-5x=-7,
系数化为1,得x=75.
(2)将a=2代入方程,得1-????+22=?????23,
去分母,得6-3(x+2)=2(x-2),
去括号,得6-3x-6=2x-4,
移项、合并同类项,得-5x=-4,
系数化为1,得x=45.
?
5.[2020河北唐山路南区期中]如果方程2-????+13=????+76的解也是方程2-?????????3=0的解,求a的值.
?
答案
5.【解析】　对于方程2-????+13=????+76,
去分母,得12-2(x+1)=x+7,
去括号,得12-2x-2=x+7,
移项、合并同类项,得-3x=-3,
系数化为1,得x=1.
因为x=1也是方程2-?????????3=0的解,
所以2-?????13=0,所以a=7.
?
6.小梅解关于x的方程2?????13=????+????2-2,去分母时,方程右边的-2忘记乘6,从而求得的解为x=3,试求a的值及方程正确的解.
?
答案
6.【解析】　按小梅去分母的方法,得2(2x-1)=3(x+a)-2.
把x=3 代入,解得a=1,
所以原方程为2?????13=????+12-2,
解方程得x=-7.
?
7.[2019甘肃中考]中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题,其中《孙子算经》中有个问题,原文:今有三人共车,二车空;二人共车,九人步,问人与车各几何?译文为:今有若干人乘车,每3人共乘一车,最终剩余2辆车,若每2人共乘一车,最终剩余9个人无车可乘,问共有多少人,多少辆车?
答案
7.【解析】　设共有x人.
根据题意,得????3+2=?????92,解得x=39,
则39?92=15.
答:共有39人,15辆车.
?
易错疑难集训
集训
1.下列说法正确的是 (　 　)
A.等式ab=ac两边都除以a,得b=c
B.等式a(c2+1)=b(c2+1)两边都除以c2+1,得a=b
C.等式????????=????????两边都除以a,得b=c
D.等式2x=2a-b两边都除以2,得x=a-b
?
答案
1.B　【解析】　A项,a有可能为0,而0不能作除数,故A项错误;B项,c2+1≠0,所以c2+1能作除数,故B项正确;C项,等式两边应都乘以a,故C项错误;D项,等式两边都除以2,得x=a-????2,故D项错误.故选B.
?
易错点1 利用等式的性质对等式变形时出错
2.下列等式变形正确的是 (　 　)
A.如果s=????2+a,那么b=?????????2
B.如果12x=6,那么x=3
C.如果x-3=y-3,那么x-y=0
D.如果mx=my,那么x=y
?
答案
2.C　【解析】　A项,如果s=????2+a, 那么b=2(s-a),故A项错误;B项,如果12x=6,那么x=12,故B项错误;D项,如果mx=my,且m=0,那么x与y不一定相等,故D项错误.故选C.
?
易错点1 利用等式的性质对等式变形时出错
本题易忽略m可能为0,导致错选D.对等式的性质要理解并熟练掌握,尤其是在等式两边同时除以一个数或式子时,要保证除数不为0.
3.解方程:2x-1=5x-3.
答案
3.【解析】　移项,得2x-5x=-3+1,
合并同类项,得-3x=-2,
系数化为1,得x=23.
?
错解:移项,得2x+5x=-3-1,合并同类项,得7x=-4,系数化为1,得x=-47.
分析:移项时,出现了不变号的错误,产生错误的主要原因是对等式的性质了解不透彻.
?
易错点2 移项或去括号时弄错符号
4.解方程:2(3x-1)-(5x+12)=4.
答案
4.【解析】　去括号,得6x-2-5x-12=4,
移项、合并同类项,得x=18.
易错点2 移项或去括号时弄错符号
错解:去括号,得6x-1-5x+12=4,移项、合并同类项,得x=-7.
分析:错在两个方面,一是去括号时,括号前面是负号,只改变括号里第一项的符号,后面的项忘记变号;二是去括号利用分配律时,漏乘括号中的项.
5.解方程:12x-3=-13x+1.
?
答案
5.【解析】　移项,得12x+13x=3+1,
合并同类项,得56x=4,
系数化为1,得x=245.
?
易错点3 系数化为1时出错
错解:移项,得12x+13x=3+1,合并同类项,得56x=4,系数化为1,得x=103.
分析:在系数化为1时,方程的两边应同时除以未知数的系数(或同时乘未知数系数的倒数),即应同时除以56(或同时乘65),但这里却同时除以65(或同时乘56),故出错.
?
6.下列方程去分母正确的是 (　 　)
A.由????2?????+14=1,得2x-x+1=4
B.由????2?????+14=1,得2x-x-1=1
C.由16??????13=1,得1-2x+2=6
D.由16??????13=1,得1-2x+1=6
?
答案
6.C
易错点4 去分母时漏乘或忘记加括号
7.解方程:2x-3????+22=1.
?
答案
7.【解析】　去分母,得4x-(3x+2)=2,
去括号,得4x-3x-2=2,
移项、合并同类项,得x=4.
易错点4 去分母时漏乘或忘记加括号
错解:去分母,得4x-3x+2=2,移项、合并同类项,得x=0.
分析:分数线除了表示除法外,还有括号的作用,实际上 3x+2是一个整体,去分母后,因前面是“-”号,故应加上括号.
8.解方程:?????20.2?????+10.5=3.
?
答案
8.【解析】　将分母中的小数化为整数,得10(?????2)2?10(????+1)5=3,
化简,得5(x-2)-2(x+1)=3,
去括号,得5x-10-2x-2=3,
移项,得5x-2x=3+10+2,
合并同类项,得3x=15,
系数化为1,得x=5.
?
易错点4 去分母时漏乘或忘记加括号
答案
易错点4 去分母时漏乘或忘记加括号
错解:将分母中的小数化为整数,得?????22?????+15=30,去分母,得5(x-2)-2(x+1)=30,去括号,得5x-10-2x-2=30,移项,得5x-2x=30+
10+2,合并同类项,得3x=42,系数化为1,得x=14.
分析:(1)利用分数的基本性质把分母中的小数化为整数,是单一的一个分数的分子、分母同时乘以或除以一个不为0的数,而不是整个方程的左、右两边同时乘以或除以一个不为0的数;(2)去分母是根据等式的性质2,方程的左、右两边同时乘以或除以一个不为0的数,而不是一个单一分数的分子、分母同时乘以或除以一个不为0的数.
?
3　应用一元一次方程——
水箱变高了
1.根据图中的信息,可得正确的方程为 (　 　)
A.π×(82)2x=π×(62)2×(x+5)
B.π×(82)2x=π×(62)2×(x-5)
C.π×82x=π×62×(x-5)
D.π×82x=π×62×5
?
答案
1.A　【解析】　根据圆柱的体积公式求得大量筒中的水的体积为π×(82)2x cm3,小量筒中的水的体积为π×(62)2×
(x+5)cm3,根据等量关系列方程,得π×(82)2x=π×(62)2×(x+5).故选A.
?
知识点1　等积变形问题
2.[2019山东青岛市南区期末]一个底面半径为10 cm、高为30 cm的圆柱形大杯中存满了水,把水倒入底面直径为
10 cm的圆柱形小杯中,刚好倒满12杯,则小杯的高为 (　 　)
A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm
答案
2.C　【解析】　设小杯的高为x cm,根据题意得,π×102×30=π×(10÷2)2×x×12,解得x=10,所以小杯的高为10 cm.故
选C.
知识点1　等积变形问题
3.[2020山东青岛城阳区期末]将一个底面直径是10 cm、高为40 cm的圆柱锻压成底面直径为16 cm的圆柱,则锻压后圆柱的高为 cm.(忽略锻压过程的损耗)?
答案
3.15.625　【解析】　设锻压后圆柱的高为x cm,由题意得,π(162)2·x=π(102)2×40,解得x=15.625,所以锻压后圆柱的高为15.625 cm.
?
知识点1　等积变形问题
4.有一个长、宽、高分别是15 cm、10 cm、30 cm的长方体钢锭,现将它锻压成一个底面为正方形的长方体钢锭,且底面正方形的边长为15 cm,求锻压后的长方体钢锭的高.(忽略锻压过程的损耗)
答案
4.【解析】　设锻压后的长方体钢锭的高为x cm,
根据题意,得15×10×30=15×15×x,
解得x=20.
答:锻压后的长方体钢锭的高为20 cm.
知识点1　等积变形问题
5.用7.8米长的铁丝做一个长方形框架,使长比宽多1.2米,求这个长方形框架的宽.设长方形的宽是x米,可列方程为 (　 　)
A.x+(x+1.2)=7.8
B.x+(x-1.2)=7.8
C.2[x+(x+1.2)]=7.8
D.2[x+(x-1.2)]=7.8
答案
5.C　【解析】　由题意,得长方形的长为(x+1.2)米.根据长方形的周长=2×(长+宽),可列方程为2[x+(x+1.2)]=7.8.故
选C.
知识点2 等长变形问题
6.小明用长为16 cm的铁丝围成一个长方形,并且长方形的长比宽多2 cm.设这个长方形的长为x cm,则x等于 (　 　)
A.9 B.5 C.7 D.10
答案
6.B　【解析】　根据题意,得2(x+x-2)=16,解得x=5.故选B.
知识点2 等长变形问题
7.把一个由铁丝围成的长为8、宽为6的长方形改成一个正方形,则这个正方形与原来的长方形相比 (　 　)
A.面积与周长都不变
B.面积相等但周长发生变化
C.周长相等但面积发生变化
D.面积与周长都发生变化
答案
7.C　【解析】　由题意,知长方形的面积为48,周长为28;正方形的周长等于长方形的周长,所以边长为7,面积为49.故选C.
知识点2 等长变形问题
8.如图所示是用铁丝围成的一个梯形,将其改成一个长和宽之比为2∶1的长方形,求该长方形的面积.
答案
8.【解析】　设长方形的宽为x,则长为2x.
由题意,得2(x+2x)=5+6+9+13,
解这个方程,得x=5.5,所以2x=11.
所以该长方形的面积为11×5.5=60.5.
答:该长方形的面积为60.5.
知识点2 等长变形问题
1.现有一个如图1所示的密封玻璃器皿,测得其底面直径为20 cm,高为20 cm,装有蓝色溶液若干.当如图2放置时,测得液面高为10 cm;当如图3放置时,测得液面高为16 cm,则该密封玻璃器皿总容积(结果保留π)为 (　 　)
A.1 250π cm3 B.1 300π cm3
C.1 350π cm3 D.1 400π cm3
答案
1.D　【解析】　设该器皿的总容积为V cm3,根据圆柱的体积公式,以及题图2和题图3中的溶液体积相等,可得π×
(202)2×10=V-π×(202)2×(20-16),解得V=1 400 π.故选D.
?
2.有一位工人师傅要锻造底面直径为40 cm的“矮胖”形圆柱,可他手上只有底面直径是10 cm、高为80 cm的“瘦长”形圆柱,若不计损耗,则锻造出的“矮胖”形圆柱的高为 cm.?
答案
2.5　【解析】　圆柱的形状由“瘦长”变成“矮胖”,底面直径和高都发生了变化,在不计损耗的情况下,体积是不变量,即锻造前的体积=锻造后的体积.设锻造出的“矮胖”形圆柱的高为x cm,根据题意,得π×(102)2×80=π×(402)2×x,解得x=5.所以“矮胖”形圆柱的高为5 cm.
?
3.[2020江苏常州期末]用五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形,若大长方形的周长是32 cm,则小长方形的面积是 cm2.?
答案
3.12　【解析】　设小长方形的宽为x cm,则由题图可知小长方形的长为3x cm,根据题意,得2(3x+2x+3x)=32,解得x=2,所以小长方形的面积为6×2=12(cm2).
4.两根一样长的蜡烛,粗蜡烛能燃烧6小时,细蜡烛能燃烧4小时,一次停电同时点燃一粗一细两根蜡烛,来电后同时熄灭,结果发现粗蜡烛剩余长度是细蜡烛剩余长度的2倍,则停电了多长时间?
答案
4.【解析】　设停电时间为x小时,
根据题意,得1-????6=(1-????4)×2,解得x=3.
答:停电时间为3小时.
?
5.用80 m的篱笆围成一个长方形场地.
(1)如果宽是长的35,求这个长方形的长和宽;
(2)如果长比宽多6 m,求这个长方形的面积;
(3)如果一边靠墙,墙长为32 m,长比宽多11 m(长边与墙平行),这样设计是否可行?请说明理由.
?
答案
5.【解析】　(1)设长方形的长为x m,则宽为35x m,
根据题意,得2(x+35x)=80,
解得x=25,则35x=15,
所以长方形的长是25 m,宽是15 m.
?
答案
(2)设长方形的长是y m,则宽是(y-6)m,
根据题意,得2(y+y-6)=80,
解得y=23,则y-6=17,
所以长方形的面积为23×17=391(m2).
(3)这样设计不可行.理由如下:
设这个长方形的长为z m,则宽为(z-11)m,
根据题意,得z+2(z-11)=80,
解得z=34.
因为34>32,所以这样设计不可行.
6.如图,长方形MNPQ是市民健身广场的平面示意图,它是由6个正方形拼成的长方形,已知中间最小的正方形A的边长是1.试计算长方形MNPQ的面积.
答案
6.【解析】　设正方形F的边长为x,则正方形E的边长为x,正方形D的边长为x+1,正方形C的边长为x+2,正方形B的边长为x+3,
所以长方形MNPQ的长为3x+1,宽为2x+3.
根据题图,得2x-1=x+3,解得x=4.
当x=4时,3x+1=3×4+1=13,2x+3=2×4+3=11,
所以长方形MNPQ的面积为13×11=143.
答:长方形MNPQ的面积为143.
4　应用一元一次方程——
打折销售
1.[2020湖南长沙雨花区期末]一双鞋子先按成本提高50%标价,再以8折出售,结果获利25元,设每双鞋子的成本是x元,根据题意可得方程为 (　 　)
A.(1+50%)x×80%=x-25
B.(1+50%)x×80%=x+25
C.(1+50%x)×80%=x-25
D.(1+50%x)×80%=x+25
答案
1.B　【解析】　由题可知,每双鞋子的标价为(1+50%)x元,售价为(1+50%)x×80%元,因为售价=成本+利润,所以可得方程(1+50%)x×80%=x+25.故选B.
知识点1　打折销售问题
2.[2019辽宁阜新中考]某种衬衫因换季打折出售,如果按原价的6折出售,那么每件赔本40元;如果按原价的9折出售,那么每件盈利20元.则这种衬衫的原价是 (　 　)
A.160元 B.180元
C.200元 D.220元
答案
2.C　【解析】　设这种衬衫的原价是x元,依题意,得0.6x+40=0.9x-20,解得x=200.故选C.
知识点1　打折销售问题
3.[2019甘肃兰州期末]某商品的标价是132元,若以标价的9折销售,仍可获利10%,则该商品的进价为 (　 　)
A.105元 B.108元
C.110元 D.118元
答案
3.B　【解析】　设该商品的进价为x元,根据题意,得132×0.9-x=10%x,解得x=108,即该商品的进价为108元.故选B.
知识点1　打折销售问题
4.[2019山东滨州期末]某商店出售两件衣服,都卖了200元,其中一件赚了25%,而另一件赔了20%,那么商店在这次交易中 (　 　)
A.亏了10元
B.赚了10元
C.赚了20元
D.亏了20元
答案
4.A　【解析】　设其中一件衣服的进件为x元,另一件衣服的进价为y元,根据题意,得x(1+25%)=200,y(1-20%)=200,解得x=160,y=250,所以(200+200)-(160+250)=-10(元),所以商店这次交易亏了10元.故选A.
知识点1　打折销售问题
5.某购物中心举行优惠活动,规定:一次性购物不超过200元(包括200元)的不优惠;超过200元的,全部按8折优惠.小丽买了一件服装,付款180元,这件服装的标价为(　 　)
A.180元
B.200元
C.225元
D.180元或225元
答案
5.D　【解析】　分两种情况:第一种,小丽购买的服装价格没有超过200元,付款价格就是标价180元;第二种,小丽购买的服装价格超过200元,设标价为x元,则0.8x=180,解得x=225.故选D.
知识点1　打折销售问题
6.[2020广东肇庆一模]为配合枣庄市“我读书,我快乐”读书节活动,某书店推出一种优惠卡,每张卡售价20元,凭卡购书可享受8折优惠.小丽同学到该书店购书,她先买优惠卡再凭卡付款,结果节省了10元.若此次小丽同学不买卡直接购书,则她需付款 元.?
答案
6.150　【解析】　设她若不买卡直接购书需付款x元,根据题意,得x-(0.8x+20)=10,解得x=150,所以她若不买卡直接购书需付款150元.
知识点1　打折销售问题
7.某商品的价格标签丢失,售货员只知道“它的进价为80元,打7折售出后,仍可获利5%”.你认为售货员应标在标签上的价格为 元.?
答案
7.120　【解析】　设售货员应标在标签上的价格为x元,依据题意,得70%x=80×(1+5%),解得x=120.所以售货员应标在标签上的价格为120元.
知识点1　打折销售问题
8.[2020河南平顶山期末]一鞋店老板以每双60元的价格购进了一种品牌的布鞋360双,并以每双100元的价格销售了240双,冬季来临,老板为了清库存,决定降价销售.则每双鞋降价多少元时,销售完这批鞋正好能达到盈利50%的目标?
答案
8.【解析】　设每双鞋降价x元,
依题意,得(100-60)×240+(100-x-60)×(360-240)=360×60×50%.
解得x=30.
答:每双鞋降价30元时,销售完这批鞋正好能达到盈利50%的目标.
知识点1　打折销售问题
9.[2018吉林长春中考]学校准备添置一批课桌椅,原计划订购60套,每套100元.店方表示:如果多购,可以优惠.结果校方实际订购了72套,每套减价3元,但商店获得了同样多的利润.
(1)求每套课桌椅的成本;
(2)求商店获得的利润.
答案
9.【解析】　(1)设每套课桌椅的成本为x元,
根据题意得,60(100-x)=72(100-3-x),
解得x=82.
答:每套课桌椅的成本为82元.
(2)60×(100-x)=60×(100-82)=1 080(元).
答:商店获得的利润为1 080元.
知识点1　打折销售问题
10.某储户去年8月份存入定期为1年的人民币5 000元,存款年利率为3.5%,设到期后银行应向储户支付现金x元,则所列方程正确的是 (　 　)
A.x-5 000=5 000×3.5%
B.x+5 000=5 000×3.5%
C.x+5 000=5 000×(1+3.5%)
D.x+5 000×3.5%=5 000
答案
10.A
知识点2 储蓄问题
11.将一笔资金按1年定期存入某银行,已知该银行的年利率为2.2%,到期支取时,得本息和共计7 154元,则该笔资金为 (　 　)
A.6 000元 B.6 500元
C.7 000元 D.7 100元
答案
11.C　【解析】　设该笔资金为x元,由题意,得(1+2.2%)x=7 154,解得x=7 000,所以该笔资金为7 000元.故选C.
知识点2 储蓄问题
12.[2020河北邯郸期末]李阿姨买入某种债券2 000元,定期一年,到期扣除20%的利息税后得到本息和共2 048元,则该种债券的年利率为 .?
答案
12.3%　【解析】　设这种债券的年利率为x,则到期后李阿姨获得的利息为2 000x元,因为要扣除20%的利息税,所以本息和为2 000+2 000x(1-20%),由题意可列出方程为2 000+2 000x(1-20%)=2 048,整理,得2 000+1 600x=2 048,解得x=3%.
知识点2 储蓄问题
1.某件商品原价为50元,“双十一”期间按原价的9折促销.活动结束又提价后,每件商品的售价为54元,则提价的百分率为 (　 　)
A.120% B.20%
C.18% D.118%
答案
1.B　【解析】　设提价的百分率为x,则50×0.9(1+x)=54,解得x=20%.故选B.
2.一家商店因换季将某种服装打折销售,如果每件服装按标价的5折出售将亏本20元,按标价的8折出售将赚40元.为了保证不亏本,最多可以打 (　 　)
A.6折 B.6.5折 C.7折 D.7.5折
答案
2.A　【解析】　设该服装的标价为x元,根据题意得0.5x+20=0.8x-40,解得x=200,(0.8×200-40)÷200=0.6,所以为保证不亏本,最多能打6折.故选A.
3.[2020湖北武汉硚口区期末]一商店以每件a元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利25%,另一件亏损25%,卖出这两件衣服总共亏损4元,则a的值为 (　 　)
A.30 B.40 C.50 D.60
答案
3.A　【解析】　依题意,得2a- ????1+25%- ????1?25%=-4,解得a=30.故选A.
?
4.某商品的进价为1 000元/件,售价为1 500元/件,由于销售情况不好,决定降价出售,但又要保证利润率不低于5%,则每件此商品最高降价 元出售.?
答案
4.450　【解析】　设每件此商品最高降价x元出售,则(1 500-x)-1 000=1 000×5%,解得x=450,所以每件此商品最高降价450元出售.
5.某商场为了促销新款摩托车,决定元旦期间购买该车者可以分两次付款:在购买时先付一笔款,余下部分及它的利息(年利率为5.6%)在次年元旦付清.已知该摩托车的售价为8 224元/辆,若购车者购买一辆摩托车且两次付款恰好相同,则每次应付款多少元?
答案
5.【解析】　设购车者第一次付款x元,则付款后余款为(8 224-x)元,一年后第二次应付款(8 224-x)(1+5.6%)元.
根据题意,得x=(8 224-x)(1+5.6%),
解得x=4 224.
答:购车者每次应付款4 224元.
6.试根据图中信息,解答下列问题.
(1)一次性购买6根跳绳需 元,一次性购买12根跳绳需 元;?
(2)小红比小明多买了2根,付款时小红反而比小明少付5元,你认为有这种可能吗?若有,请求出小红购买跳绳的根数;若没有,请说明理由.
答案
6.【解析】　(1)150　240
(2)有这种可能.
设小红购买了x根跳绳,则小明购买了(x-2)根跳绳,
显然x大于等于10,x-2小于10,
则有25×0.8x=25(x-2)-5,
解得x=11.
经检验,x=11满足题意.
故小红购买了11根跳绳.
7.某牛奶加工厂现有鲜奶8吨,若在市场上直接销售鲜奶(每天可销售8吨),每吨可获利润500元;若制成酸奶销售,每加工1吨鲜奶可获利润1 200元;若制成奶片销售,每加工1吨鲜奶可获利润2 000元.该厂的生产能力是:若制酸奶,每天可加工3吨鲜奶;若制奶片,每天可加工1吨鲜奶.受人员和设备限制,两种加工方式不可同时进行,受气温条件限制,这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕.
(1)某数学小组设计了三种加工、销售方案.
方案一:不加工直接在市场上销售.
方案二:全部制成酸奶销售.
方案三:尽可能多的制成奶片销售,来不及制成奶片的鲜奶直接在市场上销售.
通过计算说明哪种方案获利最多.
(2)是否还有更好的一种加工、销售方案,使这8吨鲜奶既能在4天内全部销售或加工完毕,又能获得你认为最多的利润?
答案
7.【解析】　(1)方案一:500×8=4 000(元).
方案二:1 200×8=9 600(元).
方案三:2 000×4+500×4=10 000(元).
故方案三获利最多.
(2)设有x天生产酸奶,(4-x)天生产奶片.
根据题意,得3x+(4-x)=8,
解得x=2.
则1 200×2×3+2 000×(4-2)=11 200(元).
答:用2天加工酸奶,2天加工奶片,获得的利润最多.
5　应用一元一次方程——
“希望工程”义演
1.某地区动用15台挖土、运土机械,挖沟筑渠,引水灌溉.每台机械每小时能挖土30 m3或运土20 m3,为了使挖土和运土工作同时结束,安排了x台机械挖土,则可列方程为 (　 　)
A.30x-20x=15
B.30x=20(15-x)
C.20x=30(15-x)
D.30x+20x=15
答案
1.B　【解析】　因为安排了x台机械挖土,所以安排(15-x)台机械运土.每台机械每小时能挖土30 m3或运土20 m3,则每小时总挖土量是30x,总运土量是20(15-x),为了使挖土和运土工作同时结束,则每小时总挖土量=每小时总运土量,即30x=20(15-x).故选B.
知识点1　调配问题
2.[2020云南昆明呈贡区期末]某车间有27名工人,每人每天可以生产22个螺母或16个螺栓,1个螺栓配2个螺母,为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套,则应分配 名工人生产螺栓.?
答案
2.11　【解析】　设分配x名工人生产螺栓,根据题意,得2×16x=22(27-x),解得x=11,所以应分配11名工人生产螺栓.
知识点1　调配问题
3.某公司积极开展“爱心扶贫”公益活动,现准备将6 000件生活用品发往A,B两个贫困地区,其中发往A地区的比B地区的1.5倍少1 000件,则发往A地区的生活用品为 件.?
答案
3.3 200　【解析】　设发往B地区的生活用品为x件,则发往A地区的生活用品为(1.5x-1 000)件,根据题意,得x+1.5x-
1 000=6 000,解得x=2 800,所以1.5x-1 000=3 200,所以发往A地区的生活用品为3 200件.
知识点1　调配问题
4.校团委组织65名新团员为学校建花坛搬砖,女同学每人每次搬6块,男同学每人每次搬8块,每人搬了4次,共搬了1 800块,则这些新团员中有 名男同学.?
答案
4.30　【解析】　设新团员中有x名男同学,则有(65-x)名女同学,由题意,得4×8x+4×6×(65-x)=1 800,解得x=30,所以新团员中有30名男同学.
知识点1　调配问题
5.在甲处工作的有27人,在乙处工作的有19人,现另外调20人去支援,使在甲处工作的人数是乙处的2倍,则往甲处调
人,往乙处调 人.?
答案
5.17　3　【解析】　设往甲处调x人,则往乙处调(20-x)人.由题意,得27+x=2[19+(20-x)],解得x=17,则20-x=3,所以往甲处调17人,往乙处调3人.
知识点1　调配问题
6.[2020湖北孝感期末]我市某服装厂要生产一批校服,已知每3 m的布料可做上衣2件或裤子3条,因裤子旧得快,所以要求1件上衣和2条裤子配一套,现计划用1 008 m的布料加工成校服,应如何安排布料加工上衣和裤子才能刚好配套?且能加工多少套校服?
答案
6.【解析】　设用x m布料加工上衣,则用(1 008-x)m布料加工裤子,
由题意,得????3×2×2=1?008?????3×3,
解得x=432,
所以1 008-x=1 008-432=576,
????3×2=288.
答:安排432 m布料加工上衣,576 m布料加工裤子才能刚好配套,能加工288套校服.
?
知识点1　调配问题
7.[2020四川绵阳期末]某中学的学生自己动手整修操场,如果让七年级学生单独工作,需要7.5 h完成;如果让八年级学生单独工作,需要5 h完成.若先让七、八年级学生一起工作1 h,再由八年级学生单独完成剩余的部分.设一共需要x小时完成,则所列的方程为 (　 　)
A.1-????5=17.5+15
B.17.5+15+????5=1
C.1+????5=1-17.5
D.17.5+????5=1
?
答案
7.D
知识点2 工程问题
8.一项工程甲单独做50天可完成,乙单独做75天可完成,现在两个人合作,但是中途乙因事离开几天,完成这项工程共用了40天,则乙中途离开了 (　 　)
A.10天 B.20天 C.30天 D.25天
答案
8.D　【解析】　设乙中途离开了x天,根据题意,得150×40+ 175×(40-x)=1,解得x=25,所以乙中途离开了25天.故选D.
?
知识点2 工程问题
9.有一项工程,由甲、乙两个工程队共同合作完成,工期不得超过30天.已知甲队单独做需要50天完成,乙队单独做需要45天完成,现甲、乙合作20天后,甲队有任务调离,由乙队单独工作,则此工程是否能如期完工?
答案
9.【解析】　设乙队还需要单独工作x天完成工程,
由题意,得(150+145)×20+????45=1,
解得x=7.
20+7=27<30.
答:此工程能如期完工.
?
知识点2 工程问题
10.[2019安徽中考]为实施乡村振兴战略,解决某山区老百姓出行难的问题,当地政府决定修建一条高速公路.其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工.甲工程队独立工作2天后,乙工程队加入,两工程队又联合工作了1天,这3天共掘进26米.已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米,按此速度完成这项隧道贯穿工程,甲乙两个工程队还需联合工作多少天?
答案
10.【解析】　设甲工程队每天掘进x米,则乙工程队每天掘进(x-2)米.
根据题意,得3x+(x-2)=26,解得x=7,
则x-2=7-2=5,
(146-26)÷(7+5)=10.
答:甲、乙两个工程队还需联合工作10天.
知识点2 工程问题
1.已知9人用14天完成了一件工作的35,且每个人的工作效率相同,若剩下的工作要在4天完成,则需增加的人数是(　 　)
A.11 B.12 C.13 D.14
?
答案
1.B　【解析】　根据9人用14天完成了一件工作的35,可知每人每天完成该件工作的35×19×114=1210,设需要增加x人,根据题意得1210×4×(9+x)=1-35,解得x=12.故选B.
?
2.一个大人一餐能吃4个面包,两个小孩一餐共吃1个面包.现有大人和小孩共7人,一餐共吃14个面包,则大人有 个,小孩有 个.?
答案
2.3　4　【解析】　设大人有x个,则小孩有(7-x)个,由题意得4x+(7-x)×12=14,解得x=3,则7-x=4.
?
3.某机械厂加工车间有85名工人,平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个,已知2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成一套,那么需要安排 名工人加工大齿轮, 名工人加工小齿轮,才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套.?
答案
3.25　60　【解析】　 设需要安排x名工人加工大齿轮,则安排(85-x)名工人加工小齿轮,由题意得3×16x=2×10(85-x),解得x=25,则85-x=85-25=60.
4.某地居民生活用电基本价格为每千瓦时0.5元.规定每月基本用电量为a千瓦时,超过部分的电价比基本价格增加20%,某用户5月份用电100千瓦时,共缴电费56元,则a的值为 .?
答案
4.40　【解析】　根据题意,有0.5a+(100-a)(1+20%)×0.5=56,解得a=40.
5.一群学生参加夏令营活动,男生戴白色帽子,女生戴红色帽子,休息时他们坐在一起,大家发现了一个有趣的现象:每位男生看到的白色与红色的帽子一样多,而每位女生看到的白色帽子数量是红色的2倍.根据信息,这群学生共有
人.?
答案
5.7　【解析】　设有女生x人,则男生(x+1)人,根据题意,得x+1=2(x-1),解得x=3,所以女生3人,男生4人,共7人.
6.某班组织春游,A,B两个景点每人任选一处.去A景点的每人付费20元,去B景点的每人付费30元.全班共付费 1 200 元.
(1)若去A,B两景点的人数相等,则该班有学生多少人?
(2)若去B景点的人数比去A景点的多5人,则去A,B两景点的学生各多少人?
答案
6.【解析】　(1)设该班有学生x人,
根据题意,得12x×20+12x×30=1 200,
解得x=48.
答:该班有学生48人.
(2)设去A景点的有y人,则去B景点的有(y+5)人,
根据题意,得20y+30(y+5)=1 200,
解得y=21,则y+5=26.
答:去A景点的有21人,去B景点的有26人.
?
7.[2020广东深圳光明区期末]为了资源再利用,学校计划对库存的桌椅进行维修,现有甲、乙两个木工组,甲组每天修桌椅10套,乙组每天比甲组多修5套,甲组单独修完这些桌椅比乙组单独修完多用5天.甲组每天维修费为200元,乙组每天维修费为300元.
(1)求学校库存多少套桌椅.
(2)在修理过程中,学校要派一名工人进行质量监督,并付他每天80元的生活补助费.现有三种修理方案:
①由甲组单独修理;②由乙组单独修理;③甲、乙合作同时修理.
你认为哪种方案最划算?请说明理由.
答案
7.【解析】　(1)设学校库存x套桌椅,
依题意,得????10?????10+5=5,解得x=150.
答:学校库存150套桌椅.
(2)方案③最划算.理由如下:
方案①所需费用为(200+80)×15010=4 200(元);
方案②所需费用为(300+80)×15010+5=3 800(元);
方案③所需费用为(200+300+80)×15010+10+5=3 480(元).
因为4 200>3 800>3 480,
所以方案③最划算.
?
8.甲、乙两人想共同承包一项工程,甲单独做30天完成,乙单独做20天完成.合同规定15天完成,否则每超过1天罚款
1 000元.甲、乙两人商量后签了该合同.
(1)正常情况下,两人能否履行该合同?为什么?
(2)现两人合作完成了该项工程的75%,因别处有急事,必须调走1人.若调走甲,能否履行该合同?若调走乙呢?
答案
8.【解析】　(1)能.理由如下:
设甲、乙合作需要x天完成.
由题意,得(130+120)x=1,
解得x=12.
因为12<15,所以甲、乙两人能履行该合同.
?
答案
(2)若调走甲,能履行该合同.
设两人合作完成该项工程的75%用了y天.
由题意,得(130+120)y=34,
解得y=9.
剩下的由乙单独做需要的时间是14÷120=5(天).
因为9+5=14<15,
所以调走甲,能履行该合同.
若调走乙,不能履行该合同.
因为剩下的由甲单独做需要的时间是14÷130=7.5(天),
而9+7.5=16.5>15,
所以调走乙,不能履行该合同.
?
6　应用一元一次方程——
追赶小明
1.[2020辽宁沈阳铁西区期末]A,B两地相距75 km,一辆公交车从A地出发,以30 km/h的速度驶向B地;一辆小轿车从B地出发,以45 km/h的速度沿同一条道路驶向A地.若小轿车从B地出发20 min后,公交车从A地出发,两车相向而行,求公交车出发几小时后两车相遇.
答案
1.【解析】　设公交车出发x h后两车相遇,
根据题意得,30x+45(x+13)=75,
解得x=0.8.
答:公交车出发0.8 h后两车相遇.
?
知识点1　相遇问题
2.[2019北京大兴区期末]甲、乙两城相距1 120 km,一列快车从甲城出发开往乙城,行驶120 km后,另一列动车从乙城出发开往甲城,动车出发2 h后与快车相遇,若快车每小时行驶的路程比动车每小时行驶的路程的一半多5 km,则动车平均每小时行驶多少千米?
答案
2.【解析】　设动车平均每小时行驶x km,则快车平均每小时行驶(12x+5)km,
根据题意,得120+2x+2(12x+5)=1 120,
解得x=330.
答:动车平均每小时行驶330 km.
?
知识点1　相遇问题
3.甲、乙两人练习赛跑,甲每秒跑7 m,乙每秒跑5 m,甲让乙先跑8 m,设x秒后甲可追上乙,下列四个方程中,不正确的是 (　 　)
A.7x=5x+8 B.7x+8=5x
C.(7-5)x=8 D.5x=7x-8
答案
3.B
知识点2 追及问题
4.甲、乙两人环湖同向行走,环湖一周是400米,乙每分钟走160米,甲的速度是乙的54倍,现在甲在乙的前面,且两人相距100米,则多少分钟后甲追上乙?
?
答案
4.【解析】　设x分钟后甲追上乙,
根据题意,得160×54x-160x=400-100,
解得x=7.5.
答:7.5分钟后甲追上乙.
?
知识点2 追及问题
5.一队学生去校外进行军事野营训练,他们以5千米/时的速度行进,走了18分钟后,学校要将一个通知传达给队长,通讯员从学校出发,骑自行车以14千米/时的速度按原路追赶,多长时间可以追上学生队伍?
答案
5.【解析】　解法一　设通讯员x小时可以追上学生队伍,
根据题意,得14x=5×1860+5x,
解得x=16.
答:通讯员16小时可以追上学生队伍.
解法二　设通讯员x小时可以追上学生队伍,
根据题意,得(14-5)x=5×1860,
解得x=16.
答:通讯员16小时可以追上学生队伍.
?
知识点2 追及问题
6.轮船沿江从A港顺流行驶到B港,比从B港逆流返回A港少用3小时,若船在静水中的速度为26千米/时,水速为2千米/时,设A港与B港相距x千米,则根据题意可列出方程 (　 　)
A.????28=????24-3 B.????28=????24+3
C.????+226=?????226-3 D.?????226=????+226-3
?
答案
6.A　【解析】　根据题意,轮船顺流行驶的速度为28千米/时,顺流行驶的时间为????28 小时,逆流行驶的速度为24千米/时,逆流行驶的时间为????24 小时,因为顺流行驶比逆流行驶少用3小时,所以可列出方程为????28=????24-3.故选A.
?
知识点3 航行问题
7.一船在两码头之间航行,已知该船顺水航行需4小时到达,现在逆水航行4.5小时后还差8千米,水流速度为2千米/时,则两码头之间的距离为 千米.?
答案
7.80　【解析】　设船在静水中的速度为x千米/时,根据题意,得4(x+2)=4.5(x-2)+8,解得x=18,所以两码头之间的距离为4×(18+2)=80(千米).
知识点3 航行问题
8.某架飞机的油量最多够它在空中飞行4.6 h,飞机出发时顺风飞行,在静风中的速度为575 km/h,风速为25 km/h,这架飞机最远能飞出多远就应返回?
答案
8.【解析】　解法一　设这架飞机最远飞出x km就应返回.
根据题意,得????575+25+????575?25=4.6,
解得x=1 320.
答:这架飞机最远飞出1 320 km就应返回.
解法二　设飞机顺风飞行的时间为t h.
根据题意,得(575+25)t=(575-25)(4.6-t),
解得t=2.2,
所以(575+25)t=600×2.2=1 320.
答:这架飞机最远飞出1 320 km就应返回.
?
知识点3 航行问题
1.一条山路,某人从山下往山顶走3小时后还有1千米才到山顶,若从山顶走到山下只用150分钟,已知下山速度是上山速度的1.5倍,求山下到山顶的路程.设上山速度为每分钟x千米,则所列方程为 (　 　)
A.x-1=5×1.5x 　 B.3x+1=150×1.5x
C.3x-1=15060×1.5x 　 D.180x+1=150×1.5x
?
答案
1.D　【解析】　由题意,得下山速度为每分钟1.5x千米.上山的路程是(180x+1)千米,下山的路程是150×1.5x千米,因为上山的路程=下山的路程,所以180x+1=150×1.5x.故选D.
2.A,B两地相距450千米,甲、乙两车分别从A,B两地同时出发,相向而行.已知甲车速度为120千米/时,乙车速度为80千米/时,经过t小时两车相距50千米,则t的值是 .?
答案
2.2或2.5　【解析】　①当甲、乙两车未相遇时,根据题意,得120t+80t=450-50,解方程,得t=2;②当两车相遇后,又相距50千米时,根据题意,得120t+80t=450+50,解方程,得t=2.5.
3.某人开车从A地到B地,若每小时行驶40千米,就要比约定时间晚到半小时;若每小时行驶45千米,就可以比约定时间早到半小时,求A,B 两地的距离.
答案
3.【解析】　设A,B两地的距离为x千米,
若速度为40千米/时,则所用时间为????40 小时,
若速度为45千米/时,则所用时间为????45 小时,
因为早到与晚到之间相隔1小时,故有????40?????45=1,
解得x=360.
答:A,B两地的距离为360千米.
?
4.[2020山东青岛崂山区期末]某人乘船由A地顺流而下到达B地,然后又逆流而上到达C地(C在A,B之间,且在同一条直线上),共用了3小时.已知船在静水中的速度为8千米/时,水流速度为2千米/时.若AC两地之间的距离是2千米,则AB两地之间的距离是多少千米?
答案
4.【解析】　设AB两地之间的距离为x千米,则BC两地之间的距离为(x-2)千米.
根据题意,得????8+2+?????28?2=3,
解得x=252.
答:AB两地之间的距离为252 千米.
?
5.[2020江苏苏州姑苏区期末]已知高铁的速度比动车的速度快50 km/h,小路同学从苏州去某地游玩,若乘坐动车,则需要6 h才能到达;若乘坐高铁,则比乘坐动车节约72 min.求高铁的速度和苏州与该地之间的距离.
答案
5.【解析】　72 min=65 h,6-65=245(h).
设高铁的速度为x km/h,则动车的速度为(x-50)km/h.
依题意,得6(x-50)=245x,
解得x=250,
6(x-50)=6×(250-50)=1 200.
答:高铁的速度为250 km/h,苏州与该地之间的距离为1 200 km.
?
6.[2019广东广州荔湾区期末]为了参加2019年广州马拉松比赛,爸爸与小明在足球场进行耐力训练,他们在400 m的环形跑道上从同一起点沿同一方向同时出发进行绕圈跑,爸爸跑完一圈时,小明才跑完半圈,4 min时爸爸第一次追上小明,请问:
(1)小明与爸爸的速度各是多少?
(2)再过多少分钟,爸爸在第二次追上小明前两人相距50 m?
答案
6.【解析】　(1)设小明的速度为x m/min,则爸爸的速度为2x m/min,
根据题意,得4(2x-x)=400,
解得x=100,则2x=200.
答:小明的速度为100 m/min,爸爸的速度为200 m/min.
(2)设再过y min,爸爸在第二次追上小明前两人相距50 m,分两种情况:
①爸爸第一次追上小明后,爸爸又比小明多跑了50 m,
根据题意,得200y-100y=50,解得y=12.
②爸爸第一次追上小明后,爸爸又比小明多跑了350 m,
根据题意,得200y-100y=350,解得y=72.
答:再过12 min或72 min,爸爸在第二次追上小明前两人相距50 m.