中考冲刺：数学思想方法探究
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中考冲刺：数学思想方法探究
第一部分 讲解部分
一．专题诠释
数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。
抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．
二．解题策略和解法精讲
数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。
三．考点精讲
考点1：整体思想
整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。
整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。
例1．（2010湖北襄樊）已知：，
求的值．
【分析】先对所给的等式化简，可化出=1，然后化简所求代数式，再把的值整体代入求值即可．
【答案】解：
=
=
=
【评注】运用整体思想方法解题，要有强烈的整体意识，要认真分析问题的条件或结论的表达形式、内部结构特征，不拘泥于常规，不着眼于问题的各个组成部分，从整体上观察，从整体上分析。运用整体思想方法，往往能起到化繁为简，化难为易的效果。
考点2：转化思想
转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。
例2、（2010江苏苏州）如图，在等腰梯形中，．是边的中点，以为圆心，长为半径作圆，交边于点．过作，垂足为．已知与边相切，切点为．
⑴求证：；
⑵求证：；
⑶若，求的值．
【分析】（1）要证OE∥AB，通过求证∠B=∠OEC即可，从而把本题转化为有关角的证明的问题；
（2）连接OF，要说明，根据，所以只需证明四边形是平行四边形，本题转化为四边形的问题；
（3）连结，只要说明△EHB∽△DEC，根据相似三角形的性质和勾股定理解答．
【答案】⑴证明：在等腰梯形中，，
∴，∵，∴，，∴.
⑵证明：连结，∵与边相切，切点为，∴，
∵，∴，又∵，∴四边形为平行四边形，
∴.
⑶解：连结.∵是直径，∴则.
又∵，∴∽.
∴.∵，
设，则，，∴.
∴．
【评注】熟练、扎实的掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想，机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识的去发现事物之间的本质联系。“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙。
考点3：方程思想
从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。
用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。
例3、（2010 四川自贡）玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元。玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成。
（1）如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？
（2）如果从节约开支的角度考虑呢？请说明理由。
【分析】如果从节约时间角度来考虑，我们可以列出方程组求出甲乙单独做所用的时间即可，如果从节约经费考虑，求出他们各自单独做的周费用，再乘以他们所需时间即可．
【答案】解：（1）设甲公司的工作效率为m，乙公司的工作效率为n．
则，解得 ．
故从节约时间的角度考虑应选择甲公司．
（2）由（1）知甲、乙完成这次工程分别需10周、15周
设需付甲公司每周装修费x万元，乙公司y万元．
则 ， 解得 ，
此时 ，
故从节约开支的角度出发应选择乙公司．
【评注】方程是解决应用题、实际问题和许多方面的数学问题的重要基础知识，应用范围非常广泛。很多数学问题，特别是有未知数的几何问题，就需要用方程或方程组的知识来解决。具有方程思想就能够很好地求得问题中的未知元素或未知量，这对解决和计算有关的数学问题，特别是综合题，是非常需要的。
考点4：函数思想
函数思想是用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
所谓函数思想的运用，就是对于一个实际问题或数学问题，构建一个相应的函数，从而更快更好地解决问题。构造函数是函数思想的重要体现，运用函数思想要善于抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质。
例4、（2010山东潍坊）某中学的高中部在A校区，初中部在B校区，学校学生会计划在3月12日植树节当天安排部分学生到郊区公园参加植树活动，已知A校区的每位高中学生往返车费是6元，每人每天可栽植5棵数，B校区的每位初中学生往返的车费是10元，每人每天可栽植3棵数，要求初高中均有学生参加，且参加活动的初中学生比参加活动的高中学生多4人，本次活动的往返车费总和不超过210元，要使本次活动植树最多，初高中各位多少学生参加，最多植树多少棵？
【分析】设参加活动的高中生x人，初中生（x+4）人，本次活动植树总数为w，根据不等关系“初中生的往返车费+高中生的往返车费≤210”得出x的范围，再由等量关系“本次活动植树棵树=初中生植树棵树+高中生植树棵树”列出w关于x的函数，求得最大值．
【答案】解：设参加活动的高中生有x人，则初中生为（x＋4）人，
依题意，得6x＋10（x＋4）≤210，∴16x≤170，x≤10.625，
所以参加活动的高中学生最多为10人，
设本次活动植树为y棵，
则y与高中学生人数x之间的函数关系式为y＝5x＋3（x＋4）＝8x＋12，
∴y随着x的增大而增大，
∵参加活动的高中学生人数最多为10人，
当x＝10时，y最大＝8×10＋12＝92人．
答：应安排高中学生10人，初中学生14人，最多可植树92棵．
【评注】函数思想是函数概念、性质等知识更高层次的提炼和概括，是一种策略性的指导方法。运用函数思想通常是这样进行的：将问题转化为函数问题，建立函数关系，研究这个函数，得出相应的结论。
考点5：数形结合思想
数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想. 数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。
例5、（2010河南）如图，直线与反比例函数的图象交于A，B两点．
（1）求、的值；
（2）直接写出时x的取值范围；
（3）如图，等腰梯形OBCD中，BC//OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由．
【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数求得反比例函数的解析式，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求得a的值，再把点A，B的坐标代入一次函数解析式利用待定系数法求得k1的值．
（2）的x的范围，就是当y1＞y2时，自变量的x的范围，从图象上看：直线在双曲线上方，即x的范围是在点A、B的横坐标之间，这是“以形助数”．
（3）要判断PC和PE的大小关系，只需要分别求出它们的长度，“以数助形”．设点P的坐标为（m，n），易得C（m，3），点的坐标转化成线段长度CE=3，BC=m-2，OD=m+2，利用梯形的面积是12列方程，可求得m的值，从而求得点P的坐标，根据线段的长度关系可知PC=PE．
【答案】解：（1）由题意知 .
反比例函数的解析式为．
又在的图象上，．．
直线过，两点，
（2）的取值范围为
（3）当，．
设点的坐标为,
.
即．
．又．即．
．
【评注】 数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与几何图形的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。
考点6：分类讨论思想
在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．
例6、（2010浙江温州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，过点B作射线BBl∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF上AC交射线BB1于F，G是EF中点，连结DG．设点D运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，AD＝AB，并求出此时DE的长度；
（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值；
（3）以DH所在直线为对称轴，线段AC经轴对称变换后的图形为A′C′．
①当t＞时，连结C′C，设四边形ACC′A′ 的面积为S，求S关于t的函数关系式；
②当线段A′C′ 与射线BB1有公共点时，求t的取值范围（写出答案即可）．
【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求得AB的长，即可得到AD、t的值，从而确定AE的长，由DE=AE-AD即可得解．
（2）点D沿射线AC方向运动，根据点D的位置要分AD＞AE和AD＜AE两种情况，求得DE的表达式；要满足△DEG与△ACB相似，要分两种情况讨论：①AG：DE=DH：GE，②AH：EG=DH：DE．因此t值应该有4个．
（3）①根据轴对称的性质知：DH分别垂直平分AA′、CC′，则AA′∥CC′，显然AA′≠CC′，因此四边形ACC′A是个等腰梯形；首先用t表示出AD，易证得△ACB∽△AHD，根据得到的比例线段可求得AH、DH的表达式，在Rt△COD中，通过解直角三角形，可求得OD、OC的长，进而可求得梯形的高OH的值，而梯形的上下底分别是AH、OC的2倍，可根据梯形的面积公式求得S、t的函数关系式；
②此题只需分别考虑两种情况即可：
Ⅰ、A′落在BB′上时，此时A′、B重合，AA′=AB=5，根据①所得AA′的表达式即可求得t的值；
Ⅱ、C′落在BB′上时，在①已证得AB∥CC′，那么四边形ACC′B为平行四边形，即AB=CC′，根据①所得CC′的表达式即可求得t的值；
综合上面两种情况所得的t值，即可求得t的取值范围．
【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5．
∵AD=5t，CE=3t，∴当AD=AB时，5t=5，即t=1；
∴AE=AC+CE=3+3t=6，DE=6﹣5=1．
（2）∵EF=BC=4，G是EF的中点，∴GE=2．
当AD＜AE（即t＜）时，DE=AE﹣AD=3+3t﹣5t=3﹣2t，
若△DEG与△ACB相似，则或，
∴或，∴t=或t=；
当AD＞AE（即t＞）时，DE=AD﹣AE=5t﹣（3+3t）=2t﹣3，
若△DEG与△ACB相似，则或，
∴或，∴t=或t=；
综上所述，当t=或或或时，△DEG与△ACB相似．
（3）①由轴对称的性质变换得：AA′⊥DH，CC′⊥DH，则AA′∥CC′；
( http: / / www.m / )
易知OC≠AH，故AA′≠CC′，
∴四边形ACC′A是梯形；
∵∠A=∠A，∠AHD=∠ACB=90°，
∴△AHD∽△ACB，
∴，∵AD=5t，∴AH=3t，DH=4t．
∵sin∠ADH=sin∠CDO，
∴，即，∴CO=．
∴AA′=2AH=6t，CC′=2CO=．
∵OD=CD cos∠CDO=（5t﹣3）×=4t﹣，
∴OH=DH﹣OD=．
∴S=（AA′+CC′） OH=（6t+）×=t﹣．
②≤t≤；
当A′落在射线BB1上时（如图甲），AA′=AB=5，
∴6t=5，∴t=；
当点C′落在射线BB1上时（如图乙），易CC′∥AB；
故四边形ACC′B为平行四边形，
∴CC′=AB=5，
∴6t﹣=5，t=．
故≤t≤．
【评注】应用分类讨论思想解题，其关键是要弄清楚引起分类的原因，明确分类讨论的对象和标准，应该按可能出现的情况做出既不重复，又不遗漏，分门别类加以讨论求解，再将不同结论综合归纳，得出正确答案。
四．真题演练
1、（2010湖北荆门）试确定实数a的取值范围，使不等式组恰有两个整数解。
2、（2010广东深圳）如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，若∠MAC=∠ABC ．
（1）求证：MN是半圆的切线；
（2）设D是弧AC的中点，连结BD交AC 于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．
求证：FD＝FG．
（3）若△DFG的面积为4.5，且DG=3，GC=4，试求△BCG的面积．
3、（2010江苏徐州）如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点 M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P， 连接EP．
(1)如图②，若M为AD边的中点，
①△AEM的周长=_____cm；
②求证：EP=AE+DP；
(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合)，△PDM的周长是否发生变化 请说明理由．
4、（2010浙江杭州）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y =+1，点C的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB与y轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点P(t，0)在x轴上.
（1）写出点M的坐标；
（2）当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时.
① 求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；
② 当梯形CMQP的两底的长度之比为1：2时，求t的值.
真题演练答案
1、解：由不等式两边同乘以6得到3x+2（x+1）＞0，可以求出x＞－，由不等式两边都乘以3得到3x+5a+4＞4x+4+3a可以解出x＜2a，所以不等式组的解集为，因为该不等式组恰有有两个整数解，所以1＜2a≤2，所以＜a≤1。
2、解：（1）：∵AB是直径
∴∠ACB=90 ，∴∠CAB+∠ABC=90 ， ∵∠MAC=∠ABC
∴∠MAC+∠CAB=90 ，即MA⊥AB，∴MN是半圆的切线．
（2）连结AD，则∠1=∠2，
∵AB是直径，∴∠ADB=90
∴∠1+∠DGF=90 ，
又∵DE⊥AB ∴∠2+∠FDG=90 ，
∴∠FDG=∠FGD， ∴FD=FG．
（3）过点F作FH⊥DG于H，
又∵DF=FG ∴S△FGH=S△DFG=×4.5=，
∵AB是直径，FH⊥DG ∴∠C=∠FHG=90 ，
∵∠HGF=∠CGB，∴△FGH∽△BGC，
∴，
∴S△BCG=．
3、（1）①6.
②解法一：取EP的中点G，连接MG.
梯形AEPD中，∵M、G分别是AD、EP的中点，∴MG=.
由折叠，得∠EMP=∠B=90°，又G为EP的中点，∴MG=.
故EP=AE+DP.
解法二：设AE=xcm，则EM=(4-x)cm.
Rt△EAM中，由，可得，解得，即AE.
∵∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠PMD=90°，∴∠AEM=∠PMD.
又∵∠A=∠D=90°，∴△AEM∽△DMP.
∴，即DP=.
过点E作EQ⊥CD，垂足为点Q，得矩形AEQD,
∴EQ=AD=4,PQ=,,
故EP=AE+DP.
（2）△PMD的周长保持不变.
证明：设AM=xcm，则DM=(4-x)cm.
Rt△EAM中，由，可得AE=2-.
∵∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠PMD=90°，∴∠AEM=∠PMD.
又∵∠A=∠D=90°，∴△AEM∽△DMP.
∴，即，
∴=8cm.
故△PMD的周长保持不变.
4、(1) ∵OABC是平行四边形，∴AB∥OC，且AB = OC = 4，
∵A，B在抛物线上，y轴是抛物线的对称轴，
∴ A，B的横坐标分别是2和– 2，
代入y =+1得， A(2, 2 )，B(– 2，2)，
∴M (0，2)，
(2) ① 过点Q作QH x轴，设垂足为H， 则HQ = y ，HP = x–t ，
由△HQP∽△OMC，得：, 即： t = x – 2y ,
∵ Q(x,y) 在y = +1上，
∴ t = –+ x –2.
当点P与点C重合时，梯形不存在，此时，t = – 4，解得x = 1,
当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x = 2
∴x的取值范围是x 1, 且x 2的所有实数.
② 分两种情况讨论：
1）当CM > PQ时，则点P在线段OC上，
∵ CM∥PQ，CM = 2PQ ，
∴点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍，即2 = 2(+1)，解得x = 0 ，
∴t = –+ 0 –2 = –2 .
2）当CM < PQ时，则点P在OC的延长线上，
∵CM∥PQ，CM = PQ，
∴点Q纵坐标为点M纵坐标的2倍，即+1=22，
解得： x = .
当x = –时，得t = –––2 = –8 –,
当x=时， 得t =–8.
第二部分 练习部分
1、（2010新疆乌鲁木齐）已知整式的值为6，则的值为
A．9 B．12 C．18 D．24
2、（2010鄂尔多斯）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD的中点，EF∥AB交于点F。
（1）求证：BF=AD+CF。
（2）当AD=1，BC=7，且BE平分∠ABC时，求EF的长。
3、（2010 四川南充）如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC， OE＝BC．
（1）求∠BAC的度数．
（2）将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H．求证：四边形AFHG是正方形．
（3）若BD＝6，CD＝4，求AD的长．
4、（2010四川内江）一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜140吨，准备加工后进行销售，销售后获利的情况如下表所示：
销售方式 粗加工后销售 精加工后销售
每吨获利（元） 1000 2000
已知该公司的加工能力是：每天能精加工5吨或粗加工15吨，但两种加工不能同时进行.受季节等条件的限制，公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完.
⑴如果要求12天刚好加工完140吨蔬菜，则公司应安排几天精加工，几天粗加工？
⑵如果先进行精加工，然后进行粗加工.
①试求出销售利润W元与精加工的蔬菜吨数m之间的函数关系式；
②若要求在不超过10天的时间内，将140吨蔬菜全部加工完后进行销售，则加工这批蔬菜最多可获得多少利润？此时如何分配加工时间？
5、（2010山东临沂）如图，二次函数的图象与轴交于,两点，且与轴交于点.
（1）求该抛物线的解析式，并判断的形状；
（2）在轴上方的抛物线上有一点,且以四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出点的坐标；
（3）在此抛物线上是否存在点,使得以四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
练习部分答案
1、C
2、解：（1）如图，延长AD交FE的延长线于N
∵∠NDE=∠FCE=90°， ∠DEN=∠FEC，DE=EC，
∴△NDE≌△FCE，∴DN=CF，
∵AB∥FN，AN∥BF
∴四边形ABFN是平行四边形，∴BF=AD+DN=AD+FC
（2） ∵AB∥FN ，∴∠1=∠BEF，∵∠1=∠2 ，∴∠2=∠BEF
∴EF=BE， ∴EF=AD+CF=
3、（1）解：连结OB和OC．
∵ OE⊥BC，∴ BE＝CE．
∵ OE＝BC，∴ ∠BOC＝90°，∴ ∠BAC＝45°．
（2）证明：∵ AD⊥BC，∴ ∠ADB＝∠ADC＝90°．
由折叠可知，AG＝AF＝AD，∠AGH＝∠AFH＝90°， ∠BAG＝∠BAD，∠CAF＝∠CAD，∴ ∠BAG＋∠CAF＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝45°．
∴ ∠GAF＝∠BAG＋∠CAF＋∠BAC＝90°．∴ 四边形AFHG是正方形．
（3）解：由（2）得，∠BHC＝90°，GH＝HF＝AD，GB＝BD＝6，CF＝CD＝4．
设AD的长为x，则 BH＝GH－GB＝x－6，CH＝HF－CF＝x－4．
在Rt△BCH中，BH2＋CH2＝BC2，∴ （x－6）2＋（x－4）2＝102．
解得，x1=12，x2＝－2（不合题意，舍去）．∴ AD＝12．
4、解：⑴设应安排x天进行精加工，y天进行粗加工，
根据题意得：
解得
答：应安排4天进行精加工，8天进行粗加工．
⑵①精加工m吨，则粗加工（140－m）吨，根据题意得：
W＝2000m＋1000（140－m）
＝1000m＋140000 .分
②∵要求在不超过10天的时间内将所有蔬菜加工完，
∴＋≤10 解得 m≤5.
∴0＜m≤5.
又∵在一次函数W＝1000m＋140000中，k＝1000＞0，
∴W随m的增大而增大，
∴当m＝5时，Wmax＝1000×5＋140000＝145000.
∴精加工天数为5÷5＝1，
粗加工天数为（140－5）÷15＝9.
∴安排1天进行精加工，9天进行粗加工，可以获得最多利润为145000元．
5、解：根据题意，将A（,0）,B（2,0）代入y=-x2+ax+b中，
得解这个方程，得所以抛物线的解析式为y=-x2+x+1.
当x=0时，y=1.所以点C的坐标为（0，1）。
所以在△AOC中，AC==.在△BOC中，BC==.
AB=OA+OB=.因为AC2+BC2=.所以△ABC是直角三角形。
（2）点D的坐标是.
（3）存在。
由（1）知，AC⊥BC,
1 若以BC为底边，则BC∥AP,如图（1）所示，可求得直线BC的解析式为
.
直线AP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直线AP的解析式为，
将A（,0）代入直线AP的解析式求得b=,所以直线AP的解析式为.
因为点P既在抛物线上，又在直线AP上，所以点P的纵坐标相等，即-x2+x+1=.
解得（不合题意，舍去）.
当x=时，y=.
所以点P的坐标为（，）.
②若以AC为底边，则BP∥AC，如图（2）所示，可求得直线AC的解析式为
.
直线BP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直线BP的解析式为，
将B（2,0）代入直线BP的解析式求得b=-4,所以直线BP的解析式为y=2x-4.
因为点P既在抛物线上，又在直线BP上，所以点P的纵坐标相等，即-x2+x+1=2x-4
解得（不合题意，舍去）.
当x=-时，y=-9.
所以点P的坐标为（-，-9）.
综上所述，满足题目的点P的坐标为（，）或（-，-9）
M
N
A
E
D
C
G
B
F
M
N
A
E
D
C
G
B
2
F
H
3
1
A
F
C
D
E
G
H
B
O
A
F
C
D
E
G
H
B
O
A
F
C
D
E
G
H
B
O
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中考冲刺：数学思想方法探究
第一部分 讲解部分
一．专题诠释
数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。
抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．
二．解题策略和解法精讲
数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。
三．考点精讲
考点1：整体思想
整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。
整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。
例1．（2010湖北襄樊）已知：，
求的值．
【分析】先对所给的等式化简，可化出=1，然后化简所求代数式，再把的值整体代入求值即可．
【答案】解：
=
=
=
【评注】运用整体思想方法解题，要有强烈的整体意识，要认真分析问题的条件或结论的表达形式、内部结构特征，不拘泥于常规，不着眼于问题的各个组成部分，从整体上观察，从整体上分析。运用整体思想方法，往往能起到化繁为简，化难为易的效果。
考点2：转化思想
转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。
例2、（2010江苏苏州）如图，在等腰梯形中，．是边的中点，以为圆心，长为半径作圆，交边于点．过作，垂足为．已知与边相切，切点为．
⑴求证：；
⑵求证：；
⑶若，求的值．
【分析】（1）要证OE∥AB，通过求证∠B=∠OEC即可，从而把本题转化为有关角的证明的问题；
（2）连接OF，要说明，根据，所以只需证明四边形是平行四边形，本题转化为四边形的问题；
（3）连结，只要说明△EHB∽△DEC，根据相似三角形的性质和勾股定理解答．
【答案】⑴证明：在等腰梯形中，，
∴，∵，∴，，∴.
⑵证明：连结，∵与边相切，切点为，∴，
∵，∴，又∵，∴四边形为平行四边形，
∴.
⑶解：连结.∵是直径，∴则.
又∵，∴∽.
∴.∵，
设，则，，∴.
∴．
【评注】熟练、扎实的掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想，机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识的去发现事物之间的本质联系。“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙。
考点3：方程思想
从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。
用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。
例3、（2010 四川自贡）玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元。玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成。
（1）如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？
（2）如果从节约开支的角度考虑呢？请说明理由。
【分析】如果从节约时间角度来考虑，我们可以列出方程组求出甲乙单独做所用的时间即可，如果从节约经费考虑，求出他们各自单独做的周费用，再乘以他们所需时间即可．
【答案】解：（1）设甲公司的工作效率为m，乙公司的工作效率为n．
则，解得 ．
故从节约时间的角度考虑应选择甲公司．
（2）由（1）知甲、乙完成这次工程分别需10周、15周
设需付甲公司每周装修费x万元，乙公司y万元．
则 ， 解得 ，
此时 ，
故从节约开支的角度出发应选择乙公司．
【评注】方程是解决应用题、实际问题和许多方面的数学问题的重要基础知识，应用范围非常广泛。很多数学问题，特别是有未知数的几何问题，就需要用方程或方程组的知识来解决。具有方程思想就能够很好地求得问题中的未知元素或未知量，这对解决和计算有关的数学问题，特别是综合题，是非常需要的。
考点4：函数思想
函数思想是用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
所谓函数思想的运用，就是对于一个实际问题或数学问题，构建一个相应的函数，从而更快更好地解决问题。构造函数是函数思想的重要体现，运用函数思想要善于抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质。
例4、（2010山东潍坊）某中学的高中部在A校区，初中部在B校区，学校学生会计划在3月12日植树节当天安排部分学生到郊区公园参加植树活动，已知A校区的每位高中学生往返车费是6元，每人每天可栽植5棵数，B校区的每位初中学生往返的车费是10元，每人每天可栽植3棵数，要求初高中均有学生参加，且参加活动的初中学生比参加活动的高中学生多4人，本次活动的往返车费总和不超过210元，要使本次活动植树最多，初高中各位多少学生参加，最多植树多少棵？
【分析】设参加活动的高中生x人，初中生（x+4）人，本次活动植树总数为w，根据不等关系“初中生的往返车费+高中生的往返车费≤210”得出x的范围，再由等量关系“本次活动植树棵树=初中生植树棵树+高中生植树棵树”列出w关于x的函数，求得最大值．
【答案】解：设参加活动的高中生有x人，则初中生为（x＋4）人，
依题意，得6x＋10（x＋4）≤210，∴16x≤170，x≤10.625，
所以参加活动的高中学生最多为10人，
设本次活动植树为y棵，
则y与高中学生人数x之间的函数关系式为y＝5x＋3（x＋4）＝8x＋12，
∴y随着x的增大而增大，
∵参加活动的高中学生人数最多为10人，
当x＝10时，y最大＝8×10＋12＝92人．
答：应安排高中学生10人，初中学生14人，最多可植树92棵．
【评注】函数思想是函数概念、性质等知识更高层次的提炼和概括，是一种策略性的指导方法。运用函数思想通常是这样进行的：将问题转化为函数问题，建立函数关系，研究这个函数，得出相应的结论。
考点5：数形结合思想
数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想. 数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。
例5、（2010河南）如图，直线与反比例函数的图象交于A，B两点．
（1）求、的值；
（2）直接写出时x的取值范围；
（3）如图，等腰梯形OBCD中，BC//OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由．
【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数求得反比例函数的解析式，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求得a的值，再把点A，B的坐标代入一次函数解析式利用待定系数法求得k1的值．
（2）的x的范围，就是当y1＞y2时，自变量的x的范围，从图象上看：直线在双曲线上方，即x的范围是在点A、B的横坐标之间，这是“以形助数”．
（3）要判断PC和PE的大小关系，只需要分别求出它们的长度，“以数助形”．设点P的坐标为（m，n），易得C（m，3），点的坐标转化成线段长度CE=3，BC=m-2，OD=m+2，利用梯形的面积是12列方程，可求得m的值，从而求得点P的坐标，根据线段的长度关系可知PC=PE．
【答案】解：（1）由题意知 .
反比例函数的解析式为．
又在的图象上，．．
直线过，两点，
（2）的取值范围为
（3）当，．
设点的坐标为,
.
即．
．又．即．
．
【评注】 数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与几何图形的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。
考点6：分类讨论思想
在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．
例6、（2010浙江温州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，过点B作射线BBl∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF上AC交射线BB1于F，G是EF中点，连结DG．设点D运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，AD＝AB，并求出此时DE的长度；
（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值；
（3）以DH所在直线为对称轴，线段AC经轴对称变换后的图形为A′C′．
①当t＞时，连结C′C，设四边形ACC′A′ 的面积为S，求S关于t的函数关系式；
②当线段A′C′ 与射线BB1有公共点时，求t的取值范围（写出答案即可）．
【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求得AB的长，即可得到AD、t的值，从而确定AE的长，由DE=AE-AD即可得解．
（2）点D沿射线AC方向运动，根据点D的位置要分AD＞AE和AD＜AE两种情况，求得DE的表达式；要满足△DEG与△ACB相似，要分两种情况讨论：①AG：DE=DH：GE，②AH：EG=DH：DE．因此t值应该有4个．
（3）①根据轴对称的性质知：DH分别垂直平分AA′、CC′，则AA′∥CC′，显然AA′≠CC′，因此四边形ACC′A是个等腰梯形；首先用t表示出AD，易证得△ACB∽△AHD，根据得到的比例线段可求得AH、DH的表达式，在Rt△COD中，通过解直角三角形，可求得OD、OC的长，进而可求得梯形的高OH的值，而梯形的上下底分别是AH、OC的2倍，可根据梯形的面积公式求得S、t的函数关系式；
②此题只需分别考虑两种情况即可：
Ⅰ、A′落在BB′上时，此时A′、B重合，AA′=AB=5，根据①所得AA′的表达式即可求得t的值；
Ⅱ、C′落在BB′上时，在①已证得AB∥CC′，那么四边形ACC′B为平行四边形，即AB=CC′，根据①所得CC′的表达式即可求得t的值；
综合上面两种情况所得的t值，即可求得t的取值范围．
【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5．
∵AD=5t，CE=3t，∴当AD=AB时，5t=5，即t=1；
∴AE=AC+CE=3+3t=6，DE=6﹣5=1．
（2）∵EF=BC=4，G是EF的中点，∴GE=2．
当AD＜AE（即t＜）时，DE=AE﹣AD=3+3t﹣5t=3﹣2t，
若△DEG与△ACB相似，则或，
∴或，∴t=或t=；
当AD＞AE（即t＞）时，DE=AD﹣AE=5t﹣（3+3t）=2t﹣3，
若△DEG与△ACB相似，则或，
∴或，∴t=或t=；
综上所述，当t=或或或时，△DEG与△ACB相似．
（3）①由轴对称的性质变换得：AA′⊥DH，CC′⊥DH，则AA′∥CC′；
( http: / / www.m / )
易知OC≠AH，故AA′≠CC′，
∴四边形ACC′A是梯形；
∵∠A=∠A，∠AHD=∠ACB=90°，
∴△AHD∽△ACB，
∴，∵AD=5t，∴AH=3t，DH=4t．
∵sin∠ADH=sin∠CDO，
∴，即，∴CO=．
∴AA′=2AH=6t，CC′=2CO=．
∵OD=CD cos∠CDO=（5t﹣3）×=4t﹣，
∴OH=DH﹣OD=．
∴S=（AA′+CC′） OH=（6t+）×=t﹣．
②≤t≤；
当A′落在射线BB1上时（如图甲），AA′=AB=5，
∴6t=5，∴t=；
当点C′落在射线BB1上时（如图乙），易CC′∥AB；
故四边形ACC′B为平行四边形，
∴CC′=AB=5，
∴6t﹣=5，t=．
故≤t≤．
【评注】应用分类讨论思想解题，其关键是要弄清楚引起分类的原因，明确分类讨论的对象和标准，应该按可能出现的情况做出既不重复，又不遗漏，分门别类加以讨论求解，再将不同结论综合归纳，得出正确答案。
四．真题演练
1、（2010湖北荆门）试确定实数a的取值范围，使不等式组恰有两个整数解。
2、（2010广东深圳）如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，若∠MAC=∠ABC ．
（1）求证：MN是半圆的切线；
（2）设D是弧AC的中点，连结BD交AC 于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．
求证：FD＝FG．
（3）若△DFG的面积为4.5，且DG=3，GC=4，试求△BCG的面积．
3、（2010江苏徐州）如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点 M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P， 连接EP．
(1)如图②，若M为AD边的中点，
①△AEM的周长=_____cm；
②求证：EP=AE+DP；
(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合)，△PDM的周长是否发生变化 请说明理由．
4、（2010浙江杭州）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y =+1，点C的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB与y轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点P(t，0)在x轴上.
（1）写出点M的坐标；
（2）当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时.
① 求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；
② 当梯形CMQP的两底的长度之比为1：2时，求t的值.
真题演练答案
1、解：由不等式两边同乘以6得到3x+2（x+1）＞0，可以求出x＞－，由不等式两边都乘以3得到3x+5a+4＞4x+4+3a可以解出x＜2a，所以不等式组的解集为，因为该不等式组恰有有两个整数解，所以1＜2a≤2，所以＜a≤1。
2、解：（1）：∵AB是直径
∴∠ACB=90 ，∴∠CAB+∠ABC=90 ， ∵∠MAC=∠ABC
∴∠MAC+∠CAB=90 ，即MA⊥AB，∴MN是半圆的切线．
（2）连结AD，则∠1=∠2，
∵AB是直径，∴∠ADB=90
∴∠1+∠DGF=90 ，
又∵DE⊥AB ∴∠2+∠FDG=90 ，
∴∠FDG=∠FGD， ∴FD=FG．
（3）过点F作FH⊥DG于H，
又∵DF=FG ∴S△FGH=S△DFG=×4.5=，
∵AB是直径，FH⊥DG ∴∠C=∠FHG=90 ，
∵∠HGF=∠CGB，∴△FGH∽△BGC，
∴，
∴S△BCG=．
3、（1）①6.
②解法一：取EP的中点G，连接MG.
梯形AEPD中，∵M、G分别是AD、EP的中点，∴MG=.
由折叠，得∠EMP=∠B=90°，又G为EP的中点，∴MG=.
故EP=AE+DP.
解法二：设AE=xcm，则EM=(4-x)cm.
Rt△EAM中，由，可得，解得，即AE.
∵∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠PMD=90°，∴∠AEM=∠PMD.
又∵∠A=∠D=90°，∴△AEM∽△DMP.
∴，即DP=.
过点E作EQ⊥CD，垂足为点Q，得矩形AEQD,
∴EQ=AD=4,PQ=,,
故EP=AE+DP.
（2）△PMD的周长保持不变.
证明：设AM=xcm，则DM=(4-x)cm.
Rt△EAM中，由，可得AE=2-.
∵∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠PMD=90°，∴∠AEM=∠PMD.
又∵∠A=∠D=90°，∴△AEM∽△DMP.
∴，即，
∴=8cm.
故△PMD的周长保持不变.
4、(1) ∵OABC是平行四边形，∴AB∥OC，且AB = OC = 4，
∵A，B在抛物线上，y轴是抛物线的对称轴，
∴ A，B的横坐标分别是2和– 2，
代入y =+1得， A(2, 2 )，B(– 2，2)，
∴M (0，2)，
(2) ① 过点Q作QH x轴，设垂足为H， 则HQ = y ，HP = x–t ，
由△HQP∽△OMC，得：, 即： t = x – 2y ,
∵ Q(x,y) 在y = +1上，
∴ t = –+ x –2.
当点P与点C重合时，梯形不存在，此时，t = – 4，解得x = 1,
当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x = 2
∴x的取值范围是x 1, 且x 2的所有实数.
② 分两种情况讨论：
1）当CM > PQ时，则点P在线段OC上，
∵ CM∥PQ，CM = 2PQ ，
∴点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍，即2 = 2(+1)，解得x = 0 ，
∴t = –+ 0 –2 = –2 .
2）当CM < PQ时，则点P在OC的延长线上，
∵CM∥PQ，CM = PQ，
∴点Q纵坐标为点M纵坐标的2倍，即+1=22，
解得： x = .
当x = –时，得t = –––2 = –8 –,
当x=时， 得t =–8.
第二部分 练习部分
1、（2010新疆乌鲁木齐）已知整式的值为6，则的值为
A．9 B．12 C．18 D．24
2、（2010鄂尔多斯）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD的中点，EF∥AB交于点F。
（1）求证：BF=AD+CF。
（2）当AD=1，BC=7，且BE平分∠ABC时，求EF的长。
3、（2010 四川南充）如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC， OE＝BC．
（1）求∠BAC的度数．
（2）将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H．求证：四边形AFHG是正方形．
（3）若BD＝6，CD＝4，求AD的长．
4、（2010四川内江）一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜140吨，准备加工后进行销售，销售后获利的情况如下表所示：
销售方式 粗加工后销售 精加工后销售
每吨获利（元） 1000 2000
已知该公司的加工能力是：每天能精加工5吨或粗加工15吨，但两种加工不能同时进行.受季节等条件的限制，公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完.
⑴如果要求12天刚好加工完140吨蔬菜，则公司应安排几天精加工，几天粗加工？
⑵如果先进行精加工，然后进行粗加工.
①试求出销售利润W元与精加工的蔬菜吨数m之间的函数关系式；
②若要求在不超过10天的时间内，将140吨蔬菜全部加工完后进行销售，则加工这批蔬菜最多可获得多少利润？此时如何分配加工时间？
5、（2010山东临沂）如图，二次函数的图象与轴交于,两点，且与轴交于点.
（1）求该抛物线的解析式，并判断的形状；
（2）在轴上方的抛物线上有一点,且以四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出点的坐标；
（3）在此抛物线上是否存在点,使得以四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
练习部分答案
1、C
2、解：（1）如图，延长AD交FE的延长线于N
∵∠NDE=∠FCE=90°， ∠DEN=∠FEC，DE=EC，
∴△NDE≌△FCE，∴DN=CF，
∵AB∥FN，AN∥BF
∴四边形ABFN是平行四边形，∴BF=AD+DN=AD+FC
（2） ∵AB∥FN ，∴∠1=∠BEF，∵∠1=∠2 ，∴∠2=∠BEF
∴EF=BE， ∴EF=AD+CF=
3、（1）解：连结OB和OC．
∵ OE⊥BC，∴ BE＝CE．
∵ OE＝BC，∴ ∠BOC＝90°，∴ ∠BAC＝45°．
（2）证明：∵ AD⊥BC，∴ ∠ADB＝∠ADC＝90°．
由折叠可知，AG＝AF＝AD，∠AGH＝∠AFH＝90°， ∠BAG＝∠BAD，∠CAF＝∠CAD，∴ ∠BAG＋∠CAF＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝45°．
∴ ∠GAF＝∠BAG＋∠CAF＋∠BAC＝90°．∴ 四边形AFHG是正方形．
（3）解：由（2）得，∠BHC＝90°，GH＝HF＝AD，GB＝BD＝6，CF＝CD＝4．
设AD的长为x，则 BH＝GH－GB＝x－6，CH＝HF－CF＝x－4．
在Rt△BCH中，BH2＋CH2＝BC2，∴ （x－6）2＋（x－4）2＝102．
解得，x1=12，x2＝－2（不合题意，舍去）．∴ AD＝12．
4、解：⑴设应安排x天进行精加工，y天进行粗加工，
根据题意得：
解得
答：应安排4天进行精加工，8天进行粗加工．
⑵①精加工m吨，则粗加工（140－m）吨，根据题意得：
W＝2000m＋1000（140－m）
＝1000m＋140000 .分
②∵要求在不超过10天的时间内将所有蔬菜加工完，
∴＋≤10 解得 m≤5.
∴0＜m≤5.
又∵在一次函数W＝1000m＋140000中，k＝1000＞0，
∴W随m的增大而增大，
∴当m＝5时，Wmax＝1000×5＋140000＝145000.
∴精加工天数为5÷5＝1，
粗加工天数为（140－5）÷15＝9.
∴安排1天进行精加工，9天进行粗加工，可以获得最多利润为145000元．
5、解：根据题意，将A（,0）,B（2,0）代入y=-x2+ax+b中，
得解这个方程，得所以抛物线的解析式为y=-x2+x+1.
当x=0时，y=1.所以点C的坐标为（0，1）。
所以在△AOC中，AC==.在△BOC中，BC==.
AB=OA+OB=.因为AC2+BC2=.所以△ABC是直角三角形。
（2）点D的坐标是.
（3）存在。
由（1）知，AC⊥BC,
1 若以BC为底边，则BC∥AP,如图（1）所示，可求得直线BC的解析式为
.
直线AP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直线AP的解析式为，
将A（,0）代入直线AP的解析式求得b=,所以直线AP的解析式为.
因为点P既在抛物线上，又在直线AP上，所以点P的纵坐标相等，即-x2+x+1=.
解得（不合题意，舍去）.
当x=时，y=.
所以点P的坐标为（，）.
②若以AC为底边，则BP∥AC，如图（2）所示，可求得直线AC的解析式为
.
直线BP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直线BP的解析式为，
将B（2,0）代入直线BP的解析式求得b=-4,所以直线BP的解析式为y=2x-4.
因为点P既在抛物线上，又在直线BP上，所以点P的纵坐标相等，即-x2+x+1=2x-4
解得（不合题意，舍去）.
当x=-时，y=-9.
所以点P的坐标为（-，-9）.
综上所述，满足题目的点P的坐标为（，）或（-，-9）
M
N
A
E
D
C
G
B
F
M
N
A
E
D
C
G
B
2
F
H
3
1
A
F
C
D
E
G
H
B
O
A
F
C
D
E
G
H
B
O
A
F
C
D
E
G
H
B
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