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第22章 一元二次方程
22.2
一元二次方程的解法
4.一元二次方程根的判别式
1．[2019·河南]一元二次方程(x＋1)(x－1)＝2x＋3的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
2．一元二次方程x2＋2kx＋k－1＝0的根的情况描述正确的是( )
?A．方程有两个不相等的实数根
?B．方程有两个相等的实数根
?C．方程没有实数根
?D．无法确定
3．[2019·泰安]已知关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋
3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是
．
4．一元二次方程2x2－(4m＋1)x＋2m2－1＝0.
(1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？
(2)当m为何值时，方程有两个相等的实数根？
(3)当m为何值时，方程没有实数根？
5．[2019·北京]关于x的方程x2－2x＋2m－1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
6．已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．
7．[2019·聊城]若关于x的一元二次方程(k－2)x2－2kx＋k＝6有实数根，则k的取值范围为
( )
A．k≥0
B．k≥0且k≠2
C．k≥
D．k≥且k≠2
8．[2019·连云港]已知关于x的一元二次方程ax2＋2x＋2－c＝0有两个相等的实数根，则＋c的值等于
．
9．方程2(m＋3)x2＋4mx＋2m－2＝0.
(1)m是什么实数值时，方程有两个不相等的实数根？
(2)m是什么实数值时，方程没有实数根？
(3)m是什么实数值时，方程有实数根？
10．已知关于x的方程mx2＋x＋1＝0，试按要求解答下列问题：
(1)当该方程有一根为1时，试确定m的值；
(2)当该方程有两个不相等的实数根时，试确定m的取值范围．
11．[2019秋·海淀区校级月考]关于x的一元二次方程ax2－bx－
1＝0.
(1)当a－b－2＝0时，利用根的判别式判断方程根的情况；
(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a、b的值，并求此时方程的根．
12．[2019·平阳县期末]已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
13．(数学建模)已知一元二次方程x2－4x＋k＝0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2－4x＋k＝0与x2＋mx－1＝0有一个相同的根，求此时m的值．
参考答案
1．
A
【解析】
先化简，∵x2－1＝2x＋3，∴x2－2x－4＝0，Δ＝(－22)＋16＝20>0，故方程有两个不相等的实数根．
2．
A
3.
k<－
【解析】
∵关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋3＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝(2k－1)2－4(k2＋3)>0，解得k<－.
4.
解：Δ＝b2－4ac＝[－(4m＋1)]2－4×2×(2m2－1)＝16m2＋8m＋1－16m2＋8＝8m＋9.
(1)∵方程有两个不相等的实数根，
∴8m＋9>0，则m>－.
(2)∵方程有两个相等的实数根，
∴8m＋9＝0，则m＝－.
(3)∵方程没有实数根，
∴8m＋9＜0，则m＜－.
5.
解：∵关于x的方程x2－2x＋2m－1＝0有实数根，
∴Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×1×(2m－1)＝4－8m＋4＝8－8m≥0，
∴m≤1，又∵m为正整数，∴m＝1.
此时方程为x2－2x＋1＝0，解得x1＝x2＝1，
∴m＝1，此方程的根为x1＝x2＝1.
6.
解：(1)Δ＝b2－4ac＝4－4(2k－4)＝20－8k.
∵方程有两个不相等的实数根，
∴20－8k＞0，∴k＜；
(2)∵k为正整数，且k＜，∴k为1或2，
解原方程，可得x＝－1±.
∵方程的根为整数，
∴5－2k为完全平方数，
当k＝1时，5－2k＝3，不符合题意，舍去．
当k＝2时，5－2k＝1，符合题意，
∴k＝2.
7．D
【解析】
∵原方程是一元二次方程，∴k－2≠0，∴k≠2.∵其有实数根，∴(－2k)2－4(k－2)(k－6)≥0，解得k≥，∴k的取值范围为k≥且k≠2.
8.
2
【解析】
根据题意得Δ＝4－4a(2－c)＝0，整理得4ac－8a＝－4，4a(c－2)＝－4.∵方程a2＋2x＋2－c＝0是一元二次方程，∴a≠0，等式两边同时除以4a得c－2＝－，则＋c＝2.
9.
解：(1)根据题意，得2(m＋3)≠0且Δ＝16m2－4×2(m＋3)·(2m－2)＝－32m＋48>0，解得m<且m≠－3.
(2)根据题意，
①2(m＋3)≠0且Δ＝－32m＋48<0，解得m>；
②2(m＋3)＝0，即m＝－3，
原方程化为－12m－8＝0，有解，不符合．
∴m>.
(3)当m＝－3时，原方程变形为－12x－6－2＝0，
解得x＝－；
当m≠－3时，Δ＝－32m＋48≥0，解得m≤，
∴m≤时，方程有实数根．
10.
解：(1)将x＝1代入方程，得m＋1＋1＝0，
解得m＝－2；
(2)由方程有两个不相等的实数根，得
Δ＝b2－4ac＝1－4m＞0，且m≠0，
解得m＜且m≠0.
11.
解：(1)由题意可知Δ＝b2＋4a，
当a－b－2＝0时，
∴b＝a－2，
∴Δ＝(a－2)2＋4a＝a2＋4＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根；
(2)由(1)可知Δ＝b2＋4a＝0，
∴当b＝2时，a＝－1，
∴该方程为－x2－2x－1＝0，
∴(x＋1)2＝0，
∴x1＝x2＝－1.
12.
解：(1)△ABC是等腰三角形；
理由：把x＝－1代入方程得a＋c－2b＋a－c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形；
(2)△ABC为直角三角形．
理由：根据题意得Δ＝(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，即b2＋c2＝a2，所以△ABC为直角三角形．
(3)∵△ABC为等边三角形，
∴a＝b＝c，
∴方程可化为x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－1.
13．解：(1)由一元二次方程x2－4x＋k＝0有两个不相等的实数根，得Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4k＞0，
解得k＜4；
(2)∵k是符合条件的最大整数，
∴k＝3，即x2－4x＋3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
一元二次方程x2－4x＋3＝0与x2＋mx－1＝0有一个相同的根，
当x＝1时，把x＝1代入x2＋mx－1＝0，得1＋m－1＝0，解得m＝0，
当x＝3时，把x＝3代入x2＋mx－1＝0，得9＋3m－1＝0，解得m＝－，
综上所述：如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2－4x＋k＝0与x2＋mx－1＝0有一个相同的根，则此时m＝0或－.
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数学HS版九年级上
第22章
22.2.4
第22章
一元二次方程
22.2
一元二次方程的解法
4.一元二次方程根的判别式
B
?C?
A
A
?A?
D
2
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B组·能力提升
