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数学HS版九年级上
第22章
22.2.5
第22章
一元二次方程
22.2
一元二次方程的解法
5.一元二次方程的根与系数的关系
比的相反数
比
?B?
?B?
A
D
?A?
4
1
2x1x2
14
x1＋x2
12
?D?
?D?
?A?
C
A
16
A
0
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第22章 一元二次方程
22.2
一元二次方程的解法
5.一元二次方程的根与系数的关系
1．下列一元二次方程两实数根的和为－4的是( )
?A．x2＋2x－4＝0
?
B．x2－4x＋4＝0
?C．x2－4x＋10＝0
?
D．x2＋4x－5＝0
2．若方程x2＋x－1＝0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是( )
?A．α＋β＝－1
?
B．αβ＝－1
?C．α2＋β2＝3
?
D.＋＝－1
3．已知实数x1、x2满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，则以x1、x2为根的一元二次方程是( )
?A．x2－7x＋12＝0
?
B．x2＋7x＋12＝0
?C．x2＋7x－12＝0
?
D．x2－7x－12＝0
4．关于x的方程2x2＋mx＋n＝0的两根为－2和1，则nm的值为( )
A．－8
B．8
C．16
D．－16
5．[2019·仙桃]若方程x2－2x－4＝0的两个实数根为α，β，则α2＋β2的值为( )
A．12
B．10
C．4
D．－4
6．[2019·泸州]已知x1，x2是一元二次方程x2－x－4＝0的两实根，则(x1＋4)(x2＋4)的值是____．
7．[2019·娄底]已知方程x2＋bx＋3＝0的一个根为＋，则方程的另一个根为
．
8．已知x1、x2是方程x2＋6x＋3＝0的两实数根，试求下列代数式的值．
(1)x＋x；
(2)＋；
(3)(x1＋1)(x2＋1)．
9．[2019·威海]已知a，b是方程x2＋x－3＝0的两个实数根，则a2－b＋2
019的值是( )
A．2
023
B．2
021
C．2
020
D．2
019
10．已知α、β是方程x2－3x－4＝0的两个实数根，则α2＋αβ－3α的值为____．
11．[2019·随州]已知关于x的一元二次方程x2－x＋k2＋
1＝0有两个不相等的实数根x1、x2.
(1)求k的取值范围；
(2)若x1＋x2＝3，求k的值及方程的根．
12．[2019·黄石]已知关于x的一元二次方程x2－6x＋(4m＋1)＝0有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若该方程的两个实数根为x1、x2，且＝4，求m的值．
13．(数学建模)已知关于x的方程kx2＋(k＋2)x＋＝0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围．
(2)是否存在实数k，使方程的两实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．
D
2．
D
3.
A
4.
C
5.
A
【解析】
∵α＋β＝2，αβ＝－4，∴α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝22－2×(－4)＝12.
6.
16
【解析】
∵x1，x2是一元二次方程x2－x－4＝0的两实根，∴x1＋x2＝1，x1x2＝－4，∴(x1＋4)(x2＋4)＝x1x2＋4(x1＋x2)＋16＝－4＋4×1＋16＝－4＋4＋16＝16.
7.
－
【解析】
设原方程的另一个根为x1，则由x1x2＝得x1×＝3，∴x1＝＝＝－.
8.
解：由根与系数的关系，得
x1＋x2＝－6，x1x2＝3.
(1)x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－6)2－2×3＝36－6＝30；
(2)＋＝eq
\f(x＋x,x1x2)＝＝10；
(3)(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＝3－6＋1＝－2.
9．A
【解析】
根据一元二次方程的解的定义，得a2＋a－3＝0，所以a2＝－a＋3，再利用根与系数的关系，得a＋b＝－1，然后利用整体代入法计算．原式＝－a＋3－b＋2
019＝－(a＋b)＋3＋2
019＝－(－1)＋3＋2
019＝2
023.故选A.
10.
0
【解析】
∵α、β是方程x2一3x－4＝0的两个实数根，∴α2－3α－4＝0且αβ＝－4，∴α2－3α＝4，∴α2＋αβ－3α＝(α2－3α)＋αβ＝4－4＝0.
11.
解：(1)由题意可得Δ＝b2－4ac＝－4＞0，解得k＞；
(2)由根与系数关系可知x1＋x2＝－＝2k＋1，∴2k＋1＝3，解得k＝1＞(符合题意)．
把k＝1代入原方程，原方程为x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2.
12.
解：(1)∵关于x的一元二次方程x2－6x＋(4m＋1)＝0有实数根，∴Δ＝(－6)2－4×1×(4m＋1)≥0，解得m≤2；
(2)∵方程x2－6x＋(4m＋1)＝0的两个实数根为x1、x2，∴x1＋x2＝6，x1x2＝4m＋1，∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝42，即32－16m＝16，解得m＝1.
13．解：(1)由Δ＝(k＋2)2－4×k×>0，
得k
>－1.又∵k≠0，∴k的取值范围是k
>－1且k≠0.
(2)不存在符合条件的实数k.
理由：设方程kx2＋(k＋2)x＋＝0的两个不相等实数根分别为
x1、x2.
由根与系数的关系，得
x1＋x2＝－，x1x2＝.
＋＝＝－.
由(1)知k＞－1且k≠0，
∴－≠0，即＋≠0，
∴不存在符合条件的实数k.
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