苏教版高中数学必修一 3.3幂函数 同步练习（含答案解析）

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苏教版高中数学必修一3.3幂函数
一、单选题
1.若幂函数
的图象过点
，则函数
的最大值为（??
）
A.?1???????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?
2.下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是
（??
）
A.?①
，②
，③
，④
B.?①
，②
，③
，④
C.?①
，②
?
，③
，④
D.?①
，②
，③
，④
3.已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)
(n∈Z)的图像关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为(???
)
A.?1???????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????C.?1或2???????????????????????????????????????D.?1或－3
4.设
，
，
，则下列正确的是（???
）
A.????????????????????????B.????????????????????????C.????????????????????????D.?
5.当
时，幂函数y=xα的图象不可能经过（?
）
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
6.下列函数：①y=x2+1；②
；③y=2x2；④
；⑤
，其中幂函数是（?
）
A.?①⑤?????????????????????????B.?①②③?????????????????????????C.?②④?????????????????????????D.?②③⑤
7.若函数f(x)是幂函数，且满足
，则
的值为（??
）
A.?－3????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?3????????????????????????????????????????D.?
8.函数y＝xa
，
y＝xb
，
y＝xc的图像如图所示，则实数a、b、c的大小关系为(
??
)
A.?c9.下列结论中，正确的是(
?
?
)
A.?幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)????????????????????
?
B.?幂函数的图象可以出现在第四象限
C.?当幂指数α取1,3，
?时，幂函数y＝xα是增函数?????????
D.?当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数
10.若
，则下列结论正确的是(??
)
A.???????????????B.???????????????C.???????????????D.?
11.已知幂函数f(x)＝
，若f(a＋1))
A.?(3,5)?????????????????????????????B.?(－1，＋∞)?????????????????????????????C.?(－∞，5)?????????????????????????????D.?(－1,5)
12.函数
是幂函数，对任意
，且
，满足
，若
，且
的值为负值，则下列结论可能成立的是（??
）
A.?????????????B.?????????????C.?????????????D.?以上都可能
13.四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f1（x）=x2
，
f2（x）=4x
，
f3（x）=log2x
，
f4（x）=2x如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是（?
）
A.?f1（x）=x2????????????????????B.?f2（x）=4x????????????????????C.?f3（x）=log2x????????????????????D.?f4（x）=2x
二、填空题
14.一种产品的产量原来为a，在今后m年内，计划使产量每年比上一年增加p%，则产量y随年数x变化的函数解析式为________，定义域为________．
15.已知
是幂函数，且
在定义域上单调递增，则
________.
16.幂函数
的图象过点
，那么
________．
17.已知幂函数
的图象关于原点对称且与x轴、y轴均无交点，则整数m的值为________．
18.幂函数
的单调增区间是________
19.已知点（
，2）在幂函数y=f（x）的图象上，点（﹣2，
）在幂函数y=g（x）的图象上，则f（2）+g（﹣1）=________?．
三、解答题
20.已知幂函数y=f（x）的图象过点
．
（1）求函数f（x）的解析式
（2）记g（x）=f（x）+x
，
判断g（x）在（1，+∞）上的单调性，并证明之．
21.已知幂函数f（x）=（m3﹣m+1）x
（m∈Z）的图象与x轴，y轴都无交点，且关于y轴对称
（1）求f（x）的解析式；
（2）解不等式f（x+1）＞f（x﹣2）
函数f（x）=是偶函数．
（1）试确定a的值，及此时的函数解析式；
（2）证明函数f（x）在区间（﹣∞，0）上是减函数；
（3）当x∈[﹣2，0]时，求函数f（x）=的值域．
23.已知函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x﹣5m﹣3
，
m为何值时，f（x）：
（1）是幂函数；
（2）是正比例函数；
（3）是反比例函数；
（4）是二次函数．
24.已知幂函数f（x）=x（2﹣k）（1+k）（k∈Z），且f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）的解析式；
（2）试判断是否存在正数q，使函数g（x）=1﹣qf（x）+（2q﹣1）x在区间[﹣1，2]上的值域为[﹣4，
]．若存在，求出q的值；若不存在，请说明理由．
25.已知幂函数
在
上单调递增.
（1）求实数
的值；
（2）若
，求实数
的取值范围.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
B
【解析】设f（x）＝xα
，
∵f（x）的图象过点（2，
），
∴f（2）＝2α
，
则α
，
则f（x）
，
故其最大值为
.
故答案为：B
【分析】根据点的坐标确定幂函数的表达式，结合函数的单调性，求出函数的最大值即可.
2.【答案】
B
【解析】②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项C，D，①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除A
故答案为：B．
【分析】根据幂函数的性质逐一确定即可.
3.【答案】
A
【解析】∵幂函数f（x）＝（n2+2n﹣2）
（n∈Z）的图象关于y轴对称，
且在（0，+∞）上是减函数，
∴
，
解得n＝1．
故答案为：A．
【分析】由幂函数f（x）＝（n2+2n﹣2）
（n∈Z）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，知
，由此能求出n的值．
4.【答案】
B
【解析】
，
，
，设
，当
时，函数为增函数，故
故答案为：B
【分析】可将
全部转化成幂为
的幂函数，再根据函数增减性判断大小即可.
5.【答案】D
【解析】解答：当α=
、1、2、3
时，y=xα是定义域内的增函数，图象过原点，
当α=﹣1
时，幂函数即y=
，图象在第一、第三象限，
故图象一定不在第四象限．
∴答案选
D．
分析：利用幂函数的图象特征和性质，结合答案进行判断．
6.【答案】C
【解析】幂函数的定义规定；y=xa（a为常数）为幂函数，
所以选项中：①y=x2+1错；
②
正确；
③y=2x2错；
④
正确；
⑤
错，其中幂函数是②④．
故选C．
【分析】根据幂函数的定义，直接判定选项的正误，推出正确结论．
7.【答案】
D
【解析】设
，则由
，得
.
所以
，故
.
故答案为：D.
【分析】设出幂函数的一般形式，从而把
转化为关于幂指数的方程，解出幂指数后可求
.
8.【答案】A
【解析】由幂函数图像特征知，a＞1,0＜b＜1,c＜0，
故答案为：A．
【分析】根据题意结合幂函数的图像与性质逐一判断即可得出结论。
9.【答案】
C
【解析】当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故选项A不正确；
因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα(α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选B不正确；
当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但在它的定义域上不是减函数，故选项D不正确．
故答案为：C.
【分析】根据题意由幂函数的性质以及图像逐一判断即可得到结论。
10.【答案】
A
【解析】结合
，
及
的图象易知，当
时，
.
故答案为：A
【分析】利用指数函数以及幂函数的单调性即可得出结论。
11.【答案】
A
【解析】∵幂函数f（x）=
=
的定义域为{x|x＞0}，在（0，+∞）上单调递减．
∴若f（a+1）＜f（10﹣2a），
则
，
即
，
解得3＜a＜5，即a的取值范围是（3，5）．
故答案为：A
【分析】根据幂函数的定义域和单调性，列出不等式组求解即可求出实数a的取值范围.
12.【答案】
C
【解析】由于函数
为幂函数，故
，解得
.当
时，
，当
时，
.由于“对任意
，且
，满足
”故函数在
上为增函数，故
.由于
，故函数值单调递增的奇函数.由于
，所以
且
，
故答案为：C.
【分析】根据幂函数的定义，结合函数的单调性，求出m，得到函数的表达式，即可确定a+b和ab的符号.
13.【答案】D
【解析】根据题意
最终跑在最前面的人一为f值最大的函数
通过分析各种类型函数的增长f1（x）=x2
，
f2（x）=4x
，
f3（x）=log2x
，
f4（x）=2x
，
D中，f4（x）=2x增长最快
故选D
【分析】根据题意，本题实际考查各类函数的增长模型，通过对四类函数分析，指数函数增长最快，选出选项．
二、填空题
14.【答案】y=a（1+p%）x；{x|x为整数，且0≤x≤m}
【解析】解：设年产量为y，年数x，y=a（1+p%）x；
定义域：{x|x为整数，且0≤x≤m}．
故答案为：y=a（1+p%）x；{x|x为整数，且0≤x≤m}．
【分析】根据在今后m年内，计划使产量平均每年比上年增加p%，可得等比数列模型，即可求得函数解析式
15.【答案】3
【解析】∵
是幂函数，且
在定义域上单调递增，
∴
，解得：
故答案为：3
【分析】根据题目中所给的条件的特点，根据幂函数的定义以及函数的单调性求出m的值即可.
16.【答案】
8
【解析】∵幂函数f（x）的图象过点（2，
），设幂函数为y=xn
，
则有2n=
，∴n=
，幂函数f（x）=
，那么f（64）=
=8，
故答案为：8．
【分析】设出幂函数表达式，求出n值，将x=64代入即可.
17.【答案】-1
【解析】函数
为幂函数，所以
解得m=3或m=-1，
幂函数
的图象关于原点对称且与x轴、y轴均无交点，所以
<0,所以m=3舍掉，
m=-1符合题意；
故答案为：-1.
【分析】根据已知函数为幂函数即可求出m的取值，再根据图像关于原点对称和与x轴、y轴均无交点这一限定条件，排除不符合题意的取值。
18.【答案】
【解析】由题意得
?单调增区间是
故答案为:
[
0
,
+
∞
)
【分析】由幂函数的定义,系数m-1必为1,求出m的值,再求单调区间.
19.【答案】
【解析】解：设f（x）=xα（α为常数），
∵幂函数y=f（x）的图象过点（
，2），
∴α=﹣1．
∴f（x）=x﹣1
，
同理g（x）=x﹣2
，
∴f（2）+g（﹣1）=
?=
．
故答案为：
．
【分析】求出函数的解析式，代入计算可得结论．
三、解答题
20.【答案】
（1）解：由题意令y=f（x）=xa
，
由于图象过点（
，
），
得
=
a
，
a=﹣1
∴y=f（x）=x﹣1
（2）解：g（x）=f（x）+x=x+
函数
在区间（1，+∞）上是增函数，
证明：任取x1、x2使得x1＞x2＞1，
都有
由x1＞x2＞1得，x1﹣x2＞0，x1x2＞0，x1x2﹣1＞0，
于是g（x1）﹣g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2），
所以，函数
在区间（1，+∞）上是增函数．
【解析】（1）先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式即可；（2）函数在区间（1，+∞）上为增函数，理由为：在区间（1，+∞）上任取x1＞x2＞1，求出f（x1）﹣f（x2），通分后，根据设出的x1＞x2＞1，判定其差大于0，即f（x1）＞f（x2），从而得到函数为增函数．
21.【答案】
（1）解：函数f（x）是幂函数，则m3﹣m+1=1，
解得：m=0，或1或﹣1，
又f（x）的图象与x轴，y轴都无交点，且关于y轴对称
∴f（x）=x﹣4；
（2）解：由（1）得：f（x）在（0，+∞），（﹣∞，0）递增，
故|x+1|＜|x﹣2|，|x+1|≠0，解得：x＜
且x≠﹣1，
故不等式的解集是：
．
【解析】（1）根据幂函数的定义，求出函数f（x）的解析式即可；（2）根据函数的单调性、奇偶性，得到关于x的不等式，解出即可．
22.【答案】【解答】（1）∵f（x）是偶函数，
∴f（﹣x）=f（x），
即，
∴x2+ax﹣3=x2﹣ax﹣3；
∴a=0，
∴f（x）=；
（2）证明：任取x1、x2∈（﹣∞，0），且x1＜x2；
∴；
∵x1＜x2＜0，
∴x1+x2＜0，x1﹣x2＜0，
∴（x1+x2）（x1﹣x2）＞0，
∴＞1，即f（x1）＞f（x2）；
∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数；
（3）由（2）知，f（x）在（﹣∞，0）上是减函数；
∴当x∈[﹣2，0]时，f（﹣2）==2，f（0）=；
∴函数f（x）在[﹣2，0]上的值域是[，2]．
【解析】（1）根据f（x）是偶函数，f（﹣x）=f（x），求出a=0；
（2）用定义证明f（x）在（﹣∞，0）上是减函数；
（3）由（2）得，根据f（x）在[﹣2，0]的单调性，求出f（x）在[﹣2，0]上的值域．
23.【答案】
（1）解：令m2﹣m﹣1=1，
解得m=2或m=﹣1，
所以m=2或m=﹣1时，f（x）是幂函数；
（2）解：令﹣5m﹣3=1，
解得m=﹣
，
所以m=﹣
时，f（x）是正比例函数；
（3）解：令﹣5m﹣3=﹣1，
解得m=﹣
，
所以m=﹣
时，f（x）是反比例函数；
（4）解：令﹣5m﹣3=2，
解得m=﹣1，
所以m=﹣1时，f（x）=x2是二次函数．
【解析】（1）根据幂函数的定义，令m2﹣m﹣1=1求出m的值即可；（2）根据正比例函数的定义，令﹣5m﹣3=1求出m的值即可；（3）根据反比例函数的定义，令﹣5m﹣3=﹣1求出m的值即可；（4）根据二次函数的定义，令﹣5m﹣3=2求出m的值即可．
24.【答案】
（1）解：因为幂函数f（x）=x（2﹣k）（1﹣k）在（0，+∞）上单调递增，
所以（2﹣k）（1+k）＞0，故﹣1＜k＜2．
又因为k∈Z，故k=0，或k=1，所以f（x）=x2
（2）解：由（1）知g（x）=﹣qx2+（2q﹣1）x+1，
假设存在这样的正数q符合题意，
则函数g（x）的图象是开口向下的抛物线，
其对称轴为x=
=1﹣
＜1，
因而，函数g（x）在[﹣1，2]上的最小值只能在x=﹣1或x=2处取得
又g（2）=﹣4q+4q﹣2+1=﹣1≠﹣4，从而必有g（﹣1）=2﹣3q=﹣4
解得q=2，
此时，g（x）=﹣2x2+3x+1，其对称轴x=
∈[﹣1，2]
∴g（x）在[﹣1，2]上的最大值为g（
）=﹣2×（
）2+3×
+1=
符合题意
【解析】（1）由f（2）＜f（3）知幂函数在（0，+∞）上为增函数，故（2﹣k）（1+k）＞0，解出k即可．（2）写出g（x）的解析式g（x）=﹣qx2+（2q﹣1）x+1，为二次函数，只需考虑二次函数的对称轴和单调性即可．
25.【答案】
（1）解：因为
是幂函数，所以
，解得
或
，
又因为
在
上单调递增，所以
，即
，
所以
.
（2）解：由于
在区间
都是减函数，且
分三种情况讨论：
①当
，即
时，原不等式成立；
②当
且
时，有
，即
，解集为空集；
③当
且
时，有
，即
，
∴
综上所述：
的取值范围是
.
【解析】（1）由幂函数的定义可得
，再利用
在
上单调递增，即可得出
范围；（2）由于
在区间
，
上都是减函数，且
，分三种情况讨论，即可得出．
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