【2020年暑期衔接】青岛版八下 第5讲 平方根、立方根（含解析）

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2020年暑期衔接训练青岛版数学八年级下册：第5讲
平方根、立方根
一、单选题：
1.的算术平方根是（??
?）
A.???????????????????????????????????????B.?﹣
??????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?±
2.一个正数的两个平方根分别是2a?1与?a+2，则a的值为(??
?)
A.?-1??????????????????????????????????????????B.?1??????????????????????????????????????????C.?-2??????????????????????????????????????????D.?2
3.下列说法错误的是（??
）
A.???????B.?64的算术平方根是4??????C.???????D.?，则x＝1
4.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足（a﹣5）2+|b﹣12|+
=0，则△ABC（??
）
A.?不是直角三角形??????????????????????????????????????????????????B.?是以a为斜边的直角三角形
C.?是以b为斜边的直角三角形??????????????????????????????????D.?是以c为斜边的直角三角形
5.下列说法错误的是（?
）
A.?与
相等???????????????????????????????????????????????????????????B.?与
互为相反数
C.?与
互为相反数????????????????????????????????D.?与
互为相反数
6.若a2=(-5)2
，
b3=(-5)3
，
则a+b的值是（???
）
A.?0或-10或10??????????????????????????????????B.?0或-10??????????????????????????????????C.?-10??????????????????????????????????D.?0
7.在下列说法中：①
的平方根是
；②
是
的一个平方根；③
的平方根是
；④
的算术平方根是
；⑤
，其中正确的有（??
）
A.?个?????????????????????????????????????B.?个?????????????????????????????????????C.?个?????????????????????????????????????D.?个
8.若a是
的平方根，则
=（　　）
A.?﹣3????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.?或
????????????????????????????????D.?3或﹣3
9.下列说法中，正确的是（???）
A.?一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数
B.?一个有理数的立方根，不是正数就是负数
C.?负数没有立方根
D.?如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，1
10.已知是整数，
且满足，
则可能的值共有（???）
A.?3个?????????????????????????????????????B.?6个?????????????????????????????????????C.?49个?????????????????????????????????????D.?99个
11.下列说法正确的是（　　）
A.?﹣81的平方根是±9
B.?任何数的平方是非负数，因而任何数的平方根也是非负
C.?任何一个非负数的平方根都不大于这个数
D.?2是4的平方根
12.已知
，则
（???
）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
二、填空题：
13.使式子
有意义的x的取值范围是________．
14.1，2，3…，100这100个自然数的算术平方根中，无理数的个数有________个．
15.已知
为整数且-1，若
为整数，则
＝________．
16.已知
，
，则
________．
17.若2ax+yb5与﹣3ab2x﹣y是同类项，则2x﹣5y的立方根是________．
18.若实数x满足等式（x+4）3=﹣27，则x=________
19.若一个偶数的立方根比2大，平方根比4小，则这个数一定是________．
20.在草稿纸上计算：①
；②
；③
；④
，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值：
=________．
三、解答题：
21.求下列各式中的x：
（1）2x2－1＝9；
（2）(x＋1)3＋27＝0．
22.某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积约为1000
的正方形空地上建一个篮球场，已知篮球场的面积为420
，其中长是宽的
倍，篮球场的四周必须留出1m宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个篮球场？
23.已知a，b为实数，且﹣（b﹣1）=0，求a2015﹣b2016的值．
24.已知2a-1的平方根是±3,3a+b-9的立方根是2，c是
的整数部分，求a+2b+c的平方根。
25.若
与
互为相反数，且x≠0，y≠0，求
的值．
四、综合题：
26.先填写下表，通过观察后再回答问题：
（1）表格中
=________，
=________；
（2）从表格中探究
?与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知
≈3.16，则
≈________；
②已知
=8.973，若
=897.3，用含
的代数式表示
，则
=________?；
（3）试比较
与
的大小．
27.如图①，是由5个边长是1的正方形组成的“十”字形．把图②中的4个浅色直角三角形对应剪拼到4个深色直角三角形的位置从而得到图③，试求：
??
图①?????????????????
图②?????????????????
图③
（1）图②中1个浅色直角三角形的面积；
（2）图③中大正方形的边长.
28.观察下列各式及其验证过程：
验证：
=
；
验证：
=
=
=
；
验证：
=
；
验证：
=
=
=
．
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4
的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并给出证明．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
C
解：
=，
∵的算术平方根等于，
∴的算术平方根等于，
故答案为：C.
【分析】因为化简的结果是，
则的算术平方根是，
也是的算术平方根。
2.【答案】
A
解：∵一个正数的两个平方根分别是2a?1与?a+2，
∴
，解得：
.
故答案为：A.
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数，由此建立关于a的方程，解方程求出a的值。
3.【答案】
B
解：
A.
，此选项正确；
B.
64的算术平方根是8，此选项错误；
C.
，此选项正确；
D.
，则x＝1，此选项正确.
故答案为：B.
【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的概念及二次根式有意义的条件对选项逐一判定即可.
4.【答案】
D
解：∵（a﹣5）2+|b﹣12|+
=0，
∴a=5，b=12，c=13，
∵52+122=132
，
∴△ABC是以c为斜边的直角三角形．
故选：D．
【分析】直接利用绝对值以及偶次方的性质再结合二次根式的性质得出a，b，c的值，进而得出答案．
5.【答案】
D
解：
A、
=
，故A正确；
B、
，则
与
互为相反数，故B正确；
C、
与
互为相反数，故C正确；
D、
，故D说法错误；
故答案为：D.
【分析】根据乘方、算术平方根、立方根、绝对值，以及相反数的定义，分别对每个选项进行判断，即可得到答案.
6.【答案】
B
解：∵a2=（-5）2=25，
∴a=±5
∵b3=（-5）3
∴b=-5
∴a+b=5+（-5）=0或（-5）+（-5）=-10
故答案为：B。
【分析】根据平方根的性质以及含义即可得到a的结果有两种可能性，根据立方根的性质得到b的值，即可得到答案。
7.【答案】
C
解：
①??的平方根是?，
正确；
②???的平方根是±2，
?是??的一个平方根，正确；
③??的平方根是±??，错误；
④??的算术平方根是?，
正确；
⑤?,
错误；
综上，共有3项正确.
故答案为：C.
【分析】正数的平方根有两个，且互为相反数；算术平方根只有一个,
且大于0，据此逐项判断即可.
8.【答案】C
解答：∵
，∴a=±3，∴
=
，或
=
．
分析：本题考查平方根和立方根的定义，记住一个正数的平方根有两个；一个数的立方根只有一个．
9.【答案】
D
【解析】根据平方根、立方根的定义依次分析各项即可。
A.负数没有平方根，B.0的立方根是0，C.负数的立方根是负数，故错误；
D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，1，本选项正确。
【点评】解答本题的关键是熟记掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根；正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。
10.【答案】
B
【解析】∵，
，
，
，
，
，
∴，
∵是整数，∴x可能的值为：±15，±16，±17，共有6个．故选B．
11.【答案】D
解：A：﹣81是负数，由于负数没有平方根，故A选项错误；
B：任何数的平方为非负数，正确；但只有非负数才有平方根，且平方根有正负之分（0的平方根为0）．故选项B错误；
C：任何一个非负数的平方根都不大于这个数，不一定正确，如：当0＜a＜1时，a＞a2
，
故选项错误；
D：2的平方是4，所以2是4的平方根，故选项正确.
【分析】此题考查的平方根的定义；做概念题时，可以举特殊情况来判断，如B，C项.
12.【答案】
B
解：∵
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：B．
【分析】将等式两边平方即可求出
，然后根据完全平方公式和平方根的定义即可求出结论．
二、填空题
13.【答案】
解：要使
在实数范围内有意义，必须
故答案为：x≥
【分析】根据只有非负数才有算术平方根，建立不等式求解即可。
14.【答案】
90
解：凡是平方等于1，2，3…，100中某一个数的数的算术平方根都是有理数，而其他数的算术平方根都是无理数，算术平方根是有理数的数是1,4,9,16,25,36,49,64,81,100.所以算术平方根是无理数的有90个.
故答案为：90.
【分析】根据算术平方根的定义和性质，由无理数的含义进行判断即可。
15.【答案】0或3
解：∵?1,4<
=
<5，
∴m的整数值为0，1，2，3，4，
∵
为整数，
∴m只能为0或3，
故答案为：0或3.
【分析】因为2=5，而-1所以m的整数值为0，1，2，3，4，又因为为整数，所以m只能为0或3。
16.【答案】
-0.0513
解：因为
所以
-0.0513
故答案为：-0.0513
【分析】根据立方根的意义，
中，m的小数点每移动3位，n的小数点相应地移动1位．
17.【答案】
解：∵2ax+yb5与﹣3ab2x﹣y是同类项，
∴x+y=1，2x﹣y=5．
解得：x=2，y=﹣1．
∴2x﹣5y=9．
∴2x﹣5y的立方根是
．
故答案为：
．
【分析】依据同类项的定义可得到得到x、y的方程组，从而可求得x，y的值，然后再求得代数式的值，最后利用立方根的性质求解即可．
18.【答案】﹣7
解：∵（﹣3）3=﹣27，
∴x+4=﹣3，
解得x=7．
故答案为：﹣7．
【分析】把（x+4）看作一个整体，利用立方根的定义解答即可．
19.【答案】10，12，14
解：∵2的立方是8，4的平方是16，
所以符合题意的偶数是10，12，14．
【分析】首先根据立方根平方根的定义分别求出2的立方，4的平方，然后就可以解决问题．
20.【答案】210
解：
=1，
=1+2，
=1+2+3，
=1+2+3+4，
…
=1+2+3+4+…+20=210．
【分析】先分别求出①②③④的结果，发现的规律①=1；②=1+2；③=1+2+3；④=1+2+3+4．以此类推，
=1+2+3+4+…+20=210．．
三、解答题
21.【答案】
（1）解：移项得：2x2＝10，
系数化为1得x2＝5，
开平方得：x＝±
（2）解：移项得：(x＋1)3＝－27，
开立方得：x＋1＝－3，
移项合并同类项得：x＝－4
【分析】（1）方程变形后，直接开平方即可求出解；（2）方程变形后，直接开立方即可求出解；
22.【答案】解：设篮球场的宽为x
m，则长为
x
m，根据题意，得
x·x=420，即x2=225，
∵x为正数，
∴x=
=15，
∴篮球场的长为28米，
∵
(28+2)2=900<1000，
∴能按规定在这块空地上建一个篮球场
【分析】设篮球场的宽为x
m，可表示出长，再根据长方形的面积公式，建立关于x的方程，求出它的长与宽，再把篮球场的长加上2与正方形的边长比较大小，即可求解。
23.【答案】解：∵﹣（b﹣1）=0，
∴+（1﹣b）=0，
∵1﹣b≥0，
∴1+a=0，1﹣b=0，解得a=﹣1，b=1，
∴a2015﹣b2016=（﹣1）2015﹣12016=﹣1﹣1=﹣2．
【分析】由已知条件得到+（1﹣b）=0，利用二次根式有意义的条件得到1﹣b≥0，再根据几个非负数和的性质得到1+a=0，1﹣b=0，解得a=﹣1，b=1，然后根据乘方的意义计算a2015﹣b2016的值．
24.【答案】
解：根据题意，可得2a-1=9，3a+b-9=8，
故a=5，b=2，
又有7＜
＜8，
可得c=7，
则a+2b+c=16，
【分析】根据平方根和立方根的意义可得关于a、b的方程组，解方程组可求得a、b的值；再根据无理数的大小的比较，可求出的范围，可得整数部分c的值，然后把a、b、c的值代入所求代数式计算并求平方根即可求解。
25.
解：由题意可得，3y﹣1+1﹣2x=0，
则3y=2x，
所以
=
．
【分析】根据互为相反数的和为零，可得方程，再根据等式的性质，可得答案．
四、综合题
26.【答案】
（1）0.1；10
（2）解：31.6；10000
（3）解：当
当
当
【分析】第1小题，是a的算术平方根，表中的x、y可求；第2小题，由1可知，a扩大100倍，则扩大10倍，可求解；第3小题，分三种情况讨论，当
a
=
0
或
1
时，=a,当
0
<
a
1
时,a,当
a
>
1
时,a.
27.【答案】
（1）解：图②中1个浅色直角三角形的面积
.
（2）解：大正方形的面积等于5个小正方形的面积之和=5，
∴图③中大正方形的边长为
.
【分析】（1）根据直角三角形的面积公式计算即可；（2）根据图中得出大正方形的面积等于5个小正方形的面积之和．
28.【答案】
（1）解：
．验证如下：
左边=
=
=
=
=右边，
故猜想正确
（2）解：
．证明如下：
左边=
=
=
=
=右边
【分析】（1）通过观察，不难发现：等式的变形过程利用了二次根式的性质a=
（a≥0），把根号外的移到根号内；再根据“同分母的分式相加，分母不变，分子相加”这一法则的倒用来进行拆分，同时要注意因式分解进行约分，最后结果中的被开方数是两个数相加，两个加数分别是左边根号外的和根号内的；（2）根据上述变形过程的规律，即可推广到一般．表示左边的式子时，注意根号外的和根号内的分子、分母之间的关系：根号外的和根号内的分子相同，根号内的分子是分母的平方减去1．
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精品试卷·第
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