【2020年暑期衔接】青岛版八下 第6讲 有理数、实数（含解析）

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2020年暑期衔接训练青岛版数学八年级下册：第6讲
有理数、实数
一、单选题：
1.下列说法：（1）带根号的数是无理数；（2）无理数是带根号的数；（3）开方开不尽的都是无理数；（4）无理数都是开方开不尽的；（5）无理数是无限小数；（6）无限小数是无理数；正确的有（???
）.
A.?2个???????????????????????????????????????B.?3个???????????????????????????????????????C.?4个???????????????????????????????????????D.?5个
2.下列实数
，
，0，
，0.123456，0.1010010001，﹣
，
，﹣
，无理数的个数有（??
）
A.?2个???????????????????????????????????????B.?3个???????????????????????????????????????C.?4个???????????????????????????????????????D.?5个
3.如图，矩形
中，
，
，点
，
在数轴上，若以点
为圆心，对角线
的长为半径作弧交数轴的正半轴于点
，则点
表示的数为（???
）．
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
4.比较下列3个数：
，
，
，其中正确的顺序是（?????
）
A.?????????????????????????????????????????B.?
C.?????????????????????????????????????????D.?
5.如图，数轴上的点A，B，O，C，D分别表示数-2，-1，0，1，2，则表示数
的点P应落在
???
A.?线段AB上?????????????????????????B.?线段BO上?????????????????????????C.?线段OC上?????????????????????????D.?线段CD上
6.下列说法：（1）开方开不尽的数是无理数；（2）无理数包括正无理数、零、负无理数；（3）无限不循环小数是无理数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示
其中错误的个数是（??
）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
7.下列说法，正确的有（??
）个
①m是一个实数，m2的算术平方根是m；②m是一个实数，则﹣m没有平方根；③带根号的数是无理数；④无理数是无限小数．
A.?0???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?3
8.按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为
，则最后输出的结果是（??
）
A.?14???????????????????????????????????B.?16???????????????????????????????????C.?8+5
???????????????????????????????????D.?14+
9.实数a在数轴上的位置如图所示，则
+
化简后为（??
）
A.?5?????????????????????????????????????B.?﹣5?????????????????????????????????????C.?2a﹣9?????????????????????????????????????D.?2a+5
10.如图，直径为1个单位长度的圆从A点沿数轴向右滚动（无滑动）两周到达点B，则点B表示的数是（?
）
A.?π????????????????????????????????????B.?2π????????????????????????????????????C.?2π﹣1????????????????????????????????????D.?2π+1．
11.在数轴上标注了四段范围，如图所示，则表示﹣
的点落在（　　）
?
A.?段①?????????????????????????????????????B.?段②?????????????????????????????????????C.?段③?????????????????????????????????????D.?段④
12.三个实数﹣，
﹣2，﹣之间的大小关系是（　　）
A.?﹣＞﹣＞﹣2???????B.?﹣＞﹣2＞﹣???????C.?﹣2＞﹣＞﹣???????D.?﹣＜﹣2＜﹣
二、填空题：
13.已知关于
的一元一次不等式
的解集是
，如图，数轴上的A，B，C，D四个点中，实数m对应的点可能是________．
14.如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数是
和﹣1，则点C所对应的实数是________．
15.如图，点A，B在数轴上分别表示a，b，化简：
=________.
16.对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算如下：a※b=
，如3※2=
=
，那么7※5=________．
17.下列说法：①如果两个三角形全等，那么这两个三角形一定成轴对称；②数轴上的点和实数一一对应；③
是3的一个平方根；④两个无理数的和一定为无理数；⑤6.9
103精确到十分位；⑥
的平方根是
4.其中正确的________.（填序号）
18.如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A表示的数是-2，AC=BC=BD=1。若以点A为圆心、AD的长为半径画弧，与数轴交于点E(点E位于点A右侧)，则点E表示的数为________?。
三、作图题：
19.用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出
、
的点．保留作图痕迹
四、解答题：
20.计算：
.
21.已知实数a、b、c、d、m，若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，求
的平方根．
22.交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是v=16
，其中v表示车速（单位：km/h），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示摩擦因数．在某次交通事故中，测得d=6m，f=1.5，求肇事汽车的车速．
23.如图，数轴上有A．B两点，AB=12，原点O是线段AB上的一点，OA=2OB．
（1）写出A，B两点所表示的实数；
（2）若点C是线段AB上一点，且满足AC=CO+CB，求C点所表示的实数；
（3）若动点P、Q分别从A．B同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动．
①当t为何值时，2OP﹣OQ=4；
②当点P到达点O时，动点M从点O出发，以每秒3个单位长的速度也向右运动，当点M追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，以同样的速度向点Q运动，如此往返，直到点P、Q停止时，点M也停止运动，求在此过程中，点M行驶的总路程和点M最后位置在数轴上对应的实数．
24.我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果ax+b=0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a=0且b=0．
运用上述知识，解决下列问题：
（1）如果（a+2）
-b+3=0，其中a、b为有理数，那么a=________，b=________；
（2）如果2b-a-（a+b-4）
=5，其中a、b为有理数，求3a+2b的平方根．
25.探究题：?????
（1）若
、
、
是有理数，且满足等式
，
试计算：
?的值。
（2）观察下列各式：
?①
,
?,
，
猜想
：
?=________；
②规律
：用含
?(
≥1)的等式表示________.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
A
解：（1）
是有理数，故说法（1）错误；（2）
是无理数，但没有根号，故说法（2）错误；（3）符合无理数的定义，故说法（3）正确；（4）
是无理数但不是开方开不尽的数，故说法（4）错误；（5）符合无理数的定义，故说法（5）正确；（6）无限循环小数是有理数，故说法（6）错误.
故答案为：A.
【分析】根据无线不循环小数是无理数可判断求解.
2.【答案】
B
解：由无理数的定义易得，
，
，﹣
是无理数.
故答案为：B.
【分析】无理数，就是无限不循环的小数，常见的无理数有：开放开不尽的数；及含的式子；具有特殊结构的数如：0,。101001000100001……这列不循环，且两个1之间依次多一个0这样的无限小数；根据定义即可一一判断。
3.【答案】
A
解：∵矩形
中，
，
，
∴BC=AD=1,
∠ABC=90°
∴AC=
∴AM=AC=
即点M
表示的数为:
-1
故答案为：A
【分析】先求出AC的长，根据AC=AM，即可得出点M表示的数．
4.【答案】
C
解：∵
，
，
∵
∴
故答案为：C
【分析】可将根号外面的系数放入根号内
，
，
，再比较根号内数的大小，可求得答案.
5.【答案】
B
解：∵
∴
∴点P应落在线段BO上。
故答案为：B.
【分析】先估算出的取值范围，进而得出的范围，据此可解。
6.【答案】A
解：（1）开方开不尽的数是无理数，正确；（2）无理数包括正无理数、负无理数，故本选项错误；（3）无限不循环小数是无理数，正确；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示，正确；
其中错误的个数有1个；
故选A．
【分析】根据无理数的定义分别对每一项进行分析即可．
7.【答案】B
解：①如果m是一个实数，m2的算术平方根是|m|，当m是非负数时，m2的算术平方根是m；
所以此说法不正确；②如果m是一个正数，则﹣m没有平方根；所以此选项不正确；③带根号的数不一定是无理数，如
=2，是有理数；所以此选项说法不正确；④无理数是无限不循环小数，所以无理数是无限小数，所以此选项说法正确；
所以本题说法正确的有1个：④，
故选B．
【分析】①根据算术平方根的定义进行判断；②根据平方根的定义进行判断；③带根号的数不一定是无理数，开方开不尽的数是无理数；④根据无理数的定义进行判断．
8.【答案】
C
解：当n=
时，n（n+1）=
×（
+1）=2+
＜15；
当n=2+
时，n（n+1）=（2+
）×（3+
）=6+5
+2=8+5
＞15，
则输出结果为8+5
．
故选：C．
【分析】将n的值代入计算框图，判断即可得到结果．
9.【答案】A
解：由数轴可得：2＜a＜5，
∴a﹣2＞0，a﹣7＜0，
∴
+
=a﹣2+7﹣a=5，
故选：A．
【分析】先根据数轴确定a的取值范围，再根据二次根式的性质即可化简．
10.【答案】
C
解：A点表示的数加两个圆周，可得B点，
﹣1+2π，
故选：C．
【分析】根据是数的运算，A点表示的数加两个圆周，可得B点，根据数轴上的点与实数一一对应，可得B点表示的数．
11.【答案】
C
解：∵32=9，3.12=9.61，3.22=10.24，
∴﹣的点落在第③段内．
故选：C．
【分析】分别利用已知数据的平方得出最接近的数据即可得出答案．
12.【答案】
C
解：∵﹣2=﹣，
又∵＜＜
∴﹣2＞﹣＞﹣．
故选C．
【分析】根据两个负数绝对值大的反而小来比较即可解决问题．
二、填空题
13.【答案】
A
解：∵
，
∴
，
∵关于
的一元一次不等式
的解集是
，
∴
，
∴
，
∵数轴上只有点A表示的数小于-2，
∴实数
对应的点可能是A．
故答案为：A．
【分析】求出不等式的解集，根据已知条件得出关于m的不等式，求出不等式的解集即可．
14.【答案】
2
+1
解：设点C所对应的实数是x．
则有x﹣
＝
﹣（﹣1），
解得x＝2
+1．
故答案是：2
+1．
【分析】设点C所对应的实数是x．根据中心对称的性质，即对称点到对称中心的距离相等，即可列方程求解即可．
15.【答案】
2-a.
解：∵从数轴可知：-1＜a＜0＜1＜b＜2，
∴a+1＞0，1-b＜0，a-b＜0，-a＞0，
∴
=a+1-（b-1）+（b-a）-a
=a+1-b+1+b-a-a
=2-a.
故答案是：2-a.
【分析】根据数轴得出-1＜a＜0＜1＜b＜2，求出a+1＞0，1-b＜0，a-b＜0，-a＞0，根据二次根式的性质和绝对值的性质化简求解即可.
16.【答案】
.
解：根据题意得：
故答案为：
【分析】根据新定义运算法则列出算式，再根据实数混合运算方法算出答案.
17.【答案】
②③
解：①如果两个三角形关于某直线对称对称，那么这两个三角形一定全等，错误；
②数轴上的点和实数一一对应，正确；
③
是3的一个平方根，正确；
④两个无理数的和不一定是无理数，例如-
+
=0，故错误；
⑤6.9
103=6900，所以说精确到十分位错误；
⑥16的平方根为±4，故错误.
故答案为:②③.
【分析】①成轴对称与位置也有关系，所以全等的两个三角形不一定成轴对称；④两个无理数经过运算后不一定为无理数；⑤对于科学记数法的数的精确度需看a中最后一位数在还原后的数据中的位置为精确的位数；⑥一个正数有两个平方根，它们互为相反数，特别的0的平方根只有1个为0.
18.【答案】
-2
解：∵AB=，
∴AD=，
∴AE=AD=，
∴OE=OA-AE=2-，
∴E表示.
故答案为：-2.
【分析】利用勾股定理依次求出AB和AD的长，根据同圆的半径相等可得AE的长，则E点表示的数可知.
三、作图题
19.解：
、
的点如图所示：
【分析】令表示－1、0、3位置的点分别为A、O、D，过点O作OM⊥AD交AD于O，在OM上截取OB=1，连接AB，由勾股定理可得AB=
，此时以O为圆心，AB长为半径作弧，弧线与坐标轴负半轴的交点即为表示
的点；在OM上截取OC=2，连接CD，由勾股定理可得CD=
，此时以O为圆心，CD长为半径作弧，弧线与坐标轴正半轴的交点即为表示
的位置．
四、解答题
20.
解：原式=
.
【分析】直接利用负指数幂的性质、零次幂的性质、绝对值和二次根式的性质分别化简得出答案．
21.解：根据题意得：a+b=0，cd=1，m=2或﹣2，
当m=±2时，原式=5，
5的平方根为±
【分析】根据相反数，倒数，以及绝对值的意义求出a+b，cd及m的值，代入计算即可求出平方根．
22.
解：∵d=6，f=1.5，
∴v=16
=16×3=48（千米/时），
答：肇事汽车的车速为48千米/时。
【分析】把
d=6m，f=1.5代入
v=16?，求v即可。
23.（1）解：∵AB=12，AO=2OB，
∴AO=8，OB=4，
∴A点所表示的实数为﹣8，B点所表示的实数为4
（2）解：设C点所表示的实数为x，
分两种情况：①点C在线段OA上时，则x＜0，如图1，
∵AC=CO+CB，
∴8+x=﹣x+4﹣x，
3x=﹣4，
x=﹣
；
②点C在线段OB上时，则x＞0，如图2，
∵AC=CO+CB，
∴8+x=4，
x=﹣4（不符合题意，舍）；
综上所述，C点所表示的实数是﹣
（3）解：①当0＜t＜4时，如图3，
AP=2t，OP=8﹣2t，BQ=t，OQ=4+t，
∵2OP﹣OQ=4，
∴2（8﹣2t）﹣（4+t）=4，
∴t=
=1.6，
当点P与点Q重合时，如图4，
2t=12+t，t=12，
当4＜t＜12时，如图5，
OP=2t﹣8，OQ=4+t，
则2（2t﹣8）﹣（4+t）=4，
t=8，
综上所述，当t为1.6秒或8秒时，2OP﹣OQ=4；
②当点P到达点O时，8÷2=4，此时，OQ=4+t=8，即点Q所表示的实数为8，
如图6，设点M运动的时间为t秒，
由题意得：2t﹣t=8，
∴t=8，
此时，点P表示的实数为8×2=16，所以点M表示的实数也是16，
∴点M行驶的总路程为：3×8=24，
答：点M行驶的总路程为24和点M最后位置在数轴上对应的实数为16．
【分析】（1）根据OA=2OB，AB=12，即可求出OB和OA的长度，既而得出A和B点所表示的实数。
（2）C点可以在OA上，也可以在OB上，所以分类讨论，设C点表示的数为x，根据AC=CO+CB列方程，求出C点的数值，根据题目要求做出取舍即可。
（3）①分三种情况：当P在AO中时，当PQ两点重合时，当P在BQ上运动时；根据2OP﹣OQ=4列方程，即可求出t的对应数值。
②由题可知，P点到O点时，即可求出Q所代表的数；可设点M运动的时间为t秒，根据题意，P和Q停止时，解出t的数值，得出M点所对应的实数。
24.【答案】
（1）-2；3
（2）解：已知等式整理得：2b-a-（a+b-4）
-5=0，
∴
，
解得：
，
则3a+2b=9，9的平方根为±3
【分析】（1）根据a、b为有理数，如果（a+2）
2
-b+3=0，那么a+2=0且-b+3=0，从而得出a,b的值；
（2）已知等式右边化为0，根据a,b为有理数，求出a,b的值，即可确定出3a+2b的平方根。
25.
解：（1）因为
，
所以a=2，b=-1，c=3，
所以
=
=1-1=0
（2）（2）①
=
；
②
.
【分析】（1）根据题意，先求出a、b、c的值，然后代入求解。
（2）认真贯彻题中所给的式子的规律，得出规律并写出第4个等式，再根据此规律写出第n个式子。
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精品试卷·第
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