【2020年暑期衔接】青岛版八下 第8讲 勾股定理的逆定理（含解析）

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2020年暑期衔接训练青岛版数学八年级下册：第8讲
勾股定理的逆定理
一、单选题:
1.以下列各组数为边的三角形中，是直角三角形的有（?
）
（
1
）3，4，5；（2）
，
，
；（3）
，
，
；（4）0.03，0.04，0.05.
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
2.下列说法不能得到直角三角形的（???
）
A.?三个角度之比为
1：2：3
的三角形?????????????????????B.?三个边长之比为
3：4：5
的三角形
C.?三个边长之比为
8：16：17
的三角形?????????????????D.?三个角度之比为
1：1：2
的三角形
3.将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形是（???
）
A.?锐角三角形?????????????????????????B.?直角三角形?????????????????????????C.?钝角三角形?????????????????????????D.?不确定
4.下列三角形中，不是直角三角形的是（???
）
A.?△ABC中,∠A=∠B-∠C????????????????????????????????B.?△ABC中,a:b:c=1:2:3
C.?△ABC中,a2=c2-b2???????????????????????????????????D.?△ABC中,三边的长分别为m2+n2,m2-n2,2mn(m>n>0)
5.的三边
，且
，下列结论正确的是（?
）
A.?是等腰直角三角形且
????????B.?是直角三角形或等腰三角形
C.?是直角三角形，且
????????????D.?是直角三角形，且
6.有下面的判断：
①若△ABC中，a2＋b2≠c2
，
则△ABC不是直角三角形；②△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2＋b2=c2；③若△ABC中，a2－b2=c2
，
则△ABC是直角三角形；④若△ABC是直角三角形，则(a＋b)(a－b)=c2.其中判断正确的有(??
)
A.?4个???????????????????????????????????????B.?3个???????????????????????????????????????C.?2个???????????????????????????????????????D.?1个
7.有六根细木棒，它们的长度分别是2，4，6，8，10，12（单位：cm），从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这三根木棒的长度分别为（?
）
A.?2，4，8??????????????????????????B.?4，8，10??????????????????????????C.?6，8，10??????????????????????????D.?8，10，12
8.已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足（a﹣6）2+
+|c﹣10|=0，则三角形的形状是（??
）
A.?直角三角形???????????????B.?等边三角形???????????????C.?钝角三角形???????????????D.?底与腰不相等的等腰三角形
9.已知：△ABC中，AB=4，AC=3，BC=，
则△ABC的面积是（　　）
A.?6????????????????????????????????????????B.?5????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?2
10.下列命题：
①如果a、b、c为一组勾股数，那么4a、4b、4c仍是勾股数；
②如果直角三角形的两边是3，4，那么斜边必是5；
③如果一个三角形的三边是12，25，21，那么此三角形必是直角三角形；
④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a＞b=c），那么a2：b2：c2=2：1：1．
其中正确的是（　　）
A.?①②?????????????????????????????????????B.?①③?????????????????????????????????????C.?①④?????????????????????????????????????D.?②④
11.一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N两点相距100海里，则∠NOF的度数为（　　）
A.?50°???????????????????????????????????????B.?60°???????????????????????????????????????C.?70°???????????????????????????????????????D.?80°
12.已知：在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则下列条件中：
①a=3，b=4，c=
；
②a2：b2：c2=6：8：10；
③∠A：∠B：∠C=3：4：5；
④∠A=2∠B，∠C=3∠B．
其中能判断△ABC是直角三角形的条件为（??
）
A.?①②?????????????????????????????????????B.?①④?????????????????????????????????????C.?②④?????????????????????????????????????D.?②③
二、填空题:
13.已知三角形的三边长分别为
，
，
，则此三角形的最长边上的高等于________。
14.分别以△ABC的各边为一边向三角形外部作正方形，若这三个正方形的面积分别为6cm2、8cm2、10cm2
，
则△ABC________直角三角形.（填“是”或“不是”）
15.用长度相同的火柴棒首尾相连摆直角三角形，你认为至少要用________根才能摆成．
16.有一根长24cm的小木棒，把它分成三段，组成一个直角三角形，且每段的长度都是偶数，则三段小木棒的长度分别是________?cm，________?cm，________?cm．
17.某花园小区有一空地
（如图所示的△ABC），为美化小区，居委会准备将其开发种植花草，经测量AB=13m，BC=10m，BC边上的中线AD=12m，如果种植每平方米花草需要50元，那么种植这块三角形空地需要________元．
18.探索勾股数的规律：
观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…可发现，4=
，12=
，24=
…请写出第5个数组：________．
19.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为________．
20.如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ的面积为________?cm2
．
三、作图题:
21.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．
（1）在图①中，求线段AB的长度；若在图中画出以C为直角顶点的Rt△ABC
，
使点C在格点上，请在图中画出所有点C；
（2）在图②中，以格点为顶点，请先用无刻度的直尺画正方形ABCD
，
使它的面积为13;再画一条直线PQ（不与正方形对角线重合），使PQ恰好将正方形ABCD的面积二等分(保留作图痕迹）.
四、解答题:
22.在△ABC中，三条边长分别为a、b、c，且a=n，
(n是大于2的偶数)，求证:
△ABC是直角三角形.
23.如图是一块地的平面图，AD＝4
m，CD＝3
m，AB＝13
m，BC＝12
m，∠ADC＝90°，求这块地的面积．
24.一个零件的形状如图，按规定这个零件的∠A与∠BDC都要是直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3，DC=12，BC=13，BD=5．这个零件符合要求吗？
25.如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。
26.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6cm，AD=24cm，BC与CD的长度之和为34cm，其中C是直线l上的一个动点，请你探究当C离点B有多远时，△ACD是以DC为斜边的直角三角形．
27.如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船每小时比货船多走5海里，客船与货船速度的比为4：3，货船沿东偏南10°方向航行，2小时后货船到达B处，客船到达C处，若此时两船相距50海里.
（1）求两船的速度分别是多少？
（2）求客船航行的方向.
28.阅读：能够成为直角三角形的三边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组的公式为
其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．
应用：当n＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边的长．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
B
解：（1）∵
，∴是直角三角形；
（2）∵
，∴不是直角三角形；
（3）∵
，∴不是直角三角形；
（4）∵
，∴是直角三角形.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理的逆定理，一个三角形的三边如果满足，较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形就是直角三角形，从而即可一一判断得出答案.
2.【答案】
C
解：A.三个角之比为1:2:3，则这三个角分别为：30°、60°、90°，是直角三角形；
B.三边之比为3:4:5，设这三条边长为：3x、4x、5x，满足：
，是直角三角形；
C.三边之比为8:16:17，设这三条边长为：8x、16x、17x，
，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形
D.三个角之比为1:1:2，则这三个角分别为：45°、45°、90°，是直角三角形；
故答案为：C
【分析】三角形内角和180°，根据比例判断A、D选项中是否有90°的角，根据勾股定理的逆定理判断B、C选项中边长是否符合直角三角形的关系.
3.【答案】
B
解：设原来的直角三角形的三边长为a，b，c，
∴
，
直角三角形各边长都缩小或扩大k倍后得：ka，kb，kc（k≠0），
∴
，
即以ka，kb，kc为边长的三角形是直角三角形.
故答案为：B.
【分析】设原来的直角三角形的三边长为a，b，c，由勾股定理得
，再根据条件和勾股定理的逆定理，即可得到结论.
4.【答案】
B
解：
A、∠A+∠C=∠B，则∠B=90°，则为直角三角形；
B、当三边比值为1:2:3时，则无法构成三角形；
C、根据题意可知：
，满足勾股定理的逆定理，则这个三角形就是直角三角形；D、根据题意可知
，满足勾股定理的逆定理，则这个三角形就是直角三角形.
故答案为：B
．
【分析】对于直角三角形的判定我们可以从角的方面去判断，也可以利用勾股定理的逆定理来进行判断.
5.【答案】
D
解：∵
∴
∴
是直角三角形，且
故答案为：D
【分析】将
进行化简后，根据勾股逆定理进行判断即可
6.【答案】
C
解：①c不一定是斜边，①错误；
②根据勾股定理可得②正确；
③根据勾股定理的逆定理可得③正确；
④若△ABC是直角三角形，c是斜边，则（a+b）（a-b）=c2
，
④正确.
共2个正确.
故答案为：C.
【分析】要判断一个三角形是否是直角三角形，根据勾股定理的逆定理只需验证两较短边的平方是否等于最长边的平方即可判断求解.
7.【答案】
C
解：由勾股定理的逆定理分析得，只有C中有62+82=102
，
故选C．
【分析】根据勾股定理的逆定理进行分析，从而得到答案．
8.【答案】
A
解：∵（a﹣6）2≥0，
≥0，|c﹣10|≥0，
又∵（a﹣b）2+
+|c﹣10|=0，
∴a﹣6=0，b﹣8=0，c﹣10=0，
解得：a=6，b=8，c=10，
∵62+82=36+64=100=102
，
∴是直角三角形．
故选A．
【分析】首先根据绝对值，平方数与算术平方根的非负性，求出a，b，c的值，在根据勾股定理的逆定理判断其形状是直角三角形．
9.【答案】
C
解：∵AB=4，AC=3，BC=，
∴AB2=16，AC2=9，BC2=7，
∴AB2=AC2+BC2
，
∴△ABC为直角三角形，
∴S△ABC=，
故选C．
【分析】根据题意可得出AB2=AC2+BC2
，
再由勾股定理的逆定理可得出△ABC为Rt△，从而得出△ABC的面积．
10.【答案】
C
解：①正确，∵a2+b2=c2
，
∴（4a）2+（4b）2=（4c）2
，
②错误，应为“如果直角三角形的两直角边是3，4，那么斜边必是5”
③错误，∵122+212≠252
，
∴不是直角三角形；
④正确，∵b=c，c2+b2=2b2=a2
，
∴a2：b2：c2=2：1：1，
故选C．
【分析】本题主要依据勾股定理的逆定理，判定三角形是否为直角三角形．
11.【答案】
C
解：∵OM=60海里，ON=80海里，MN=100海里，
∴OM2+ON2=MN2
，
∴∠MON=90°，
∵∠EOM=20°，
∴∠NOF=180°﹣20°﹣90°=70°，
故选C．
【分析】求出OM2+ON2=MN2
，
根据勾股定理的逆定理得出∠MON=90°，根据平角定义求出即可．
12.【答案】
B
解：①∵a=3，b=4，c=
，
∴a2+c2=b2
，
∴此时△ABC是直角三角形；②∵a2：b2：c2=6：8：10，
∴a2+b2≠c2
，
∴此时△ABC不是直角三角形；③∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠A+∠B+∠C=180°，
∴最大角∠C=
=75°，
∴此时△ABC不是直角三角形；④∵∠A=2∠B，∠C=3∠B，∠A+∠B+∠C=180°，
∴6∠B=180°，
∴∠B=30°，
∴∠C=90°，
∴此时△ABC是直角三角形；
∴能判断△ABC是直角三角形的条件为①④，
故答案为：B．
【分析】利用勾股定理逆定理和三角形内角和定理可判定三角形是否是直角三角形，要区别角与边，边之间关系与平方之间的关系.
二、填空题
13.【答案】
解：设此三角形的最长边上的高为h.
∵
∴此三角形是直角三角形
∴
解得
h=.
【分析】先利用勾股定理的逆定理判定出此三角形为直角三角形，然后利用等面积法求解即可。
14.【答案】
不是.
解：∵分别以△ABC的各边为一边向三角形外部作正方形，这三个正方形的面积分别为6cm2、8cm2、10cm2
，
∴三边平方后分别为：6，8，10，
∵6+8≠10，
∴△ABC不是直角三角形.
故答案为：不是.
【分析】直接利用正方形的性质结婚和勾股定理的逆定理进而分析得出答案.
15.【答案】
12
解：直角三角形的三边长为3，4，5时，三角形的周长最小，3+4+5=12，故答案为：12．
【分析】构成直角三角形的勾股数最小的一组为3、4、5。故最少需要3+4+5根，即12根。
16.【答案】6；8；10
解：设三边为3x，4x，5x，
则3x+4x+5x=24，
x=2，
即三角形三边是6，8，10，根据勾股定理的逆定理，
故答案为：6，8，10．
【分析】如果三角形的三边长a、b、c有关系：a2+b2=c2
，
那么这个三角形是直角三角形，设三边为3x，4x，5x，得出3x+4x+5x=24，求出即可．
17.【答案】3000
解：∵AD是中线，AB=13m，BC=10m，∴BD=
?BC=5m．
∵5?+12?=13?，即BD?+AD?=AB?，
∴△ABD是直角三角形，则AD⊥BC，
∴S△ABC=
×AD×BC=
?×10×12=60（m2），
∵种植每平方米花草需要50元，
∴种植这块三角形空地需要：50×60=3000（元）．
故答案为：3000
【分析】根据三角形中线的定义得出BD=?BC=5m，根据勾股定理的逆定理判断出△ABD是直角三角形，则AD⊥BC，根据三角形的面积公式可以算出S△ABC，从而得出答案。
18.【答案】11，60，61
解：∵①3=2×1+1，4=2×12+2×1，5=2×12+2×1+1；②5=2×2+1，12=2×22+2×2，13=2×22+2×2+1；③7=2×3+1，24=2×32+2×3，25=2×32+2×3+1；④9=2×4+1，40=2×42+2×4，41=2×42+2×4+1；⑤11=2×5+1，60=2×52+2×5，61=2×52+2×5+1，
故答案为：11，60，61．
【分析】先找出每组勾股数与其组数的关系，找出规律，再根据此规律进行解答．
19.【答案】24
解：在Rt△BCE中，由勾股定理，得
CE=
=
=5．
∵BE=DE=3，AE=CE=5，
∴四边形ABCD是平行四边形．
四边形ABCD的面积为BC?BD=4×（3+3）=24．
故答案为：24．
【分析】根据勾股定理，可得EC的长，根据平行四边形的判定，可得四边形ABCD的形状，根据平行四边形的面积公式，可得答案．
20.【答案】18
解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，
∵周长为36cm，
AB+BC+AC=36cm，
∴3x+4x+5x=36，
解得x=3，
∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，
∵AB2+BC2=AC2
，
∴△ABC是直角三角形，
过3秒时，BP=9﹣3×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm），
∴S△PBQ=
BP?BQ=
×（9﹣3）×6=18（cm2）．
故答案为：18．
【分析】首先设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，利用方程求出三角形的三边，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形．再求出3秒后的，BP，BQ的长，利用三角形的面积公式计算求解．
三、作图题
21.（1）解：
如图，
?；
以线段AB为斜边，照此构造格点直角三角形，左右各有三个，C点有六种情况，如下图所示，
（2）解：作法如图：
（其中直线PQ只要过AC、BD交点O
，
且不与AC、BD重合即可）
【分析】（1）根据勾股定理:c2=a2+b2,因为,
以线段AB为斜边，照此构造格点直角三角形，左右各有三个，C点有六种情况。
（2）依据勾股定理，13=22+32，
照此构造格点直角三角形，得出斜边AB，再画出边长为的正方形，∵正方形是中心对称图形，以对称中心，即正方形对角线的交点为基点任意画一条贯穿正方形对边的直线即可把正方形的面积均分。
四、解答题
22.证明：
是直角三角形
理由如下：
是直角三角形
【分析】判断一组数是否为直角三角形的三条边，即根据勾股定理得逆定理两个小边的平方和是否等于长边的平方。
23.解：连接AC，在直角三角形ACD中，根据勾股定理可得，AC==5（cm）
又∵AC2+BC2=52+122=AB2=132
∴三角形ACB为直角三角形
∴S△ACB=S△ABC-S△ACD=512-43=24（cm2）。
答：这块地的面积是24cm2.
【分析】连接AC，根据勾股定理可以求得AC的长度，同时根据勾股定理的逆定理可以求得三角形ABC为直角三角形，则地的面积等于两个三角形的面积差。
24.
解：连结BD．
∵AD=4，AB=3，DC=12，BC=13，BD=5，
∴AB2+AD2=BD2
，
BD2+DC2=BC2
．
∴△ABD、△BDC是直角三角形．
∴∠A=90°，∠BDC=90°．
故这个零件符合要求
【分析】连结BD．根据勾股定理的逆定理可知AB2+AD2=BD2
，
BD2+DC2=BC2
．
故△ABD、△BDC是直角三角形，且∠A=90°，∠BDC=90°，从而得出这个零件符合要求。
25.解：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得
：
a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,
∴
(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。
∵
(a-3)2≥0,
(b-4)2≥0,
(c-5)2≥0。
∴
a=3，b=4，c=5。
∵
32+42=52,
∴
a2+b2=c2。
由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形。
【分析】根据题意整理代数式，得到完全平方式的形式，根据平方的非负性，得到a、b、c的值，再根据股定理的逆定理，得到ΔABC是直角三角形.
26.解：∵BC与CD的长度之和为34cm，
∴设BC=xcm，则CD=（34﹣x）cm．
∵在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6cm，
∴AC2=AB2+BC2=62+x2
．
∵△ACD是以DC为斜边的直角三角形，AD=24cm，
∴AC2=CD2﹣AD2=（34﹣x）2﹣242
，
∴62+x2=（34﹣x）2﹣242
，
解得x=8，
即BC=8cm
【分析】设BC=xcm，则CD=（34﹣x）cm，再根据勾股定理及勾股定理的逆定理列出方程，求出x的值即可．
27.（1）解：设两船的速度分别是4x海里/小时和3x海里/小时，依题意得：
4x﹣3x=5.
解得：x=5，∴4x=20，3x=15.
答：两船的速度分别是20海里/小时和15海里/小时；
（2）解：由题可得：AB=15×2=30，AC=20×2=40，BC=50，∴AB2+AC2=BC2
，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°.
又∵货船沿东偏南10°方向航行，∴∠1=10°.
∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°，∴∠3=∠1=10°，∴客船航行的方向为北偏东10°方向.
【分析】（1）设两船的速度分别是4x海里/小时和3x海里/小时，依据客船每小时比货船多走5海里，列方程求解即可；（2）依据AB2+AC2=BC2
，
可得△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，再根据货船沿东偏南10°方向航行，即可得到客船航行的方向为北偏东10°方向.
28.解：当n=1时，①a=（m2-1），②b=m，③c=（m2+1）
∵直角三角形的一边长为5
∴当a=5时，（m2-1）=5，m=±（舍去）；
当b=5时，m=5，代入①③中可得a=12，c=13；
当c=5时，（m2+1）=5，m=±3，即m=3，代入①②中可得a=4，b=3
∴另外两条边长为12，13或3，4.
【分析】将n=1代入勾股数组三个公式中，分别根据一条边的长为5，得到a=5，b=5，c=5三种情况，求另外两条边的边长即可。
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