【2020年暑期衔接】青岛版八下 第9讲 第七章《实数》单元测试（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2020年暑期衔接训练青岛版数学八年级下册：第9讲
第七章《实数》单元测试
一、单选题：
1.已知
，则
的值为（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
2.将面积为2π的半圆与两个正方形A和正方形B拼接如图所示，这两个正方形面积的和为（???
）
A.?4??????????????????????????????????????????B.?8??????????????????????????????????????????C.?2π??????????????????????????????????????????D.?16
3.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古代算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出(???
)
A.?直角三角形的面积??????????????????????????????????????????????B.?最大正方形的面积
C.?较小两个正方形重叠部分的面积?????????????????????????D.?最大正方形与直角三角形的面积和
4.下列等式成立的是(????
)
A.??????????????????B.??????????????????C.??????????????????D.?
5.下列说法中正确的有(??
)
①负数没有平方根，但负数有立方根；②一个数的立方根等于它本身，则这个数是0或1；
③无理数与数轴上的点一一对应；④
的平方根是±2；⑤-
一定是负数
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
6.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a、b、c，下列条件中，能判断△ABC是直角三角形（???
）
A.?a=2，b=3，c=4??????????B.?a：b：c=
??????????C.?∠A+∠B=2∠C??????????D.?∠A=2∠B=3∠C
7.在实数
，3.14159，
，
，1.010010001···，
，0.
中，无理数的个数是（??
）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
8.如图所示的“赵爽弦圈”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为n，较短直角边长为b．若nb=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为(???
????)
A.?9???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?3
9.如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC
和△A′B′C′拼在一起，其中点
A′与点
A
重合，点
C′
落在边
AB
上，连接
B′C．若∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，则
B′C
的长为(?????
)
A.????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
10.已知：在△ABC中，三边长a，b，c满足等式a2-16b2-c2+6ab+10bc=0，则（　　）
A.?a11.把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一条直线上，若AB=
，则CD的长为（??
）
A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
12.如图，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从点A出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA1→A1D1→……，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB1→……，并且都遵循如下规则：所爬行的第n＋2与第n条棱所在的直线必须是既不平行也不相交（其中n是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2018条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（???
）
A.?0?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?1
二、填空题：
13.已知的整数部分为a，小数部分为b，则a-b=________
.
14.在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1
，
S2
，
S3
，
S4
，
则S1+S2+S3+S4=________?
15.程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要的著作．在《算法统宗》中记载：“平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”【注释】1步=5尺．
译文：“当秋千静止时，秋千上的踏板离地有1尺高，如将秋千的踏板往前推动两步（10尺）时，踏板就和人一样高，已知这个人身高是5尺．美丽的姑娘和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断．好奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗？”
如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA是秋千的静止状态，A是踏板，CD是地面，点B是推动两步后踏板的位置，弧AB是踏板移动的轨迹．已知AC=1尺，CD=EB=10尺，人的身高BD=5尺．设绳索长OA=OB=x尺，则可列方程为________．
16.已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，则四边形ABCD的面积________．
17.如图，在高3米，坡面线段AB长为5米的楼梯表面铺地毯，已知楼梯宽1.5米，地毯售价为40元/平方米，若将楼梯表面铺满地毯，则至少需________元．
18.如图，要使宽为2米的矩形平板车ABCD通过宽为2
米的等宽的直角通道，平板车的长不能超过________米．
19.如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，将△ABC放置在平面直角坐标系中，使点A与原点重合，点C在x轴正半轴上．将△ABC按如图2方式顺时针滚动（无滑动），则滚动2017次后，点B的坐标为________．
20.分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题．
OA22=（）2+1=2???
S1=；
OA32=（）2+1=3???
S2=；
OA42=（）2+1=4????
S3=…
（1）请用含有n（n为正整数）的等式Sn=________?；
（2）推算出OA10=________?
（3）求出
S12+S22+S32+…+S102的值．
三、计算题：
21.求x的值:
（1）（x﹣2）2＝81
（2）（2x﹣1）3+27＝0
（3）计算：
；
22.已知2是
的平方根，
是
的立方根，求
的平方根.
23.课堂上老师讲解了比较
和
的方法，观察发现11-10＝15-14＝1，于是比较这两个数的倒数：
因为
，所以
，则有
，
请你设计一种方法比较
与
的大小，
四、作图题：
24.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点．
（1）在图1中以格点为顶点画一个直角三角形，使它的三边长都为整数；
（2）在图2中以格点为顶点画一个直角三角形，使它的三边长都为无理数；
（3）在图3中以格点为顶点画一个面积为10的正方形．
五、解答题：
25.如图所示，北部湾海面有一艘解放军军舰正在基地
的正东方向且距
地40海里的
处训练，突然接到基地命令，要该舰前往
岛接送一名患病的渔民到基地
的医院救治.已知
岛在基地
的北偏东58°方向且距基地
32海里，在
处的北偏西32°的方向上.军舰从
处出发，平均每小时行驶40海里，问至少需要多长时间能把患病渔民送到基地医院？
26.如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）
27.如图，折叠长方形的一边
，使点
落在
边上的点
处，
，
.
（1）求
的长；
（2）求
的长.
28.为了积极响应国家新农村建设，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员．如图，笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离为600米，假使宣讲车P周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN方向行驶时：
（1）请问村庄能否听到宣传，请说明理由；
（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是200米/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
B
解：，
，
3x=±7，
∴x=
.
故答案为：B.
【分析】先移项，再利用直接开平方法，即可求解.
2.【答案】
D
解：已知半圆的面积为2π，
所以半圆的直径为：2?
＝4，
即如图直角三角形的斜边为：4，
设两个正方形的边长分别为：x，y，
则根据勾股定理得：x2+y2＝42＝16，
即两个正方形面积的和为16.
故答案为：D.
【分析】首先由面积为2π的半圆，可知圆的面积为4π，求出半圆的直径，即直角边的斜边，再根据勾股定理求出两直角边的平方和，即是这两个正方形面积的和.
3.【答案】
C
解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a。
由勾股定理得c2=a2+b2
，
阴影部分的面积=c2-b2-a(c-b)=a2-ac+ab=a(a+b-c)，
较小两个正方形重叠部分的宽=a-(c-b)=a+b-c，长=a，
则较小两个正方形重叠部分的面积=a(a+b-c)，
∴知道图中阴影部分的面积，就一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积。
【分析】设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a。由勾股定理得c2=a2+b2
，
然后根据正方形和长方形的面积公式计算即可。
4.【答案】
D
解：A.
，故错误；
B.
，故错误；
C.
，故错误；
D.
，正确；
故答案为：D.
【分析】根据算术平方根的定义、立方根的性质、平方根的定义即可一一判断得出答案.
5.【答案】
B
解：①负数没有平方根，但负数有立方根；说法正确；
②一个数的立方根等于它本身，则这个数是0或1，还有-1，故错误；
③实数与数轴上的点一一对应，故错误；
④
=4的平方根是±2，说法正确；
⑤-
一定是负数，当a=0时，不是负数，故错误；
故答案为：B.
【分析】根据只有非负数才有平方根和算术平方根，可对①作出判断；立方根等于它本身的数有±1，0，可对②作出判断；再根据实数与数轴上的点成一一对应，可对③作出判断；任何数的立方根只有一个，可对④作出判断；-
一定是非正数可对⑤作出判断，综上所述，可得到正确结论的个数。
6.【答案】
B
解：A、22+32=13<42=16，不是直角三角形，不符合题意；
B、设比的每份为1,
则?,是直角三角形，符合题意；
C、∵∠A+∠B+∠C=180°，∴3∠C=180°，∴∠C=60°，∴∠A+∠B=120°，∴不一定有角是90°，不符合题意；
D、∵
∠A=2∠B=3∠C
，∴∠B=∠A，∠C=∠A
，
∴∠A+∠A+∠A=180°，解得∠A=≠90°，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】已知三边，先求出较小两边的平方和，利用勾股定理即可判断；已知角的关系，则求出最大角，看是否等于90°即可.
7.【答案】
C
解：因为在实数
，3.14159，
，
，1.010010001···，
，0.
中，
是开不尽方的数，1.010010001···是无限不循环小数，
也是无限不循环小数，所以
、1.010010001···和
是无理数，所以共有3个无理数；
故答案选C.
【分析】根据无理数的概念以及常见无理数的类型即可做出判断.
8.【答案】
D
解：∵
较长直角边长为n，较短直角边长为b
，大正方形的面积为25
∴n2+b2=25
∴（n-b）2+2nb=25
∵nb=8
∴（n-b）2+2×8=25即（n-b）2=9
∵n＞b
∴n-b=3
∴小正方形的边长为3
故答案为：D
【分析】由题意可知n2+b2=25，再将其转化为（n-b）2+2nb=25，将nb=8代入就可求出小正方形的边长。
9.【答案】A
解：∵∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，
∴由勾股定理得：AB=，
由题意△ABC
≌△A′B′C′
∴AB′=AB=，
在Rt△AB′C中，由勾股定理得：B′C=.
【分析】在直角三角形ABC中，用勾股定理可求得AB的长，由题意知AB=AB′，于是在直角三角形AB′C中，用勾股定理即可求得B′C的长。
10.【答案】
B
解：∵a2-16b2-c2+6ab+10bc=a2+9b2+6ab-25b2-c2+10bc=（a+3b)2-（c-5b)2=0，
∴（a+3b+c-5b)（a+3b-c+5b)=0，
即（a+c-2b)（a-c+8b)=0，
∴a+c-2b=0或a-c+8b=0，
∴a+c=2b或a+8b=c，
∵a+b＞c，
∴a+8b=c不符合题意，舍去，
∴a+c=2b．
故选B．
【分析】首先根据配方法，将原方程变为（a+c-2b)（a-c+8b)=0；又由三角形的三边关系，即可得到答案．
11.【答案】
C
解：如图，
过点A作AF⊥BC于F，
在Rt△ABC中，∠B=45°，
∴BC=
AB=2，BF=AF=
AB=1，
∵两个同样大小的含45°角的三角尺，
∴AD=BC=2，
在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF=
=
∴CD=BF+DF-BC=1+
-2=
-1，
故答案为：C．
【分析】根据含有45°的直角三角形，可计算出BC的长度，在Rt△ADF中，根据勾股定理可计算出CD=。
12.【答案】
B
解：根据爬行规则，黑、白两个甲壳虫爬行轨迹如下图：
从图中发现，发现周期为6条棱
……2,
即黑棋子在D1处，白棋子在B1处，它们之间的距离为线段D1
B1的长,
由勾股定理得：D1
B1=???
，
故答案为：B
【分析】根据爬行规则，黑、白两个甲壳虫爬行轨迹如下图，根据表中找出规律，可知黑棋子在D1处，白棋子在B1处，它们之间的距离为线段D1
B1的长，然后利用勾股定理求解即可。
二、填空题
13.【答案】
解：∵3＜＜4，
∴a=3，
则b=-3．
∴a-b=6-
【分析】根据3＜＜4首先确定a的值，则小数部分即可确定．
14.【答案】4
解：观察发现，
∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，
∴∠BAC=∠EBD，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴BC=ED，
∵AB2=AC2+BC2
，
∴AB2=AC2+ED2=S1+S2
，
即S1+S2=1，
同理S3+S4=3．
则S1+S2+S3+S4=1+3=4．
故答案为：4．
【分析】运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．
15.【答案】102+（x﹣5+1）2=x2
解：设绳索长OA=OB=x尺，由题意得，102+（x﹣5+1）2=x2
．
故答案为：102+（x﹣5+1）2=x2
．
【分析】设绳索长OA=OB=x尺，则由图形的信息可知：OE=x﹣5+1,BE=CD=10,在直角三角形OBE中，由勾股定理可得：,即+=。
16.【答案】36cm2
解：连接BD，
∵AB=3cm，AD=4cm，∠A=90°，BC=13cm，CD=12cm，
∴BD=
=
=5cm．
∵122+52=132
，
即CD2+BD2=BC2
，
∴△BCD是直角三角形，∠BDC=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=
×3×4+
×5×12=6+30=36cm2
．
故答案为：36cm2
．
【分析】连接BD，根据勾股定理求出BD的长，再由勾股定理的逆定理判断出△BCD的形状，由S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD即可得出结论．
17.【答案】420元
解：如图所示：
在Rt△ABC中，由勾股定理可知：BC=
=4米．
地毯的总长=BC+AC=4+3=7米．
地毯的面积=7×1.5=10.5平方米．
地毯的总价=40×10.5=420元．
故答案为：420元．
【分析】利用平移法可求地毯的长等于直角三角形的两直角边的和，再乘以宽得面积，乘以单价，得出费用.
18.【答案】4
解：设平板手推车的长度不能超过x米
则x为最大值，且此时平板手推车所形成的三角形CBP为等腰直角三角形．
连接PO，与BC交于点N．
∵直角走廊的宽为2
m，
∴PO=4m，
∴NP=PO﹣ON=4﹣2=2（m）．
又∵△CBP为等腰直角三角形，
∴AD=BC=2CN=2NP=4（m）．
故答案为：4
【分析】如图，先设平板手推车的长度不能超过x米，则得出x为最大值时，平板手推车所形成的三角形CBP为等腰直角三角形．连接PO，与BC交于点N，利用△CBP为等腰直角三角形即可求得平板手推车的长度不能超过多少米．
19.【答案】（2019+672
，0）
解：根据三角形滚动规律得出每3次一循环，
∵2013÷3=671，
∴滚动2013次后，点B的纵坐标与滚动第3次纵坐标相同为2，
∵∠ACB=90°，AC=1，BC=2，
∴OB=
=
，
∴三角形三边长的和为：1+2+
=3+
，
则滚动2017次后，点B的横坐标为：1+2+672（3+
）=2019+672
．
故点B的坐标为：（2019+672
，0）．
故答案为：（2019+672
，0）．
【分析】根据三角形的滚动规律分别得出B点的横、纵坐标，进而得出答案．
20.【答案】；
解：（1）+1=n+1
Sn=（n是正整数）；
故答案是：；
（2）∵OA12=1，
OA22=（）2+1=2，
OA32=（）2+1=3，
OA42=（）2+1=4，
∴OA12=，
OA2=，
OA3=，
…
∴OA10=；
故答案是：；
（3）S12+S22+S32+…+S102
=（）2+（）2+（）2+…+（）2
=（1+2+3+…+10）
=．
即：S12+S22+S32+…+S102=．
【分析】（1）此题要利用直角三角形的面积公式，观察上述结论，会发现，第n个图形的一直角边就是，
然后利用面积公式可得．
（2）由同述OA2=，
0A3=…可知OA10=．
（3）S12+S22+S32+…+S102的值就是把面积的平方相加就可．
三、计算题
21.（1）解：（x﹣2）2＝81
?
或
∴x＝11或x＝﹣7
（2）解：2x﹣1）3+27＝0
?
x＝﹣1
（3）解：
；
=
=10
【分析】（1）用直接开平方法解方程；（2）用直接开立方法解方程；（3）实数的混合运算，先将绝对值，零指数幂，负整指数幂，立方根分别化简和计算，然后做有理数加减混合运算.
22.
解：由题意得
,解得
,
∴
,∴
的平方根是±1.
【分析】根据平方根、立方根，可得3x-2=4,y-2x=-27，据此联立方程组，求出x、y的值，然后代入12x+y中，求出其值，最后求出平方根即可.
23.
解：
【分析】比较二者的大小可以分别求出和的平方，根据二次根式的性质进行大小比较，得到和的大小比较。
四、作图题
24.
解：（1）如图1所示，Rt△ABC即为所求，
（2）如图所示，Rt△DEF即为所求，
（3）如图所示，正方形GHIJ即为所求，
【分析】（1）画一个边长3，4，5的三角形即可；（2）利用勾股定理，找长为
、2
、
的线段，画三角形即可；（3）利用勾股定理作一个边长为
的正方形即可得．
五、解答题
25.
解：∵
，∴
，∵
，∴
∴在
中，
，
为直角三角形，
在
中，
，
，
∴
航程：
（海里），时间：56÷40=1.4（小时）
至少需要1.4小时能把患病渔民送到基地医院.
【分析】根据题意知应求（BC+AC）的长，根据方向角及三角形内角和求出
为直角三角形，根据勾股定理求出BC的长即可.
26.解：在Rt△ABC中：
∵∠CAB=90°，BC=13米，AC=5米，
∴AB=
=12（米），
∵此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，
∴CD=13﹣0.5×10=8（米），
∴AD=
=
=
（米），
∴BD=AB﹣AD=12﹣
（米），
答：船向岸边移动了（12﹣
）米
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用AB=AD可得BD长．
27.
解：（1）由题意可得，
在
中，∵
，
∴
（2）∵
由题意可得
，设
的长为
cm
则在
中，
解得
则
的长为
【分析】（1）由折叠可知AF的长为10cm，已知AB=8cm，即可利用勾股定理求出BF;(2)根据（1）可求得FC的长，由折叠知EF=DE，所以设EF=xcm可表示出CE=（8-x）cm，就可运用勾股定理求得EC的长.
28.
解：（1）村庄能听到宣传，
理由：∵村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米
∴村庄能听到宣传
（2）如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶QD点结束对村庄的影响
则AP＝AQ＝1000米，AB＝600米
∴BP＝BQ＝
米
∴PQ＝1600米
∴影响村庄的时间为：1600÷200＝8分钟
∴村庄总共能听到8分钟的宣传．
【分析】（1）根据村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米，于是得到结论；（2）根据勾股定理得到BP＝BQ＝800米，求得PQ＝1600米，于是得到结论．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)