11.2.2
三角形的外角
一、新课导入
1.导入课题：
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角是三角形的什么角呢？这就是本节课我们要学习的内容：三角形的外角.
2.学习目标：
(1)能准确地判断一个三角形的外角.
(2)能叙述和证明三角形的外角的性质.
(3)能利用三角形的外角性质解决实际问题.
3.学习重、难点：
重点：三角形外角的性质及其应用.
难点：三角形外角性质的证明.
二、分层学习
第一层次学习
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第14页到第15页例4之前的内容.
（2）自学时间：
5分钟.
（3）自学要求：认真看课本，将你认为是重点的概念、结论做上记号.注意三角形外角的特征，记住三角形外角的性质并尝试证明；同学们也可以结合下面的自学提纲进行学习.
（4）自学参考提纲：
活动1：
①记一记：三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
②画一画：任意画一个三角形，然后画出这个三角形的所有外角.
③想一想：三角形的外角有几个？6个.每个顶点处有2个外角，且它们是对顶角.
活动2：
①完成教材第15页“思考”内容.
②填空：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
③证明上述结论.
已知：△ABC.
求证：∠ACD=∠A+∠B.
证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°,∠ACB+∠ACD=180°,∴∠ACD=∠A+∠B.
2.自学：同学们可结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：本节内容与老教材比，减少了
“三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角”等定理；“三角形的外角和360°”只通过例4来引出，没有单独拿出来.在定理中只涉及到“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”这个推论.虽说内容减少了，但是推论的证明过程仍然是本节课的难点，教师应重点关注，掌握学习情况.
②差异指导：引导学有困难的学生，分析推理中的关键字眼，利用平行线的原理把一个角分成两个角，从而完成定理的证明.
（2）生助生：相互交流外角性质证明的方法和步骤.
4.强化：
（1）三角形的外角的定义.
（2）如图1，一个三角形有6个外角.
每个顶点处有2个外角，这两个外角是对顶角.
（3）如图2，△ABC中，∠A＝80°,∠B＝40°,∠ACD是△ABC的一个外角，则∠ACD＝120°
第二层次学习
1.自学指导：
（1）自学内容：自学教材第15页例4.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学要求：结合图形体会解答过程每一步的依据.
（4）自学参考提纲：
①做一做：每个顶点处取一个外角，如右图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC不同的三个外角，则它们的和是多少？
由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE=∠2+∠3,∠CBF=∠1+∠3,∠ACD=∠1+∠2.
所以：∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3).
由∠1+∠2+∠3=180°,得
∠BAE+∠CBF+∠ACD=2×180°=360°.
②想一想：你能得出什么结论？
三角形的外角和等于360°.
③如果运用邻补角的意义，那么你怎样证明这个结论呢？
∵∠1+∠BAE=180°,∠2+∠CBF=180°,∠3+∠ACD=180°,
∴∠1+∠2+∠3+∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°,
又∵∠1+∠2+∠3=180°,
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°.
即三角形的外角和等于360°.
2.自学:同学们可结合自学参考提纲进行自学.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情：了解学生完成提纲情况.
②差异指导：让学生独立完成例题，看谁的方法最多.针对学生出现的错误予以启发指导.
(2)生助生：学生相互交流帮助学习中的问题.
4.强化：
(1)三角形外角的性质.
(2)教材第15页到第16页“练习”.
图（1）：∠1=40°,∠2=140°;图（2）：∠1=110°,∠2=70°;
图（3）：∠1=50°,∠2=140°;图（4）：∠1=55°,∠2=70°;
图（5）：∠1=80°,∠2=40°;图（6）：∠1=60°,∠2=30°.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：学生代表相互交流自己的学习收获和困惑.
2.教师对学生的评价：
(1)表现性评价：对学生的学习态度、方法、成果进行点评.
(2)纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师自我评价（教学反思）:
本课时教学应突出学生主体性原则，即通过探究学习，指引学生独立思考，自主得到结果，再让学生相互交流，或上台展示自己的发现，或表述个人的体验，从中获取成功的体验，激发学生探究的激情.
针对性练习
一、基础巩固（每题10分，共50分）
1.如图，∠1＝110°.
第1题图
第2题图
第3题图
2.如图，AB∥CD，∠A=40°，∠D=45°，则∠1=85°.
3.如图，已知∠1=100°，∠2=140°，那么∠3=120°.
4.如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数等于（C）
A.50°
B.30°
C.20°
D.15°
第4题图
第5题图
5.如图，已知AC∥ED，∠C=26°，∠CBE=37°，则∠BED的度数是(A)
A.63°
B.83°
C.73°
D.53°
二、综合应用（第6题10分，第7题20分，共30分）
6.已知三角形的三个外角的度数比为2∶3∶4,则它的最大内角度数为(C)
A.90°
B.110°
C.100°
D.120°
7.如图，AB∥CD,
∠A=45°,
∠C=∠E,求∠C.
解：∵AB∥CD,∴∠A=∠DOE
又∠DOE=∠C+∠E,∠C=∠E,
∴∠C=12∠DOE=12∠A=22.5°.
三、拓展延伸（20分）
8.如图，是一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
解：∵∠AFG=∠B+∠D,
∠AGF=∠C+∠E,
∠A+∠AFG+∠AGF=180°,
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.11.2与三角形有关的角
11.2.1三角形的内角
——三角形的内角和定理及直角三角形的性质与判定
一、新课导入
1.导入课题：
前面我们学习了与三角形有关的线段，今天我们就来学习与三角形有关的角.
2.学习目标：
（1）通过经历实验活动的过程，得出三角形的内角和定理.
（2）能运用平行线的性质证明内角和定理.
（3）能应用三角形内角和定理推导并归纳直角三角形的性质与判定.
3.学习重、难点：
重点：三角形内角和定理及其应用，直角三角形的性质与判定.
难点：三角形内角和定理的证明.
二、分层学习
第一层次学习
1.自学指导：
（1）自学内容：探究验证三角形内角和等于180°的方法.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学要求：动手完成实验活动，得出三角形的内角和定理，并能证明这一定理.
（4）探究提纲：
①拼一拼:
在事先准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码（如图），并将它的内角剪下将顶点拼合在一起，试一试看怎么样？
拼成了一个平角.
②议一议：
从上面的操作过程你能得出什么结论？与同伴交流.
把一个三角形其中的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，形成了一个平角.说明在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.
从中得出：三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°。
③想一想：
如果我们不用剪、拼的办法，可不可以用推理论证的方法来说明三角形内角和定理的正确性呢？
如果有困难的话不妨先完成如下的填空，再回答.
已知：△ABC，
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
证明：如右图，过点A作直线DE，使DE∥BC
∵DE∥BC，
∴∠B=∠DAB（两直线平行，内错角相等
）
同理∠C=∠EAC（两直线平行，内错角相等）
∵∠BAC、∠DAB、∠EAC组成平角，
∴∠BAC+∠DAB+∠EAC=180°（平角定义）
∴∠BAC
+
∠B
+
∠C=180°（等量代换）
④记一记：为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫做辅助线，在平面几何里，添加的辅助线通常用虚线（选“实线”或“虚线”）来表示.
⑤思考：你能从拼图中想出其他证明三角形内角和定理的方法吗？
2.自学:同学们可结合探究提纲进行自主探究学习.
3.助学:
（1）师助生：
①明了学情：“三角形的内角和为180°”在小学四年级已经接触过，学生并不陌生，但学生对添加辅助线证明内角和定理仍存在难度，教师对此应予关注.
②差异指导：引导学生回忆前面学习过的知识之中，有哪些知识涉及到180°.
（2）生助生：学生相互查看拼图及论证过程,并对错误的学生进行指导.
4.强化:
（1）三角形内角和定理及证明方法.
（2）教材第16页复习巩固第1题.
第二层次学习
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第12页到第13页例1、例2.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学要求：认真阅读例题条件和问题，学习例题的解答过程.
（4）自学参考提纲：
①把例1
的已知条件在图形中标示出来.
②找准例2中的方位角，并在图形上标示出来.
③还有哪些角没有弄清楚，做上记号，组内交流.
④试着独立完成例2，组内评一评.
2.自学:结合自学指导进行自学.
3.助学:
(1)师助生：
①明了学情：例1学生会很快独立地完成.例2中由于出现的方位角较多，学生容易混淆，需要重点关注.
②差异指导：帮助学习困难的学生，一句一句分析例2中所描述的方位角，并对照图形找出来.
(2)生助生：不清楚、不明白的地方互助交流.
4.强化:
（1）三角形内角和定理及应用.
（2）方位角的意义及应用.
第三层次学习
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第13页到第14页“练习”之前的内容.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学要求：动手完成推导的过程，能说出得出结论的依据.
（4）自学参考提纲：
①如图，用符号表示下列直角三角形.
Rt△ABC
Rt△PMQ
②三角形的内角和定理在直角三角形中是否适用？直角三角形两锐角之间存在什么关系？写出证明过程.
证明：因为直角三角形中有一个直角，且内角和为180°，所以另外两锐角的和为90°.
结论：直角三角形的两个锐角互余.
根据下列图形，把上述结论改写成几何语言：
在△ABC中,∵∠B=90°，∴∠A+∠C=90°.
③独立阅读例3
的解答过程，你知道例3中运用了直角三角形的什么性质？这个性质反过来也成立吗？
例3中运用了直角三角形两个锐角互余的性质，这个性质反过来也是成立的.
④直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.
结合右图把上述语句改写成几何语言：
在△ABC中,
∵∠B+∠C=90°.
∴△ABC是直角三角形.
2.自学:结合自学指导进行自学.
3.助学:
（1）师助生：
①明了学情：本节内容比较容易，学生能通过自学掌握本节知识.
②差异指导：在解答例3时，引导学生寻找题目中的隐含条件.
（2）生助生：学生之间相互交流，帮助解决学习疑点及存在的问题.
4.强化:
（1）回忆直角三角形的性质及判定.
（2）教材第14页“练习”.
练习1：∠ACD=∠B.∵∠BCD+∠B=90°，∠BCD+∠ACD=90°,∴∠ACD=∠B.
练习2：△ADE是直角三角形.∵∠C=90°,∴∠2+∠A=90°,又∵∠1=∠2，∴∠1+∠A=90°,∴∠ADE=90°.∴△ADE是直角三角形.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：学生代表交流自己的学习收获和困惑.
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：对学生的学习态度、方法、成果及存在的不足进行点评.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师自我评价（教学反思）：
本课时教学思路按猜想、实验、证明的学习过程，遵循学生的认知规律，充分体现了数学学习的必然性，教学时要始终围绕问题展开，并给学生留下充分的思考时间与空间，形成解决问题的意识与能力.
针对性练习
一、基础巩固（每题10分，共60分）
1.△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°.
2.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，CD是∠C的角平分线，图中有3个等腰三角形.
3.如图，在△ABC中，∠B=∠C=50°，AD、DE分别是∠BAC、∠ADC的角平分线，则∠DEC=（D）
A.45°
B.50°
C.60°
D.85°
4.一个等腰△ABC，一腰上的高与另一腰的夹角为40°,则这个等腰△ABC的顶角度数为50°或130°.
5.若一个三角形三个内角度数的比为2∶7∶4，那么这个三角形是（C）
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.无法确定
6.如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，则图中除直角外相等的角有∠A=∠BCD，∠B=∠ACD，互余的角有：∠A与∠B，∠A与∠ACD，∠B与∠BCD，∠ACD与∠BCD.
二、综合应用（每题10分，共20分）
7.如图,在△ABC中,∠ABC=70°,∠C=65°,BD⊥AC于D，求∠ABD,∠CBD的度数.
解：∵∠ABC=70°,∠C=65°,
∴∠A=180°-∠ABC-∠C=45°.
∵BD⊥AC,
∴∠ADB=∠CDB=90°,
∴∠ABD=90°-∠A=∠45°,∠CBD=90°-∠C=25°.
8.△ABC中，BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，已知∠A=100°,求∠BDC的度数.
解：∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠DBC+∠DCB=12（∠ABC+∠ACB）.
又∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A=80°.
∴∠DBC+∠DCB=40°，
∴∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB)=140°.
三、拓展延伸（20分）
9.如图,AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，试问：∠AEC的度数是多少？
解：∵AB∥CD,
∴∠BAC+∠ACD=180°.
AE平分∠BAC,CE平分∠ACD,
∴∠EAC+∠ECA=12(∠BAC+∠ACD)=90°,
∴∠AEC=180°-(∠EAC+∠ECA)=90°.
