11.3.2
多边形的内角和
一、新课导入
1.导入课题：
我们知道，三角形的内角和等于180°；正方形、长方形的内角和都等于360°.那么，任意一个四边形的内角和是否也等于360°?五边形、六边形的内角和分别是多少呢？大家带着这个问题一起来探究多边形的内角和问题.
2.学习目标:
（1）探索多边形的内角和公式.
（2）通过把多边形转化成三角形，体会转化思想在几何中的运用.
3.学习重、难点:
重点：多边形的内角和公式及推导.
难点：探究多边形的内角和公式的应用.
二、分层学习
第一层次学习
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第21页“思考”到第22页例1.
（2）自学时间：6分钟.
（3）自学要求：认真阅读课本的内容，完成课本中的思考及有关填空，积极思考完成自学参考提纲中的问题.
（4）自学参考提纲：
①多边形的内角和公式是怎样的？公式是怎样推导出来的？
n边形内角和等于（n-2）×180°.从n边形的一个顶点出发，可以作（n-3）条对角线，它们将n边形分为（n-2）个三角形，n边形的内角就等于（n-2）×180°.
②把一个多边形分成几个三角形，你还有不同于课本中的分法吗？由新的分法，能得出多边形的内角和公式吗？试试看！
在n边形内选一点，连接这个点与n边形的各顶点，n边形被分成n个三角形，n边形的内角和等于n个三角形内角和总和减去一个周角，即n边形的内角和等于n×180°-360°=(n-2)×180°.
③例1找两个角的关系是运用了什么知识找到的？哪个条件是隐含的？哪个条件是已知的？
是运用多边形内角和等于（n-2）×180°找到的四边形ABCD的内角和等于360°这个条件是隐含的；四边形的一组对角互补这个条件是已知的.
2.自学：同学们可结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：对于公式的推导，方法很多，但都围绕一个基本核心思路即把多边形分成若干个三角形，对于这个转化的数学思想方法，部分学生会存在理解困难，教师应及时了解情况.
②差异指导：对学习中存在的各种问题予以分类指导.
（2）生助生：学生之间相互展示交流.
4.强化：
(1)多边形的内角和公式：n边形内角和等于(n-2)·180°.注意：多边形的内角和是180°的倍数.
(2)练习：完成教材第24页“练习”.
第二层次学习
1.自学指导:
(1)自学内容：教材第22页到第23页的内容.
(2)自学时间：6分钟.
(3)自学方法：分析并归纳例2的问题思路.
(4)自学参考提纲：
①阅读例2的解题过程，分析并归纳其解题思路，即外角和的求法.
②完成例2后的思考中的问题，仿例2的解题思路完成其证明过程.
③认真阅读教材第23页最后一段，体会这段文字所描述的意思，说说多边形的内角和还可以怎样解释？
2.自学:同学们可结合自学指导进行自学.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情：对于“多边形的外角和等于360°的证明过程，部分学生叙述上会存在一定的困难，注意观察这些学生.
②差异指导：对学习有困难的学生进行分类指导.
(2)生助生：学生之间相互交流帮助.
4.强化：
(1)多边形的外角和等于360°，与边数的多少没有关系.
(2)练习：完成教材第24页“练习”.
练习1：（1）x=65（2）x=60（3）x=95
练习2：六边形
练习3：四边形
三、评价
1.学生自我评价（围绕三维目标）：学生交流自己的学习收获和困惑.
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：对学生的学习态度、方法、成果和不足进行点评.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师自我评价（教学反思）：
在学习活动中，要求学生主动参与，认真思考，比较观察、交流和表述，激发学生学习兴趣，强调分组讨论，学生与学生之间很好地交流与合作，利用师生的双向活动，适时调度，查漏补缺，从而顺利达到教学目的.
针对性练习
一、基础巩固（每小题10分，共60分）
1.如图（1），∠1=90度；
如图（2），∠1=85度；如图（3），∠1=95度.
2.下列各个度数中，不可能是多边形的内角和的是(A)
A.600°
B.720°
C.900°
D.1080°
3.若多边形的边数由3增加到5，则其外角和的度数(C)
A.增加
B.减少
C.不变
D.不能确定
4.正多边形的一个外角为36°，则它的边数是（A）
A.10
B.6
C.5
D.8
5.正n边形的内角和为（n-2）×180°，每一个内角都等于×180°，每一个外角都等于×360°.
6.若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形是十二边形.
二、综合应用（20分）
7.已知，在四边形ABCD中，∠A∶∠B＝5∶7，∠B与∠A的差等于∠C，∠D与∠C的差是80度，求四边形ABCD四个内角的度数.
解：设∠A=5x°,∠D=y°,则∠B=7x°,∠C=2x°,由题意可得
5x+7x+2x+y=(4-2)×180=360,
y-2x=80.
解得x1=17.5,y1=115,
所以∠A=87.5°，∠B=122.5°,∠C=35°,∠D=115°.
三、拓展延伸（20分）
8.如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米，后左转30度，再沿直线前进10米.又向左转30度，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了多少米？
解：由题意可知，小亮第一次回到出发地A点时，他的行走路线是一个正多边形，且这个正多边形的外角等于30°,边长为10米.所以这个多边形的边数为360°÷30°=12.所以一共走了12×10=120（米）.11.3多边形及其内角和
11.3.1多边形
一、新课导入
1.导入课题：
请同学们仔细观察下面的三个图形，它们给我们以由一些线段围成的图形的形象，这些图形叫做什么形呢？
这节课我们就来学习多边形.
2.学习目标：
（1）能叙述多边形、多边形的内角、外角和对角线的意义.
（2）知道什么是凸多边形和正多边形.
3.学习重、难点：
重点：多边形及其有关的概念.
难点：多边形的边的特征.
二、分层学习
第一层次学习
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第19页的内容.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：认真阅读课文，可以结合下面的自学参考提纲学习，通过观察、比较，初步建立边的概念，初步认识四边形、五边形、六边形等平面图形，理解多边形、多边形的内角及其外角的定义.
（4）自学参考提纲：
①认识多边形
a.回忆三角形的概念，说说多边形的概念.
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
b.下面这些图形分别是几边形？
五边形
六边形
八边形
如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形.
②认识多边形的内角、外角
多边形的内角是多边形相邻两边组成的角，多边形的外角是多边形的边与它的邻边的延长线组成的角，指出图2中多边形ABCDEF的外角∠1,∠2,∠3,∠4,∠5,∠6.
③列举出我们生活中见到的多边形.
2.自学：同学们可参照自学参考提纲进行自学.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情：在日常生活中，学生接触的多边形比较多，本层次的内容学生能够很快掌握.
②差异指导：引导学生列举出生活中的多边形.
(2)生助生：学生之间相互交流学习的成果和困惑.
4.强化：
(1)多边形及其有关的角的概念.
(2)练习：下列图形包含了哪些多边形？
六边形
四边形
五边形和六边形
第二层次学习
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第20页内容.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：认真阅读课本，抓住各个概念中的关键词.
（4）自学参考提纲：
①什么叫多边形的对角线？
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
②什么叫凸多边形？指出下列多边形哪些是凸多边形.
画出多边形任何一条边所在直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，这样的多边形叫做凸多边形.a,c,e是凸多边形.
③什么叫正多边形？正多边形有什么特征？
各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.正多边形各个角相等，各条边相等.
④试从四边形、五边形、六边形中探究n边形的对角线条数m与边数n之间的关系.
m=
(n≥4)
2.自学：同学们可参照自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：多边形的对角线比较多，一般学生会有疏漏，应注意了解.
②差异指导：引导学生领会对角线的重要应用是它可以把多边形分为几个三角形，从而把多边形的问题转化为三角形的问题来解决.
（2）生助生：学生之间相互交流帮助.
4.强化：
（1）多边形的对角线的定义，正多边形的定义.
（2）练习：画出右图多边形的全部对角线.
（3）完成教材第21页练习第2题.
答：四边形的一条对角线将四边形分成2个三角形，从五边形的一个顶点出发，可以画出2条对角线，它们将五边形分成了三个三角形.
三、评价
1.学生自我评价（围绕三维目标）：学生当众交谈自己的学习收获和困惑.
2.教师对学生的评价：
(1)表现性评价：对学生的学习态度、方法、成效和存在的不足进行点评.
(2)纸笔评价：课堂评价检测
3.教师自我评价（教学反思）:
学习本课时，可让学生先自主探索再合作交流，小组内、小组之间充分交流后概括所得结论，既巩固了三角形的知识，又用类比的方法引出多边形的有关概念，加深对本课时的学习.
针对性练习
一、基础巩固（每小题10分，共50分）
1.六边形的对角线共有（D）
A.6条
B.7条
C.8条
D.9条
2.下列属于正多边形的是（B）
A.长方形
B.等边三角形
C.梯形
D.圆
3.从一个顶点出发的对角线，可以把十边形分成互不重叠的三角形的个数（B）
A.7个
B.8个
C.9个
D.10个
4.四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，十边形有35条对角线.
5.十二边形共有54条对角线，过一个顶点可作9条对角线，可把十二边形分成10个三角形.
二、综合应用（20分）
6.某学校七年级六个班举行篮球比赛，比赛采用单循环积分制（即每个班都进行一次比赛）.一共需要多少场比赛？
解：一共需要15场比赛.如图：
三、拓展延伸（30分）
7.四边形中，过一个顶点可画一条对角线，共可画两条对角线；五边形中，过一个顶点可画两条对角线，共可画五条对角线；六边形中，过一个顶点可画三条对角线，共可画九条对角线，请从以上三种情况寻找一下规律，看一看多边形的边数和对角线之间有关系吗？如果有，请找出来.如果是n边形，可画多少条对角线呢？
解：有关系，多边形对角线的条数等于边数与（边数-3）的乘积的即n边形对角线的条数=.
